Simone Severini（伦敦大学学院）
量子信息理论在组合学、优化和功能分析之间架起了桥梁。
如今，人们用纸和笔进行理论预测，并在实验室进行实验证明，大多数多目标量子力学系统的物理状态无法仅通过观察其单个组件来描述，并且显示出比经典关联更强的相关性。由于这一点，操纵一些组件对整个系统具有全局影响，即使组件在空间上是分开的——这可以通过当前过度使用且不知何故不受欢迎的爱因斯坦的“远距离幽灵行动”来表达。这种现象被称为“纠缠”。
当谈到纠缠时，普通的数学人士往往会自然地避免提及围绕这个术语的神秘主义光环，而是关注复合希尔伯特空间中矩阵和运算符的复杂结构。然而，虽然纠缠可能是用于组合系统的张量积的平坦结果，如在波力学中一样，但它也具有合法且可能是基本物理量的地位。事实上，它最新发现的应用范围从用于分发密码密钥的信息理论安全解决方案到用于传输信息的各种卓越协议，包括超密集编码和远程传送。
图上的两人非局部游戏已被证明是一个特别富有成果的领域，可以对纠缠的威力进行严格研究，更广泛地说，还可以对导致不同物理理论的公理选择所导致的相关性进行严格研究。在该框架中，两个参与者Alice和Bob接收一些图的顶点。他们的任务是在不知道对方顶点的情况下回答问题；答案需要满足作为接收顶点函数的特定属性。根据Alice和Bob的物理世界所显示的相关性类型，这种情况暗示了一组新的图形参数，这些参数由丰富的数学结构捕获，并为将图论思想推广到函数分析提供了机会。其中一个量现在称为量子色数，它被更熟悉的色数松散地上界，在非局部博弈中，相邻顶点的答案需要不同，相同顶点的答案则需要相等。量子色数是第一个被研究的量子图参数。这种研究方向最终衍生成多条路线。以下是要点的简要说明。
1956年，香农将通信信道的零错误容量定义为在错误概率为零的信道上传输信息的最大速率。这个概念为半定规划和结构图论的大量研究提供了支持。Berge的完美图是由零误差容量和Lovász theta函数作为上限引入的。当各方可以共享和局部操纵纠缠态时，模拟容量也被证明是以Lovász theta为界的，但在各种单次激发和渐近情况下是指数大的[1,2]。鉴于零错误容量与通过广播信道（例如同轴电缆或卫星）传输数据的问题之间的联系，这一结果突出了现实通信中可利用的潜在量子优势。
1976年，Connes偶然提出了一个关于有限von Neumann代数基本逼近性质的猜想——Connes嵌入问题。随着时间的推移，出现了许多意想不到的与猜想等价的陈述。量子色数以外的层次结构导致了对康纳斯猜想的一种新的重新表述，并为其解决方案产生了新的努力[L1]。新方法的核心是提升到算子代数领域的组合思想。此外，扩展这一数学景观，与相关性相关的量子图参数层次可以放在（贸易非交换）多项式优化的框架内[L2]
1993年，Tsirelson提出了一些与确定非相对论量子力学公理数学模型（其中观测者有作用于有限维张量积空间的算符）和代数量子场论（其中观察者有作用在（可能无限维）上的交换算符）是否相关的问题单个空间，产生相同的相关性集。2016年，基于几何群理论的一项突破解决了“中间”Tsirelson问题，通过观察到（张量积）量子关联集不是闭合的[L3]。有趣的是，这个结果的连续替代证明使用了量子图参数[L4]。
这一新的技术机制通过图同态的量子版本得到了进一步的巩固，这是一种熟悉但强大的图着色泛化。这一新的技术机制通过图同态的量子版本得到了进一步的巩固，这是一种熟悉但强大的图着色泛化。新的同态类型建议将图同构松弛到与各种物理理论相对应的设置。这一系列研究的结果令人惊讶。虽然分数同构对应于共享某些类型的比纠缠更强的相关性，因此，它得到了一个可操作的解释，量子同构是通过将标准同构的整数编程公式放宽为厄米变量[3]而获得的（见图1）。
图1：24个顶点上的两个图是量子同构但非同构的。该结构与不可接近性文献中的FGLSS减少以及CFI结构有关。
量子计算、信息和算子代数（QCIAO）集体的一些成员（LMS研究院量子信息理论组合数学和算子讲师，贝尔法斯特，2016年9月）。
QCIAO Collective是一个专注于本文主题的国际合作组织[L5]。
链接：
[第一层]https://arxiv.org/abs/1503.07207
[第二层]https://arxiv.org/abs/1708.09696
[第三层]https://arxiv.org/abs/1606.03140
[L4]https://arxiv.org/abs/1709.05032
[L5]网址：http://www.qciao.org/
参考文献：
[1] R.Duan，S.Severini，A.Winter：“通过量子信道、非交换图和量子Lovaszθ函数进行零误差通信”，IEEE Trans。信息理论59（2）：1164-11742013。
[2] J.Briöt，H.Buhrman，D.Gijswijt：“用纠缠违反度量图的Shannon容量”，PNAS 2013 110（48）19227-19232。
[3] A.Atserias等人：“量子与非信号图同构”，ICALP 2017。
请联系：
西蒙·塞韦里尼
英国伦敦大学学院
+44 (0)20 3108 7093
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