协方差算子光滑泛函的渐近有效估计

摘要

让$X（X）$是可分Hilbert空间中的中心高斯随机变量$H（H）$带协方差算子$\Sigma$。我们研究了一个光滑泛函的估计问题$\Sigma$基于样本${X（X）}_1,\dots ,{X（X）}_{n个}$属于$n个$独立观测$X（X）$。更具体地说，我们对形式的函数感兴趣$⟨（f）\left(\Sigma \right),B类⟩,$哪里$（f）:R（右）\mapsto R（右）$是一个平滑函数，并且$B类$核操作员是否在$H（H）$。我们证明了插件估计器的浓度和正态逼近界$⟨（f）\left(\hat{\Sigma }\right),B类⟩,$ $\hat{\Sigma }以下为：={n个}^{-1}{\sum }_{j个=1}^{n个}{X（X）}_{j个}\otimes {X（X）}_{j个}$样本协方差基于${X（X）}_1,\dots ,{X（X）}_{n个}。$这些边界表明$⟨（f）\left(\hat{\Sigma }\right),B类⟩$是其期望的渐近正态估计${E类}_{\Sigma }⟨（f）\left(\hat{\Sigma }\right),B类⟩$（而不是感兴趣的参数$⟨（f）\left(\Sigma \right),B类⟩$)具有参数收敛速度$O（运行）\left({n个}^{-1/2}\right)$前提是有效等级$第页\left(\Sigma \right)以下为：=信托收据\left(\Sigma \right)\Vert \Sigma \Vert \left(信托收据\right(\Sigma )$作为痕迹和$\Vert \Sigma \Vert$是的算子范数$\Sigma$)满足假设$第页\left(\Sigma \right)=o个\left(n个\right)。$同时，我们还表明，该估计量的偏差通常与$第页\left(\Sigma \right)/n个$（大于${n个}^{-1/2}$如果$第页\left(\Sigma \right)\ge {n个}^{1/2}$). 什么时候？$H（H）$是一个有限维的空间$d日=o个\left(n个\right)$,我们发展了一种减少偏差的方法并构造了一个估计量$⟨小时\left(\hat{\Sigma }\right),B类⟩$属于$⟨（f）\left(\Sigma \right),B类⟩$它是渐近正态的，具有收敛速度$O（运行）\left({n个}^{-1/2}\right)$。此外，我们研究了该估计量风险的渐近性质，并证明了任意估计量的渐近极小极大下界，证明了该估计的渐近有效性$⟨小时\left(\hat{\Sigma }\right),B类⟩$在半参数意义上。