期刊上的下一篇文章
对称喷管中激波的不对称性
下一篇特刊文章
二阶线性递归序列的几个新恒等式
期刊上的上一篇文章
地甲虫(鞘翅目、甲虫科)的波动不对称性及其表现条件
特刊上一篇文章
有向圆柱的符号控制数
 
 
订购文章重印
字体类型:
宋体 佐治亚州 宋体,Verdana
字体大小:
澳大利亚 澳大利亚 澳大利亚
行距:
列宽:
背景:
第条

四阶线性递归序列的恒等式

1
玉林大学数学与统计学院,玉林719000,中国
2
西北大学数学学院,西安710127
*
信件应寄给的作者。
对称 2019,11(12), 1476;https://doi.org/10.3390/sym11121476
收到的材料:2019年11月13日/修订日期:2019年11月30日/接受日期:2019年12月2日/发布日期:2019年12月4日

摘要

以下为:
本文引入四阶线性递归序列及其生成函数,利用初等方法和求和过程的对称性,得到幂级数展开式系数的精确表达式。同时,我们建立了涉及Tetranacci数的一些关系,并给出了一些有趣的恒等式。

1.简介和结果

n个 1 是一个整数,斐波那契多项式 F类 n个 ( x个 ) 由二阶线性递归序列定义
F类 n个 + 1 = x个 F类 n个 ( x个 ) + F类 n个 1 ( x个 ) ,
具有初始条件 F类 0 ( x个 ) = 0 , F类 1 = 1 .
斐波那契多项式的生成函数 F类 n个 ( x个 ) 由提供
1 1 x个 t吨 t吨 2 = n个 = 0 F类 n个 ( x个 ) t吨 n个 .
特别是,对于 x个 = 1 , F类 n个 = F类 n个 ( x个 ) 是著名的斐波那契数列。这些多项式和数字在数学理论和应用中发挥着极其重要的作用,几位作者进行了大量研究,以获得各种有意义的结果(参见[1,2,,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15])。例如,袁毅和张文鹏(参见[16])研究了求和的计算问题:
1 + 2 + + 小时 + 1 = n个 F类 1 ( x个 ) F类 2 ( x个 ) F类 小时 + 1 ( x个 ) .
马元奎和张文鹏(参见[17])通过引入一个新的二阶非线性递归序列,获得了关于求和的不同表达式。
在[18]、Taekyun Kim等人通过引入卷积斐波那契数来研究斐波那奇数的性质 第页 n个 ( x个 ) ,由生成函数给出
1 1 t吨 t吨 2 x个 = n个 = 0 第页 n个 ( x个 ) t吨 n个 n个 ! , ( x个 R(右) ) .
作者给出了一个新的计算公式 第页 n个 ( x个 ) 通过初等和组合方法,得到了卷积斐波那契数的一些新的显式恒等式,包括它们之间的关系 第页 n个 ( x个 ) 和关于斐波那契数的组合和。
本文考虑Tetranacci数 H(H) n个 (请参见[19]),由四阶线性递归关系定义
H(H) n个 = H(H) n个 1 + H(H) n个 2 + H(H) n个 + H(H) n个 4 , n个 4 ,
具有 H(H) 0 = H(H) 1 = 0 , H(H) 2 = H(H) = 1 .
很明显 H(H) 0 = 0 , H(H) 1 = 0 , H(H) 2 = 1 , H(H) = 1 , H(H) 4 = 2 , H(H) 5 = 4 , H(H) 6 = 8 , H(H) 7 = 15 , H(H) 8 = 29 , H(H) 9 = 56 , H(H) 10 = 108 , .
Tetranacci数可以扩展到由重排的递归关系产生的负指数n
H(H) n个 4 = H(H) n个 H(H) n个 1 H(H) n个 2 H(H) n个 ,
产生“nega-Telenacci”数字序列, H(H) 1 = 0 , H(H) 2 = 1 , H(H) = 1 , H(H) 4 = 0 , H(H) 5 = 0 , H(H) 6 = 2 , H(H) 7 = , H(H) 8 = 1 , H(H) 9 = 0 , .
Tetranacci序列的生成函数 H(H) n个 由提供
1 1 t吨 t吨 2 t吨 t吨 4 = n个 = 0 H(H) n个 + 2 t吨 n个 .
Tetranacci数在组合计数和图论中有重要应用,W.Marcellus E(参见[20,21])研究了 H(H) n个 ,Rusen Li(参见[22])获得了一些卷积恒等式 H(H) n个 此外,不同序列的求和计算是数论中的热点问题之一,许多学者已经获得了一系列有趣的结果(参见[23,24])。因此,进一步研究Tetranacci序列的性质是非常有意义的。受上述参考文献的启发,对于实数 x个 R(右) ,我们可以定义一个新函数 H(H) n个 ( x个 ) ,由给出
1 1 t吨 t吨 2 t吨 t吨 4 x个 = n个 = 0 H(H) n个 ( x个 ) t吨 n个 .
本文的主要目的是研究 H(H) n个 ( x个 ) H(H) n个 利用初等方法和求和过程的对称性,证明了四阶递推序列的一些计算公式。也就是说,我们将证明以下内容:
定理 1
对于实数 x个 R(右) 和任意整数 n个 0 , 我们有
H(H) n个 ( x个 ) = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 ,
哪里
S公司 第页 = 4 H(H) 第页 + 2 H(H) 第页 + 1 2 H(H) 第页 H(H) 第页 1 , ( 第页 Z轴 ) ,
+ b条 + c(c) + = n个 表示所有四维非负整数坐标的总和 ( , b条 , c(c) , ) 这样的话 + b条 + c(c) + = n个 ,以及 x个 ( 0 ) = 1 , x个 ( n个 ) = x个 ( x个 + 1 ) ( x个 + 2 ) ( x个 + n个 1 ) 对于所有正整数n。
根据这个定理,我们可以得到以下推论:
推论 1
对于任何整数 n个 > 0 , 我们有
H(H) n个 + 2 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 .
推论 2
对于任何整数 k个 > 0 n个 > 0 ,我们有
1 + 2 + + k个 = n个 H(H) 1 + 2 H(H) 2 + 2 H(H) k个 + 2 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) k个 ( ) ! k个 ( b条 ) b条 ! k个 ( c(c) ) c(c) ! k个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) k个 ( ) ! k个 ( b条 ) b条 ! k个 ( c(c) ) c(c) ! k个 ( ) ! S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 .
推论 三。
对于任何整数 n个 > 0 ,我们有
H(H) n个 1 2 = 1 24 · 2 n个 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) ( 2 ) ! ! ! ( 2 b条 ) ! ! b条 ! ( 2 c(c) ) ! ! c(c) ! ( 2 ) ! ! ! · S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 1 24 · 2 n个 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) ( 2 ) ! ! ! ( 2 b条 ) ! ! b条 ! ( 2 c(c) ) ! ! c(c) ! ( 2 ) ! ! ! · S公司 S公司 b条 S公司 c(c) ,
其中,双阶乘定义为 n个 ! ! = 2 × 4 × 6 × × n个 对于偶数正整数和 n个 ! ! = 1 × × 5 × × n个 对于奇数正整数。
推论 4
对于任何整数 n个 > 0 ,我们有>
H(H) n个 1 2 = 1 24 · 4 n个 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) ( 2 ) ! ( ! ) 2 ( 2 b条 ) ! ( b条 ! ) 2 ( 2 c(c) ) ! ( c(c) ! ) 2 ( 2 ) ! ( ! ) 2 · S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 · 4 n个 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) ( 2 ) ! ( ! ) 2 ( 2 b条 ) ! ( b条 ! ) 2 · ( 2 c(c) ) ! ( c(c) ! ) 2 ( 2 ) ! ( ! ) 2 S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 .

2.几个简单引理

为了完成定理的证明,我们需要以下两个简单的引理,它们对于证明我们的主要结果至关重要。
引理 1
对于任何整数 第页 Z轴 ,我们有
S公司 第页 = t吨 1 第页 + t吨 2 第页 + t吨 第页 + t吨 4 第页 = 4 H(H) 第页 + 2 H(H) 第页 + 1 2 H(H) 第页 H(H) 第页 1 ,
哪里 t吨 1 , t吨 2 , t吨 t吨 4 是方程的四个根 t吨 4 t吨 t吨 2 t吨 1 = 0 .
证明。 
很明显 H(H) n个 可以用公式表示
H(H) n个 = c(c) 1 t吨 1 n个 + c(c) 2 t吨 2 n个 + c(c) t吨 n个 + c(c) 4 t吨 4 n个 .
H(H) 0 = H(H) 1 = 0 , H(H) 2 = H(H) = 1 ,所以我们可以得到方程组
c(c) 1 + c(c) 2 + c(c) + c(c) 4 = 0 , c(c) 1 t吨 1 + c(c) 2 t吨 2 + c(c) t吨 + c(c) 4 t吨 4 = 0 , c(c) 1 t吨 1 2 + c(c) 2 t吨 2 2 + c(c) t吨 2 + c(c) 4 t吨 4 2 = 1 , c(c) 1 t吨 1 + c(c) t吨 2 + c(c) t吨 + c(c) 4 t吨 4 = 1 .
另一方面,我们观察到 t吨 1 + t吨 2 + t吨 + t吨 4 = 1 , t吨 2 t吨 + t吨 2 t吨 4 + t吨 t吨 4 = 1 ( t吨 1 t吨 2 + t吨 1 t吨 + t吨 1 t吨 4 ) = t吨 1 2 t吨 1 1 , t吨 1 t吨 2 t吨 t吨 4 = 1 1 = t吨 1 4 t吨 1 t吨 1 2 t吨 1 .
很明显,方程式()暗示
c(c) 1 = t吨 1 ( t吨 1 t吨 2 ) ( t吨 1 t吨 ) ( t吨 1 t吨 4 ) = 1 t吨 1 + 5 t吨 1 2 2 t吨 1 1 , c(c) 2 = t吨 2 ( t吨 2 t吨 1 ) ( t吨 2 t吨 ) ( t吨 2 t吨 4 ) = 1 t吨 2 + 5 t吨 2 2 2 t吨 2 1 , c(c) = t吨 ( t吨 t吨 1 ) ( t吨 t吨 2 ) ( t吨 t吨 4 ) = 1 t吨 + 5 t吨 2 2 t吨 1 , c(c) 4 = t吨 4 ( t吨 4 t吨 1 ) ( t吨 4 t吨 2 ) ( t吨 4 t吨 ) = 1 t吨 4 + 5 t吨 4 2 2 t吨 4 1 .
然后注意,(4)也可以写成
c(c) 1 t吨 1 + 5 t吨 1 2 2 t吨 1 1 = c(c) 1 t吨 1 + 5 c(c) 1 t吨 1 2 2 c(c) 1 t吨 1 c(c) 1 = 1 , c(c) 2 t吨 2 + 5 t吨 2 2 2 t吨 2 1 = c(c) 2 t吨 2 + 5 c(c) 2 t吨 2 2 2 c(c) 2 t吨 2 c(c) 2 = 1 , c(c) t吨 + 5 t吨 2 2 t吨 1 = c(c) t吨 + 5 c(c) t吨 2 2 c(c) t吨 c(c) = 1 , c(c) 4 t吨 4 + 5 t吨 4 2 2 t吨 4 1 = c(c) 4 t吨 4 + 5 c(c) 4 t吨 4 2 2 c(c) 4 t吨 4 c(c) 4 = 1 .
因此,我们有
t吨 1 第页 = c(c) 1 t吨 1 + 5 t吨 1 2 2 t吨 1 1 t吨 1 第页 = c(c) 1 t吨 1 第页 + + 5 c(c) 1 t吨 1 第页 + 2 2 c(c) 1 t吨 1 第页 + 1 c(c) 1 t吨 1 第页 , t吨 2 第页 = c(c) 2 t吨 2 + 5 t吨 2 2 2 t吨 2 1 t吨 2 第页 = c(c) 2 t吨 2 第页 + + 5 c(c) 2 t吨 2 第页 + 2 2 c(c) 2 t吨 2 第页 + 1 c(c) 2 t吨 2 第页 , t吨 第页 = c(c) t吨 + 5 t吨 2 2 t吨 1 t吨 第页 = c(c) t吨 第页 + + 5 c(c) t吨 第页 + 2 2 c(c) t吨 第页 + 1 c(c) t吨 第页 , t吨 4 第页 = c(c) 4 t吨 4 + 5 t吨 4 2 2 t吨 4 1 t吨 4 第页 = c(c) 4 t吨 4 第页 + + 5 c(c) 4 t吨 4 第页 + 2 2 c(c) 4 t吨 4 第页 + 1 c(c) 4 t吨 4 第页 .
因此,通过(2)和(5),我们立即获得
S公司 第页 = t吨 1 第页 + t吨 2 第页 + t吨 第页 + t吨 4 第页 = c(c) 1 t吨 1 第页 + + c(c) 2 t吨 2 第页 + + c(c) t吨 第页 + + c(c) 4 t吨 4 第页 + + 5 c(c) 1 t吨 1 第页 + 2 + c(c) 2 t吨 2 第页 + 2 + c(c) t吨 第页 + 2 + c(c) 4 t吨 4 第页 + 2 2 c(c) 1 t吨 1 第页 + 1 + c(c) 2 t吨 2 第页 + 1 + c(c) t吨 第页 + 1 + c(c) 4 t吨 4 第页 + 1 c(c) 1 t吨 1 第页 + c(c) 2 t吨 2 第页 + c(c) t吨 第页 + c(c) 4 t吨 4 第页 = H(H) 第页 + + 5 H(H) 第页 + 2 2 H(H) 第页 + 1 H(H) 第页 = 4 H(H) 第页 + 2 H(H) 第页 + 1 2 H(H) 第页 H(H) 第页 1 .
现在我们已经完成了引理1的证明。
引理 2
对于实数 x个 R(右) 和任意整数 n个 0 , 我们有
+ b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! 1 t吨 1 t吨 2 b条 t吨 c(c) t吨 4 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 .
证明。 
对于任何非负整数 , b条 , c(c) ,我们有
t吨 1 + t吨 2 + t吨 + t吨 4 t吨 1 b条 + t吨 2 b条 + t吨 b条 + t吨 4 b条 t吨 1 c(c) + t吨 2 c(c) + t吨 c(c) + t吨 4 c(c) = t吨 1 + t吨 2 + t吨 + t吨 4 t吨 1 2 b条 c(c) + t吨 2 2 b条 c(c) + t吨 2 b条 c(c) + t吨 4 2 b条 c(c) + t吨 1 b条 + t吨 2 b条 + t吨 b条 + t吨 4 b条 t吨 1 2 c(c) + t吨 2 2 c(c) + t吨 2 c(c) + t吨 4 2 c(c) + t吨 1 c(c) + t吨 2 c(c) + t吨 c(c) + t吨 4 c(c) t吨 1 2 b条 + t吨 2 2 b条 + t吨 2 b条 + t吨 4 2 b条 2 t吨 1 b条 c(c) + t吨 2 b条 c(c) + t吨 b条 c(c) + t吨 4 b条 c(c) + t吨 1 t吨 2 b条 t吨 c(c) + t吨 1 t吨 2 c(c) t吨 4 b条 + t吨 1 t吨 b条 t吨 4 c(c) + + t吨 2 c(c) t吨 t吨 4 b条 = S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 b条 c(c) + { , j个 , k个 , } ( 1 ) t吨 1 t吨 2 j个 t吨 k个 t吨 4 ,
哪里 { , j个 , k个 , } 通过排列 { , b条 , c(c) , } .
观察非负整数坐标 ( , b条 , c(c) , ) 具有 + b条 + c(c) + = n个 是对称的,那么我们可以得到
+ b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! t吨 1 + t吨 2 + t吨 + t吨 4 · t吨 1 b条 + t吨 2 b条 + t吨 b条 + t吨 4 b条 t吨 1 c(c) + t吨 2 c(c) + t吨 c(c) + t吨 4 c(c) = + b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 b条 c(c) + 24 + b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! ( 1 ) t吨 1 t吨 2 b条 t吨 c(c) t吨 4 .
另一方面,我们有
+ b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! t吨 1 + t吨 2 + t吨 + t吨 4 · t吨 1 b条 + t吨 2 b条 + t吨 b条 + t吨 4 b条 t吨 1 c(c) + t吨 2 c(c) + t吨 c(c) + t吨 4 c(c) = + b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) .
然后,应用(6)和(7),我们得到引理2。

3.主要成果证明

在本节中,我们将证明我们的定理和推论。
对于任何实数 x个 R(右) ,应用幂级数的性质,我们得到
1 ( 1 t吨 ) x个 = n个 = 0 x个 n个 ( 1 ) n个 t吨 n个 = n个 = 0 x个 ( n个 ) n个 ! t吨 n个 , ( | t吨 | < 1 ) ,
我们注意到 t吨 1 , t吨 2 , t吨 t吨 4 满足 t吨 1 t吨 2 t吨 t吨 4 = 1 ,所以
n个 = 0 H(H) n个 ( x个 ) t吨 n个 = 1 1 t吨 t吨 2 t吨 t吨 4 x个 = ( 1 ) x个 ( t吨 t吨 1 ) x个 ( t吨 t吨 2 ) x个 ( t吨 t吨 ) x个 ( t吨 t吨 4 ) x个 = ( t吨 1 t吨 2 t吨 t吨 4 ) x个 ( t吨 1 t吨 ) x个 ( t吨 2 t吨 ) x个 ( t吨 t吨 ) x个 ( t吨 4 t吨 ) x个 = 1 1 t吨 t吨 1 x个 1 t吨 t吨 2 x个 1 t吨 t吨 x个 1 t吨 t吨 4 x个 = n个 = 0 x个 ( n个 ) n个 ! t吨 n个 t吨 1 n个 n个 = 0 x个 ( n个 ) n个 ! t吨 n个 t吨 2 n个 n个 = 0 x个 ( n个 ) n个 ! t吨 n个 t吨 n个 n个 = 0 x个 ( n个 ) n个 ! t吨 n个 t吨 4 n个 = n个 = 0 + b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! 1 t吨 1 t吨 2 b条 t吨 c(c) t吨 4 t吨 n个 .
然后将(8)与引理1和2相结合,我们可以得到
H(H) n个 ( x个 ) = + b条 + c(c) + = n个 x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! 1 t吨 1 t吨 2 b条 t吨 c(c) t吨 4 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! · S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! 4 H(H) + 2 H(H) + 1 2 H(H) H(H) 1 4 H(H) b条 + 2 H(H) b条 + 1 2 H(H) b条 H(H) b条 1 · 4 H(H) c(c) + 2 H(H) c(c) + 1 2 H(H) c(c) H(H) c(c) 1 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) x个 ( ) ! x个 ( b条 ) b条 ! · x个 ( c(c) ) c(c) ! x个 ( ) ! 4 H(H) + 2 H(H) + 1 2 H(H) H(H) 1 · 4 H(H) 2 b条 c(c) + 2 H(H) 2 b条 c(c) + 1 2 H(H) 2 b条 c(c) H(H) 2 b条 c(c) 1 + 4 H(H) b条 + 2 H(H) b条 + 1 2 H(H) b条 H(H) b条 1 4 H(H) 2 c(c) + 2 H(H) 2 c(c) + 1 2 H(H) 2 c(c) H(H) 2 c(c) 1 + 4 H(H) c(c) + 2 H(H) c(c) + 1 2 H(H) c(c) H(H) c(c) 1 4 H(H) 2 b条 + 2 H(H) 2 b条 + 1 2 H(H) 2 b条 H(H) 2 b条 1 2 4 H(H) 4 n个 + 2 H(H) 4 n个 + 1 2 H(H) 4 n个 H(H) 4 n个 1 .
这就完成了定理1的证明。
H(H) n个 ( 1 ) = H(H) n个 + 2 1 ( n个 ) = n个 ! ,根据定理1,我们可以很容易地得到推论1。
如果我们采取 x个 = k个 N个 在(1)中,我们有
n个 = 0 H(H) n个 ( k个 ) t吨 n个 = 1 1 t吨 t吨 2 t吨 t吨 4 k个 = n个 = 0 H(H) n个 + 2 t吨 n个 k个 = 1 = 0 2 = 0 k个 = 0 H(H) 1 + 2 H(H) 2 + 2 H(H) k个 + 2 t吨 1 + 2 + k个 = n个 = 0 1 + 2 + + k个 = n个 H(H) 1 + 2 H(H) 2 + 2 H(H) k个 + 2 t吨 n个 ,
然后根据定理1,我们可以得到
1 + 2 + + k个 = n个 H(H) 1 + 2 H(H) 2 + 2 H(H) k个 + 2 = 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) k个 ( ) ! k个 ( b条 ) b条 ! k个 ( c(c) ) c(c) ! k个 ( ) ! S公司 S公司 b条 S公司 c(c) 1 24 + b条 + c(c) + = n个 ( 1 ) k个 ( ) ! k个 ( b条 ) b条 ! k个 ( c(c) ) c(c) ! k个 ( ) ! S公司 S公司 2 b条 c(c) + S公司 b条 S公司 2 c(c) + S公司 c(c) S公司 2 b条 2 S公司 4 n个 .
这就完成了推论2的证明。
如果我们采取 x个 = 1 2 x个 = 1 2 在定理1中,因为
1 2 ( n个 ) = ( 2 n个 ) ! ! 2 n个 , 1 2 ( n个 ) = ( 2 n个 1 ) ! ! 2 n个 = ( 2 n个 ) ! 4 n个 · n个 ! ,
我们可以立即推断出推论3和推论4。

4.结论

本文的主要结果是利用两个引理给出了涉及四阶线性递归序列的一些恒等式。我们获得了与Tetranacci数相关的一些恒等式,这使我们更好地理解了Tetranarci序列的性质。虽然四阶线性递归序列的特征方程有两个实根和两个复根,并且有复杂的无理表达式,但定理1中的表达式不使用这些根,并且只依赖于Tetranacci数。更重要的是,我们进一步验证了我们仍然可以使用相同的方法获得高阶线性递归序列的性质,注意到当线性递归序列阶数增加时,参数变得更加复杂,其展开系数也将更加复杂。

作者贡献

写作——原稿:L.Q。;写作-审查和编辑:Z.C。

基金

这项工作得到了中华人民共和国国家科学基金会(11826203)、(11826205)和(11771351)玉林大学产业合作项目(2016cxy-12)的支持。

致谢

作者感谢匿名审稿人提供的非常有用和详细的评论,这些评论大大改进了本文的表述。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

  1. 科西,T。斐波那契数和卢卡斯数及其应用; 威利国际科学出版物:美国纽约州纽约市,2001年。[谷歌学者]
  2. Zhang,W.涉及斐波那契数和卢卡斯数的一些恒等式。斐波那契Q。 2004,42, 149–154. [谷歌学者]
  3. 马·R。;Zhang,W.涉及斐波那契数和卢卡斯数的几个恒等式。斐波那契Q。 2007,45, 164–170. [谷歌学者]
  4. Kim,T。;Kim,D。;Dolgy,D。;Park,J.第二类切比雪夫多项式和斐波那契多项式的有限乘积之和。J.不平等。申请。 2018,2018, 148. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  5. Kim,T。;Kim,D。;Kwon,J。;Dolgy,D.用几个正交多项式表示第二类Chebyshev多项式和Fibonacci多项式的有限乘积之和。数学 2018,6, 210. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  6. 吴,Z。;Zhang,W.斐波那契多项式和卢卡斯多项式的倒数之和。J.不平等。申请。 2012,2012, 134. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  7. 吴,Z。;Zhang,W.涉及斐波那契多项式和卢卡斯多项式的几个恒等式。J.不平等。申请。 2013,2013, 205. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  8. 叶,X。;Zhang,Z.卷积广义斐波那契多项式和卢卡斯多项式的一个常见推广及其应用。申请。数学。计算。 2017,306, 31–37. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. Wang,W。;Wang,H.通过广义Fibonacci多项式得到广义Humbert多项式。申请。数学。计算。 2017,307,204–216。[谷歌学者] [交叉参考]
  10. Slanina,P.斐波那契多项式和自由线性群的推广。线性多线性代数 2016,64, 187–195. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. Trucco,E.关于斐波那契多项式和游荡域。牛市。伦敦。数学。Soc公司。 2015,47, 663–674. [谷歌学者] [交叉参考]
  12. Kaygisiz,K。;Sahin,A.斐波那契型数和多项式的行列式和永久表示。落基山J.数学。 2016,46, 227–242. [谷歌学者] [交叉参考]
  13. 霍利迪,S。;Komatsu,T.关于倒数广义斐波那契数之和。整数 2001,11, 441–455. [谷歌学者] [交叉参考]
  14. Andre-Jeannin,R.与Fibonacci和Lucas数相关的某些倒数级数的求和。斐波那契Q。 2001,29, 200–204. [谷歌学者]
  15. Johann,C.q-Fibonachi多项式。斐波那契Q。 2003,41, 31–40. [谷歌学者]
  16. Yi,Y。;Zhang,W.涉及斐波那契多项式的一些恒等式。斐波那契Q。 2002,40, 314–318. [谷歌学者]
  17. 马云(Ma,Y.)。;Zhang,W.涉及斐波那契多项式和斐波那奇数的一些恒等式。数学 2018,6, 334. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  18. Kim,T。;Dolgy,D。;Kim,D。;Seo,J.卷积斐波那契数及其应用。阿尔斯·库姆 2017,135, 119–131. [谷歌学者]
  19. 斯隆,N.J.A.《整数序列在线百科全书》。在线可用:http://oeis.org/A000078(2019年11月13日访问)。
  20. Marcellus,E.W.《Tetranacci序列及其推广》。斐波那契Q。 1992,30, 9–20. [谷歌学者]
  21. Marcellus,E.W.Tetranacci序列模m的一些性质。斐波那契Q。 1992,30, 232–238. [谷歌学者]
  22. Li,R.Tetranacci数的卷积恒等式。arXiv公司 2016,arXiv:1609.05272。[谷歌学者]
  23. 沈,S。;Chen,L.涉及勒让德多项式的几种恒等式。数学 2019,7, 114. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  24. Zhang,Y。;Chen,Z.一个涉及切比雪夫多项式的新恒等式。数学 2018,6, 244. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]

分享和引用

MDPI和ACS样式

齐,L。;陈,Z。涉及四阶线性递归序列的恒等式。对称 2019,11,1476年。https://doi.org/10.3390/sym11121476

AMA风格

齐磊,陈忠。涉及四阶线性递归序列的恒等式。对称. 2019; 11(12):1476.https://doi.org/10.3390/sym11121476

芝加哥/图拉宾风格

齐、兰和陈卓瑜。2019.“涉及四阶线性递归序列的恒等式”对称11、12号:1476。https://doi.org/10.3390/sym11121476

请注意,从2016年第一期开始,该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章指标

返回页首顶部