本文提出了四种不同的整数序列，用数学理论构造准循环低密度奇偶校验码。本文介绍了编码原理和编码过程。分别使用PEG算法、阵列码和Mackey码将四种不同的整数序列构造的QC-LDPC码与LDPC码进行了比较。然后，将整数序列QC-LDPC码用于编码协作通信。仿真结果表明，整数序列构造的QC-LDPC码是有效的，在编码协作通信中的整体性能优于其他类型的LDPC码。大雁整数序列构造的QC-LDPC的性能是最优秀的。
1.简介
1979年，Cover和El Gamal在合作通信技术方面取得了实质性进展[1,2]. 放大和正向（AF）[三]，解码并转发（DF）[4]和编码合作（CC）[5]是三种常见的用户合作模式。在编码协作中，中继用户不重复发送协作用户的信号。该方法利用编码的特点，分别发送不同部分的代码。由于码中不同部分具有固有的相关特性，如果基站通过相互对立的信道接收不同部分的码，即如果每个码的信息由两个信道发送，则实现传输分集并获得编码增益。作为信道的应用，编码协作方式优于以往的方法。
根据低密度校验（LDPC）码编码协作系统的特点，许多学者对编码协作系统中LDPC码字结构的设计进行了卓有成效的研究[6——8]. 在单源单中继场景中，文献[9]提出使用计算机搜索结构可以优化LDPC码集。在多源编码协作系统中[10]介绍了LDPC码在不考虑编解码复杂度、内存等资源消耗的情况下，通过分布函数进行优化。这个优化的分布函数足够长，可以清楚地显示其性能的优势。由于LDPC的长度较大，在硬件实现中编码和解码的复杂度过高，内存消耗较大。
准循环低密度校验（QC-LDPC）码编码协作系统是LDPC的一个重要子类。与随机构造的LDPC相比，QC-LDPC可以实现简单的移位寄存器和线性编码复杂度，但码的参数不够灵活，不能满足实际应用的需要。
在点对点（非合作）系统中[11]提出了QC-LDPC的各种设计方法；例如，文学[12]当子块长度大于下限时，通过最大公约数不等式设计具有至少8的环长度的QC-LDPC。文学[13]利用乘法逆的有限域（Galois域，GF）设计编码协作系统中的QC-LDPC，但QC-LDCP的校验矩阵仅限于下三角结构。
针对这个问题，本文介绍了由四个不同整数序列构造的QC-LDPC，并与传统的QC-LPPC进行了比较；类QC-LDPC可以节省更多使用线性编码复杂度和准循环结构的空间。仿真结果表明，由整数序列构造的QC-LDPC无围长4，性能优良。
论文的其余部分组织如下。章节2介绍了通用编码中继协作的基本原理。章节三给出了由四个不同整数序列构造的QC-LDPC。仿真结果如第节所示4最后，第节得出了结论5.
2.通用编码中继合作基础
本文中，三节点中继信道模型是描述协作通信系统的常用模型。如图所示1它由三个基本通信单元组成，例如源、继电器，以及目的地假设所有这些终端都有一个天线，并且它们以半双工模式相互通信。
信息数据的传输分为两个帧。在第一帧中，源节点()使用代码对信息进行编码并将其信息发送到中继节点()和目标节点()同时。在第一帧期间，接收到的信号在瑞利衰落信道上，中继点为哪里是复加性高斯噪声，每个分量作为零米复高斯变量，具有独立的等方差实部和虚部.也是具有零位的复高斯变量-每个分量的实部和虚部的方差。类似地，接收到的信号在第一帧期间，在目的地的罗利衰落信道上描述为哪里和分别对应于高斯噪声和衰落。
在第二帧中，如果中继节点能够成功解码信息，则中继使用BPSK调制发送编码信息到目的地。否则，中继节点将无法工作。和被代表性地用作每个信道的信道增益和加性噪声。每个通道都是相互独立的。接收到的信号在第二帧期间，在目的地的瑞利衰落信道上，如下所示哪里和分别与高斯噪声和衰落相关联。表示中继节点发送的信息。最后，总接收信号目的地为哪里是以下项的串联和分别在第一帧和第二帧中接收。信号联合解码以在源处恢复传输的信息。
在信息传输过程中，两种不同的LDPC码和用于表示源节点和中继节点.和分别表示代码的尺寸和长度。源节点编码消息序列的长度是校验矩阵是.和可以为简单的系统代码设计。的代码是，其中是长度为的奇偶校验位。如果中继节点在接收到来自的信息后成功编码，中继节点将生成检查矩阵通过添加新的奇偶校验位长度为。目标节点将从源节点接收信息和中继节点.组合后，代码获得。联合编码由校验矩阵进行由和获取源信息。
的整个代码和的奇偶校验位分别通过-通道和-信道，可以通过代码的校验关系获得。考虑从中可以看出(5)，编码协作通信系统的整个代码可以满足以下校验关系：
3.由四个不同整数序列构造的QC-LDPC
检查矩阵常规的QC-LDPC代码表示为数组循环置换矩阵。其长度为，可以定义为哪里；,是循环置换矩阵，并且矩阵的每一行只包含一个1。矩阵的最后一行右移一个元素，以获得矩阵的第一行；矩阵的每一列被一个元素向下环移，以获得矩阵的下一列；将矩阵的最后一列向下环移一个元素，以获得矩阵的第一列。例如，矩阵是5×5循环置换矩阵：表示该循环置换矩阵的移位值；即，第1个此矩阵的第个位于列中,，而此行的其他列为0。表示单位矩阵，大小为、和显示了环右移后的矩阵通过.假设移位矩阵校验矩阵的由…组成使用正确的换档编号如下：上述QC-LDPC码校验矩阵包含一个循环，可以用以下序列表示循环置换矩阵；长度为的QC-LDPC码的循环可以表示为，其中是属于行矩阵和列.为了准确地表达一个循环，和应该满足。文学[14]提出了无围长4的码的充要条件是哪里.
3.1. 斐波那契阵列构造的QC-LDPC码
定义1（参见[15]).对于数组,是一个非负整数。如果阵列满足然后，这个数组被称为斐波那契数组，其元素是斐波那奇值[16]. 例如，典型的斐波那契数组如下：.
根据中的检查矩阵(7)，行循环置换矩阵的移位值柱是文学[17]验证了周长4由斐波纳契阵列设计的矩阵可以删除。根据上述规则，可以假设在斐波那契阵列的QC-LDPC设计中，移位矩阵的每项为移位矩阵可以写为：.
可以灵活选择大于最大斐波那契值的任何值被标识为shift。矩阵中的最大值为+2，根据循环置换的定义，有
3.2. 大雁整数序列QC-LDPC码的设计
定义2（参见[18]).对于数组，何时是非负整数和奇数，其中一个为以及何时是偶数，一个有满足递推关系的序列称为达扬整数序列，其元素是达扬整数序列的项。典型的大雁整数序列如下：.
在大雁整数序列中，由具有相同项数差异的大雁整数列项构成的新序列呈单调递增。此外，由大雁整数序列构造的QC-LDPC可以去除围长4，验证过程如文献所示[19]. 根据中的检查矩阵(7)行循环置换矩阵的移位方程和线路是例如，要构造检查矩阵，对应移位矩阵的每一项如下所示：移位矩阵的形式为.
3.3、。差分序列构造的QC-LDPC
定义3（参见[20]).让.
作为一个数字序列，因此，我们定义了一个新序列称为一阶差分序列，其中在(20)，差序列中的每一项都是序列中相邻项的差值(19). 差序构造后(20)，可以很容易地获得二阶差分序列：因此，有人认为哪里.
因此，-一阶微分序列是-顺序差分序列。我们将零阶差分序列定义为数字序列，如下所示,.假设QC-LDPC码，也称为DS-LDPC码。这类码的校验矩阵由二次多项式生成的零、一、二阶微分序列组成。检查矩阵的设计过程如文献所示[21].
3.4。Hoey序列构造的QC-LDPC
定义4（参见[22]).在Hoey序列中，表示单调递增，满足最小非负整数序列，且二者之和不同。
对于，前50个元素是让移位矩阵的形式QC-LDPC代码如下：移位矩阵第一行中的元素从顶部导出Hoey序列中的元素，第二行中的每个元素为0。移位矩阵是一个矩阵和相应的检查矩阵是一个数组由循环置换矩阵，其中和的空空间呈现一个长度为并且码率至少为.由Hoey序列构造的校验矩阵不包括周长4，这已被文献验证[23]. 以最小矩阵为例，由于Hoey序列基矩阵的固定模式，我们得到(23).
因此，最小矩阵为矩阵。考虑
4.仿真结果
在本节中，我们选择码率斐波那契数组长度为354，用于构造QC-LDPC码()，以及长度为9970的斐波那契（Fibonacci）构造QC-LDPC码()，与阵列LDPC码进行了比较[24]在高斯白噪声信道中具有相同的长度。最大迭代次数为50。
如图所示2由长度为354的斐波那契构造的QC-LDPC码的性能优于阵列LDPC码。当BER=4×10时−6，斐波那契构造的QC-LDPC码的性能提高了约1.6 dB与阵列LDPC码的性能相比。由Fibonacci构造的长度为9970的QC-LDPC码优于相同参数的阵列LDPC码。
对于差分序列构造的QC-LDPC码的仿真，一个二次多项式通过搜索算法找到。作为,，67×67循环置换矩阵形成3×6阵列.矩阵为201×402矩阵。列权重为3，行权重为6。为了便于比较，PEG算法[25]用于构造伪随机（402201）PEG码。此外，随机（402201）麦凯码（参见[26])并且构造了（402203）阵列码（参见[27])，性能比较如图所示三.
如图所示三，BER=10时−5，Mackay代码开始显示平台，而DS-LDPC代码在BER=10时未显示平台−7.BER=10时−5，DS-LDPC码与麦凯码和阵列码相比，大约有0.7 dB和2.0 dB编码增益。在相同参数条件下，差分序列的性能优于MacKay、PEG算法和阵列码。
通过对Hoey序列构造的QC-LDPC码的性能仿真，让和，并且可以构造一个2×12移位矩阵来构成2×12阵列由123×123循环置换矩阵构造。是一个246×1476矩阵，列权重和行权重分别为2和12。其空空格提供码率为0.83的二进制QC-LDPC码。性能比较与分析伪随机PEG码和数组代码如图所示4.
如图所示4，BER=10时−5，Hoey码与数组码相比提高了约1.1 dB编码增益。在相同参数条件下，由Hoey序列构造的QC-LDPC码的性能优于由PEG算法构造的QC码和由阵列码构造的QC-LDPC码。
码协作通信系统中使用了由四个不同整数序列分别构造的QC-LDPC。系统模型如图所示1.假设信道为瑞利信道，相关参数如表所示1.
图5结果表明，随机配置的Mackey码的误码率性能不如结构化的LDPC码。Mackey码长度越长，其生成矩阵和奇偶校验矩阵就越复杂。整数序列构造的QC-LDPC码具有结构特征，有效避免了短循环的奇偶校验矩阵。结果表明，大雁构造的QC-LDPC码性能最为优异。
5.结论
本文介绍并比较了四种不同的整数序列。在编码协作通信中，采用了由四种不同序列构成的QC-LDPC的设计。通过理论分析和仿真结果可以看出，整数序列构造的QC-LDPC码在协作通信系统中的应用是有效的。此外，该编码结构简单，整体性能优于其他类型的LDPC码。此外，由大雁整数序列构造的QC-LDPC具有最佳性能。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
这项工作得到了航空电子集成实验室和国家航空科学基金会的支持，合同号为20105552。
