1.简介
在这篇综述文章中，提出了一种构造由多组经典和非经典多项式所满足的微分方程的统一方法。这是通过使用G.Dattoli的单项式原理从相关生成函数的基本元素开始的[1]和Y.Ben Cheikh的一般结果[2]. 当然，本文中考虑的多项式只是证明该方法有效的示例，但显然，该技术在理论上可以扩展到每个多项式集。 此方法最近已在多篇文章中应用（请参阅[三,4,5,6,7,8,9])其中包括与几位作者合作的作品。其中最杰出的是Hari M.Srivastava教授，这篇文章是献给他的。 导出的微分方程通常是无穷级的，但当应用于多项式时，它们会降为有限级。
值得注意的是，即使使用不同的方法（参见[10,11,12,13])，但这里我们只使用与多项式理论直接相关的元素。 我们开始回忆，在第2节、Sheffer多项式的相关定义、G.Dattoli单项式原理和Y.Ben Cheikh的一般结果。 经典多项式集，在第3节是伯努利多项式、欧拉多项式、热那基多项式和米塔格-莱夫勒多项式。在第4节，我们展示了从非经典生成函数导出的一些新的多项式集。 2.谢弗多项式
谢弗多项式介绍了[14]利用指数母函数[15]类型：哪里 根据不同的特征（参见[16]，p.18），相同的多项式序列可以通过对来定义，其中是可逆级数，并且为三角洲系列： 表示方式的成分逆（即：)，序列的指数生成函数由提供以便 什么时候？，Sheffer序列对应于该对称为相关Sheffer序列对于，其指数生成函数由下式给出 已知Sheffer多项式序列及其相关序列的列表可以在中找到[17]. 移位算子与微分方程
我们回忆起多项式集称为拟经济当且仅当存在两个算子和这样的话 被称为导数操作员和这个乘法算子，因为它们的作用方式与单项式上的经典算子相同。
这个定义可以追溯到J.F.Steffensen的一篇论文[18]最近由G.Dattoli改进并广泛应用于多种应用[19,20]. Y.Ben Cheikh证明了在适当的导数和乘法算子的作用下，每个多项式集都是拟单的。特别是，在同一篇文章中，作为推论3.2的一个特殊情况，证明了以下结果[2]: 定理 1 让表示Sheffer多项式集，由生成函数定义哪里和 如前所述，表示的成分逆，Sheffer多项式集在算子的作用下是拟经济的其中素数表示关于t的普通导数。 此外，根据单项式原理，拟多项式满足微分方程 3.经典多项式微分方程
3.1. 伯努利多项式
伯努利多项式由生成函数定义以便哪里是伯努利数。 微分方程
请注意，回顾一下，以下扩展成立： 因此，通过使用因子分解方法，我们发现
定理 2 伯努利多项式满足微分方程那就是或者，以等效形式： 证明。 将运算符串联展开就足够了(17). 方程式(19)因为，对于任何固定的n个，方程中的级数展开式(18)当应用于次数多项式时，减少为有限和n个. □ 3.2. 欧拉多项式
欧拉多项式由生成函数定义以便哪里是欧拉数。 微分方程
请注意，以下扩展保持不变：哪里、和. 因此，通过使用因子分解方法，我们发现
定理 三。 欧拉多项式满足微分方程那就是或以同等形式： 证明。 将运算符串联展开就足够了(24). 方程式(26)因为，对于任何固定的n个，方程中的级数展开式(25)当应用于次数多项式时，减少为有限和n个. □ 3.3. Genocchi多项式
Genocchi多项式由生成函数定义以便哪里是Genocchi数字。 微分方程
请注意，以下扩展保持不变：哪里,、和,. Genocchi多项式的移位算子由下式给出所以Genocchi多项式满足微分方程 因此，通过使用因子分解方法，我们发现
定理 4 Genocchi多项式满足微分方程那就是或者，以等效形式： 证明。 将运算符串联展开就足够了(32). 方程式(34)因为，对于任何固定的n个，方程中的级数展开式(33)当应用于次数多项式时，减少为有限和n个. □ 3.4. Mittag–Leffler多项式
我们记得Mittag–Leffler多项式[21]是相关Sheffer多项式的特例，由生成函数定义 因此，我们有因此，对于Mittag-Leffer多项式，我们可以找到移位算子： 3.5. 微分方程
定理 5 Mittag–Leffler多项式满足微分方程那就是或哪里表示不可分割的部分属于. 证明。 将运算符串联展开就足够了(39). 方程式(41)因为，对于任何固定的n个，方程中的级数展开式(40)当应用于次数多项式时，减少为有限和n个. □ 4.非经典多项式微分方程
4.1. Euler型多项式
在这里，我们引入了一个与经典欧拉多项式相连的谢弗多项式集。
假设：我们考虑欧拉型多项式，由生成函数定义 请注意，欧拉数已恢复，因为我们有：以便. 注意，在我们的例子中，我们处理的是Sheffer多项式集，因此，由于，操作员由方程式定义(6)简单地简化为导数算子此外，我们有：这样我们就有了定理 定理 6 欧拉型多项式集在算子的作用下是拟经济的（由我们表示函数的逆函数)即。， 上述级数的收敛性没有问题，因为当应用于多项式时，它们会减少为有限和。
4.2. 微分方程
在本例中，我们有
定理 7 欧拉型多项式满足微分方程即。， 注意，对于任何固定n，方程中级数展开的柯西积(49)减少为有限和，具有上限当它应用于n次多项式时，因为连续加数为零。 5.Sheffer多项式序列的伴随性
根据上述考虑，Sheffer多项式由有序偶来表征，或由.
定义 1 通过交换有序偶来定义伴随Sheffer多项式具有，在编写生成函数时。
这里和下面的波浪线多项式集合符号上方的“～”代表形容词伴随“（参见示例[4]). 5.1. 伴随Hahn多项式
假设：我们考虑伴随Hahn，由生成函数定义 这是Sheffer系列。
定理 8 伴随Hahn多项式集在算子的作用下是拟经济的即。， 5.2. 微分方程
在本例中，我们有
定理 9 Sheffer型伴随Hahn多项式满足微分方程 注意，对于任何固定的n个，在方程式中(55)，出现有限和，具有上限，而不是完全级数展开，因为当这个级数应用于一个多项式时n个，随后的加数为零。 请注意出现在整数序列百科全书中[22]在#A000364-Euler（或正割数）下：=向下排列的数量. 例子 1 =5计数4231、4132、3241、3142、2143David Callan，2011年11月21日。
5.3. 第二类伴随Bernoulli多项式
假设我们考虑第二类伴随伯努利多项式，由生成函数定义 注意，在我们的例子中，我们处理的是Sheffer多项式集，因此，由于，操作员由方程式定义(6)简单地简化为导数算子此外，我们还有所以我们有了定理 定理 10 第二类伴随伯努利多项式是算子作用下的拟多项式那就是 5.4. 微分方程
定理 11 第二类伴随伯努利多项式满足微分方程那就是因为，对于任何固定的n，方程中的级数展开(61)当它被应用于n次多项式时，可简化为有限和。 注意，在这种情况下，由于操作员在场，有必要考虑按顺序衍生.
请注意，对于生成函数变为以便，即n个第个经典伯努利数。 6.结论
在这篇调查文章中，已经证明了一些多项式集对Sheffer类的共同归属允许以统一的方式构造它们所验证的微分方程。这是因为可以根据G.Dattoli和Y.Ben Cheikh的一般结果构造他们的移位运算符。
以这种方式导出的方程通常是无限级的，但当它们应用于所考虑的集合的多项式时，它们会简化为有限级方程。这意味着方程的阶数随多项式阶数的增加而增加，这与他们验证的递归阶数所发生的情况类似。
经典多项式和其他多项式，即所谓的关联Sheffer多项式，都已经过检验。事实上，已经证明，对于Sheffer类的多项式，微分方程采用与单项式原理相联系的简单而通用的方法，从其生成函数的基本元素构造而来。
