On $\mathrm{C}$-class equations

微分方程$\mathrm{C}$-类的概念可以追溯到E.Cartan，其结果是可以在不进行积分的情况下求解$\mathrm{C{$-类中的一般方程。虽然Cartan的定义是以微分不变量作为第一积分，但我们所知道的所有显示$\mathrm{C}$-类的结果都基于这样一个事实，即与类中的方程相关联的标准Cartan几何体下降到解空间。对于足够低的阶数，这些几何体属于抛物线几何体的一类，其结果来自于几何体下降到扭变空间的一般特征。

在本文中，我们回答了以下问题：在至少四阶标量ODE和至少三阶ODE系统的其余情况下，规范Cartan几何是否下降到解空间。与低阶情形一样，其特征是广义Wilczynski不变量消失，这些不变量是通过解的线性化定义的。经典的卡坦几何（不是抛物线几何）与文献中基于最近的一般构造的几何略有不同。本文对我们研究的ODE类应用此构造所需的所有验证都在本文中进行，从而也为与高阶ODE（系统）相关的规范Cartan连接的存在性提供了一个完整的替代证明。

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第一和第三作者分别得到了奥地利科学基金会（FWF）项目P27072-N25和M1884-N35的支持。D.T.还得到了特罗姆瑟研究基金会的支持（项目“挪威的纯数学”）。

2019年1月25日收到

2020年7月22日接受

2023年9月29日出版