Note on the problem of Ramanujan’s radial limits

Chen, Bin; Zhou, Haigang

doi:10.1186/1687-1847-2014-191

研究
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出版：2014年7月23日

关于Ramanujan径向极限问题的注记

差分方程研究进展 体积 2014，物品编号：191(2014)引用这篇文章

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三引文
韵律学细节

摘要

Ramanujan在给GH Hardy的临终信中关注模形式和模拟θ函数的渐近性质。对于模拟θ函数 $（f） (q个)$ ，他声称q个接近偶数阶2k个统一的根源ζ,

\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} (1 - q个) (1 - {q个}^{三}) (1 - {q个}^{5}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots)) = O（运行） (1),

哪里 $(1 - q个) (1 - {q个}^{三}) (1 - {q个}^{5}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots) = \prod_{n个 = 1}^{\infty} \frac{1 - {q个}^{n个}}{{(1 + {q个}^{n个})}^{2}}$ 最近，Folsom、Ono和Rhoades证明了隐含常数的两个封闭公式，并提出了一个与他们的两个定理相关的开放问题。本文利用GE Andrews和Appell-Lerch和给出的关于凸合成生成函数的一些结果，对这两个定理的问题给出了新的证明。

MSC公司：11F37、11F03、11F99。

1引言

Ramanujan在给Hardy的临终信中没有给出mock theta函数的定义，只列出了17个例子和他注意到的关键性质的定性描述。从那时起，许多研究17个具体例子的论文都是由许多著名数学家撰写的，如沃森、塞尔伯格和安德鲁斯[1]. 由于Zweger的工作[2,三]布林曼和小野[4,5]、扎吉尔[6]另外，我们能够将拉马努扬的模拟θ函数识别为某些调和弱Maass重量形式的全纯部分 $1 / 2$ 最初由Bruinier和Funke定义[7]. 这种实现在组合学、数论、物理学和表示论中产生了许多应用。

虽然弱Maass形式的理论在许多不同的数学领域都有大量的应用，但我们仍然不能完全理解拉马努扬给哈代的最后一封信内容的深层框架。在这里，我们重温了拉马努扬在临终信中的最初主张[8]首先总结了欧拉级数的模形式的渐近性质，即单位根附近的性质。然后他问，对于模形式和函数的求和，是否需要其他具有类似渐近性的函数 $O（运行） (1)$ 团结的所有根源。事实上，格里芬最近的工作等。[9]已经证实，没有弱全纯模形式能够准确地消除Ramanujan模拟θ函数的奇异性。

索赔（拉马努扬[8])

作为 q个 接近基本偶数顺序2k个 统一的根源 ζ 在装置盘内呈放射状,然后

\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} (1 - q个) (1 - {q个}^{三}) (1 - {q个}^{5}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots)) = O（运行） (1),

（1）

其中模拟θ函数 $（f） (q个)$ 由定义

（f） (q个) : = 1 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(1 + q个)}^{2} {(1 + {q个}^{2})}^{2} \dots {(1 + {q个}^{n个})}^{2}},

（2）

和

\prod_{n个 = 1}^{\infty} \frac{1 - {q个}^{n个}}{{(1 + {q个}^{n个})}^{2}} = (1 - q个) (1 - {q个}^{三}) (1 - {q个}^{5}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots) .

在本文中，让 $q个 = {e（电子）}^{2 π 我 τ}$ .功能 $（f） (q个)$ 收敛于 $| q个 | < 1$ 以及团结的根源q个以奇数顺序。对于统一的偶数阶根， $（f） (q个)$ 具有指数奇异性。例如， $（f） (- 0.994) \sim - 1.08 \cdot 10^{31}$ , $（f） (- 0.996) \sim - 1.02 \cdot 10^{46}$ , $（f） (- 0.998) \sim - 6.41 \cdot 10^{90}$ .

为了消除指数奇异性 $q个 = - 1$ ，Ramanujan找到了函数 $b条 (q个)$ 它是模的形式，最多可乘以 ${q个}^{- \frac{1}{24}}$ 在他的注释中定义为

b条 (q个) : = (1 - q个) (1 - {q个}^{三}) (1 - {q个}^{5}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots) .

(3)

Ramanujan的最后一封信也启发了确定模拟θ函数系数的渐近性的问题，例如 $（f） (q个)$ 安德鲁斯[10]和Dragonette[11]系数的渐近性 $（f） (q个)$ 然后是布林曼和小野[5]证明了这些系数的精确公式。在最近的工作中，Folsom等。[12,13]为隐含常数提供了两个闭合公式 $O（运行） (1)$ .

定理1.1（Folsom-On-Rhoades定理1.1[12,13])

如果 ζ 是基本偶数顺序2k个 统一的根源,作为 q个方法 ζ 在装置盘内呈放射状,然后

\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) = - 4 \sum_{n个 = 0}^{k个 - 1} {(1 + ζ)}^{2} {(1 + ζ^{2})}^{2} \dots {(1 + ζ^{n个})}^{2} ζ^{n个 + 1} .

(4)

备注

（1）
定理1.1使Ramanujan的主张成为更一般结果的特例。
（2）
由于空积等于1，因此定理1.1表明
$\underset{q个 \to - 1}{林} (（f） (q个) + b条 (q个)) = 4 .$
(5)
(3)
祖迪林[14]在最近的工作中，利用Dyson秩函数和Andrews-Garvan曲柄函数给出了定理1.1的初等证明。

与此同时，福尔森等。[12]证明了一个不同形式的公式 $O（运行） (1)$ 常数如下。

定理1.2（Folsom-On-Rhoades定理1.3[12])

如果 ζ 是基本偶数顺序2k个 统一的根源,作为 q个方法 ζ 在装置盘内呈放射状,然后

\begin{aligned} \underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) \\ = {\begin{cases} 4 \sum_{n个 = 0}^{k个 / 2 - 1} {(- 1)}^{n个} ζ^{n个 + 1} (1 + ζ^{2}) (1 + ζ^{4}) \dots (1 + ζ^{2 n个}), & 如果 k个 \equiv 0 (国防部 2), \\ 2 + 2 \sum_{n个 = 0}^{\frac{k个 - 1}{2}} {(- 1)}^{n个 + 1} ζ^{2 n个 + 1} (1 + ζ) \dots (1 + ζ^{2 n个 - 1}), & 如果 k个 \equiv 1 (国防部 2) . \end{cases} \end{aligned}

(6)

备注作者留下了一个悬而未决的问题，要求人们找到一个初等证明，证明定理1.1中出现的常数与定理1.2中出现的常量相匹配。有趣的是，定理1.2在[12]利用q个-仅限于级数变换，而定理1.1是一个更一般结果的特殊实例，其证明使用了模拟θ函数的机制[13]. 本注释的主要目的是在不使用这两个定理的关系的情况下给出问题的新证明。

2结果声明

正如许多作者所指出的那样，定理1.1是一个更一般的定理的特例，它令人惊讶地涉及到两个众所周知的q个-级数：Dyson秩函数 $R（右） (ω ； q个)$ 和Andrews-Garvan曲柄功能 $C类 (ω ； q个)$ 它们在研究整数分拆同余中起着重要作用。

为了定义这些系列，我们让

{(一 ； q个)}_{\infty} : = (1 - 一) (1 - 一 q个) (1 - 一 {q个}^{2}) \dots,

(7)

以及所有人 $n个 \in Z轴$ ，我们表示

{(一 ； q个)}_{n个} : = (1 - 一) (1 - 一 q个) \dots (1 - 一 {q个}^{n个 - 1}) .

(8)

由此可见

{(一 ； q个)}_{n个} = \frac{{(一 ； q个)}_{\infty}}{{(一 {q个}^{n个} ； q个)}_{\infty}} .

(9)

遵循论文[14]通过Zudilin和上面的符号，我们可以重写 $（f） (q个)$ 和 $b条 (q个)$ 如下：

（f） (q个) : = 1 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(1 + q个)}^{2} {(1 + {q个}^{2})}^{2} \dots {(1 + {q个}^{n个})}^{2}} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(- q个 ； q个)}_{n个}^{2}},

(10)

\begin{aligned} b条 (q个) & : = (1 - q个) (1 - {q个}^{三}) \dots (1 - 2 q个 + 2 {q个}^{4} - \dots) \\ = {(q个 ； {q个}^{2})}_{\infty} \sum_{n个 = - \infty}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {q个}^{{n个}^{2}} = \frac{{(q个 ； q个)}_{\infty}}{{(- q个 ； q个)}_{\infty}^{2}} . \end{aligned}

(11)

对于定理1.1和1.2的结果，我们有

\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) = - 4 \sum_{n个 = 0}^{k个 - 1} {(1 + ζ)}^{2} \dots {(1 + ζ^{n个})}^{2} ζ^{n个 + 1} = - 4 μ (ζ),

(12)

哪里

μ (q个) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- q个 ； q个)}_{n个}^{2} {q个}^{n个 + 1},

(13)

和

\begin{aligned} \underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) \\ = {\begin{cases} 4 \sum_{n个 = 0}^{\frac{k个}{2} - 1} {(- 1)}^{n个} ζ^{n个 + 1} (1 + ζ^{2}) (1 + ζ^{4}) \dots (1 + ζ^{2 n个}), & 如果 k个 \equiv 0 (国防部 2), \\ 2 + 2 \sum_{n个 = 0}^{\frac{k个 - 1}{2}} {(- 1)}^{n个 + 1} ζ^{2 n个 + 1} (1 + ζ) \dots (1 + ζ^{2 n个 - 1}), & 如果 k个 \equiv 1 (国防部 2), \end{cases} \\ = {\begin{cases} - 4 ψ (- ζ), & 如果 k个 \equiv 0 (国防部 2), \\ 2 ϕ (- ζ), & 如果 k个 \equiv 1 (国防部 2), \end{cases} \end{aligned}

(14)

哪里

ψ (q个) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个} {q个}^{n个 + 1} = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(q个 ； {q个}^{2})}_{n个}},

(15)

和

ϕ (q个) : = 1 + \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} {q个}^{2 n个 + 1} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个}} .

（16）

在这里 $ψ (q个)$ 和 $ϕ (q个)$ 是Ramanujan的Lost Notebook中的两个三阶模拟θ函数。

回忆一下Dyson的秩函数是由

R（右） (ω ； q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{米 \in Z轴} N个 (米, n个) ω^{米} {q个}^{n个} : = 1 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(ω q个 ； q个)}_{n个} {(ω^{- 1} q个 ； q个)}_{n个}},

(17)

哪里 $N个 (米, n个)$ 是的分区数n个具有等级米.

分区的秩定义为其最大部分减去其部分数。如果 $ω \neq 1$ 是团结的根源，众所周知 $R（右） (ω ； q个)$ 等于q个)模拟θ函数，它是调和Maass形式权重的全纯部分 $1 / 2$ .

Andrews-Garvan曲轴功能定义如下

C类 (ω ； q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{米 \in Z轴} M（M） (米, n个) ω^{米} {q个}^{n个} : = \frac{{(q个 ； q个)}_{\infty}}{{(ω q个 ； q个)}_{\infty} {(ω^{- 1} q个 ； q个)}_{\infty}},

(18)

哪里 $M（M） (米, n个)$ 是的分区数n个带曲柄米.

为了团结的任何根源ω, $C类 (ω ； q个)$ 等于q个)模块形式。否则，我们需要q个-超几何级数 $单位 (ω ； q个)$ 它产生于对强单峰序列的研究；它的定义是

单位 (ω ； q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \sum_{米 \in Z轴} μ (米, n个) {(- ω)}^{米} {q个}^{n个} : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(ω q个 ； q个)}_{n个} {(ω^{- 1} q个 ； q个)}_{n个} {q个}^{n个 + 1},

(19)

哪里 $μ (米, n个)$ 是大小为的强单峰序列的数量n个具有等级米.

定理1.1是以下定理的特例，它将这三个定理联系起来q个-系列，在这里我们定义 $ζ_{n个} : = {e（电子）}^{\frac{2 π 我}{n个}}$ .

定理2.1（Folsom-On-Rhoades定理1.2[13])

让 $1 \leq 一 < b条$ 和 $1 \leq 小时 < k个$ 是整数 $gcd公司 (一, b条) = gcd公司 (小时, k个) = 1$ 和 $b条 ∣ k个$ .如果 ${小时}^{'}$ 是一个满足要求的整数 $小时 {小时}^{'} \equiv - 1 (国防部 k个)$ ,作为 q个方法 $ζ_{k个}^{小时}$ 在统一磁盘内呈放射状,然后

\underset{q个 \to ζ_{k个}^{小时}}{林} (R（右） (ζ_{b条}^{一} ； q个) - ζ_{{b条}^{2}}^{- 一^{2} {小时}^{'} k个} C类 (ζ_{b条}^{一} ； q个)) = - (1 - ζ_{b条}^{一}) (1 - ζ_{b条}^{- 一}) 单位 (ζ_{b条}^{一} ； ζ_{k个}^{小时}) .

(20)

通过采取 $一 = 1$ , $b条 = 2$ ,和 $米 = 2 k个$ ,以便 $ζ_{b条}^{一} = - 1$ , $ζ = ζ_{米}^{小时}$ 是基本偶数顺序2k个 统一的根源,定理1.1直接跟进是因为 $（f） (q个) = R（右） (- 1 ； q个)$ , $b条 (q个) = C类 (- 1 ； q个)$ 和 $μ (q个) = 单位 (- 1 ； q个)$ .

基于上述结果，在本文中，我们试图解释这两个定理之间的关系，我们的结果如下。

定理2.2 让 ζ 是基本偶数顺序2k个 统一的根源,作为 q个方法 ζ 在装置盘内呈放射状,我们有

（1）
如果 $k个 \equiv 0 (国防部 2)$ ,然后
$\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) = - 4 μ (ζ) = - 4 ψ (- ζ),$
(21)
（2）
如果 $k个 \equiv 1 (国防部 2)$ ,然后
$\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) = - 4 μ (ζ) = 2 ϕ (- ζ) .$
(22)

显然，我们可以直接从定理2.2得到以下推论。

推论2.3 让 ζ 是基本偶数顺序2k个 统一的根源,

（1）
如果 $k个 \equiv 0 (国防部 2)$ ,然后
$μ (ζ) = ψ (- ζ),$
(23)
（2）
如果 $k个 \equiv 1 (国防部 2)$ ,然后
$- 2 μ (ζ) = ϕ (- ζ) .$
(24)

备注

（1）
结合这三个函数之间的关系，可以利用极限的唯一性得到定理2.2的结果
$2 ϕ (- q个) - （f） (q个) = （f） (q个) + 4 ψ (- q个) = b条 (q个) .$
(25)
（2）
在本文中，我们利用Andrews给出的与凸合成生成函数有关的结果证明了定理2.2[15]和在线整数序列百科全书[16]以及Appell-Lerch和，我们得到了期望的结果。

3定理证明

在我们给出定理的证明之前，我们想首先介绍一下安德鲁斯最近的工作[15]，这是关于凹凸合成的理论，该理论将相关的生成函数与经典、伪或模拟θ函数和其他Appel-Lerch和的组合联系起来。

继安德鲁斯之后n个由定义

\sum_{我 = 1}^{R（右）} 一_{我} + c（c） + \sum_{我 = 1}^{S公司} {b条}_{我} = n个,

（26）

哪里 $一_{1} < 一_{2} < \dots < 一_{R（右）} < c（c） > {b条}_{1} > {b条}_{2} > \dots > {b条}_{S公司}$ 、和c（c）称为中心部分，且≥0。我们表示n个通过 ${X（X）}_{d日} (n个)$ 例如， ${X（X）}_{d日} (5) = 6$ .

的相关生成函数 ${X（X）}_{d日} (n个)$ 定义为

{x个}_{d日} (q个) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {X（X）}_{d日} (n个) {q个}^{n个} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}^{n个 + 1} {(- q个 ； q个)}_{n个}^{2} .

(27)

在这项工作中，安德鲁斯将上述生成函数与经典和模拟θ函数联系起来，如下所示（[15]):

{x个}_{d日} (q个) = ψ (- q个) + 2 {(- q个 ； q个)}_{\infty}^{2} α (- q个),

(28)

哪里 $ψ (q个)$ 定义见（15），以及 $α (q个)$ 由定义

α (q个) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{n个 + 1} {(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个}}{{(q个 ； {q个}^{2})}_{n个 + 1}} = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{{(n个 + 1)}^{2}} {(- q个 ； {q个}^{2})}_{n个}}{{(q个 ； {q个}^{2})}_{n个 + 1}^{2}} .

(29)

它被麦金托什称为二阶模拟θ函数[17].

在临终前的信中，拉马努扬定义了四个三阶模拟θ函数，其中三个如下：

（f） (q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(- q个 ； q个)}_{n个}^{2}}, ϕ (q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个}}, ψ (q个) = \sum_{n个 = 1}^{\infty} \frac{{q个}^{{n个}^{2}}}{{(q个 ； {q个}^{2})}_{n个}} .

（30）

Folsom、Ono和Rhoades使用了（25）中这三个函数与基本超几何级数之间的关系

F类 (一, b条 ； t吨) = F类 (一, b条 ； t吨, q个) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(一 q个 ； q个)}_{n个}}{{(b条 q个 ； q个)}_{n个}} {t吨}^{n个}

(31)

证明定理1.2并给出 $ψ (q个)$ 和 $ϕ (q个)$ 分别在（15）和（16）中。

跟随安德鲁斯，我们发现

{x个}_{d日} (q个) = \sum_{n个 = 0}^{\infty} {q个}^{n个 + 1} {(- q个 ； q个)}_{n个}^{2} = μ (q个),

(32)

哪里 $μ (q个)$ 定义见定理1.1的（13）。

结合公式（28），我们可以得出

μ (q个) = ψ (- q个) + 2 {(- q个 ； q个)}_{\infty}^{2} α (- q个) .

(33)

为了公平k个，让 $ζ_{k个} = {e（电子）}^{\frac{2 π 我}{k个}}$ 作为团结的任何根源，我们都有这样一个事实： ${(- q个； q个)}_{\infty}$ 属于 $α (- q个)$ 在统一的任何偶数根上消失，而 $α (- q个)$ 具有有限的限制。作为q个接近统一的偶数阶根 $ζ_{k个}$ ，然后

\underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} μ (q个) = \underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} (ψ (- q个) + 2 {(- q个 ； q个)}_{\infty}^{2} α (- q个)),

(34)

即，

\underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} μ (q个) = μ (ζ_{k个}) = \underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} ψ (- q个) = ψ (- ζ_{k个}) .

(35)

对于上述固定偶数k个，我们表示本原偶数阶2k个统一的根源 $ζ_{2 k个}$ .作为q个方法 $ζ_{2 k个}$ 在单位圆盘的径向上，我们有

\begin{aligned} \underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) & = - 4 \underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} μ (q个) = - 4 μ (ζ_{2 k个}) \\ = - 4 \underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} ψ (- q个) = - 4 ψ (- ζ_{2 k个}) . \end{aligned}

(36)

证明了定理2.2中的第一个主张。

福尔索姆等。英寸[12]发现在整数序列在线百科全书中搜索[16]显示函数的值 $G公司 ({e（电子）}^{- t吨})$ 与膨胀系数有一些关系 $（f） (- {e（电子）}^{- t吨}) + b条 (- {e（电子）}^{- t吨})$ 虽然 $t吨 \to 0^{+}$ ，其中 $G公司 (q个)$ 由定义

G公司 (q个) : = 1 + \sum_{n个 = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} .

(37)

此函数仅适用于q个，团结的根。通过研究 $单位 (- 1 ； - {e（电子）}^{- t吨})$ 和 $G公司 ({e（电子）}^{- t吨})$ Folsom、Ono和Rhoades猜测，统一的其他根可能存在联系，然后他们计算了统一的前五奇根 $ζ_{k个}$ ，在这里 $ζ_{k个} = {e（电子）}^{\frac{2 π 我}{k个}}$ ,k个是奇数正整数。令人惊讶的是，计算结果清楚地表明，对于单位的奇根 $ζ_{k个}$ ,

- 单位 (- 1 ； - ζ_{k个}) = G公司 (ζ_{k个}) .

(38)

结合整数序列在线百科全书的研究，我们可以得出以下结论：对于任何奇数阶k个统一的根源 $ζ_{k个}$ ，我们仍然有公式（38）。顺便说一下，我们可以发现函数 $G公司 (q个)$ 在域中收敛 $| q个 | < 1$ ，因为很明显，我们可以将其重写如下：

\begin{array}{rcl} G公司 (q个) & : = & 1 + \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个 + 1} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个 + 1} \\ = & 1 + \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个 + 1} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} - \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个 + 1} {q个}^{2 n个 + 1} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} \\ = & - \sum_{n个 = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} + \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {q个}^{2 n个 + 1} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} . \end{array}

(39)

应用公式（37），我们得到

\begin{array}{rcl} 2 G公司 (q个) & = & 1 + \sum_{n个 = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {q个}^{2 n个 + 1} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个} \\ = & 1 + q个 - {q个}^{三} + {q个}^{4} + {q个}^{5} + \dots - {q个}^{14} - 2 {q个}^{15} + {q个}^{16} + 三 {q个}^{17} + \dots . \end{array}

(40)

中的搜索[16]表明这一点q个-序列匹配模拟θ函数 $ϕ (q个)$ 事实上，在定理1.2的证明中，Folsom、Ono和Rhoades获得了模拟θ函数的相同形式 $ϕ (q个)$ 式（16）中。在这种情况下，如果q个是团结的基础

2 G公司 (q个) = ϕ (q个) .

(41)

另一方面，对于任何奇怪的订单k个统一的根源 $ζ_{k个}$ ，来自的财产 $单位 (ω ； q个)$ ，我们有

- 单位 (- 1 ； ζ_{k个}) = G公司 (- ζ_{k个})

(42)

和

- 单位 (- 1 ； q个) = - μ (q个) .

(43)

最后，对于奇数整数k个，如果 $ζ_{k个}$ 是任何原始奇数顺序k个团结的根源，如q个方法 $ζ_{k个}$ ，我们有

\underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} - 2 μ (q个) = - 2 μ (ζ_{k个}) = \underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} - 2 单位 (- 1 ； q个) = - 2 单位 (- 1 ； ζ_{k个}) = 2 G公司 (- ζ_{k个}) .

也就是说，

\underset{q个 \to ζ_{k个}}{林} - 2 μ (q个) = - 2 μ (ζ_{k个}) = 2 G公司 (- ζ_{k个}) = ϕ (- ζ_{k个}) .

(44)

对于上述固定奇数k个，我们表示本原偶数阶2k个统一的根源 $ζ_{2 k个}$ .作为q个方法 $ζ_{2 k个}$ 在单位圆盘的径向上，我们有

\underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} (（f） (q个) - {(- 1)}^{k个} b条 (q个)) = - 4 \underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} μ (q个) = - 4 μ (ζ_{2 k个}) .

(45)

自 $ζ_{2 k个}^{2} = ζ_{k个}$ , $ζ_{2 k个}$ 是的根 $ζ_{k个}$ .然后我们得到

\underset{q个 \to ζ_{2 k个}}{林} (（f） (q个) + b条 (q个)) = - 4 μ (ζ_{2 k个}) = 2 ϕ (- ζ_{2 k个}) .

(46)

我们已经证明了定理2.2中的第二个主张。

另一方面，我们可以用一种与Appell-Lerch和的性质相关的新方法证明定理2.2中的第二个主张。

Appel Lerch总和的定义如下

米 (x个, q个, z（z）) : = \frac{1}{j个 (z（z） ； q个)} \sum_{第页 = - \infty}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{第页} {q个}^{\frac{第页 (第页 - 1)}{2}} {z（z）}^{第页}}{1 - {q个}^{第页 - 1} x个 z（z）},

(47)

哪里

j个 (x个 ； q个) : = {(x个)}_{\infty} {(q个 / x个)}_{\infty} {(q个)}_{\infty} = \sum_{n个 = - \infty}^{\infty} {(- 1)}^{n个} {q个}^{\frac{n个 (n个 - 1)}{2}} {x个}^{n个} .

(48)

对于整数一和正整数米，我们定义

{J型}_{一, 米} : = j个 ({q个}^{一} ； {q个}^{米})

(49)

和

{J型}_{米} : = {J型}_{米, 三 米} = \prod_{我 = 1}^{\infty} (1 - {q个}^{米 我}) .

(50)

然后 $米 (x个, q个, z（z）)$ 可以表示为双边总和[18]:

\begin{aligned} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{一^{- n个 - 1} {b条}^{- n个}}{{(- 1 / 一 ； q个)}_{n个 + 1} {(- q个 / b条 ； q个)}_{n个}} {q个}^{{n个}^{2}} + \sum_{n个 = 1}^{\infty} {(- 一 q个 ； q个)}_{n个 - 1} {(- b条 ； q个)}_{n个} {q个}^{n个} \\ = \frac{{(- 一 q个)}_{\infty}}{b条 {(q个)}_{\infty} {(- q个 / b条)}_{\infty}} j个 (- b条 ； q个) 米 (一 / b条, q个, - b条), \end{aligned}

(51)

然后我们得到

R（右） (ω ； q个) + (1 - ω) (1 - ω^{- 1}) 单位 (ω ； q个) = (1 - ω) \frac{j个 (ω ； q个)}{{J型}_{1}} 米 (ω^{2}, q个, ω^{- 1}) .

（52）

让 $ω = - 1$ ，我们有

R（右） (- 1 ； q个) + 4 单位 (- 1 ； q个) = 2 \frac{j个 (- 1 ； q个)}{{J型}_{1}} 米 (1, q个, - 1) .

(53)

召回中的2.6号提案[19]那个

\sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n个} {q个}^{{n个}^{2}} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个}}{{(- x个 ； {q个}^{2})}_{n个 + 1} {(- {q个}^{2} / x个 ； {q个}^{2})}_{n个}} = 米 (x个, q个, - 1) + \frac{{J型}_{1, 2}^{2}}{2 j个 (- x个 ； q个)} .

(54)

对于奇整数k个和 $x个 = 1$ ，我们可以消除 $米 (1, q个, - 1)$ 通过如下使用上述结果：

\begin{array}{rcl} R（右） (- 1 ； q个) + 4 单位 (- 1 ； q个) & = & 2 \frac{j个 (- 1 ； q个)}{{J型}_{1}} 米 (1, q个, - 1) \\ = & \frac{j个 (- 1 ； q个)}{{J型}_{1}} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n个} {q个}^{{n个}^{2}} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个}}{{(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个}} - \frac{{J型}_{1, 2}^{2}}{{J型}_{1}} . \end{array}

(55)

那么我们有

R（右） (- 1 ； q个) + \frac{{J型}_{1, 2}^{2}}{{J型}_{1}} = - 4 单位 (- 1 ； q个) + \frac{j个 (- 1 ； q个)}{{J型}_{1}} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n个} {q个}^{{n个}^{2}} {(q个 ； {q个}^{2})}_{n个}}{{(- {q个}^{2} ； {q个}^{2})}_{n个}} .

(56)

对于奇数整数k个，如果ζ是二阶统一的根源k个，作为 $q个 \to ζ$ ，我们看到因素 $\frac{j个 (- 1 ； q个)}{{J型}_{1}} = 2 {(- q个； q个)}_{\infty}^{2}$ 当总和在单位上是有限的时消失，那么我们有

\underset{q个 \to ζ}{林} (R（右） (- 1 ； q个) + \frac{{J型}_{1, 2}^{2}}{{J型}_{1}}) = - 4 单位 (- 1 ； ζ),

(57)

哪里 $\frac{{J型}_{1, 2}^{2}}{{J型}_{1}} = b条 (q个)$ .

最后，我们得到

\underset{q个 \to ζ}{林} (（f） (q个) + b条 (q个)) = - 4 μ (ζ) = 2 ϕ (- ζ) .

(58)

定理2.2中的第二项要求也已完成。

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作者信息

作者和附属机构

中国上海四平路1239号同济大学数学系，200092
陈斌和周海刚
渭南师范大学数学系，渭南市朝阳路，714000，中国
陈斌（Bin Chen）

作者

陈斌（Bin Chen）
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周海刚
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关于本文

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Chen，B.，Zhou，H.关于Ramanujan径向极限问题的注记。高级差异Equ 2014, 191 (2014). https://doi.org/10.1186/1687-1847-14-191

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收到:2014年5月7日
认可的:2014年7月1日
出版:2014年7月23日
内政部:https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-191