算术群中的扭同调增长

摘要

最近的各种工作表明，某些算术群（推广了模群）的同源性可能有“很多”扭曲。在这些群中有${SL公司}_{三}\left(Z轴\right)$或${SL公司}_2\left(Z轴\right[我])$.在后一种情况下，同源性降低为阿贝尔化。特别是，对于

人们可能会问有限生成的结构$Z轴$-模块${\Gamma }_0(N个{)}^{ab公司}={\Gamma }_0(N个)/[{\Gamma }_0\left(N个\right):{\Gamma }_0(N个)].$它有一个有限的扭转部分${\Gamma }_0(N个{)}_{或}^{ab公司}$我和Akshay Venkatesh推测$N个$倾向于$\infty$在素数中，我们有：

更一般地，人们可能会问：{算术组同源性中的扭转量是如何随水平增长的$N个$?} 我们提出一个推测性的部分答案。这篇文章提出了如何攻击这个猜想的想法，并讨论了最近的进展。本主题涉及更多经典的几何问题（解析扭转、Gromov—Thurston范数、（更高）代价、秩和亏梯度）和数论（BSD猜想、ABC猜想）。彼得·肖尔泽（Peter Scholze）最近的突破提供了一个很大的动机：$第页$中的扭转等级${\Gamma }_0(N个{)}_{或}^{ab公司}$参数化字段扩展$K（K）/问\left(我\right)$其Galois群是${GL公司}_2\left({\overline{F类}}_{第页}\right)$.此外，预计会有一个相应的“扭转兰兰计划”。