Wasserstein空间中的弱拓扑和Opial性质及其在测地凸泛函的梯度流和近点算法中的应用

摘要

在本文中，我们讨论了如何定义弱拓扑在Wasserstein空间$\left({P（P）}_2\right(H（H）),{W公司}_2)$可分Hilbert空间上具有有限二次矩的Borel概率测度$H（H）$.

我们将证明，这种拓扑继承了Hilbert空间中常见弱拓扑的许多特征，特别是测地凸闭集的弱闭性和弱收敛序列的Opial性质。

我们将这个概念应用于弱闭子集中非泛映射的不动点逼近${P（P）}_2(H（H）)$和下半连续测地凸泛函的极小子$\varphi :{P（P）}_2(H（H）)\to (-\infty ,+\infty ]$达到其最小值。特别是，我们将证明$\varphi$弱收敛到的极小值$\varphi$随着时间的推移$+\infty$.类似地，如果$\varphi$沿着广义测地线也是凸的，由邻近点算法生成的每个序列收敛到最小值$\varphi$关于的弱拓扑${P（P）}_2(H（H）)$.