代谢P系统

发布后活动

文森佐·曼卡教授信息学院

新陈代谢是生命赖以存在的基本现象之一。任何生物都必须保持以下过程：i）从外部环境引入某种物质，ii）通过改变分子分布一些生物化学物种(物质,代谢物)以及iii）排出对生物体没有用处或危险的外部物质。分子分布确定代谢状态相关系统的，可以表示为多组（n_A+n_B B+\ldots n_Z Z）类型给出了每种分子物种（A，B，\ldot，Z）的分子数。当然，生命不能简化为新陈代谢，但没有这样一种基本机制，生命就不可能存在。代谢P系统或P代谢系统（简称MP系统）在离散的数学框架中表示代谢过程。代谢P系统本质上是一种多集合语法，其中多集合变换由函数调节。也就是说，像（a+B到C）这样的多集规则意味着类（a）分子的数量和相同数量的分子（B）被类（C）分子替换通量规则应用程序的。假设在某个时间步考虑一个系统（0，1，2，ldot，i，），并考虑由规则（r_1，r_3）产生并被规则（r_2）消耗的物质（x）。如果（u_1[i]，u_2[i]然后物质（x）的变化由\[x[i+1]-x[i]=u1[i]-u2[i]+u3[i]\给出

应用此方法质量分区在规则中，对于所有物质，我们可以计算动力学从每一步规则的流动来看，这是一个系统。在MP系统中，假设在任何状态下，每个规则的流量都由一个函数提供，称为调节器规则的。MP系统的字母P来自于P系统由介绍Gheorghe Paun（2002），在膜计算事实上，MP系统是2004年引入的一类特殊的P系统（参见V.Manca，L.Bianco，F.Fontana（2005）)在离散的数学环境中表达新陈代谢。

多集重写：向量表示法和摩尔透视法

P系统为MP系统开发提供了正确的概念框架，在Formal语言受生物细胞启发定义计算模型的理论（林登迈耶L系统和海德H系统的同一研究路线）。P系统的一个关键方面是从字符串重写规则的经典概念过渡到多集重写规则。这个新的视角完全改变了基于字符串的语言、语法和自动机的典型数学设置，并打开了一个新的视角，重写规则成为（生物）化学反应的自然表示（“规则”和“反应”将在下文中同义使用）。如果规则转换了多个符号/分子集，那么当传统顺序，例如字母顺序，固定在一组\（S\）of \（n\）上时物质（分子类型），那么像（2A+B到C）这样的规则很容易用两个向量来表示，即左向量（（2，1，0，ldots，0）和右向量（（0，0，1，ldot，0）一般来说，规则（r）的左向量用（r^-\）表示，右向量用（r ^+\）表示。向量差是化学计量天平规则的向量读取只是一种符号变化，并不会以任何方式改变P系统规则的概念（我们将继续使用），但它对于将线性代数的基本概念应用于MP系统的分析非常有用。多集改写的另一个重要方面是根据通常的化学用法进行自然阅读。事实上，如果我们修复一些人口规模，已调用常规摩尔，例如，使用\（10000 \）个单位，然后使用规则\（2A+B \到C \，\）反应通量在\（3.2\）摩尔中，它将\（64000\）分子\（A\）和\（32000\）分子\（B\）转化为\（32000\）分子\（C\.\）

图1:MP图。节点：三角形代表物质的引入和排出，大圆圈代表物质，小圆圈代表反应，用数学表达式标记，表示调节剂。边缘：从物质到反应（消耗）和从反应到物质（生产）的转换边缘，规则红色边缘从物质到反作用，代表每个调节器所依赖的物质（也称为该调节器的调谐器）。

MP系统：一个正式定义

物质,反应、和监管机构是MP系统的重要组成部分。参数当不同于物质的量值对调节反应至关重要时（术语量级将引用物质或参数）。此外，a时间间隔\（τ）和传统摩尔大小\考虑（nu），分别指定时间和总体（离散）粒度。最后，对于每种物质摩尔质量已指定。

MP系统是一个离散的动力学系统，其中动力学被视为步骤自然数集合中的索引。时间间隔、摩尔大小和物质摩尔质量属于实数集。他们是比例因子不要直接定义系统的动力学，但对于在特定的物理质量和时间粒度水平上解释它至关重要。

从数学的角度来看，一种类型为（（n，M，k）的MP系统，即（n）物质、（M）反应和（k）参数（这种类型将被隐式假设）的MP系，由指定（另请参见V.Manca（2010）):

一组\（S\）物质，按常规顺序考虑，对于系统的任何代谢状态，确定（R^n）的向量（X），其组分以常规摩尔单位表示物质量；

一组\（R\）反应，由反应的左矢量和右矢量（分别相对于反应物和产物）组成的\（m）对\（（r^-_1，r^+_1）\（r^-m，r ^+_m）\）\（N ^N乘以N ^N，\）给出。矩阵\（A=（r^\#1，\ldots，r^\#_m）\）是化学计量矩阵与化学计量平衡规则列相关的反应；

一个函数（H:N\到R^k\），在每一步（i\在N\中，\）提供参数;

向量监管机构（或通量调节功能)\（Phi=（\varphi_1，\ldots，\varphi_m）\，\）其中\（Phi:R^{n}\乘以R^{k}\到R^m\）提供了与系统的任何全局状态对应的反应通量，即由代谢状态和参数向量构成的\（R^n\乘以R^k\）中的一对。然而，给定一个反应\（r，\），只有一些物质或参数，它们被称为调谐器可能会作为相应调节器的参数出现。调节器提供的通量可能会受到一些约束，这些约束可能是一般性质的，也可能是特定于某些类别的系统的（例如，通量不应为负，消耗物质的所有反应的通量之和（x）数量不能超过\（x\））。

一时间间隔\（R中的τ）在两个连续步骤之间；

一常规摩尔\（R中的\ nu\；\）

的向量摩尔质量物质。

给定一个相对于给定系统初始状态的向量（R^n中的X[0]\），（M）的动力学由以下向量递归方程指定，称为（EMA[i]\）(等量代谢算法)，其中\（\times\）是通常的矩阵乘积，根据上下文，\（+\）是通常的和或分量向量和\[\标签{1}X[i+1]=A\乘以U[i]+X[i]\]

通过通量向量\（U[i]=（U_r[i]\；|\；r\in r）\）提供每个步骤\（i\ in N\，\）的系统状态，其中\（U_r[i]=\varphi_r（a[i]、b[i]，\ldots）\）和\（a[i]、b[i]和\ldots\）是\（X[i]，H[i]\）的组件，它们是反应调谐器\（r\.\）的调谐器

由EMA计算的MP动力学只不过是差分方程方法，适合在离散代谢转换的背景下设计。

MP图和MP语法

MP系统的直观含义可以用MP图表示（参见图1,V.Manca，L.Bianco（2008）)表达一个流体动力学类比：物质节点是不同液体的容器，变换边缘是通过反应节点连接的管道（液体通道也意味着液体变换），调节器充当水龙头，调节通过管道的液体流量，取决于调谐器假定的值。除了比例因子外，指定MP系统的所有元素都在其MP图中表示（参数演化函数可以添加为参数节点的标签）。此外，MP图中的全部信息也可以用MP文法表示，即一组多集重写规则，每个规则都由相应的调节器（以及由其进化函数配置的参数）配置。下面是MP语法的一个示例，其中\（\emptyset\）表示空的多集合（\（\emptyset\-规则对应于物质的引入或排出），而出现在调节器中的物质符号表示相应的物质数量。

\（r_1:\空集\到A\；\；\
\（r2:\空集\到B\；\；\
\（r_3:B\到\空集\；\；\
\（r_4:A到C；；；；varphi_4=0.6 A/C）
\（r_5:C\到\空集\；\；\，\varphi_5=0.4\）
\（p[0]=0.2\；\；\；p[i+1]=p[i]+0.2\）

MP图形符号，类似于许多生化和生物环境中采用的典型图形符号。然而，在MP图中，调节器的功能标签可以以统一和严格的方式表示反应、物质和参数之间非常一般的依赖关系。除了直接读取图形和语法外，MP系统还被证明等价于一类连续的Petri网（请参见A.Castellini、G.Franco、V.Manca（2009年）). 然而，与其他相关形式主义相比，MP系统的主要特定兴趣在于他们开发理论和工具以从给定代谢系统的时间序列推导MP模型的自然可能性，这将在下一节中显示。

在给定的MP系统定义中，缺少P系统的经典划分，但在许多方面可以很容易地添加它，使结构更加复杂。处理（静态）膜结构的一种简单方法是将可能出现在两个不同膜中的相同物质（x，）视为两种不同的物质（x_L，）和（x_M）。这样，将（x）从（L）到（M）的过程建模为（x_L\）到（x_M\）的转换（参见V.Manca（2010）有关此膜表示的更多详细信息）。从这个角度来看，膜内反应的局部特征是由其调节器仅依赖于膜内的物质和参数而自然转化的。根据这种表述，即使膜结构与正在研究的代谢系统相关，对数增益理论也可以完全适用，这将在下一节中概述。

在这里，我们关注的不是物质本地化，而是定量动力学的具体方面。然而，在更深入的分析中，膜的特定概念在MP系统中也变得至关重要。事实上，在MP图中，节点可以被视为物质通过改变其生化定位而不是它空间定位在这个意义上，MP系统类似于另一个模型，定义于膜计算尖刺在神经元对象的作用是由通信神经元的信号发挥的（尤其是在非同步神经脉冲系统中，参见M.Cavaliere、O.Ibarra、G.Paun、O.Egecioglu、M.Ionescu、S.Woodworth（2009）).

逆动力学问题与log-gain理论

给定MP系统递归方程组\（EMA）根据系统的MP语法生成物质的进化（从初始代谢状态开始，根据参数进化的知识）。换句话说，正如所示图1当给定调节器（Phi）时，可以计算通量，然后根据化学计量很容易得出物质变化。逆动力学问题与此过程相反。事实上，让我们假设“观察”一个代谢系统的若干步骤（由一些时间间隔分隔）。我们如何发现一个提供我们观察到的动态的MP系统？所讨论的物质和反应是由我们想要描述的特定现象给出的。此外，化学计量学可以通过对现象的基本知识来推导，但如何知道物质转化的通量，而这些通量是导致观察到的演化的原因？这就是问题所在通量发现。

通量发现

如果我们知道物质量的时间序列，即向量序列（N中的（X[i]|i\），那么我们可以通过用未知值反转已知值来读取系统\（N中的EMA[i]|i\）。事实上，通过用（Delta X[i]\）表示差异（X[i+1]-X[i]）并假设（n）物质和（m）反应，我们得到了以下系统(阿伏加德罗和道尔顿行动)（n）方程和（m）未知数（通量向量（U[i]）的（m）分量）\[\标签{2}A\乘以U[i]=\增量X[i]\。\]

使用首字母缩写词“ADA”是因为，遵循阿伏伽德罗化学原理，在任何反应中，根据反应的化学计量系数，相同的物质流量涉及反应的所有物质；此外，任何物质的变化都是通过消耗和产生该物质的所有反应通量的代数和来获得的，这是根据一个回顾化学中道尔顿原理的定律（另见V.Manca（2008年a）).

然而，方程式(2)以上对于解决通量发现问题是不够的。事实上，通常反应的数量大于物质的数量，因此\（ADA\）系统不是唯一可解的。为了获得这样的可解性，我们需要在（ADA）中添加更多的方程。log-gain原理通过假设方程满足了这一必要性，即（严格正的）反应通量的相对变化必须是反应的调谐器的相对变化的线性组合。这句话对应于一般生物学原理的一种特殊形式异速生长（请参见L.Bertanlaffy（1967年）)它声称生物变化是一种谐波形式。在技术术语中，给定一个时间序列（（Z[i]；|\；i\ In N），其（离散）log-gain（Gamma（Z（i））由[\Gamma

（如果\（Z（i）\）是向量，则差分和除法运算将以组件方式应用）。

因此，log-gain方程可以用以下方式书写，其中\（Z[i]\；|\；i\ in N）是给定MP系统（类型\（N，m，k（对于不是调谐器的震级，\（B_r[i]\）的系数为空）\[\标签{3}\伽马（u_r[i]）=B_r\times\Gamma（Z[i]

当然，如果（B）是向量（B_r，）的矩阵（m乘以n+k），那么\[\标签{4}\伽马（U[i]）=B\次\Gamma（Z[i]

使用术语“对数增益”是因为，在微分上下文中，量级的无穷小相对变化对应于其对数的导数。详细阐述这一原则可以显示出来（参见V.Manca（2007）,V.Manca（2008）,V.Manca（2009）,V.Manca（2009年a）)方程组可以通过相加得到log-gain方程在非常广泛的假设下，得到的系统是唯一可解的（主要假设涉及化学计量矩阵）。结果系统的一个重要方面是阶跃位移关于（ADA）方程的对数增益方程。事实上，后者是（ADA[i+1]\，\）的方程，而前者与方程有关(三). 这种位移意味着一种归纳解决方案，但避免了非线性。这里我们只提到了与通量发现问题相关的三个基本子问题，这些问题在我们考虑的所有特定情况下都得到了解决，但对于这些问题，我们正在研究一般的解决策略：i）初始通量向量的确定\（U[0]\，\）ii）每个反应的调谐器的确定，和iii）在（m）反应的化学计量平衡中确定合适的线性独立向量（参见G.Franco、V.Manca、R.Pagliarini（2009）,R.Pagliarini、G.Franco、V.Manca（2009年）).

监管机构发现

现在，假设我们发现了每一步的反应通量，也就是说，对于每一步（i>0），我们都得到了通量向量（U[i].\）。我们必须解决最后一个问题，以完成对观测动力学下的MP系统的确定，即能够生成我们观测到的物质时间序列的MP系统。最后一个问题是监管机构发现也就是说，确定一些函数（Phi），以提供我们从通量发现问题的解决方案中获得的通量。在这一点上，我们使用了诸如最小二乘法,逐步回归,人工神经网络（以及它们的集成和专业化，请参见G.Franco、V.Manca、R.Pagliarini（2009）,A.Castellini，V.Manca（2009）). 例如，假设固定可能近似调节器的函数形式，例如某种类型的多项式（P_r（a，B，\ldots，c_1，c_2，\ldot，c_{kr}）（调谐器的）和系数的）。这意味着我们需要找到第一个调节器的（k1）系数，第二个调节器（k2）系数，依此类推。因此，通过使用大于（k1+k2+ldots km\，\）的观察步数（T）右调节器的近似可以简化为与下列方程组相关的最小二乘近似问题，对于（1）和（r中的r：）

\（\标签{5}u_r[i]=P_r（A[i]，B[i]、\ldots、c1、c2、\ldot、c{kr}）

Log-gain验证

上一节概述的方法通过以下方式进行了验证。我们从MP系统（M）开始，根据章节的定义定义了调节器MP系统：一个正式定义然后，我们使用（EMA）系统从选定的初始状态（X[0]\）生成（M）的时间序列（（X[i]\；|\；i>0\ in N）\）。此时，我们应用log-gain方法发现通量时间序列（（U[i]；|\；i>0\ in N）\，然后我们解决了这些通量的调节器发现问题，得到了调节器\（Psi\）。发现的调节器\整个验证过程在我们测试的所有案例中都是成功的，即使使用不同但始终合理的近似值（参见L.Bianco、F.Fontana、G.Franco、V.Manca（2006年）,V.Manca、R.Pagliarini、S.Zorzan（2009）,A.Castellini，V.Manca（2009）,MetaPlab软件的官方网站)和Log-gain原则对于设计基于逐步回归和人工神经网络的特定回归技术至关重要。Log-gain方法也被应用于周期性实函数的近似，通过从大量时间序列重建MP文法，MP文法以惊人的高精度提供了非常复杂的行为（参见V.Manca，L.Marchetti（2010年）).

MP生物建模

P系统是生物建模的天然工具，尤其是定性的（参见示例G.Ciobanu、G.Paun、M.J.Perez-Jimenez编辑（2006）和G.Franco，V.Manca（2003）). MP系统强调离散定量建模的观点。事实上，重要现象的定量动力学模型是根据MP系统重建的，例如。，Goldbeter有丝分裂振荡器（参见图2)Nicolis和Prigogine公式中的Belousov-Zhabotinski反应，Lotka-Volterra的捕食者模型（参见L.Bianco、F.Fontana、G.Franco、V.Manca（2006年）)和NPQ（光合作用中的非光化学猝灭，参见V.Manca、R.Pagliarini、S.Zorzan（2009）). 在所有这些情况下，都发现与经典模型完全一致。此外，很容易发现一些具有有趣行为的合成振荡器（参见第节MP动力学和MP振荡器和非光化学淬火的MP模型（其中没有标准的数学模型）是通过实验数据，使用Log-gain理论直接推导出来的（参见V.Manca、R.Pagliarini、S.Zorzan（2009）). 中提供了许多MP型号MetaPlab软件的官方网站(例如,线粒体,天狼星,布鲁塞尔,伏特兰努斯,光合作用属).

图2:Goldbeter’s的MP表示振荡器。

MP系统和常微分方程

在一级近似中，MP系统可以被视为基于常微分方程（ODE）的代谢模型的离散近似，通过递归差分方程。事实上，如果我们考虑MP系统的一个非常小的时间间隔（τ），那么通量近似于微分，并且（EMA）简化为根据欧拉方法进行的数值积分（参见F.Fontana，V.Manca（2007）).然而，当时间间隔不能近似为无穷小的时间时，MP模型引入了一种与ODE视角截然不同的视角：它本质上是观测的，与系统沿观测步骤的变换更相关，而不是与反应的内部动力学相关。因此，MP方法是系统的与动力学，离散与连续、全局与本地。这种不同的视角似乎具有计算和建模的优势，并且它所基于的通量概念与系统生物学的其他经典方法（参见E.Klipp、C.Wierling、A.Kowald、H.Lehrach和H.Herwig（2009）)通过开放算法和代数程序发现规则的可能性逻辑代谢系统。

事实上，在ODE模型和随机模型中（参见D.T.Gillespie（1977）,D.T.Gillespie（2007）)临界点由动力学速率或随机参数的评估构成。这是一项艰巨而不可靠的任务，因为通常反应的精确微观动力学还不完全清楚，甚至当它可以被完全研究时也是如此在体外，其体内其行为可能与实验证据存在显著差异。此外，微分定律是基于瞬时效应（如在重力场或电磁场中），在生物化学环境中，这是一个隐含的假设，当化学物质在体积中均匀分布或立即进行处理以进行反应时，这一假设就得到了满足。但是，这种假设在许多生物相互作用的情况下没有明显的对应性。另一方面，在MP模型中，动态视角关注观察步骤之间的转换，而不是关注反应动力学从一个状态到另一个状态的通道是在宏观时间尺度上考虑的。调节器在转化（反应）之间分配试剂，如果它们正确工作（相对于现实，它们建模）他们分配的数量是在没有直接了解或假设单个生化过程背后的物理机制的情况下计算的。从这个意义上说，不需要化学物理性质的具体假设（关于同质性或浓度）来解决逆动力学问题，并通过对数增益方法提供调节器的数学形式。如果它们足够，那么它们表示物质转换规则（与化学计量有关），这些规则综合了它们所模拟的观察行为的系统逻辑。

换句话说，MP方法假设一些物种通过一些转换，并且这些变化是由于这些转换的全局作用引起的。它们的执行可以通过多种方式实现，并且可能涉及到底层非常复杂的子转换。然而，这超出了模型的目标。它只是试图解释所观察到的物种和变化。如果选择不正确，这意味着模型没有得到充分定义，但这与方法无关，这只是建模设计的问题。总之，MP建模有意采用与ODE模型不同的、更抽象的级别。这并不意味着它不那么依附于现实，而仅仅是它专注于不同层次的现实。这个通量发现表明，逆动力学问题的观测宏观方法绕过了ODE动力学速率评估的临界点。当然，这样会丢失许多重要的动力学细节，但在许多情况下，相关的是行为的全球模式和所涉及的量级之间的主要相关性，通常更高层次的分析是推断现象背后逻辑的唯一可能。P系统的一些变体，如用于细胞系统建模的随机和概率P系统，是离散方法，可以用非确定性动力学观点补充MP观点（参见M.Gheorghe、V.Manca、F.J.Romero-Campero（2009）,F.J.Romero-Campero、M.Gheorghe、G.Ciobanu、J.M.Auld、M.J.Perez-Jimenez（2007）,D.Pescini、D.Besozzi、G.Mauri、C.Zandron（2006）).

然而，ODE和MP模型之间可以建立重要的协同作用。事实上，让我们假设，有一个代谢过程的ODE模型。根据它，物质量的任何导数都是来自反应的无穷小通量的一些加法项之和。现在，如果我们考虑一个时间间隔（τ）并在一个离散时间（δt）进行数值积分，那么沿着（τ/δt）步长（δt的倍数）的无穷小通量的积分，提供了时间间隔内系统所涉及反应的MP通量这意味着我们可以通过其通量发现过程准确地得到对数增益理论所提供的内容。换句话说，我们从ODE微观通量中得到宏观通量。从这些通量出发，通过近似技术（最小二乘法、逐步回归、ANN），我们可以导出具有相同动力学（沿时间间隔步长）的MP系统的通量调节函数。在这种不同的时间粒度上，可能会出现一些系统性影响，从而为模型现象的分析提供新的思路。

MetaPlab软件

一个名为MetaPlab的Java软件是从原型版本开始开发的（参见L.Bianco、V.Manca、L.Marchetti、M.Petterlini（2007）). MetaPlab可从MetaPlab软件的官方网站.本平台使用户能够通过一些有用的图形设计MP模型工具，以模拟其动态，并自动化MP通量发现和调节器发现程序。MetaPlab基于一组可扩展的插件，即Java工具，用于解决框架中相关的特定任务MP系统。除了基本的插件（动力学计算、对数增益通量发现和线性回归）之外，还有其他用于以不同格式导出MP模型的插件（HTML、SBML，请参阅V.Manca，L.Marchetti（2009）)，用于动力学可视化，用于积分微分方程，用于从ODE积分计算MP模型的MP通量，以及用于通过ANN找到反应调谐器（参见A.Castellini，V.Manca（2009）). 此软件的指南V.Manca等人（2009年）位于MetaPlab软件的官方网站。其他插件正在开发中：在线数据库中的生物网络、先进的回归工具以及通过特定值确定初始通量优化方法（请参见R.Pagliarini、G.Franco、V.Manca（2009年）).

MP动力学和MP振荡器

MP系统是一种动力系统，它看起来足够灵活，可以在生物相关性的特殊背景下重新审视动力系统的许多一般概念。特别是刚性和柔性的概念吸引子、creods和bistability可以得到以下方面的自然描述波动以及准动力学，其中参数驱动的规则发挥着重要作用（参见V.Manca（2009年b）。MP系统是研究生物振荡器的自然框架，生物振荡器代表了一类非常重要的代谢动力学。发现了许多MP振荡器的例子(天狼星,天狼星杰米纳斯,天狼星特纳留斯,米扎尔,织女星，请参阅V.Manca（2009年b）,V.Manca（2009年c）). 此外，生物振荡模式的几种代谢模式可以很容易地用MP图表示。最近，MP系统测角科发现，有3个规则，只有线性调节器，其中两个参数通过其动力学提供精度为14位小数的正弦和余弦函数（参见V.Manca，L.Marchetti（2010年）).

图3：初始状态为\[A[0]=100，B[0]=70，C[0]=100,D[0]=20\]的天狼星四元星的动力学

以下MP语法标识一个MP系统，称为天狼星，提供了完美的振荡模式图3。

\（r_1:A+C\至2A+D\）\（\；\；\
\（r2:A\至B\）\（\；\；\
\（r_3:B\到\空集\）\（\；\；\
\（r_4:C\到\空集\）\（\；\；\
\（r_5:\空集\到C\）\（\；\；\
\（r_6:D\到\空集\）\（\；\；\
\（p=120+0.14 B\.\）

MP系统的扩展和应用

对代谢P系统的进一步研究从数学方面到应用，主题包括系统生物学,计算合成生物学、和复杂系统分析在数学方面，我们提到了使用Galois连接以更好地理解物质-反应相互作用。事实上，给定一种物质\（x，\），我们表示为\（R（x））发生（作为产物或反应物）但对称的一组反应，给定一个反应，我们可以将（S（r）定义为反应r。如果我们将（r）和（S）作为一组物质的函数推广到反应组，和反之亦然，我们得到一个Galois连接，这是一个非常通用和强大的代数概念。许多新陈代谢概念，与可以在此代数设置中分析的属性相关。在应用方面，我们认为原细胞构成与进化及其现象自创生与一种推动代谢系统进化的二阶动力学有关。这一过程及其与原生物分子复合物复制过程的关系是MP系统可能的主要研究方向之一。最后，任何将某些资源转换为其他资源的过程，以及为某些内部最终结果保留收入-输出活动的过程，都属于可以阅读的类型学亚种代谢从这个意义上说，在经济和金融活动中的应用可以扩大MP系统的建模可能性。

工具书类

参考文献分为两部分。第一部分按时间倒序列出了前几节中引用的有关MP系统的具体论文（其中有更广泛的参考书目）。第二本是按字母顺序排列的，包含了与代谢系统的一般方面有关的更广泛意义上的论文或书籍。

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V.Manca，R.Pagliarini，S.Zorzan（2009）。由代谢磷系统模拟的光合过程。《自然计算》，第8卷，第4期，847-8642009年12月。

G.Franco、V.Manca、R.Pagliarini（2009年）。MP系统中的监管和覆盖问题。在：Gh.Paun等人（编辑），第十届膜计算研讨会，阿根廷科学院，2009年8月24日至27日，218-227。LNCS 5957，施普林格出版社，2010年。

A.Castellini、V.Manca、Y.Suzuki（2009年）。人工神经网络的代谢P系统流量调节。In：Gh.Paun等人（编辑），第十届膜计算研讨会，Curtea de Arges，2009年8月24日至27日，169-183。LNCS 5957，施普林格出版社，2010年。

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外部链接

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