对称性、可积性和几何：方法和应用（SIGMA）

SIGMA公司18（2022），059，23页arXiv公司：2202.11611    https://doi.org/10.3842/SIGMA.2022.059
对纪念洛塔尔·格特采60岁生日的枚举不变量和计量不变量专刊

曲面上曲线的节点多项式

史蒂文·克莱曼^一和拉格尼·皮恩^b条
a） 美国马萨诸塞州剑桥市马萨诸塞大道77号麻省理工学院数学系2-172室，邮编02139
^b） 奥斯陆大学数学系，邮政信箱：1053，Blindern，NO-0316 Oslo，Norway

2022年2月24日收到，最终版本2022年7月28日；2022年8月2日在线发布

摘要
我们完成了在中宣布并部分证明的一个定理的证明[数学。纳克里斯。 271（2004），69-90，数学。AG/011299]。这个定理涉及一系列曲面上的一系列曲线。它由两部分组成。第一个问题在那篇论文中得到了证明。它描述了一个自然循环，该循环使用$r$个普通节点枚举族中的曲线。第二部分在这里得到了证明。它断言，对于$r \le 8$，这个循环的类是由该族Chern类乘积的参数空间的下推式中的一个可计算通用多项式给出的。

关键词：枚举几何；节点曲线；节点多项式；贝尔多项式；Enriques图表；希尔伯特方案。

pdf格式 （525 kb） 特克斯 （36 kb） 

工具书类

1. Altman A.B.，Iarrobino A.，Kleiman S.L.，紧雅可比矩阵的不可约性，《实奇点和复奇点》（Proc.Nith Nordic Summer School/NAVF Sympos.Math.，Oslo，1976），Sijthoff和Noordhoff，Alphen aan den Rijn，1977，1-12。
2. Basu S.、Mukherjee R.，《计算具有多达八个奇点的线性系统中的曲线》，arXiv:1909.00772.
3. Bell E.T.，分区多项式，数学年鉴。 29(1927/28), 38-46.
4. Caporaso L.，平面曲线的枚举几何，通知Amer。数学。Soc公司。 67（2020），771-779。
5. Das N.，Mukherjee R.，计算具有退化奇点的$\mathbb{P}^3$平面曲线，牛市。科学。数学。 173（2021），103065，64页，arXiv:2007.11933年.
6. Eisenbud D.，面向代数几何的交换代数，数学研究生课程，第150卷，Springer-Verlag公司1995年，纽约。
7. Esteves E.，GagnéM.，Kleiman S.，紧Jacobian的自对偶，J.伦敦数学。Soc公司。 65(2002), 591-610,arXiv:数学。AG/9911071公司.
8. Fulton W.，交集理论，Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete（3），第2卷，Springer-Verlag公司柏林，1984年。
9. Göttsche L.，曲面上曲线数量的推测生成函数，公共数学。物理学。 196(1998), 523-533,arXiv:alg-geom/9711012.
10. Grothendieck A.、DieudonnéJ.A.、Eséments de géométrie algébrique。四、 社会环境与社会形态。三、，高等科学研究院。出版物。数学。 28(1966), 5-255.
11. Grothendieck A.、DieudonnéJ.A.、Eséments de géométrie algébrique。四、 社会环境与社会形态。IV中，高等科学研究院。出版物。数学。 32(1967), 5-333.
12. Hartshorne R.，变形理论，数学研究生课程，第257卷，施普林格2010年，纽约。
13. Kazarian M.E.，多奇点、坐标和枚举几何，俄罗斯数学。调查 58(2003), 665-724.
14. Kleiman S.，《交集理论和枚举几何：十年回顾》，载于《代数几何》，鲍登，1985年（缅因州布伦瑞克，1985年），程序。交响乐。纯数学。第46卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1987，321-370。
15. Kleiman S.，Piene R.，《计算曲面上的奇异曲线》，载于《代数几何：赫泽布鲁赫70》（华沙，1998），康斯坦普。数学。，第241卷，阿默尔。数学。Soc公司。，普罗维登斯，RI，1999，209-238，arXiv:数学。AG/9903192公司.
16. Kleiman S.，Piene R.，族的节点多项式：方法和应用，数学。纳克里斯。 271(2004), 69-90,arXiv:数学。AG/011299公司.
17. Kleiman S.、Piene R.、Enriques图、任意接近点和Hilbert方案（伊利亚·托姆金的附录B），阿提·阿卡德。纳粹。林塞·伦德。Lincei材料应用。 22(2011), 411-451,arXiv:0905.2169.
18. Kool M.，Shende V.，Thomas R.P.，哥特奇猜想的简短证明，地理。白杨。 15(2011), 397-406,arXiv:1010.3211.
19. Laarakker T.，《Kleiman-Piene猜想与$\mathbb P^3$中平面曲线的节点多项式》，选择数学。（不适用） 24(2018), 4917-4959,arXiv:1710.02085.
20. 李杰，曾永杰，曲面上奇异曲线的通用多项式，作曲。数学。 150(2014), 1169-1182,arXiv:1203.3180.
21. Mukherjee R.，Paul A.，Singh R.K.，$\mathbb{P}^2$移动族中有理曲线的枚举，牛市。科学。数学。 150(2019), 1-11,arXiv:1808.04237.
22. Mukherjee R.，Singh R.K.，$\mathbb{P}^2$移动族中的有理尖顶曲线，复流形 8(2021), 125-137,arXiv:2005.10664号.
23. Rennemo J.V.，Hilbert格式上重言积分的通用多项式，地理。白杨。 21（2017），253-314，arXiv:1205.1851.
24. Stacks项目作者，堆栈项目2022年，https://stacks.math.columbia.edu/.
25. Thorup A.，任意Noetherian方案的有理等价理论，载于《枚举几何》（Sitges，1987），数学课堂笔记。，第1436卷，施普林格柏林，1990年，256-297年。
26. Tzeng Y.-J.，Göttsche-Yau-Zaslow公式的证明，J.差异几何。 90(2012), 439-472,arXiv:1009.5371号.
27. Vainscher I.，曲面$n$-fold切线超平面的枚举，代数几何。 4(1995), 503-526,arXiv:alg-geom/9312012.