摘要
给定整数$r\geqsleat 1$和图$G，H_1，\ldots，H_r$，我们写$G\rightarrow({H} _1个，\t个，{H} _r（r）)$如果$G$边缘的每个$r$-着色都包含$H_i$的单色副本，颜色为$i$，用于某些$i\in\{1、\ldot、r\}$。非完全图$G$是$（H_1，\ldots，H_r）$-共同关键的如果$G\n右箭头({H} _1个，\t个，{H} _r（r）)$，但$G+e\rightarrow({H} _1个，\t个，{H} _r（r）)$表示$\overline｛G｝$中的每条边$e$。本文受Hanson和Toft猜想[Edge-colored saturated graphs，J Graph Theory 11（1987），191-196]的启发，研究了所有$（K_t，\mathcal）上的最小边数{T} k（_k）)$-n$顶点上的$-co-critical图，其中$\mathcal{T} k（_k）$表示$k$顶点上所有树的族。第二天【规定最小度的饱和图，Combin.Probab.Comput.26（2017），201–207】，我们在不一定是$K_t$-饱和图上应用图引导渗流，以证明对于所有$t\geqslead4$和$K\geqslated\max\{6，t\}$，存在一个常数$c（t，K）$，这样对于所有$n\ge（t-1）（K-1）+1$，如果$G$是$（K_t，\mathcal{T} k（_k）)$n$顶点上的$-co-critical图，然后是$$e（G）\geqslate\left（\frac{4t-9}{2}+\frac}{1}{2{2\left\lceil\frac[k}{2neneneep \right\rceil\right）n-c（t，k）。$$此外，当$t\in\{4,5\}$和$k\geqslead6$时，这个线性界是渐近最可能的。本文提出的方法可以对攻击Hanson和Toft猜想提供一些启示。
