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第条
版本1
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包含离散卷积的奇幂恒等式
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版本1：接收日期：2019年4月9日/批准日期：2018年4月10日/在线时间：2019月10日（10:27:59 CEST）
Petro，K.一个涉及离散卷积的奇幂恒等式。预印本 2019, 2019040126. https://doi.org/10.20944/preprints201904.0126.v1
Petro，K.一个涉及离散卷积的奇幂恒等式。预印本2019、2019040126。https://doi.org/10.20944/preprints201904.0126.v1
引用
MDPI和ACS样式
Petro，K.一个涉及离散卷积的奇幂恒等式。预印本 2019, 2019040126. https://doi.org/10.20944/preprints201904.0126.v1
美国心理学协会体例
Petro，K.（2019年）。一个包含离散卷积的奇幂恒等式。预印本。https://doi.org/10.20944/preprints201904.0126.v1
芝加哥/图拉宾风格
Petro，K.2019《涉及离散卷积的奇幂恒等式》预印本。https://doi.org/10.20944/preprints201904.0126.v1
摘要
设一个幂函数$f_{r，M}（s）$，它是为有限集$M$中的每个$s$定义的，如下所示：$$f_}r，M{s=\begin{cases}s^r，\&s\在M，\\0，\&\mathrm{others}中。\end{cases}$$让$f_{r，M}$的离散卷积表示为$\mathrm{转换}_{r，M}[n]=（f_{r，M}*f_{r，M}）[n]$。设一个实系数$a{m，j}$由下列递推$$a{m,j}=\begin{cases}0，&\mathrm{if}\j<0\\mathrm}或}\j>m，\\（2j+1）\binom{2j}{j}\sum{d=2j+1}^{m}a{m、d}\binom}{d}{2j+1}\frac{（-1）^{d-1}}{d-j}B{给出2d-2j}，&\mathrm{if}\0\leqj<m，\\（2j+1）\binom{2j}{j}在本文中，我们证明了对于每一个$n>0$，涉及系数$A{m，j}$和卷积变换$\mathrm的以下奇幂恒等式{转换}_{r，M}[n]$保持$$\begin{split}n^{2m+1}+1&=\sum_{r=0}^{m} A类_{m，r}\mathrm{转换}_{r，\mathbb{N}}[N]，\\N^{2m+1}-1&=\sum_{r=0}^{m} A类_{m，r}\mathrm{转换}_{r，\mathbb{Z}（Z）_{>0}}[n]，\\n^{2m+1}&=\sum{r=0}^{m} A类_{m，r}\sum{k=1}^{n}k^r（n-k）^r\\&=\sum{r=0}^{m} A类_{m，r}\sum_{k=0}^{n-1}k^r（n-k）^r.\end{split}$$
关键词
权力认同；多项式；卷积；卷积功率；积分变换；幂函数；二项式定理；多项式定理；Faulhaber公式；伯努利数；Worpitzky身份；斯特林数；下降阶乘
主题
计算机科学与数学、离散数学与组合数学
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