广义欧拉常数函数和广义Somos二次递归常数的逼近

摘要

在本文中，我们提供了一个近似广义欧拉常数函数的估计\（γ（z）=sum{k=1}^{infty}z^{k-1}（压裂{1}{k}-\地层{k+1}{k}）按其部分和计算\（伽玛射线{N-1}（z））什么时候\（0<z<1）我们得到了广义欧拉常数函数的渐近展开式，并证明了渐近展开式的系数显式地表示为欧拉分数。此外，我们还发现了这些系数的递推关系。利用它与广义欧拉常数函数的关系，建立了广义Somos二次递归常数的两个不等式。此外，给出了广义Somos二次递归常数自然对数的两个渐近展开式。

1介绍

Somos二次递归常数σ出现在序列渐近行为的研究中（参见[8第446页]和[21,27]):

$$\开始｛对齐｝g_｛n｝\sim｛｝&\frac｛\sigma^｛2^｛n｝｝｝｝｛n｝\bigl（1+\frac｛2｝{无}-\压裂{1}{n^{2}}+\压裂{4}{n${3}}-\压裂{21}{n_4}}+\压裂{138}{n_2{5}}-\压裂{1091}{n^{6}}+\frac{10\text{，}088}{n~{7}}-\frac{106\text{，}918}{n ^{8}}\\&{}+\frac{1\text{1，\结束{对齐}$$

(1.1)

哪里\（g{n}\）递归定义为

$$\开始{对齐}g{0}=1，\qquad g{n}=ng{n-1}^{2}，\quad n=1,2，\ldots，\end{aligned}$$

(1.2)

前几个术语

$$\begin{aligned}g{0}=1，\qquad g{1}=1，\qquad g{2}=2，\qquid g{3}=12，\quad g_{4}=576，\q夸德g{5}=1\text{，}658\text{，{880，\ldots。\结束｛对齐｝$$

常数σ通常定义为

$$\begin{aligned}\sigma=\sqrt{1\sqrt{2\sqrt{3\sqrt}4\cdots}}}}=\prod_{k=1}^{\infty}k^{\frac{1}{2^{k}}}=1.66168794\cdot \end{aligned}$$

(1.3)

或

$$\begin{aligned}\sigma=\exp\biggl\{-\int_{0}^{1}\frac{1-x}{（2-x）\ln x}\，dx\biggr\}=\exp \biggl \{-\ int_{0}^{1}\int_}0}^}1}\frac{x}{{（2-xy）\ ln（xy）}\，dx\，dy\biggr\}。\结束｛对齐｝$$

(1.4)

请参见[9,20,21,22]. 常量σ它出现在纯分析和应用分析中的许多重要问题中，并已被大量研究人员研究[三,5,9,10,12,13,15,17,18,19,25,30].

最近，Sondow和Hadjicostas[25]引入并研究了广义欧拉常数函数\（伽玛射线（z））由幂级数定义

$$\开始{对齐}\gamma（z）=\sum_{k=1}^{\infty}z^{k-1}\biggl（\frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}\biggr）\end{aligned}$$

(1.5)

什么时候\（|z|\leq 1\）.该函数存在积分表示

$$\begin{aligned}\gamma（z）=\int_{0}^{1}\frac{1-x+\lnx}{（1-xz）\lnx{\，dx=-\int_}0}^}1}\int_0}^1\frac{1x}{（1-xyz）\lin（xy）}\，dx \，dy.\end{aligned}$$

(1.6)

其值包括欧拉常数\（\gamma=\gamma（1）\）和“交替欧拉常数”\（\log\frac{4}{\pi}=\gamma（-1）\），参见示例[23,24]. 特别是，在\（z=1/2），函数采用值

$$\begin{aligned}\gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）=2\ln\frac{2}{\sigma}，\end{alinged}$$

(1.7)

相当于

$$\begin｛aligned｝\sigma=2\exp\bigl\｛-\frac｛1｝｛2｝\gamma\bigl（\ frac｛1｝｛2｝\biggr）\biggr\｝。\结束｛对齐｝$$

(1.8)

莫蒂奇[15]证明了这一点\（第1页），因此

$$开始{aligned}\frac{270（n+1）}{2^{n}（270n^{3}+1530n^}+1065n+6293）}<\gamma\biggl（\frac}{2}\biggr）-\gamma_{n}\bigl（\frac{1}{2{\bigger）<\frac[18}{2$}（18n^{2}+84n-13）}，结束{aligned}$$

(1.9)

其中\（伽玛射线（z））

$$开始{对齐}\gamma_{n}（z）=\sum_{k=1}^{n}z^{k-1}\biggl（\frac{1}{k}-\ln\frac{k+1}{k}\biggr），\quad\vertz\vert\leq 1。\结束｛对齐｝$$

卢和宋[13]改进了Mortici的估计并证明\（第1页）,

$$开始{对齐}\frac{690n^{2}+3524n+145}{6（2^{n}）（n+1）^{2{（115n^{2]+894n+779）}&<gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）-\gamma_{n}\bigbl（n+1）^{2}}。\结束｛对齐｝$$

(1.10)

你和陈[30]通过使用连分式改进了这些不等式。最近，陈和韩[5]获得了新的下界\（伽玛（1/2）-伽玛{n}（1/2））:

$$\begin｛aligned｝&\ frac｛1｝｛2^｛n｝｝\biggl（\ frac｛1｝｛（n+1）^｛2｝｝-\ frac｛8｝｛3（n+1）^｛3｝｝+\ frac｛23｝｛2（n+1）^｛4｝-\ frac｛332｝｛5（n+1）^｛5｝｝+\ frac｛479｝｛（n+1）^｛6｝-\ frac｛29\text｛，｝024｝｛7（n+1）^｛7｝｝\biggr）\ \&&quad<\gamma\bigl（\frac｛1｝｛2｝\biggr）-\gamma _｛n｝\bigl（\frac｛1｝｛2｝\biggr）\&&quad<\frac｛1｝｛2^｛n｝｝\biggl（\frac｛1｝｛（n+1）^｛2｝｝）-\frac｛8｝{3（n+1）^{3}}+\压裂{23}{2（n+1。\结束｛对齐｝$$

(1.11)

陈和韩在论文中指出(1.11)比里面的锋利(1.10)对于\（第24页）中的上限(1.11)比里面的锋利(1.10)对于\（第18页）此外，他们给出了以下渐近展开式：

$$开始{对齐}和\gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）-\gamma_{n}\bigbl（\frac{1{2}\ biggr{4}}{（n+1）^{4}{+\frac{a{5}}{（n+1$$

(1.12)

用递推公式连续确定系数

$$开始{对齐}开始{校准}&a{2}=1，\\&a{k}=\frac{2（-1）^{k}}{k}+\sum_{j=2}^{k-1}（-1）{k-j}一个_{j} ，\四k\geq 3。\end{aligned}\end{alinged}$$

(1.13)

最近，有几部关于欧拉常数近似的有趣著作\（伽马=伽马（1）），参见示例[4,16,28]以及其中的参考文献。此外，一些与近似\（伽玛射线（z））以特殊值\（1/2 \）,$1/3$、和$1/4$出现在[三,5,13,14,15,29,30]. 基于这些原因，本文的第一个目的是为\（伽玛射线（z））什么时候\（0<z<1）具体地说，我们给出了\（伽马（z）-伽马{N-1}（z））第二个目的是建立一个渐近展开式\（伽马（z）-伽马{N-1}（z））其系数可以显式递归计算。特别地，我们推广了不等式(1.11)和渐近展开(1.12)因为陈和韩。利用广义Somos二次递归常数与Sondow和Hadjicostas建立的广义Euler常数函数之间的关系[25]，我们分别找到了广义Somos二次递归常数及其自然对数的近似估计。此外，给出了广义Somos二次递归常数自然对数的两个渐近展开式。

2前期工作

让我们回顾一下以下经典结果[2,7,11]:

$$\开始{aligned}\sum_{k=0}^{\infty}k^{n} z（z）^{k} =\frac{A{n}（z）}{（1-z）^{n+1}}，\quad\vertz\vert<1，\end{aligned}$$

(2.1)

哪里\（A_{n}（z）\）是欧拉次数多项式n个，它可以由指数生成函数定义

$$开始{aligned}\sum_{n=0}^{\infty}A{n}（z）\frac{t^{n}}{n！}=\frac}1-z}{1-ze^{t（1-z）}}。\结束｛对齐｝$$

（2.2）

签署人(2.2),\（A_{n}（x）\）可以明确写成

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&A_{0}（z）=1，\\&A_}n}（z）=\sum_{k=1}^{n} A类（n，k）z^{k}，\quad n\geq 1，\end{aligned}\end$$

(2.3)

哪里\（A（n，k）\）被称为欧拉数，即1到n个其中确切地说k个元素大于前一个元素，可以用

$$\开始｛对齐｝A（n，k）=\sum_｛i=1｝^｛k｝（-1）^｛i｝\binom｛n+1｝｛i｝（k-i）^｛n｝。\结束｛对齐｝$$

(2.4)

因此，很容易获得

$$\开始{对齐}A_{0}（z）=1，\qquad A_{1}（z）=z，\qquad A_2}$$

对于\（z\neq 1），表示欧拉分数

$$\开始{aligned}b_{n}（z）=\frac{A{n}（z）}{（1-z）^{n+1}}。\结束｛对齐｝$$

(2.5)

发件人(2.2)很明显

$$开始{aligned}\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}（z）\frac{t^{k}}{k！}=\frac}{1-ze^{t}}，结束{aligned}$$

(2.6)

这意味着\（b{k}（z）\）可以通过以下递归关系进行计算：

$$\begin{aligned}&b_{0}（z）=\frac{1}{1-z}，\end{aligned}$$

(2.7)

$$开始{aligned}&b{k}（z）=\frac{z}{1-z}\sum{j=0}^{k-1}\binom{k}{j} b条_{j} （z），\quad k\geq 1。\结束｛对齐｝$$

(2.8)

此外，我们还可以获得一个显式表达式[11]如下：

$$\begin{aligned}b_{k}（z）=\sum_{j=0}^{k}j！S（k，j）\压裂{z^{j}}{（1-z）^{j+1}}，\结束{对齐}$$

(2.9)

哪里\（S（k，j）\）是第二类斯特林数。

值得注意的是，最近的论文中建立了使用欧拉分数的幂级数的一般求和公式[26].

引理2.1

（参见定理4.2[26])

让 米 是一个正整数,以及两者 P（P） 和 问 为非负整数.假设 \（f（x）\） 有 \（（m+1）\）th连续导数 \（[P，Q]\）.对于 \（0<z<1）,\（f^{（m）}（x）\） 和 \（f^{（m+1）}（x）\） 保持相反的标志 \（（P，Q）\）.然后有一个数字 \（θ在（0,1）中） 这样的话

$$\开始{aligned}\sum_{k=P}^{Q-1}f（k） z^{k}=\sum_{k=0}^{m-1}\frac{b{k}（z）}{k！}\bigl[z^{P} （f）^{（k）}（P）-z^{Q} （f）^{（k）}（Q）\bigr]+\theta\frac{b_{m}（z）}{m！}\bigl[z^{P} （f）^{（m）}（P）-z^{Q} （f）^{（m）}（Q）\bigr]。\结束｛对齐｝$$

（2.10）

备注2.1

众所周知，欧拉-麦克劳林公式[1]通常用于处理总和\（S=\sum_{k=a}^{b} （f）（k） \），它还用于近似广义欧拉常数函数\（伽玛射线（z）），请参阅[12]. 上面的引理似乎更适合于处理具有以下形式的幂级数的一般求和公式\（S=\sum_{k=a}^{b} （f）（k） z^{k}\（0<z<1）\）.引理为我们提供了一种新的估计方法\（伽玛射线（z）），它将在下一节中发挥关键作用。

备注2.2

特别是，如果

$$\开始｛对齐｝\lim_｛Q\rightarrow+\infty｝z^{Q} （f）^{（k）}（Q）=0，\quad 0\leq k\leq m，\end{对齐}$$

(2.11)

作为\（Q\rightarrow+\infty\），然后(2.10)可以重写为

$$开始{对齐}\sum_{k=P}^{\infty}f（k）z^{k}=z^{P}\Biggl\{\sum_{k=0.}^{m-1}\frac{b_{k}（z）}{k！}f^{（k）}。\结束｛对齐｝$$

(2.12)

显然，采取\（f（x）=x^{n}\）,\（P=0）、和\（m=n+1）, (2.12)减少到(2.1).

三广义欧拉常数函数的估计

让N个是一个正整数。在本节中，通过使用(2.12)我们首先给出了关于误差界的一个一般不等式\（伽马（z）-伽马{N-1}（z））什么时候\（0＜z＜1\）.

定理3.1

让 第页 和 问 为任何正整数.如果 \（N\geq-\压裂{c_{2p+3}（z）}{c_2p+2}（z）}\）,那么我们有

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

(3.1)

如果 \（N\geq-\压裂{c_{2q+2}（z）}{c_2q+1}（z）}\）,那么我们有

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

(3.2)

在上述不等式中,系数 \（c{k}（z）\） 显式表示为

$$\开始{aligned}c{k}（z）=\分数{（-1）^{k}}{k}\biggl[\分数{1-z}{z} b条_{k} （z）-kb{k-1}（z）\biggr]，\quad k\geq 2，\end{aligned}$$

(3.3)

哪里 \（b{k}（z）\） 第二节介绍的是欧拉分数吗.

证明

写入

$$\开始{aligned}f（t）=\frac{1}{t}（t）-\ln\frac｛t+1｝｛t｝。\结束｛对齐｝$$

(3.4)

经过简单计算，我们得出

$$\开始{对齐}f^{（i）}（t）&=（-1）^{i}（i-1）！\biggl[\frac{i}{t^{i+1}}+\frac}1}{（t+1）^{i}}-\frac[1}{t#{i}neneneep \biggr]\end{aligned}$$

(3.5)

$$\开始{对齐}&=\frac{（-1）^{i}（i-1）！}{t^{i+1}（t+1）^{i}}\sum_{k=0}^{i{\binom{i}{k}\biggl（i-\frac{k}{i-k+1}\bigr）t^{k}，\quad i\geq1，\end{aligned}$$

(3.6)

这意味着

$$\开始{对齐}（-1）^{i} 如果^{（i）}（t）>0，\四t>0。\结束｛对齐｝$$

(3.7)

签署人(3.4)和(3.6)，每个\（i \geq 0），我们也有

$$\开始{aligned}\lim_{t\rightarrow+\infty}z^{t} （f）^{（i）}（t）=0，\quad 0<z<1。\结束｛对齐｝$$

(3.8)

因此，根据(2.12)，用于\（0<z<1），存在\（θ在（0,1）中）这样的话

$$开始{对齐}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z{k}-\ln\frac{k+1}{k}\biggr）z^{k}\\&=z^{N-1}\Biggl[\sum_{k=0}^{m-1}\frac}b{k}（z）}{k！}f^{（k）}$$

(3.9)

哪里米是一个正整数。它源自(3.4)和(3.5)那个

$$\开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z{无}-{N+1}{N}\biggr）\\&{}+\sum_{k=1}^{m-1}\frac{（-1）^{k} b条_{k} （z）}{k}\biggl（\压裂{k}{N^{k+1}}+\压裂{1}{（N+1）^{k}}-\压裂{1'{N^}}\bigr）\\&{}+\θ\压裂{（-1）^{m} b条_{m} （z）}{m}\biggl（\压裂{m}{N^{m+1}}+\压裂{1}{（N+1）^{m}}-\压裂{1'{N^}}\bigr）\biggr\}。\结束｛对齐｝$$

(3.10)

通过泰勒展开，我们得到

$$开始{对齐}&\ln\frac{N+1}{N}=\sum_{j=1}^{m}\frac}（-1）^{j-1}}{jN^{j}}+\frac_2（-1）|{m}}{（m+1）N^{m+1}}\frac{1}{$$

(3.11)

$$开始{对齐}和\frac{1}{（N+1）^{k}}=\frac}1}{N^{k{}}\Biggl\{\sum_{j=0}^{m-k}\binom{k+j-1}{j}\ frac{（-1）\frac{\phi_{k}}{N}）^{m+1}}\Biggr\}，\end{aligned}$$

(3.12)

哪里\（0<φ{k}<1）对于\（k=0,1，\ldots，m-1）.何时\（m\geq 3），替换(3.11)和(3.12)到(3.10)收益率

$$\开始{对齐}\伽马（z）-\gamma_{N-1}（z）={}&z^{N-1{\Biggl\{\sum_{k=2}^{m}\frac{（-1）^{k} b{0}（z）}{kN^{k}}+\压裂{^{k-1}b_{k-1}（z）}{N^{k}}+\sum_{k=1}^{m-1}\sum_{j=0}^{m_k}\frac{（-1）^{k+j}b_{k}（z}\frac{b_{k}（z）}{k}\frac{\binom{m}{k-1}}{（1+\frac{\phi_{k{}}{N}）^{m+1}}-\sum_{k=1}^{m-1}\frac-{（-1）^{k} b条_{k} （z）}{k}\frac{1}{N^{k}}+\epsilon\Biggr}，\end{aligned}$$

(3.13)

哪里

$$\begin{aligned}\epsilon=\theta\frac{（-1）^{m} b条_{m} （z）}{m}\biggl（\压裂{m}{N^{m+1}}+\压裂{1}{（N+1）^{m}}-\压裂{1'{N^}}\bigr）。\结束｛对齐｝$$

(3.14)

拿\（u=k+j），我们获得

$$开始{对齐}和\sum_{k=1}^{m-1}\和{j=0}^{m-k}\frac{（-1）^{k+j}b{k}^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}+\sum_{k=1}^{m-1}\sum_{j=1}^}{m-k}\frac{（-1）^{k+j}b{k}（z）{kN^k+j{}}\binom{k+j-1}{j}\\&\quad=\sum_[k=1}^{m-1}\frac（-1）^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}+\sum_{u=2}^{m}\frac{（-1）^{u}}{N^{u{}}\sum_{k=1}^{u-1}\frac{b_{k}^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}+\sum_{u=2}^{m-1}\frac{（-1）^{u}}{N^{u{}\sum_{k=1}^{u-1}\frac{b_{k}{k-1}\压裂{b{k}（z）}{k}。\结束｛对齐｝$$

自

$$\开始{aligned}\frac{1}{k}\binom{u-1}{k-1}=\frac}{u}\binom{u}{k{，结束{aligned}$$

我们有

$$\开始{对齐}&\sum_{k=1}^{m-1}\frac{（-1）^{k} b条_{k} （z）｝｛kN^｛k｝｝+\sum_｛u＝2｝^｛m-1｝\frac｛（-1）^｛u｝｝｛N^｛u｝｝\sum_｛k＝1｝^｛u-1｝\frac｛b_ k｝（z）｝｛k｝\binom｛u-1｝｛k-1｝\&&\ quad=\sum_｛k＝1｝^｛m-1｝\frac｛（-1）^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}+\sum_{u=2}^{m-1}\frac{（-1）^{u}}{uN^{u{}}\sum_{k=1}^{u-1}\binom{u}{k} b条_{k} （z）\\&\quad=-\frac{b_{1}（z）}{N}+\sum_{k=2}^{m-1}\frac}（-1）^{k}}{kN^{k{}}\Biggl（b_{k}（z）+\sum_{j=1}^{k-1}\binom{k}{j} b条_{j} （z）\Biggr）\\&\quad=\sum_{k=1}^{m-1}\frac{（-1）^{k}}{kN^{k{}}\sum_{j=1}^}\binom{k}{j} b{j}（z）。\结束｛对齐｝$$

因此，

$$\begin｛aligned｝\gamma（z）-\gamma _｛N-1｝（z）=｛｝&z ^｛N-1｝\Biggl\｛\sum _｛k=2｝^｛m｝\frac｛（-1）^{k} b条{0}（z）}{kN^{k}}+\压裂{^{k-1}b_{k-1}（z）}{N^{k}}+\sum_{k=1}^{m-1}\frac{（-1）^{k{}}{kN^{kneneneep}\sum_{j=1}^}\binom{k}{j} b条_{j} （z）\\&{}+\frac{（-1）^{m}}{N^{m{}}\sum_{k=1}^{m-1}\binom{m_1}{k-1}\frac}b_{k}（z）}{k}+\ frac{（-1）二进制{m}{k-1}}{（1+\frac{\phi_{k}}{N}）^{m+1}}\\&{}-\sum_{k=1}^{m-1}\frac}（-1）^{k} b条_{k} （z）}{k}\frac{1}{N^{k}}+\epsilon\Biggr}。\结束｛对齐｝$$

因为(2.8)和(3.3)由此可见

$$开始{对齐}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z$$

（3.15）

哪里

$$\begin{aligned}&T_{1}=\frac{（-1）^{m} b条_{0}（z）}{mN^{m}}+\分形{（-1）^{m+1}b_{0}（z）{（m+1）N^{m+1}}\分形{1}{（1+\frac{\phi_{0{}}{N}）^{m+1}}，\结束{对齐}$$

(3.16)

$$开始{对齐}&T_{2}=\frac{（-1）^{m}}{mN^{m{}}\sum_{k=1}^{m-2}\binom{m}{k} b条_{k} （z）+\frac{（-1）^{m+1}}{（m+1）N^{m+1}}\sum_{k=1}^{m-1}b_{k} （z）分形{\binom{m+1}{k}}{（1+\frac{\phi_{k}{N}）^{m+1}}。\结束｛对齐｝$$

(3.17)

注意

$$\开始{对齐}T_{1}+T_{2}=\frac{（-1）^{m}}{N^{m{}}\Biggl\{\frac}{m}\sum_{k=0}^{m-2}\binom{m}{k} b条_{k} （z）-\压裂{1}{（m+1）N}\总和{k=0}^{m-1}b_{k} （z）分形{\binom{m+1}{k}}{（1+\frac{\phi_{k}{N}）^{m+1}}\Biggr}，\end{aligned}$$

(3.18)

这意味着

$$\开始{aligned}（-1）^{m}（T_{1}+T_{2}）>0，\结束{aligned}$$

(3.19)

如果

$$\开始{对齐}N\geq\frac{1}{m+1}\sum_{k=0}^{m-1}\binom{m+1}{k} b条_{k} （z）}{\frac{1}{m}\sum{k=0}^{m-2}\binom{m}{k} b_{k} （z）}。\结束｛对齐｝$$

(3.20)

根据(2.8)和(3.3), (3.20)等于

$$\开始{aligned}N\geq-\frac{c{m+1}（z）}{c_{m}（z）}。\结束｛对齐｝$$

(3.21)

因此，如果\（m=2q+1）和\（N\geq-\frac{c{m+1}（z）}{c_{m}（z）}\），然后

$$\开始{对齐}T_{1}+T_{2}<0，\quad\epsilon<0。\结束｛对齐｝$$

因此，通过(3.15)我们有

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

类似地，如果\（m=2p+2\）和\（N\geq-\frac{c{m+1}（z）}{c_{m}（z）}\），然后

$$\开始{aligned}T_{1}+T_{2}>0，\quad\epsilon>0，\结束{aligned}$$

这意味着

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

这就完成了证明。 □

系数\（c{k}（z）\）在定理中3.1显式计算。在下面的定理中，我们提供了一种递归计算系数的替代方法。

定理3.2

系数 \（c{k}（z）\） 在定理中3.1 可以通过以下递归关系确定:

$$\开始{aligned}&c{2}（z）=\frac{1}{2（1-z）}，\end{aligned}$$

(3.22)

$$开始{对齐}&c{k}（z）=\frac{z}{1-z}\sum_{j=2}^{k-1}（-1）^{k-j}\binom{k-1{{j-1}c{j}（z）+\压裂{（-1）^{k}}{k（1-z）}，\四k\geq3。\结束｛对齐｝$$

(3.23)

证明

发件人(3.3)和(2.9)很容易验证

$$\begin{aligned}c{2}（z）=\frac{1}{2}\biggl[\frac{1-z}{z} b条_{2} （z）-2b{1}（z）\biggr]=\压裂{1}{2（1-z）}。\结束｛对齐｝$$

对于\（k\geq 3），由(2.7), (2.8)、和(3.3)，我们计算(3.23):

$$\开始{对齐}&\压裂{z}{1-z}\sum_{j=1}^{k-1}（-1）^{k-j}\binom{k-1{{j-1}c_{j} （z）+\frac{（-1）^{k}}{k（1-z）}\\&\quad=（-1）|{k}\Biggl\{frac{z}{1-z}\sum_{j=1}^{k-1}\frac}\1}{j}\binom{k-1{{j-1}\Biggl[\frac[1-z}{z} b条_{j} （z）-jb_{j-1}（z）\biggr]+\frac{1}{k（1-z）}\biggr\}\\&\quad=（-1）^{k}\Bigl\{\frac}1\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k}{j} b条_{j} （z）-\frac{1-z}{z}\sum{j=1}^{k-1}\binom{k-1{｛j-1｝b_{j-1}（z）\Biggr\}\\&\quad=\frac{（-1）^{k}}{k}\biggl\{frac{1-z}{z} b条_{k} （z）-kb{k-1}（z）\biggr\}\\&\quad=c{k}（z）。\结束｛对齐｝$$

因此，证明是完整的。 □

备注3.1

通过上述递推关系，我们得到了\（c{k}（z）\）:

$$开始{对齐}和c{2}（z）=\frac{1}{2（1-z）}，\quad c{3}（z）=-\frac}2z+1}{3（1-z}+22z+1}{5（1-z）^{4}}，\\&c{6}（z）=\frac{5z^{4{+104z^{3}+198z^{2}+52z+1}{6（1-z{6}}。\结束｛对齐｝$$

通过观察上面的内容，我们发现以下属性\（c｛k｝（z）\）.

定理3.3

对于 \（0<z<1）,系数 \（c{k}（z）\） 在定理中3.1 满足

$$\开始{对齐}（-1）^{k} c（c）_{k} （z）>0，\quad k\geq 2。\结束｛对齐｝$$

(3.24)

特别地,如果 \（压裂{1}{7}<z<1\）,然后

$$\begin｛aligned｝\bigl\vert c｛k｝（z）\bigr\vert<\bigl\vert c｛k+1｝（z）\bigr\vert，\quad k\geq 2。\结束｛对齐｝$$

(3.25)

证明

签署人(2.8)，我们有

$$开始{对齐}c{k}（z）=\frac{（-1）^{k}}{k}\sum_{j=0}^{k-2}\binom{k}{j} b条_{j} （z），\结束{对齐}$$

（3.26）

这意味着(3.24)是真的，因为\（b{j}（z）>0）为所有人\（j \geq 0）和\（0<z<1）.签署人(3.26)，我们还有

$$\开始{对齐}\bigl\vert c_{k+1}（z）\bigr\vert-\bigl\ vert c_{k}（z）\biger\vert=\sum_{j=0}^{k-2}\biggl[\frac{1}{k+1}\binom{k+1{{j}-\压裂{1}{k}\binom{k}{j}\biggr]b{j}（z）+\压裂{k}{2} b条{k-1}（z）。\结束｛对齐｝$$

(3.27)

对于\（1）,

$$\开始{aligned}\frac{1}{k+1}\binom{k+1}{j}-\压裂{1}{k}\binom{k}{j}=\biggl[\frac{1}}{k+1-j}-\frac}1}{k}\biggr]\binom}{j}\geq0。\结束｛对齐｝$$

(3.28)

因此，

$$开始{对齐}\bigl\vert c_{k+1}（z）\bigr\vert-\bigl\ vert c_{k}{2} b条_{k-1}（z）。\结束｛对齐｝$$

(3.29)

发件人(2.8)由此可见

$$\开始{aligned}b_{k-1}（z）>\frac{z}{1-z}b_{0}（z）。\结束｛对齐｝$$

(3.30)

签署人(3.29)和(3.30)，我们获得

$$\begin｛aligned｝\bigl\vert c｛k+1｝（z）\bigr\vert-\bigl\vert c｛k｝（z）\bigr\vert>\biggl[\frac｛1｝｛k+1｝-\frac｛1｝｛k｝+\ frac｛kz｝｛2（1-z）｝\biggr]b_｛0｝（z）。\结束｛对齐｝$$

(3.31)

很容易验证何时\（1/7<z<1）有个等待

$$\开始{aligned}\frac{1}{k+1}-\frac}1}{k}+\frac[kz}{2（1-z）}>0，\end{aligned}$$

(3.32)

这意味着(3.25)是真的。 □

以下定理给出了以下条件N个比定理中的形式更简单3.1.

定理3.4

让 第页 和 问 为任何正整数.如果 \（N\geq（2p+2）（压裂{（p+1）z}{1-z}+压裂{1}{3}）,然后

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

(3.33)

如果 \（N\geq（2q+1）（（q+\压裂{1}{2}）\压裂{z}{1-z}+\压裂}{3}）,然后

$$开始{aligned}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z。\结束｛对齐｝$$

(3.34)

证明

签署人(2.8)我们有

$$开始{aligned}&\sum_{k=0}^{m-2}\frac{b{k}（z）}{m}\binom{m}{k}-\裂缝{1}{N}\sum_{k=0}^{m-1}\裂缝{b_{k}（z）}{m+1}\binom{m+1{k}\\&\quad=\sum_{k=0.}^{m_2}\frac{b_}k}{k}-\裂缝{1}{N}\sum_{k=0}^{m-2}\裂缝{b_{k}（z）}{m+1}\binom{m+1{k}-\压裂{m}{2N}\压裂{z}{1-z}\总和{k=0}^{m-2}\二元{m-1}{k} b条_{k} （z）\\&\quad=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{m-2}b_{k} （z）\binom{m}{k}\biggl[\frac{N}｛m｝-\压裂{1}{m+1-k}-\压裂{m-k}{2}\压裂{z}{1-z}\biggr]。\结束｛对齐｝$$

如果\（N\geq m（\frac｛1｝｛3｝+\frac｛m｝｛2｝\frac｛z｝｛1-z｝）\），我们有

$$\开始{aligned}\frac{N}｛m｝-\压裂{1}{m+1-k}-\压裂{m-k}{2}\压裂{z}{1-z}\geq0\结束{aligned}$$

为所有人\（k=0,1，\ldot，m-2）。这意味着(3.19)是真的。左边的证明类似于定理3.1. □

备注3.2

在定理中3.1和3.4，的条件N个足够但不必要。可以放宽以下条件N个.甚至我们推测，对于一些固定的\（z\英寸（0,1）\），定理3.1对于任何正整数都为trueN个.

备注3.3

简而言之，根据定理3.1和3.4，对于足够大的N个和任何正整数第页和问，我们有

$$开始{对齐}&z^{N-1}\sum_{k=2}^{2p+1}\frac{（-1）^{k}}{kN^{k{}}\biggl[\frac}1-z}{z} b条_{k}（z）-kb_{k-1}（z）\biggr]<\gamma（z{z} b条{k}（z）-kb{k-1}（z）\biggr]。\结束｛对齐｝$$

(3.35)

特别是，当\（z=1/2），有个保持

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{1}{2}\biggr）^{N-1}\sum_{k=2}^{2p+1}\frac}（-1）^{k}}{kN^{k{}}\bigl[b_{k}\bigbl（\frac{1{2}\ biggr \gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）-\gamma_{N-1}\bigbl}\biggl[b_{k}\biggl（\frac{1}{2}\bigr）-kb_{k-1}\bigl（\frac{1}{2}\ biggr）\biggr]，\end{aligned}$$

(3.36)

它概括了结果(1.11)由于陈和韩[5]对于大型N个.鉴于(3.36)，的各种简单不等式\（\gamma（\frac{1}{2}）-\gamma_{N-1}（\frac{1{2}））导出足够大的N个通过选择不同的参数第页和问.

$$开始{对齐}和\frac{1}{2^{N-1}}\biggl（\frac{1}}{N^{2}}-\frac}8}{3N^{3}}\biggr）{N^{2}}，\quad（p=q=1），\\&\压裂{1}{2^{N-1}}\biggl（压裂{1{N^}}-\压裂{8}{3N^{3}}+\压裂{23}{2N^{4}}-\frac{332}{5N^{5}}\biggr）\\&\quad<\gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）-\gamma_{N-1}\bigl=2），\\&\压裂{1}{2^{N-1}}\biggl（压裂{1{N^{2}}-\压裂{8}{3N^{3}}+\压裂{23}{2N^{4}}-\压裂{332}{5N^{5}}+\压裂{479}{N^}6-\压裂{29\text{，}024}{7N^{7}}\biggr）\\&\quad<\gamma\biggl 332}{5N^{5}}+\frac{479}{N^{6}}\biggr），\quad（p=q=3）。\结束｛对齐｝$$

备注3.4

不平等\（\gamma（\frac｛1｝｛t｝）-\gamma _｛N-1｝（\frac｛1｝｛t｝）\）由马和陈调查[14]. 特别是，这些情况下的一些不等式\（t=3\）和\（t=4\）已呈现，请参见[14,15,29]. 作为例子，这里我们应用定理3.1获得几个与\（\gamma（\frac{1}{3}）-\gamma_{N-1}（\frac{1{3}））和\（\gamma（\frac{1}{4}）-\gamma_{N-1}（\frac{1{4}））足够大的N个.

案例 \（t=3\）:

$$开始{对齐}和\压裂{1}{3^{N-1}}\biggl（\frac{3}{4N^{2}}-\frac}5}{4N ^{3}}\biggr）{4N^{2}}，\\&\压裂{1}{3^{N-1}}\biggl（压裂{3}{4N_{2}{-\压裂{5}{4N ^{3}}+\压裂{27}{8N ^{4}}-\压裂}123}{10N ^{5}}\biggr）\\&\四<\gamma\biggal（压裂{1{3}\biggr）-\gamma_{N-1}\biggl（\frac{1}{3}\bigr）\\&\quad<\frac}1}{3 ^{N-1}\bigl c{3}{4N^{2}}-\压裂{5}{4N ^{3}}+\压裂{27}{8N ^{4}}-\压裂{123}{10N ^{5}+\裂缝{56}{N ^{6}}-\frac{17\text{，}127}{56N ^{7}\biggr）\\&\quad<\gamma\biggl（\frac{1}{3}\biggr）-\gamma_{N-1}\biggl（\frac{1}{3}\bigr）\\&\quad<\frac}1}{3 ^{N-1{}\bigl（\frac{3}{4N^{2}}-\frac}5}{4N ^{3}}+\frac[27}{8N^{4}}-\ frac{123}{10N^{5}}+\frac{56}{N^{6}}\biggr）。\结束｛对齐｝$$

案例 \（t=4\）:

$$开始{对齐}和\压裂{1}{4^{N-1}}\biggl（\压裂{2}{3N^{2}}-\压裂{8}{9N^{3}}\biggr）{3N^{2}}，\\&\压裂{1}{4^{N-1}}\biggl（压裂{2}{3N_{2}}-\压裂{8}{9N^{3}}+\压裂{17}{9N ^{4}}-\裂缝{736}{135N^{5}}\biggr）\\&\四<\gamma\bigg1（压裂{1{4}\biggr）-\gamma_{N-1}\biggl（\frac{1}{4}\bigr）\\&\quad<\frac}1}{4 ^{N-1}\bigl c{2}{3N^{2}}-\压裂{8}{9N^{3}}+\压裂{17}{9N/{4}}-\压裂{736}{135N^{5}}+\压裂{1594}{81N^{6}}-\frac{48\text{，}296}{567N^{7}}\biggr）\\&\quad<\gamma\biggl（\frac{1}{4} \biggr）-\gamma_{N-1}\biggl（\frac{1}{4}\bigr）\\&\quad<\frac}1}{4 ^{N-1{}\bigl（\frac{2}{3N^{2}}-\frac宇宙{8}{9N^{3}}+\frac[17}{9 N^{4}}-\ frac{736}{135N^{5}}+\frac{1594}{81N^{6}}\biggr）。\结束｛对齐｝$$

定理3.5

让 \（m\geq 3） 为正整数.对于 \（0<z<1）,我们有以下渐近展开式:

$$开始{对齐}\gamma（z）-\gamma_{N-1}（z$$

(3.37)

哪里 \（c{k}（z）\） 描述如下(3.3).

证明

签署人(3.15)我们立即获得(3.37). □

备注3.5

何时\（z=1/2），我们恢复了Chen和Han的结果[5]关于的渐近展开\（\gamma（\frac{1}{2}）-\gamma_{N-1}（\frac{1{2}））:

$$开始{aligned}\gamma\biggl（\frac{1}{2}\biggr）-\gamma_{N-1}\bigl（\frac{1}{2}\figgr）=\frac{1}}{2^{N-1{}}\bigbl（\frac{1{N^{2}}-\frac{8}{3N^{3}+\frac{23}{2N^{4}}-\frac}{332}{5N^{5}}+\frac{479}{N^{6}}-\frac{29\text{，}024}{7N^{7}}+\cdots\biggr），\end{aligned}$$

作为\（N\rightarrow\infty\）.

4广义Somos二次递归常数的估计

Sondow和Hadjicostas[25]广义Somos二次回归常数(1.3)作为

$$\begin{aligned}\sigma_{t}=\sqrt[t]{1\sqrt[t]{2\sqrt[t]}3\sqrt[t]{4\cdots}}}=\prod_{k=1}^{\infty}k^{\frac{1}{t^{k}}}。\结束｛对齐｝$$

(4.1)

然后他们建立了广义Somos的二次递归常数之间的关系\（西格玛{t}）和功能\（\gamma（\frac｛1｝｛t｝）\）:

$$\begin{aligned}\gamma\biggl（\frac{1}{t}\biggr）=t\ln\frac{t}{（t-1）\sigma_{t}^{t-1}}，\quad t>1。\结束｛对齐｝$$

(4.2)

最近，科菲[6]获得了以下积分和级数表示\（\ln\sigma{t}）:

$$\begin{aligned}\ln\sigma_{t}=\int_{0}^{\infty}\biggl（\frac{e^{-x}}{t-1}+\frac{1}{1-te^{x}}\bigr）\frac}{dx}{x}\end{aligned}$$

(4.3)

和

$$开始{aligned}\ln\sigma_{t}=\frac{1}{t-1}\sum_{k=1}^{infty}\frac}（-1）^{k-1}}{k} 李{k}\biggl（\frac{1}{t}\bigr）=\frac}1}{t-1}\sum{k=1}^{infty}\frac[1}{k}\ biggl[Li{k}\biggl（\frac{1}{t}\ bigcr）-1\biggr]\end{aligned}$$

（4.4）

就多对数函数而言。使用(4.2)和定理3.1，我们自然会给出广义Somos的二次递归常数的估计\（西格玛{t}）:

$$\开始{aligned}L_{t}<\西格玛{t}<U_{t{，结束{aligned}$$

(4.5)

其中边界

$$\begin{aligned}&L_{t}=\Biggl\{\frac{t}{t-1}\exp\Biggl \{-\ frac{\gamma_{N-1}（\frac}{t}）}{t}（t）-\裂缝{1}{t^{N}}\sum_{k=2}^{2q}\frac{c_{k}（\frac}1}{t}）}{N^{k}}\Biggr\}\Bigr\}^{frac{1}{t-1}}，\end{aligned}$$

(4.6)

$$\begin{aligned}&U_{t}=\Biggl\{\frac{t}{t-1}\exp\Biggl \{-\ frac{\gamma_{N-1}（\frac}{t}）}{t}（t）-\frac｛1｝｛t^｛N｝｝\sum_｛k=2｝^｛2p+1｝\frac｛c｛k｝（\frac｛1｝｛t｝）｝｛N^｛k｝\ Biggr\｝\ Biggr\｝^｛\frac｛1｝｛t-1｝｝｝。\结束｛对齐｝$$

（4.7）

等效地(4.5)导致对\（\ln\sigma{t}）.

定理4.1

让 第页 和 问 为任何正整数.对于足够大的 N个,我们有

$$\开始{对齐}&\压裂{1}{t-1}\Biggl\{-\压裂{\gamma_{N-1}（压裂{1{t}）}{t}（t）-\ln\biggl（1-\压裂{1}{t}\biggr）-\压裂{1'{t^{N}}\sum_{k=2}^{2q}\frac{c_{k}（压裂{1{t}）}{N^{k}\biggr\}\\&\quad{1}{t}）}{t}（t）-\ln\biggl（1-\frac{1}{t}\biggr）-\frac[1}{t^{N}}\sum_{k=2}^{2p+1}\frac}c_{k}（\frac_1}{t{）}{N^{k}}\biggr\}，\end{aligned}$$

(4.8)

哪里 \（c｛k｝（z）\） 描述如下(3.3).

因此，我们很容易得到\（\ln\sigma{t}）.

定理4.2

作为 \（N\rightarrow\infty\）,下面的渐近展开成立:

$$开始{aligned}\ln\sigma_{t}=\frac{1}{t-1}\Biggl\{-\frac}\gamma_{N-1}（\frac[1}{t}）}{t}（t）-\ln\biggl（1-\压裂{1}{t}\biggr）-\压裂{1'{t^{N}}\sum_{k=2}^{m-1}\frac{c{k}^{m} t吨^{N} }\biggr），\end{对齐}$$

(4.9)

哪里 \（m\geq 3）.

备注4.1

定理4.1和4.2显示功能

$$\开始{aligned}\frac{1}{t-1}\Biggl\{-\frac}\gamma_{N-1}（\frac[1}{t}）}{t}（t）-\ln\biggl（1-\压裂{1}{t}\biggr）-\压裂{1'{t^{N}}\sum_{k=2}^{m-1}\frac{c_{k}（\压裂{1\t}）}{N^{k}}\biggr\}\end{aligned}$$

是的一个很好的近似值\（\ln\sigma{t}）带有错误项\（O（1/（N^{m} t吨^{N} ）\）尤其是对于大型t吨，近似效果很好。

何时\（t=2\），我们得到ln的以下估计和渐近展开式σ.

推论4.1

让 第页 和 问 是任何正整数.对于足够大的 N个,我们有

$$开始{对齐}-\frac{\gamma{N-1}+\ln2-\压裂{1}{2^{N}}\和{k=2}^{2p+1}\压裂{c{k}（压裂{1{2}）}{N^{k}}。\结束｛对齐｝$$

(4.10)

推论4.2

作为 \（N\rightarrow\infty\）,下面的渐近展开成立:

$$\begin{aligned}\ln\sigma=-\frac{\gamma_{N-1}（\frac}1}{2}）}{2{+\ln2-\frac[1}{2^{N}}\sum_{k=2}^{m-1}\frac_{k}（\ frac{1}{2}）{N^{k}+O\biggl（\frac{1}}{N^{m} 2个^{N} }\biggr），\end{对齐}$$

(4.11)

哪里 \（m\geq 3）.

事实上，根据定义(4.1)和引理2.1或(2.12)，我们找到了另一种方法来获得\（\ln\sigma{t}）.

定理4.3

让 N个 为任意正整数.然后,对于 \（t>1） 和 \（m\geq 1）,我们有

$$\begin{aligned}\ln\sigma_{t}=\lambda_{N-1}\biggl（\frac{1}{t}\bigr）-\frac}\ln N}{t^{N-1{（t-1）}-\frac{1}{t^ N}}\biggl\{sum_{k=1}^{m-1}\frac（-1）^{k} b条{k}（压裂{1}{t}）}{kN^{k}}+\kappa\frac{（-1）^{m} b条_{m} （\frac{1}{t}）}{mN^{m}}\Biggr\}，\end{aligned}$$

(4.12)

哪里 \（0<\kappa<1） 和 \（λ{n}（z）=sum{k=1}^{n}（lnk）z^{k}）.

证明

拿\（f（x）=ln x）和\（z=1/t）英寸(2.12)，我们立即获得(4.12). □

应该注意的是N个在定理中4.3不受限制，除非N个是一个正整数。根据定理4.3很明显，以下推论是正确的。

推论4.3

对于 \（t>1\） 和 \（m\geq 1）,我们有

$$\begin{aligned}\ln\sigma_{t}=\lambda_{N-1}\biggl（\frac{1}{t}\bigr）-\frac}\ln N}{t^{N-1{（t-1）}-\frac{1}{t^}N}}\sum_{k=1}^{m-1}\frac（-1）^{k} b条_{k} （压裂{1}{t}）}{kN^{k}}+O\biggl（压裂{1'{N^{m} t吨^{N} }\biggr），\end{对齐}$$

（4.13）

作为 \（N\rightarrow\infty\）.

此外，我们可以获得一种新的近似\（\ln\sigma_｛t｝\）类似于定理3.1.

推论4.4

对于任何正整数 第页,问,和 N个,有个等待

$$开始{对齐}和\lambda_{N-1}\biggl（\frac{1}{t}\bigr）-\frac}\ln N}{t^{N-1{（t-1）}-\frac{1}{t^}N}}\sum_{k=1}^{2p}\frac（-1）^{k} b条_{k} （压裂{1}{t}）}{kN^{k}}\\&\quad<\ln\sigma{t}<\lambda_{N-1}\biggl（压裂{1'{t}\bigr）-\frac{\ln N}{t^{N-1{（t-1）}-\frac{1}{t^ N}}\sum_{k=1}^{2q-1}压裂{（-1）^{k} b条_{k} （压裂{1}{t}）}{kN^{k}}。\结束｛对齐｝$$

（4.14）

特别是，当\（t=2\）我们有

$$开始{对齐}和\lambda_{N-1}\biggl（\frac{1}{2}\bigr）-\frac}\ln N}{2^{N-1{}-\frac{1}{2^}N}}\sum_{k=1}^{2p}\frac（-1）^{k} b条_{k} （压裂{1}{2}）}{kN^{k}}\\&\quad<\ln\sigma<\lambda_{N-1}\biggl（压裂{1'{2}\bigr）-\frac{ln N}{2^{N-1{}}-\frac{1}{2^}N}}\sum_{k=1}^{2q-1}\frac}（-1）^{k} b条_{k} （压裂{1}{2}）}{kN^{k}}，结束{对齐}$$

(4.15)

和

$$\begin{aligned}\ln\sigma=\lambda_{N-1}\biggl（\frac{1}{2}\bigr）-\frac}\ln N}{2^{N-1{}}-\frac{1}{2^}N}}\sum_{k=1}^{m-1}\frac（-1）^{k} b条{k}（压裂{1}{2}）}{kN^{k}}+O\biggl（压裂{1}{N^{m} 2个^{N} }\biggr），\end{对齐}$$

(4.16)

作为\（N\rightarrow\infty\）.

最后，我们得到了一个新的估计\（伽玛射线（z））什么时候\（0<z<1）.

推论4.5

对于任何正整数 第页,问,和 N个,有个等待

$$\开始｛对齐｝（1-z）z ^｛N-2｝\sum_｛k=1｝^｛2q-1｝\frac｛（-1）^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}&<γ（z）-\biggl（z^{N-2}\ln N-\frac{1-z}{z^{2}}\lambda_{N-1}（z）-frac{ln（1-z）}{z}\biggr）^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}。\结束｛对齐｝$$

(4.17)

证明

使用关系(4.2)和推论4.3和更换t吨通过\（1/z\），我们得到了预期的结果。 □

以类似的方式，我们获得了以下渐近展开式\（伽玛射线（z））.

推论4.6

让 \（m\geq 1） 为正整数.对于 \（0＜z＜1\）,我们有

$$开始{对齐}\gamma（z）={}&z^{N-2}\ln N-\frac{1-z}{z^{2}}\lambda_{N-1}（z）-\fracc{ln（1-z）}{z}\\&{}+（1-z^{k} b条_{k} （z）}{kN^{k}}+O\biggl（分数{z^{N-2}}{N^{m}}\biggr），结束{对齐}$$

(4.18)

作为 \（N\rightarrow\infty\）.

备注4.2

与定理不同3.1，数字N个英寸(4.17)不受限制，除非N个是一个正整数。换句话说，身份(4.17)对所有人来说都是正确的\（编号1\）.

备注4.3

如果我们近似\（伽玛射线（z））通过函数\（z^{N-2}\ln N-\压裂{1-z}{z^{2}}\lambda_{N-1}（z）-\压裂{ln（1-z）}{z}）作为\（N\rightarrow\infty\），然后我们到达错误界限\（O（z^{N-2}/N）\）.根据定理3.5，我们得出结论，最好是近似\（伽玛射线（z））按其部分和计算\（伽玛射线{N-1}（z））因为错误界限是\（O（z^{N-1}/N^{2}）\）.