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第9卷
第3版
10.3390/sym9030043
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第条

多属性群决策中的参考依赖聚合

通过
高建伟
和
刘慧慧
*
华北电力大学经济管理学院，北京102206
*
信件应寄给的作者。
对称 2017,9(3), 43;https://doi.org/10.3390/sym9030043
收到的提交文件：2016年11月27日/修订日期：2017年3月12日/接受日期：2017年3月13日/发布日期：2017年3月16日
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版本注释

摘要

以下为：
为了刻画决策者心理因素对群体决策过程的影响，基于多属性群体决策分析中的参考依赖效用函数（RU），提出了一类新的聚合算子。我们考虑两种类型的RU：S公司-成形，代表寻求相对损失风险的决策者-S公司-形状，代表对相对损失的风险规避。基于这些RU，我们建立了两类新的依赖于引用的聚合运算符；我们研究了它们的性质，并表明它们的通用性涵盖了许多现有的聚合算子。为了确定这些聚合算子的最优权重，我们构建了属性偏差权重模型和决策者偏差权重模型。此外，我们基于这些RU聚合算子和权重模型开发了一种新的多属性群决策（MAGDM）方法。最后，给出了数值例子来说明该方法的应用。

1.简介

作为现代决策科学的一个重要组成部分，多属性群决策（MAGDM）在战略规划、投资组合选择、医疗诊断和军事系统评估等领域都有着巨大的成功应用[1,2]. 为了更好地理解解决MAGDM问题的过程，我们为MAGDM聚合过程开发了一个通用框架（请参阅图1)它包括两个阶段：（1）个体聚合，这是由多个属性和多个备选方案组成的每个决策者（DM）的多属性决策过程；群体聚合，是由多个专家和多个备选方案组成的决策过程。在这两个阶段中，开发有效的聚合方法和确定聚合算子的最佳权重是两个关键步骤。
为聚合信息而开发的方法可以分为三类第一种是加权平均法，它通过使用参数的不同重要度来聚合信息[三,4]. 第二种是概率聚合方法，它通过在聚合过程中结合每种情况的重要性来统一有序加权平均（OWA）算子和相应的概率[5,6]. 第三种是偏差聚合方法，它将聚合结果与以距离度量或惩罚函数为特征的评估信息之间的偏差最小化[7,8].
表征心理因素的参考依赖效用函数。人们普遍认为，DM的心理因素，如参考财富[9]，认知元素[10]以及面对风险的行为[11]在决策分析中发挥重要作用。然而，上述聚合方法未能捕捉到DM在聚合过程中的心理特征。在本文中，我们试图通过参考依赖效用函数（RU）对心理因素建模来部分填补这一空白。最著名的RU是前景理论的价值函数[12,13]它涉及一个基本的效用函数、损失厌恶系数和一个参考结果。这是RU的基本框架。
我们基于两种类型的RU构建多属性聚合操作符：S公司-成型RU[9,14]和一个非-S公司-成型RU[11,15]. 这个S公司-形状RU描述了DM的风险态度，DM对相对收益（在参考点上方具有凹函数）和对相对损失（在参考点下方具有凸函数）的风险规避，如图所示图2另一方面，非-S公司-形状RU保持凹形，而不管结果值如何（高于或低于参考点），表明收益和损失的风险规避（参见图3). 如何选择RU取决于DM的心理观点：如果DM认为相对损失是扭曲的积极（消极）结果，那么他/她的态度倾向于规避风险（寻求风险）[16]. 尽管RU已广泛应用于经济和金融决策的行为模型[17,18]据我们所知，很少有人研究基于RU的MAGDM聚合方法。
属性和决策者的权重模型。将聚合运算符应用于MAGDM的另一个关键步骤是确定属性和DM的相关权重（请参阅，图1). 相关方法包括最小方差法[19]，最小分散法[20]，最小平方法[21]，最小视差法[22]，和最大贝叶斯熵方法[23]. 上述方法中尚未解决的一个问题是如何在确定权重的过程中考虑输入参数的影响。实际上，在大多数备选方案中具有相似属性值的属性被认为不太重要，因此应该为其分配较小的权重；另一方面，如果一个属性的值在备选方案之间波动，则该属性更为重要，因此应该为其分配更大的权重。
DM的权重在聚合过程中也起着重要作用。许多研究人员直接应用属性权重模型来计算决策模型的权重，例如最小方差法[19]，最小平方法[21]，最小化与极值点的距离（MDP）方法[24]，投票方法[25]和改进的minimax视差法[26]. 然而，上述方法的共同缺点是，DM的高度主观性可能会导致不准确，有时会导致有偏见的决策结果。
我们旨在通过开发两个新的优化权重模型来解决上述问题。一方面，我们的模型考虑了备选方案中属性变化对选择最优备选方案的影响；我们将为一个属性分配一个相对较大（较小）的权重，该属性在备选方案中具有较大（较小的）变化。另一方面，我们试图在权重之间实现一个相当小的偏差，以保持公平。
我们的贡献。我们从三个方面总结了我们的贡献。
（1）
为了研究决策者的心理因素对决策结果的影响，我们首次提出了两个基于RU的新操作器：S公司-成形和非成形-S公司-成形操作符。DM可以根据他/她对相对损失的态度选择不同的RU操作员来获得结果。具体来说，如果DM的态度是寻求相对损失的风险，他/她可以使用S公司-形状运算符（参见方程式(11))选择最佳方案。如果DM对相对损失持规避风险的态度，他/她可以应用-S公司-形状运算符（请参见，公式(16))在决策过程中。如果DM的态度是风险中性的，他/她可以通过广义有序加权多重平均（GOWMA）算子做出决策（参见方程式(18))被非-S公司-成形操作符。RU算子的主要优点是，它们不仅反映了DM的心理特征，而上述聚合方法在聚合过程中无法捕捉到这些特征，而且通过采用不同的参数生成了一系列聚合算子。具体来说，RU操作符可以退化为现有的聚合操作符（请参见表A1,表A2和表A3在里面附录A.3)，这可以被视为RU运营商的特定情况。
(2)
为了确定多个属性和DM的关联权重，我们提出了属性偏差权重模型和DMs偏差权重模型（参见模型(19)和(20)). 我们的新权重模型超越了现有权重模型忽略对属性变化（偏差）的依赖性的框架，考虑了属性值的变化对聚合过程中权重确定的影响。此外，属性权重和决策模型权重分别使用属性偏差和决策模型偏差模型计算，而大多数研究使用相同的模型来确定属性和决策模型的关联权重，有时会导致决策结果有偏差。
(3)
我们基于RU算子和权重模型开发了一种新的MAGDM方法。此外，还给出了数值例子来说明该方法的应用。从中的数值分析中得出了两个新的发现第6节首先，随着绝对风险规避系数的增加，最优方案将变为相对谨慎的方案。第二，随着参考点（或损失厌恶系数）的增加，最优选择变为相对风险的选择。
论文的其余部分组织如下。在一般框架下S公司-形状RU，第2节导出S公司-塑造了DM的运营商，他们的态度是寻求相对损失的风险。至于具体S公司-形成RU，我们专注于前景价值函数和S公司-分别构造了双曲线绝对风险厌恶函数，并发展了相应的聚合算子。在非-S公司-形状RU，第3节建议不-S公司-塑造了DM的运营商，他们对相对损失持规避风险的态度。至于具体的非-S公司-塑造RU，我们专注于非-S公司-构造了双曲线绝对风险厌恶函数，并发展了相应的聚合算子。在第4节利用偏差度量方法构造了两个新的非线性优化权重模型。该方法通过以下六个步骤进行总结：第5节并通过数值算例验证了其优越性第6节最后，得出结论第7节，并且所有的证明都在E-伴随中给出。

2.针对相对损失的风险寻求型DM的聚合运算符

2.1. 总体框架

根据前景理论，DM对相对收益（结果高于参考点）的风险态度是规避风险的，而对相对损失（结果低于参考点）则倾向于寻求风险[10,12,13]. 因此，获取DM心理影响的效用函数为S公司-形状；当结果高于（低于）参考点时，它是凹（凸）的，如所示图2（曲线源自实用函数(10)带有 β = β 1 = 7 , η = η 1 = 2 , γ = γ 1 = 0.55 和 θ 1 = 1.5 ). 在本节中，我们将研究S公司-塑造RU并开发相应的聚合运算符。一般来说S公司-形状RU由以下公式给出：
v（v） ( x个 ) = v（v） 1 ( x个 ) , x个 ≥ b条 − v（v） 2 ( x个 ) , x个 < b条
哪里 v（v） 1 ( x个 ) > 0 和 v（v） 2 ( x个 ) > 0 .让 v（v） 1 是基本效用函数， v（v） ( x个 ) = v（v） 1 ( x个 ) 如果没有参考点。实用程序 v（v） ( x个 ) 满足以下条件：
（1）
v（v）严格增加；
(2)
v（v）是凸的 x个 < b条 和凹面 x个 > b条 ;
(3)
v（v）是不对称的 x个 > b条 以下为： v（v） ( x个 − b条 ) < − v（v） ( b条 − x个 ) ;
(4)
v（v） ′ ( x个 − b条 ) < v（v） ′ ( b条 − x个 ) 为所有人 x个 > b条 、和 v（v） ( b条 ) = 0 .
在决策过程中，参考点下方（上方）的属性值可视为相对损失（收益）。我们接下来指定我们的S公司-成型RU。让 x个 = ( x个 1 , x个 2 , ⋯ , x个 n个 ) 是输入参数的集合，并且 w个 = ( w个 1 , w个 2 , ⋯ , w个 n个 ) 是满足以下条件的权重向量：
∑ 我 = 1 n个 w个 我 = 1 和 w个 我 > 0 对于 1 ≤ 我 ≤ n个 .
安n个-维度的S公司-成型RU聚合运算符映射（f）由以下因素决定：
v（v） 1 ( z（z） ) = （f） ( v（v） ( x个 1 ) , v（v） ( x个 2 ) , ⋯ , v（v） ( x个 n个 ) ) ,
哪里 v（v） ( x个 ) 是一个S公司-成型RU和z（z）是聚合结果。由于聚合结果z（z）没有参考点，我们使用基本的效用函数 v（v） 1 （而不是分段效用函数v（v）)表示聚合结果的效用z（z）为了获得有效的聚合结果，我们的目标是在 v（v） 1 ( z（z） ) 在所有结果中，也就是说，我们打算最小化聚合结果之间的偏差加权和 v（v） 1 ( z（z） ) 和每个输入的值 v（v） ( x个 我 ) 以下为：
最小值 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 d日 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) )
哪里 d日 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) ) 是一个偏差度量，用于测量 v（v） ( x个 我 ) 和 v（v） 1 ( z（z） ) .
根据惩罚函数理论，有三种偏差度量[8,27]即。，
d日 1 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) ) = v（v） ( x个 我 ) v（v） 1 ( z（z） ) λ + v（v） 1 ( z（z） ) v（v） ( x个 我 ) λ − 2 , d日 2 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) ) = 1 − v（v） ( x个 我 ) v（v） 1 ( z（z） ) λ 2 , d日 三 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) ) = ( v（v） 1 λ ( z（z） ) − v（v） λ ( x个 我 ) ) 2 ,
哪里λ是满足要求的参数 λ ∈ ( − ∞ , 0 ) ⋃ ( 0 , + ∞ ) 一阶条件（匹配关于z（z）模型中目标函数的0）(4)得到以下三个算子：（1）多参考相关聚合（MR）算子；（2） 比例相关聚合算子；（3）减法相关聚合（SR）算子。请参见表1了解这三个运算符的详细公式。
在不失通用性的情况下，我们在本文的其余部分中重点讨论了MR算子；中的其他两个运算符表1可以用类似的方法导出。对于给定向量 x个 ，让 年 = ( 年 1 , 年 2 , ⋯ , 年 n个 ) 是的有序版本 x个 也就是说， 年 我 是我第个最大的论点 x个 = ( x个 1 , x个 2 , ⋯ , x个 n个 ) 在下文中，我们提出了一个新的S公司-形状有序的多引用相关聚合运算符。
定义 1
n维S形有序多参考相关聚合（SOMR）算子是SOMR的映射： 对 + n个 → 对 + 定义如下：
SOMR公司 ( x个 ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ ,
其中两组是：
Y（Y） 1 = 1 ≤ 我 ≤ n个 , 年 我 ≥ b条 我 , Y（Y） 2 = 1 ≤ 我 ≤ n个 , 年 我 < b条 我 ,
和 b条 我 是的参考点 年 我 （即第i个最大值的参考点 x个 我 )，权重向量 w个 满足表达式(2)、和 λ > 0 是一个奇数，可以确保反函数定义明确（即唯一确定）。
以下命题表明SOMR算子是单调的、有界的、可交换的、幂等的，从而满足了聚集算子的一般性质[6]. 这些性质的证明如下附录A.1.
提议 1（SOMR的属性）.
定义1中给出的SOMR运算符满足以下属性：
（1） 
（单调性）对于两个向量 x个 和 x个 ¯ 具有 x个 我 ≥ x个 ¯ 我 和相同的参考点，然后 SOMR公司 ( x个 ) ≥ SOMR公司 ( x个 ¯ ) .
(2) 
（有界性）如果 b条 1 ≤ 年 1 = 最大值 我 x个 我 和 b条 n个 > 年 n个 = 最小值 我 x个 我 ，然后 v（v） 1 − 1 v（v） 2 ( 年 n个 ) ≤ SOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 .
(3) 
（交换性）如果 x个 ^ 是的排列 x个 ，然后 SOMR公司 ( x个 ) = SOMR公司 ( x个 ^ ) .
(4) 
（幂等）如果 x个 我 = x个 ≥ x个 0 为所有人 1 ≤ 我 ≤ n个 ，然后 SOMR公司 ( x个 ) = x个 .

2.2. 潜在客户引用相关聚合运算符

决策分析中常用的RU是前景值函数[10]，具有以下形式：
v（v） ( x个 ) = v（v） 1 ( x个 ) = ( x个 − b条 ) α 0 , x个 ≥ b条 − v（v） 2 ( x个 ) = − θ 0 ( b条 − x个 ) β 0 , x个 < b条
哪里 0 < α 0 , β 0 < 1 、和 θ 0 > 1 是损失厌恶系数。引入潜在价值函数(7)在方程式中(5)，我们导出了以下前景有序的多引用相关聚合算子。
定义 2
n维前景有序多参考依赖聚合（POMR）运算符是POMR的映射： 对 + n个 → 对 +
POMR公司 ( x个 ) = ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ α 0 ,
哪里 年 = ( 年 1 , 年 2 , ⋯ , 年 n个 ) 是的订购版本 x个 , v（v） 1 ( 年 我 ) 和 v（v） 2 ( 年 我 ) 在前景值函数中给出(7)、和 Y（Y） 1 和 Y（Y） 2 由Set给出(6).
获取参数的特殊值λ, α 0 , β 0 , θ 0 和 b条 我 ，POMR操作符退化为许多不同的聚合操作符，包括有序多参考依赖（OMR）操作符、GOWMA操作符[8]，前景有序多重几何（POMG）算子，有序加权多重平均（OWMA）算子[8]等（请参见，表A1在里面附录A.3).
我们注意到，前景价值函数的幂-效用结构是一个具有恒定相对风险规避（CRRA）的函数。然而，实证研究表明，个体之间的风险厌恶并不是一个精确的常数，即常数绝对风险厌恶（CARA）[28]. 这促使我们进一步考虑更通用的SOMR操作符（扩展电源-公用设施结构）。

2.3. S形双曲型绝对风险规避（HARA）参考依赖聚合算子

格拉塞利[29]和Jung&Kim[30]引入双曲线绝对风险规避效用函数：
u个 ( x个 ) = 1 − γ β γ β 1 − γ x个 + η γ ,
哪里 β > 0 , η > 0 和 γ ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) （有关参数的更多讨论，请参阅[28,31]).
HARA的一般结构使其能够通过适当的参数调整涵盖丰富的操作员类别。例如，HARA的特殊情况包括当 β = 1 − γ 和 η = 0 ，指数效用函数，当 η = 1 和 γ → − ∞ 和对数实用函数 η = γ = 0 和 β = 1 。在本小节中，我们引入了S公司-形成了HARA参考依赖效用函数，并开发了相应的聚合算子。
我们推广了HARA效用函数(9)至以下S公司-形状HARA RU：
v（v） ( x个 ) = v（v） 1 ( x个 ) = 1 − γ β γ β 1 − γ x个 − b条 + η γ − η γ , x个 ≥ b条 − v（v） 2 ( x个 ) = − θ 1 ( 1 − γ 1 ) β 1 γ 1 β 1 1 − γ 1 b条 − x个 + η 1 γ 1 − η 1 γ 1 , x个 < b条
哪里 x个 − b条 结果之间的差异x个和参考点b条，表示相对增益（当 x个 ≥ b条 )以及相对损失（当 x个 < b条 )、和 θ 1 > 1 是损失厌恶系数， β , β 1 , η , η 1 > 0 、和 γ , γ 1 ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .
可以毫不含糊地验证上述内容S公司-成型HARA RU满足中讨论的所有基本特性第2.1节.应用实用函数(10)到方程式(5)产生以下结果S公司-形状HARA排序的多引用相关聚合运算符。
定义 三。
n维S形HARA有序多参考相关聚合（SHOMR）算子是SHOMR的映射： 对 + n个 → 对 +
SHOMR公司 ( x个 ) = 1 − γ β β γ 1 − γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ + η γ 1 / γ − η ,
哪里 年 = ( 年 1 , 年 2 , ⋯ , 年 n个 ) 是的有序版本 x个 , v（v） 1 ( 年 我 ) 和 v（v） 2 ( 年 我 ) 在效用函数中给出(10)、和 Y（Y） 1 和 Y（Y） 2 由Set给出(6).
什么时候？ β = β 1 , γ = γ 1 , η = η 1 ，SHOMR算子退化为：
SHOMR公司 ( x个 ) = 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ + η γ 1 / γ − η ,
哪里 μ 1 ( 年 我 ) = ( β ( 年 我 − b条 我 ) / ( 1 − γ ) + η ) γ − η γ 和 μ 2 ( 年 我 ) = θ 1 ( ( β ( b条 我 − 年 我 ) / ( 1 − γ ) + η ) γ − η γ ) .
我们注意到SHOMR运营商的家族非常富有。考虑特殊值λ,β,η,γ, θ 1 和 b条 我 ，我们可以证明SHOMR运算符涵盖了广泛的现有聚合运算符，包括S公司-形状有序多重（SOM）算子[8],S公司-形状有序几何（SOG）算子、有序多重几何参考依赖（OMGR）算子、OWMA算子[8]等，请参见表A2有关这些运算符的详细参数和公式，请参见附录A.3.

3.关于相对损失的风险规避型DM的聚合运算符

3.1、。总体框架

另一个有趣的例子是，如果DM将相对损失视为扭曲的积极结果，那么DM可能会对相对损失（而不是寻求风险）持规避风险的态度[11]. 在这种情况下，总效用曲线（对于相对收益和损失）变为分段非-S公司-两块都是凹形的RU。A非-S公司-形状RU与S公司-在两个方向上成形RU：（1）非-S公司-成型RU反映了对相对损失的风险规避态度，而S公司-成型RU代表了对相对损失的风险寻求态度；（2） 非-S公司-成型RU将参考点以下的积极结果解释为扭曲的积极增益，而S公司-成型RU将其视为真正的损失。研究非-S公司-形状RU可以在中找到[15,16].
据沙列夫介绍[11]，非的实用程序-S公司-通过减去损失乘以损失厌恶系数，缩小参考点下方的形状RU。那就是，
v（v） ( x个 ) = u个 ( x个 ) , x个 ≥ b条 u个 1 ( x个 ) = u个 ( x个 ) − θ ( u个 ( b条 ) − u个 ( x个 ) ) , x个 < b条
其中函数 v（v） ( x个 ) 非递减，b条是参考点，并且 θ ≥ 0 是损失厌恶系数。较大的值θ表示风险规避程度较高。
非-S公司-相对损耗的形状RU是凹形的（而不是凸形的S公司-形状RU）。在存在参考点的情况下，低于参考点的效用值表示收益不符合预期。因此，参考点以下结果的效用低于基本效用函数，如图3.
非-S公司-可以使用中提出的惩罚函数方法开发成型RU聚合算子第2节.
定义 4
n维非S形有序多参考相关聚合（NOMR）算子是NOMR的映射： 对 + n个 → 对 +
NOMR公司 ( x个 ) = u个 − 1 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ ,
哪里 u个 ( 年 我 ) 和 u个 1 ( 年 我 ) 在实用函数中给出(13)， λ ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) , 年 是的有序序列 x个 、和 Y（Y） 1 和 Y（Y） 2 由Set给出(6).
与SOMR类似，NOMR算子满足聚集算子的期望性质，即它是单调的、有界的、可交换的、幂等的。参见中的命题A2附录A.2.

3.2. 非S形HARA引用相关聚合运算符

HARA简介(9)在实用函数中(13)，我们得到，
v（v） ( x个 ) = u个 ( x个 ) = 1 − γ β γ β 1 − γ x个 + η γ , x个 ≥ b条 u个 1 ( x个 ) = 1 − γ β γ β 1 − γ x个 + η γ − θ β 1 − γ b条 + η γ − β 1 − γ x个 + η γ , x个 < b条
哪里 β > 0 , η > 0 , γ ∈ ( − ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) 。类似于第2.3节，替换实用程序Function(15)到方程式中(14)，我们可以获得一个新的非-S公司-成形HARA有序多参考相关聚合算子。
定义 5
n维非S形HARA有序多参考相关聚合（NHOMR）算子是NHOMR的映射： 对 + n个 → 对 +
NHOMR公司 ( x个 ) = 1 − γ β β γ 1 − γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ 1 / γ − η ,
哪里 u个 ( 年 我 ) 和 u个 1 ( 年 我 ) 在实用函数中给出(15)， 年 是的有序序列 x个 、和 Y（Y） 1 和 Y（Y） 2 由Set给出(6).
备注 1（NHOMR操作员的特殊情况）.
NHOMR操作员非常通用。
（1） 考虑无参考点b的正则HARA效用和损失厌恶θ，方程中的NHOMR算子(16)退化为HARA有序多重聚集（HOM）算子：
最高占有分子 ( x个 ) = 1 − γ β ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η λ γ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η − λ γ 1 / 2 λ γ − η .
（2） 为了对DM的风险中性态度进行建模，我们可以简单地让 u个 ( x个 ) = x个 和 θ = 0 ; 在这种情况下，方程式(14)退化为，
GOWMA公司 ( x个 ) = ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ 1 / 2 λ ,
这是著名的GOWMA运营商[8]; （3） 在NHOMR算子中取λ、γ、β、η和θ的特殊值，我们发现它涵盖了许多现有的聚集算子，例如GOWMA算子[8]，有序加权几何平均（OWGA）算子[4]、OWMA操作员[8]，常数-OWGA（CC-OWGA）运算符[32]等，请参见表A3在里面附录A.3.

4.引用相关聚合算子的新权重模型

由于MAGDM问题具有多个备选方案、多个属性和多个DM，因此适当确定属性和DM的权重成为关键步骤。在本节中，我们提出了计算权重的新模型；我们的模型通过考虑属性值的变化来捕捉决策过程中的真实特征。实际上，如果一个属性的值在所有备选方案中都有小（大）的变化，那么这样的属性在选择最佳备选方案时应该起到不太重要（更重要）的作用，因此它应该具有较小（更大）的权重。我们首先计算属性的权重(第4.1节)然后计算DM的权重(第4.2节).

4.1. 属性的权重模型

我们简要回顾了文献中的相关权重方法。一个流行的想法是根据给定的orness级别（DM的态度特征；参见[33]关于orness的详细信息），它被表示为一个约束优化问题。优化问题的目标包括最小方差法[19]，最小分散法[20]，最小平方法[21]，最小视差法[22]，和最大贝叶斯熵方法[23]等。
然而，上述方法没有考虑输入参数信息对属性权重的影响。换句话说，这些方法假设属性权重的确定与属性值的分布无关，这显然是不合理的[34].
决策科学中的一个共识是，一个属性的结果在备选方案中的变化越大，这个属性就越重要（表明应该分配更大的权重）[34]. 例如，我们考虑以下两个决策矩阵 X（X） 1 和 X（X） 2 ; 在这里 X（X） 2 派生自 X（X） 1 （两列位于 X（X） 1 交换）：
X（X） 1 = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 0.2 0.1 0.3 0.9 0.2 0.5 和 X（X） 2 = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 0.1 0.2 0.9 0.3 0.5 0.2 ,
在矩阵中 X（X） 1 ，属性 克 1 应该发挥比 克 2 在决策过程中，因为 克 1 在所有备选方案中具有相似的值（因此变化很小），而 克 2 有更大的变化 A类 1 , A类 2 和 A类 三 .如果属性的结果（例如 克 1 )几乎相同，则可以从决策过程中删除此类属性（也就是说，可以为该属性分配零权重）。
然而，上述权重模型没有考虑属性变化的影响。此外，这些权重模型将为两个决策矩阵产生相同的权重 X（X） 1 和 X（X） 2 （两列位于 X（X） 1 交换），这是不现实的。据我们所知，很少有研究考虑属性变化对确定算子权重的影响。为了解决这个问题，我们提出了一个新的属性权重模型。在我们的模型中，一个相对较大（较小）的权重将被分配给在备选方案中具有较大（较小的）变化的属性。我们将我们的模型命名为属性-偏差权重模型。
Wang&Parkan中权重模型的推广[20]，我们提出了一个新的优化模型来确定属性的权重。在这里， w个 k个 = ( w个 1 k个 , w个 2 k个 , ⋯ , w个 n个 k个 ) 表示的属性权重向量k个第个DM。
最大值 P（P） 1 ∑ j = 1 n个 ∑ 我 = 1 米 ∑ 小时 = 1 米 w个 j k个 d日 ( x个 我 j ( k个 ) , x个 小时 j ( k个 ) ) − P（P） 2 ∑ j = 1 n个 − 1 d日 ( w个 j k个 , w个 j + 1 k个 ) 秒 . t吨 . w个 j k个 ∈ H（H） , ∑ j = 1 n个 w个 j k个 = 1 , w个 j k个 > 0 .
我们现在解释一下新模型的目标函数。为了保持公平，所有属性都应被视为同等重要，因此建议同等权重。另一方面，在确定权重时还应考虑属性变化的影响。也就是说，变量较大的属性应分配较大的权重。在我们的模型中，模型目标函数中的第一项(19)解释了属性偏差： d日 ( x个 我 j ( k个 ) , x个 小时 j ( k个 ) ) 表示的偏差 x个 我 j k个 和 x个 小时 j k个 、和 ∑ 我 = 1 米 ∑ 小时 = 1 米 w个 j ( k个 ) d日 ( x个 我 j ( k个 ) , x个 小时 j ( k个 ) ) 表示属性的所有备选方案的偏差 克 j 在 D类 米 k个 其次，第二项旨在最小化权重的总变化。这两个因素 P（P） 1 和 P（P） 2 在这里，代表这两个术语的相对重要性， P（P） 1 + P（P） 2 = 1. 这套H（H）表示关于权重的不完整信息（例如，由于缺乏数据和对问题域的了解有限）[35,36]. 套装H（H）通常满足以下一种或几种形式：
  • 排名不佳： { w个 我 k个 ≥ w个 j k个 } ;
  • 严格排名： { w个 我 k个 − w个 j k个 ≥ α 我 } ;
  • 具有倍数的排名： { w个 我 k个 ≥ α 我 w个 j k个 } ;
  • 间隔形式： { α 我 ≤ w个 我 k个 ≤ α 我 + ε 我 } ;
  • 差异排序： { w个 我 k个 − w个 j k个 ≥ w个 小时 k个 − w个 我 k个 } ，用于 j ≠ 小时 ≠ 我 , α 我 , ε 我 > 0
备注 2（属性权重模型的一般性（19））.
我们提倡这种模式(19)不仅捕获了DM的评价信息，而且保持了一定的公平性。如果 P（P） 2 = 0 模型的目标函数(19)重点是最大化所有备选方案中属性的总偏差。另一方面，如果 P（P） 1 = 0 ，型号(19)退化为几个现有模型，包括最小齐方模型[21]，最小视差模型[22]等。
与模型类似(4)、各种形式的偏差测量d日可以在模型中使用(19). 在不失一般性的情况下，本文考虑 d日 ( 第页 , q个 ) = 第页 λ / q个 λ + q个 λ / 第页 λ − 2 .

4.2. 决策者的权重模型

一旦单个聚合完成，将存在一个由多个DM和多个备选方案组成的新矩阵。由于多个DM的参与，最终决定应集体作出；它应该反映所有DM的意见。决策过程中剩下的一个问题是如何确定决策模型的权重。
属性权重模型已被应用于计算决策模型的权重，例如最小方差法[19]，最小平方法[21]，最小化与极值点的距离（MDP）方法[24]，投票方法[25]和改进的minimax视差法[26]. 然而，上述方法的共同缺点是，决策模型的高度主观性可能导致决策不准确，有时会导致决策结果有偏差。
为了解决这个问题，我们提出了一种新的方法。该方法的思想是将较大的权重分配给单个聚合偏差较小的DM。具体来说，如果k个DM的意见更符合最佳聚合结果，即k个第个个人成绩 第页 ( k个 ) = { 第页 1 k个 , 第页 2 k个 , ⋯ , 第页 米 k个 } 更接近最佳聚合结果 第页 * = { 第页 1 * , 第页 2 * , ⋯ , 第页 米 * } ，将为k个第个DM。
我们通过考虑三个DM矩阵来说明我们的想法 D类 ( 1 ) , D类 ( 2 ) 和 D类 ( 三 ) ，以及它们的理想矩阵 D类 ( * ) （三个矩阵的平均值）。有三种选择和两种属性。
D类 ( 1 ) = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 1 2 三 4 2 三 , D类 ( 2 ) = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 4 5 6 7 5 6 , D类 ( 三 ) = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 6 7 8 9 7 8 , D类 * = 克 1 克 2 A类 1 A类 2 A类 三 3.7 4.7 5.7 6.7 4.7 5.7
很容易看出这一点 D类 ( 2 ) 最接近 D类 * 虽然 D类 ( 三 ) 距离最远 D类 * 因此，重量应满足 w个 2 ( D类 米 ) > w个 1 ( D类 米 ) > w个 三 ( D类 米 ) 因此，我们提出以下新的优化模型来计算DM的最佳权重。
最小值 P（P） 1 ∑ k个 = 1 我 ∑ 我 = 1 米 w个 k个 ( D类 米 ) d日 ( 第页 我 k个 , 第页 我 * ) + P（P） 2 ∑ k个 = 1 我 − 1 d日 ( w个 k个 ( D类 米 ) , w个 k个 + 1 ( D类 米 ) ) 秒 . t吨 . w个 k个 ( D类 米 ) ∈ H（H） ( D类 米 ) , ∑ k个 = 1 我 w个 k个 ( D类 米 ) = 1 , w个 k个 ( D类 米 ) > 0 ,
哪里 w个 ( D类 米 ) = ( w个 1 ( D类 米 ) , w个 2 ( D类 米 ) , ⋯ , w个 我 ( D类 米 ) ) 表示DM的权重向量， d日 ( 第页 我 k个 , 第页 我 * ) 表示偏差 第页 我 k个 和 第页 我 * 、和 d日 ( w个 k个 ( D类 米 ) , w个 k个 + 1 ( D类 米 ) ) 表示的偏差 w个 k个 ( D类 米 ) 和 w个 k个 + 1 ( D类 米 ) .
与模型类似(19)，中目标函数的第二项(20)旨在维护所有DM的公平性。 H（H） ( D类 米 ) 是一个加权集，在模型中具有类似的条件(19). 我们称之为模型(20)作为DM-偏差权重模型。
我们注意到非线性优化问题(19)和(20)（以及相应的最佳权重向量 w个 ( k个 ) 和 w个 ( D类 米 ) )可以通过MATLAB和Lingo软件等数值求解器快速求解。我们在第6节，我们使用Lingo解决模型(19)和(20).

5.一种新的MAGDM参考相关聚合方法

在本节中，我们开发了一种基于中的RU聚合运算符的MAGDM新方法第2节和第3节以及中的新重量模型第4节该方法通过六个步骤总结为一个简单的算法。我们首先描述算法输入。
新MAGDM算法的输入数据。让 A类 = A类 1 , A类 2 , ⋯ , A类 米 是一套米选择， 克 = 克 1 , 克 2 , ⋯ , 克 n个 是一套n个属性，以及 D类 = D类 1 , D类 2 , ⋯ , D类 我 是一套我DM。假设 w个 ( D类 米 ) = ( w个 1 ( D类 米 ) , w个 2 ( D类 米 ) , ⋯ , w个 我 ( D类 米 ) ) 是DM的权重向量 w个 k个 = ( w个 1 k个 , w个 2 k个 , ⋯ , w个 n个 k个 ) 是的属性权重向量k个th DM，以便 w个 j k个 ≥ 0 , ∑ j = 1 n个 w个 j k个 = 1 , w个 k个 ( D类 米 ) ≥ 0 和 ∑ k个 = 1 我 w个 k个 ( D类 米 ) = 1 、DM意见 D类 k个 , 1 ≤ k个 ≤ 我 ，以决策矩阵为特征 S公司 ( k个 ) = ( 秒 我 j ( k个 ) ) 米 × n个 和参考点矢量 B类 ( k个 ) = ( b条 1 ( k个 ) , b条 2 ( k个 ) , ⋯ , b条 n个 ( k个 ) ) ，其中 秒 我 j ( k个 ) 是的输入参数 D类 k个 ∈ D类 作为替代方案 A类 我 ∈ A类 和属性 克 j ∈ 克 、和 b条 j k个 是的参考点 D类 k个 ∈ D类 for属性 克 j ∈ 克 。我们总结了以下所有输入数据，
我 = A类 , 克 , D类 , w个 ( k个 ) , w个 ( D类 米 ) , S公司 ( k个 ) , B类 ( k个 ) .
给定输入数据 我 英寸(21)，我们的目标是确定最佳替代方案 A类 * ∈ A类 我们在下面给出了一种新的MAGDM算法。
第1步
转换决策矩阵 S公司 k个 到相应的规范化版本 对 k个 = ( 第页 我 j k个 ) 米 × n个 [8]:
第页 我 j k个 = 秒 我 j k个 / 最大值 我 秒 我 j k个 对于 j ∈ 我 1 和 第页 我 j k个 = 最小值 我 秒 我 j k个 / 秒 我 j k个 对于 j ∈ 我 2
哪里 我 1 是一组利润属性 我 2 是一组成本属性。
第2步
计算的属性权重向量 k个 第个 决策矩阵 w个 k个 通过解决模型中的优化问题(19)对于 k个 = 1 , 2 , ⋯ , 我 .
步骤3
聚合所有单个决策矩阵 对 ( k个 ) 获得集体决策矩阵 对 = ( 第页 我 k个 ) 米 × 我 通过使用属性权重向量和聚合操作符，以及以下等式(11)和(16)寻求风险和规避风险的态度。
第4步
计算DM权重 w个 ( D类 米 ) 通过解决模型中的优化问题(20).
第5步
聚合所有属性值 第页 我 k个 获取总体偏好值 t吨 我 替代方案的 A类 我 通过使用DM权重向量 w个 ( D类 米 ) = ( w个 1 ( D类 米 ) , w个 2 ( D类 米 ) , ⋯ , w个 我 ( D类 米 ) ) 和公式中给出的HOM运算符(17).
步骤6
对集体总体偏好值进行排名 t吨 1 , t吨 2 , ⋯ , t吨 米 按降序排列，然后选择最佳方案（例如，值最大的方案 t吨 我 ).

6.数值示例

本节进行了数值实验，以评估在第5节首先，在第6.1节我们将新方法应用于Merigó&Casanovas中介绍的多属性投资选择问题[7]结果表明，在存在参考点和损失厌恶系数的情况下，新方法的性能优于现有结果。其次，为了说明决策者的心理因素（如基本效用函数、参考点和损失转化系数）对决策结果的影响，第6.2节对进行敏感性分析β,η,γ,b条和θSHOMR操作员和NHOMR操作员。

6.1. 一个投资选择问题

我们首先解释了我们实验的框架。跟随Merigó&Casanovas[7]，我们考虑一家投资公司计划投资六种可能的替代方案( A类 1 , A类 2 , ⋯ , A类 6 ). 有六个属性( 克 1 , 克 2 , ⋯ , 克 6 )在每个备选方案的小组决策中。表2显示了备选方案和属性的详细信息。公司专家组由三个DM组成( D类 1 , D类 2 , D类 三 )每个DM就所有备选方案的所有属性提供自己的意见。标准化后的结果见表3.
我们考虑三个具有不同损失风险态度的DM：（1） D类 1 追求风险；(2) D类 2 规避风险；和（3） D类 三 对于完整性来说是风险中性的。它们相应的聚合运算符由等式给出(12), (16)和(18)分别是。与Ahn类似[35]，权重向量 w个 k个 ∈ H（H） 和 w个 ( D类 米 ) ∈ H（H） ( D类 米 ) 满足，
H（H） = 0.05 ≤ w个 1 k个 ≤ 0.2 , w个 2 k个 ≥ 0.1 , w个 三 k个 − w个 2 k个 ≥ 0.2 , 0.2 ≤ w个 三 k个 ≤ 0.3 , 0.05 ≤ w个 4 k个 ≤ 0.15 , 0.1 ≤ w个 5 k个 − w个 4 k个 ≤ 0.2 , 0.1 ≤ w个 6 k个 ≤ 0.3
对于 k个 = 1 , 2 , 三 和，
H（H） ( D类 米 ) ∈ { w个 2 ( D类 米 ) ≤ w个 1 ( D类 米 ) , 0.1 ≤ w个 2 ( D类 米 ) ≤ 0.2 , 0.1 ≤ w个 三 ( D类 米 ) − w个 2 ( D类 米 ) ≤ 0.2 } .
在整个数值分析过程中，为了简单起见，我们假设 λ = 1 , θ = θ 1 和 P（P） 1 = P（P） 2 = 0.5 .跟随Cox Huang[31]，我们让 β = β 1 = 5 , η = η 1 = 0.5 和 γ = γ 1 = − 7 用于基本HARA实用程序。通过应用新的MAGDM算法，我们在以下三种情况下得出了不同的最优方案。
案例 1
让参考点是属性值的平均值，即。， B类 1 = ( 0.72 , 0.60 , 0.67 , 0.63 , 0.67 , 0.75 ) , B类 2 = ( 0.65 , 0.65 , 0.68 , 0.65 , 0.65 , 0.75 ) 和损失厌恶系数 θ = 1.5 。我们的MAGDM算法第5节生成聚合结果和排序的备选方案：
( t吨 1 , t吨 2 , t吨 三 , t吨 4 , t吨 5 , t吨 6 ) = ( 0.461 , 0.558 , 0.485 , 0.484 , 0.534 , 0.441 ) , A类 2 ≻ A类 5 ≻ A类 三 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6 .
因此，最佳的投资选择是食品公司 A类 2 .
案例 2
假设参考点为 B类 1 = ( 0.62 , 0.50 , 0.57 , 0.53 , 0.57 , 0.65 ) 和 B类 2 = ( 0.55 , 0.55 , 0.58 , 0.55 , 0.55 , 0.65 ) ，损失规避系数为 θ = 1 。应用中提出的MAGDM算法第5节，我们得出：
( t吨 1 , t吨 2 , t吨 三 , t吨 4 , t吨 5 , t吨 6 ) = ( 0.529 , 0.576 , 0.585 , 0.547 , 0.592 , 0.483 ) , A类 5 ≻ A类 三 ≻ A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6 .
这意味着最佳的投资选择是家具公司 A类 5 。我们注意到，我们在本案中的结果与Merigó&Casanovas一致[7].
案例 三。
设置 B类 1 = ( 0.77 , 0.65 , 0.72 , 0.68 , 0.72 , 0.80 ) , B类 2 = ( 0.7 , 0.7 , 0.73 , 0.7 , 0.7 , 0.8 ) 和 θ = 三 产生以下结果：
( t吨 1 , t吨 2 , t吨 三 , t吨 4 , t吨 5 , t吨 6 ) = ( 0.292 , 0.316 , 0.325 , 0.287 , 0.304 , 0.238 ) , A类 三 ≻ A类 2 ≻ A类 5 ≻ A类 1 ≻ A类 4 ≻ A类 6 .
在这种情况下，最佳的投资选择是计算机公司 A类 三 .
备注 三（新方法的特点）.
与Merigó&Casanovas的方法相比[7]，我们的方法的主要特征可以归纳如下：
（1） 
SHOMR运算符（请参见方程式(11))和NHOMR运算符（请参见方程式(16))可以捕获DM对输入参数信息的心理偏好，而Merigó&Casanovas中的聚合运算符[7]在决策过程中没有考虑。具体而言，上述三个案例清楚地表明，最佳替代方案高度依赖于参考点 B类 损失厌恶系数θ；这证实了在聚合过程中捕捉DM的心理因素的重要性。DM可以选择不同的 B类 和θ基于风险偏好选择最优方案。
(2) 
属性-偏差权重模型（请参阅，模型(19))和DM-偏差权重模型（请参阅，模型(20))被构造来确定属性和DM的相关权重，而属性和DM的权重在Merigó和Casanovas中是完全已知的[7]. 事实上，由于现实中事物的复杂性和不确定性，属性和DM的权重通常是不完全已知的。
(3) 
新的聚合算子可以退化为包括OWGA算子在内的传统聚合算子[4]、OWMA操作员[8]，CC-OWGA操作员[32]和GOWMA操作员[8]等（请参见，表A1,表A2和表A3在里面附录A.3). 这样，新的聚合方法可以根据DM的利益考虑广泛的场景，并选择最接近其实际利益的替代方案。

6.2. 依赖于引用的聚合算子的敏感性分析

我们注意到，引入SHOMR和NHOMR运算符对DM聚合信息产生影响，并最终影响最佳备选方案的选择（参见方程式(12)和(16)). 然而，很难找到RU聚合运算符的这些参数在选择过程中起到什么作用。因此，我们对以下方面进行了敏感性分析：（1）中基本效用函数的参数第6.2.1节; （2） 中的参考点第6.2.2节; （3）损失厌恶系数第6.2.3节.

6.2.1. 基本效用函数中参数的敏感性分析

根据中给出的参数第6.1节,图4和图5和表4说明了最优方案的选择分别随一个参数、两个参数和三个参数的变化而变化。
发件人图4我们发现最优方案会随着参数的变化而变化β增加到某一点（请参见，图4a） 或与η（或，γ)减少到某一点（请参见，图4b、 c）。例如，最佳替代方案从 A类 2 到 A类 5 什么时候β从4增加到约7，或η从1降至0.1左右，或γ从-6.5降至-8.3左右。
图5和表4表明两个或三个参数的改变也会影响最优方案的选择。例如，图5a说明了当 0 < β < 5.5 和 η > 0.3 ，最佳投资选择是 A类 2 ; 什么时候 β > 5.5 和 0 < η < 0.3 ，最佳投资选择是 A类 5 .
特别地，表4表明最佳替代方案将从 A类 2 到 A类 5 绝对风险厌恶系数变化到某一点。这种变化趋势也适用于单参数和双参数情况。例如，在表4，最佳选择仍然是 A类 2 如果绝对风险规避系数的值 第页 ( x个 , γ , β , η ) = β ( 1 − γ ) / ( β x个 + η ( 1 − γ ) ) ≤ 5.33 （这里，我们假设 x个 = 0.7 )，而它将成为 A类 5 当 第页 ( x个 , γ , β , η ) > 5.71 。我们进一步研究了 第页 ( x个 , γ , β , η ) 在里面图6和图7我们看到了 第页 ( x个 , γ , β , η ) 增加β(图6a） 并且两者都减少了η和γ(图6b、 c）。图7显示了如何 第页 ( x个 , γ , β , η ) 取决于两个参数，第三个参数固定。
上述变化图4和图5和表4可以通过绝对风险规避系数的含义来理解 第页 ( x个 , γ , β , η ) 注意，随着绝对风险规避系数的增加，DM的风险态度变得更加谨慎[37]. 我们从中发现表3另一种选择 A类 5 主导备选方案 A类 2 关于属性 克 1 , 克 2 和 克 4 。请注意 克 1 , 克 2 和 克 4 分别表示投资的短期收益、中期收益和风险。在决策过程中，与决策者相比，决策者通常更关注这些属性 克 三 （长期利益）， 克 5 （投资难度）和 克 6 （其他因素）。因此，从投资审慎性的角度来看， A类 5 占主导地位 A类 2 作为 第页 ( x个 , γ , β , η ) 增加。换句话说，我们可以得出这样的结论：随着绝对风险厌恶系数的增加，最优方案将转变为相对谨慎的方案。我们注意到，新的MAGDM方法具有实用价值，因为其结果图4和图5或表4可以快速向DM提供有用的建议。

6.2.2. 参考点的敏感性分析

使用中指定的所有其他参数第6.1节,图8结果表明，参考点的变化会影响最优投资方案的选择。
发件人图8，我们看到所有备选方案的聚合结果作为参考点减少 B类 增加，并且最佳备选方案随参考点的变化而变化 B类 增加到某一点。更准确地说，最佳备选方案将变为具有参考点的相对风险方案 B类 增加到某一点。例如，使用参考点 B类 从−0.15变为−0.05 A类 5 从0.57降至0.555。因此，最佳替代方案从 A类 5 到 A类 2 .当参考点 B类 持续增加到0.07左右，最佳替代方案从 A类 2 到 A类 三 .
上述变化趋势图8可以用参考点的含义来解释 B类 单位为俄罗斯卢布。一方面，参考点下方的输入参数 B类 被视为S公司-形状的RU，相对损失的效用曲线是凸的，反映了DM的风险寻求态度。作为参考点 B类 增加，相对损失变大，这进一步使得DM更具风险寻求性。另一方面，尽管结果低于参考点 B类 被视为非-S公司-形状的RU，该参考点以下的效用曲线比没有任何参考点的情况下更陡，这意味着较大的参考点意味着较小的风险规避程度。
此外，表3显示了替代方案 A类 三 ≺ A类 2 ≺ A类 5 对于属性 克 1 （短期利益）， 克 2 （中期收益）和 克 4 （投资风险）。从投资审慎性的角度来看，这些属性通常比其他三个属性更重要： 克 三 （长期利益）， 克 5 （投资难度）和 克 6 （其他因素）。因此，参考点越大，意味着风险规避态度越少（决策层越关注风险替代品）。因此，最佳替代方案发生了变化 A类 5 → A类 2 → A类 三 随着参考点的增加。

6.2.3. 损失厌恶系数的敏感性分析

最后，我们研究了决策过程中损失厌恶系数对备选方案排序的影响。使用中的示例第6.1节，我们将六个备选方案的聚合结果绘制为损失厌恶系数的函数θ在里面图9.
我们从中发现图9每个备选方案的汇总结果减少为θ当损失厌恶系数增加到某一点时，最优方案变为风险相对较大的方案。例如 A类 5 当θ从1增加到约3；最佳替代方案从 A类 5 到 A类 2 什么时候θ从1增加到1.3左右，最佳替代方案将从 A类 2 到 A类 三 带有损失厌恶系数θ持续增长至2.7左右。
我们为上述观察提供了一些直观的见解。一方面，因为S公司-形状RU，对于θ意味着相对损失的效用曲线更陡峭（即损失的负效用值更大），这意味着DM的风险态度更倾向于冒险。另一方面，对于非-S公司-形状的RU，损失厌恶系数越大，相对损失的效用值越小，这种情况说明相对损失的实用曲线越陡。换句话说，损失厌恶系数越大，意味着对相对损失的风险厌恶程度越小。发件人表3，我们找到了替代方案 A类 三 ≺ A类 2 ≺ A类 5 对于属性 克 1 , 克 2 和 克 4 从投资谨慎性的角度来看，这些属性比其他属性对DM更有吸引力。请注意，随着损失厌恶系数的增加，DM对风险的态度变得更加冒险，因此，最优选择发生了变化 A类 5 → A类 2 → A类 三 作为θ增加。

7.结论

本文在聚合过程中引入了新的依赖于引用的实用函数。为了更好地模拟MAGDM中的心理因素，我们提出S公司-成型RU和非RU-S公司-塑造RU聚合操作符，以表征DM对相对损失的两种态度：寻求风险和规避风险。这个S公司-形状算子表示一种聚合函数，其中DM的态度是寻求相对损失的风险，而非-S公司-shape运算符表示了另一种类型的聚合函数，其中DM的态度是对相对损失的风险规避。此外，非-S公司-成形算子可以退化为GOWMA算子，这意味着DM的态度是风险中性的。具体来说，我们开发了一个SOMR聚合算子和一个NOMR聚合运算符S公司-成型HARA和非HARA-S公司-成型HARA实用框架；我们发现它们是交换的、单调的、有界的和幂等的。
此外，我们提出了属性偏差权重模型和DMs偏差权重模型来确定属性和DMs的权重，克服了现有聚合算子权重模型的不足。我们总结了基于RU算子和权重模型的新MAGDM方法。最后，我们测试了它的有效性，并通过数值例子演示了如何选择最佳方案。该方法可用于战略规划、投资组合选择、医疗诊断和军事系统评估等许多领域。我们相信，我们提出的方法为进一步研究以下许多有趣的问题留下了空间：（1）如何从DM中获得关于心理偏好的准确信息；以及（2）如何选择最有效地将优化问题引导到最优决策的公用事业。

致谢

作者非常感谢编辑和匿名审稿人提出的富有洞察力和建设性的意见和建议，这些意见和建议有助于改进论文。本研究得到了北京市人文社会科学基金重大项目15ZDA19号、中国自然科学基金71671064号、71271083号、中央高校基本科研业务费2015XS33号的资助。

作者贡献

高建伟和刘慧慧为这项工作做出了同等贡献。两位作者都阅读并批准了最终手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A

本附录分为三个部分，介绍了主要论文的支持材料。在附录A.1我们在中给出了命题1的证明第2节.英寸附录A.2我们给出了中NOMR算子性质的证明第3节.英寸附录A.3我们给出了依赖于引用的聚合算子族及其相应的证明。

附录A.1。SOMR算子性质的证明

提议 答：。
定义1中给出的SOMR运算符满足以下属性：
（1） 
（单调性）对于两个向量 x个 和 x个 ¯ 具有 x个 我 ≥ x个 ¯ 我 和相同的参考点，然后 SOMR公司 ( x个 ) ≥ SOMR公司 ( x个 ¯ ) .
(2) 
（有界）如果 b条 1 ≤ 年 1 = 最大值 我 x个 我 和 b条 n个 > 年 n个 = 最小值 我 x个 我 ，然后 v（v） 1 − 1 v（v） 2 ( 年 n个 ) ≤ SOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 .
(3) 
（交换性）如果 x个 ^ 是的排列 x个 ，然后 SOMR公司 ( x个 ) = SOMR公司 ( x个 ^ ) .
(4) 
（幂等性）如果 x个 我 = x个 ≥ x个 0 为所有人 1 ≤ 我 ≤ n个 ，然后 SOMR公司 ( x个 ) = x个 .
证明 属于 提议 答：。
（1）单调性。为了方便起见，让S公司表示：
索姆 ( x个 ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ .
  • 对于 我 ∈ Y（Y） 1 ，通过采用的一阶条件S公司关于 年 我 ，我们有，
    ∂ S公司 ∂ 年 我 = 1 2 v（v） 1 ′ ( S公司 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ − 1 × ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) − 2 w个 我 v（v） 1 λ − 1 ( 年 我 ) v（v） 1 ′ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) w个 我 v（v） 1 − λ − 1 ( 年 我 ) v（v） 1 ′ ( 年 我 ) .
  • 对于 我 ∈ Y（Y） 2 ，通过采用的一阶条件S公司关于 年 我 ，我们有，
    ∂ S公司 ∂ 年 我 = 1 2 v（v） 1 ′ ( S公司 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ − 1 × ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) − 2 − w个 我 v（v） 2 λ − 1 ( 年 我 ) ( v（v） 2 ( 年 我 ) ) ′ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) − w个 我 v（v） 2 − λ − 1 ( 年 我 ) ( v（v） 2 ( 年 我 ) ) ′ .
自 v（v） 1 ( 年 我 ) > 0 , v（v） 1 ′ ( 年 我 ) > 0 , v（v） 2 ( 年 我 ) > 0 和 ( v（v） 2 ( · ) ) ′ = ( v（v） 2 ( b条 我 − 年 我 ) ) ′ = − v（v） 2 ′ ( b条 我 − 年 我 ) < 0 ，我们得到 ∂ S公司 / ∂ 年 我 > 0 ，这意味着S公司相对于…单调增加 年 我 。请注意 x个 我 ≥ x个 ¯ 我 它们有相同的参考点 b条 我 ( 我 = 1 , 2 , ⋯ , n个 )，然后我们得到 SOMR公司 ( x个 ) ≥ SOMR公司 ( x个 ¯ ) .
(2)有限性。如果 b条 1 ≤ 年 1 = 最大值 1 ≤ 我 ≤ n个 x个 我 根据上述证据，我们得到了，
SOMR公司 ( x个 ) ≤ SOMR公司 ( 年 1 , 年 1 , ⋯ , 年 1 ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 1 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 1 ) 1 / 2 λ = 年 1 .
如果 b条 n个 > 年 n个 = 最小值 1 ≤ 我 ≤ n个 x个 我 然后通过单调性，我们得到了，
索姆 ( x个 ) ≥ SOMR公司 ( 年 n个 , 年 n个 , ⋯ , 年 n个 ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 n个 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 n个 ) 1 / 2 λ = v（v） 1 − 1 v（v） 2 ( 年 n个 ) .
因此， v（v） 1 − 1 v（v） 2 ( 年 n个 ) ≤ SOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 .
(3)交换性。让，
SOMR公司 ( x个 ^ ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 ∈ T型 1 w个 我 v（v） 1 λ ( t吨 我 ) − ∑ 我 ∈ T型 2 w个 我 v（v） 2 λ ( t吨 我 ) / ∑ 我 ∈ T型 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( t吨 我 ) − ∑ 我 ∈ T型 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( t吨 我 ) 1 / 2 λ .
自 ( x个 ^ 1 , x个 ^ 2 , ⋯ , x个 ^ n个 ) 是参数的任意排列 ( x个 1 , x个 2 , ⋯ , x个 n个 ) ，我们可以 年 我 = t吨 我 为所有人我。然后我们得到 SOMR公司 ( x个 ) = SOMR公司 ( x个 ^ ) .
(4)一时冲动。自 x个 我 = x个 ≥ x个 0 ，那么我们有，
SOMR公司 ( x个 ) = v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 1 λ ( x个 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 1 − λ ( x个 ) 1 / 2 λ = x个 .
☐

附录A.2。NOMR算子性质的证明

提议 答2：。
定义4中给出的NOMR运算符满足：
（1） 
（单调性）对于两个向量 x个 和 x个 ¯ 具有 x个 我 ≥ x个 ¯ 我 和相同的参考点，然后 NOMR公司 ( x个 ) ≥ NOMR公司 ( x个 ¯ ) .
(2) 
（有界性）如果 b条 1 ≤ 年 1 = 最大值 我 x个 我 和 b条 n个 > 年 n个 = 最小值 我 x个 我 ，然后 u个 − 1 ( u个 1 ( 年 n个 ) ) ≤ 名义 ( x个 ) ≤ 年 1 特别是， 年 n个 ≤ NOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 虽然 年 n个 = b条 n个 .
(3) 
（交换性）如果 x个 ^ 是的排列 x个 ，然后 NOMR公司 ( x个 ) = NOMR公司 ( x个 ^ ) .
(4) 
（无能为力）。如果 x个 我 = x个 ≥ x个 0 为所有人 1 ≤ 我 ≤ n个 ，然后 名义 ( x个 ) = x个 .
（1）单调性。为了方便起见，让N个表示，
NOMR公司 ( x个 ) = u个 − 1 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 2 λ ,
哪里 u个 1 ( 年 我 ) = u个 ( 年 我 ) − θ ( u个 ( b条 我 ) − u个 ( 年 我 ) ) .
  • 对于 我 ∈ Y（Y） 1 ，的一阶条件N个关于 年 我 意味着，
    ∂ N个 ∂ 年 我 = 1 2 u个 ′ N个 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 2 λ − 1 × w个 我 u个 λ − 1 ( 年 我 ) u个 ′ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) + w个 我 u个 − λ − 1 ( 年 我 ) u个 ′ ( 年 我 ) × ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) − 2 .
  • 对于 我 ∈ Y（Y） 2 ，的一阶条件N个关于 年 我 意味着，
    ∂ N个 ∂ 年 我 = 1 2 u个 ′ N个 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 2 λ − 1 × w个 我 u个 1 λ − 1 ( 年 我 ) u个 1 ′ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) + w个 我 u个 1 − λ − 1 ( 年 我 ) u个 1 ′ ( 年 我 ) × ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) − 2 .
自 u个 ( 年 我 ) > 0 , u个 ′ ( 年 我 ) > 0 , u个 1 ( 年 我 ) > 0 和 u个 1 ′ ( 年 我 ) > 0 ，我们获得 ∂ N个 ∂ 年 我 > 0 对于 我 ∈ Y（Y） 1 或 我 ∈ Y（Y） 2 ，意思是N个相对于…单调增加 年 我 。请注意 x个 我 ≥ x个 ¯ 我 它们有相同的参考点 b条 我 ( 我 = 1 , 2 , ⋯ , n个 )，然后我们得到 NOMR公司 ( x个 ) ≥ NOMR公司 ( x个 ¯ ) .
(2)有限性。与命题1类似，如果 b条 1 ≤ 年 1 = 最大值 1 ≤ 我 ≤ n个 x个 我 ，然后我们有了它，
NOMR公司 ( x个 ) ≤ 名义 ( 年 1 , ⋯ , 年 1 ) = u个 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 λ ( 年 1 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 − λ ( 年 1 ) 1 2 λ = 年 1 .
如果 b条 n个 > 年 n个 = 最小值 1 ≤ 我 ≤ n个 x个 我 然后从单调性中导出，
NOMR公司 ( x个 ) ≥ NOMR公司 ( 年 n个 , ⋯ , 年 n个 ) = u个 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 1 λ ( 年 n个 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 1 − λ ( 年 n个 ) 1 2 λ = u个 − 1 ( u个 1 ( 年 n个 ) ) .
因此， u个 − 1 ( u个 1 ( 年 n个 ) ) ≤ NOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 特别是， 年 n个 ≤ NOMR公司 ( x个 ) ≤ 年 1 虽然 年 n个 = b条 n个 .
(3)交换性。让，
NOMR公司 ( x个 ^ ) = u个 − 1 ∑ 我 ∈ T型 1 w个 我 u个 λ ( t吨 我 ) + ∑ 我 ∈ T型 2 w个 我 u个 1 λ ( t吨 我 ) / ∑ 我 ∈ T型 1 w个 我 u个 − λ ( t吨 我 ) + ∑ 我 ∈ T型 2 w个 我 u个 1 − λ ( t吨 我 ) 1 2 λ ,
自 ( x个 ^ 1 , x个 ^ 2 , ⋯ , x个 ^ n个 ) 是参数的任意排列 ( x个 1 , x个 2 , ⋯ , x个 n个 ) ，我们可以 年 我 = t吨 我 为所有人我。然后我们获得 NOMR公司 ( x个 ) = NOMR公司 ( x个 ^ ) .
(4)无能为力。自 x个 我 = x个 ≥ x个 0 ，那么我们有，
NOMR公司 ( x个 ) = u个 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 λ ( x个 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 u个 − λ ( x个 ) 1 2 λ = x个 .

附录A.3。依赖于引用的聚合运算符族

表
表A1。POMR运算符的族。
表A1。POMR运算符的族。
λ α 0 , β 0 , θ 0 b条 我 配方聚合运算符的名称
λ很奇怪并且 λ > 0 0 < α 0 < 1 , 0 < β 0 < 1 , θ 0 > 1 年 我 ≥ b条 我 , b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) α 0 λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − α 0 λ 1 / 2 λ α 0 潜在客户增益有序多参考依赖运算符（PGOMR）
年 我 ≥ b条 我 , b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 α 0 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − α 0 λ 1 2 λ α 0 潜在收益排序多重运算符（PGOM）
年 我 < b条 我 , b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) − λ 1 1 2 λ α 0 2 λ α 0 潜在客户损失排序多参考依赖运算符（PLOMR）
年 我 < b条 我 , b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( − θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) − λ 1 1 2 λ α 0 2 λ α 0 潜在客户损失排序多重操作员（PLOM）
α 0 → 1 , β 0 → 1 , θ 0 → 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − λ 1 / 2 λ 有序多引用相关运算符（OMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ 1 / 2 λ GOWMA操作员[8]
λ → 0 0 < α 0 < 1 , 0 < β 0 < 1 , θ 0 > 1 b条 我 ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 前景有序多重几何参考依赖算子（POMGR）
b条 我 = 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 前景有序多重几何算子（POMG）
α 0 → 1 , β 0 → 1 , θ 0 → 1 b条 我 ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( b条 我 − 年 我 ) w个 我 有序多重几何参考相关聚合算子（OMGR）
b条 我 = 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( − 年 我 ) w个 我 有序多重几何聚合算子（OMG）
λ = 1 0 < α 0 < 1 , 0 < β 0 < 1 , θ 0 > 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) α 0 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − α 0 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) − 1 1 1 2 α 0 2 α 0 恒定前景有序多参考依赖运算符（CPOMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 α 0 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − α 0 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 ( θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) − 1 1 1 2 α 0 2 α 0 恒定前景有序多重依赖算子（CPOM）
α 0 → 1 , β 0 → 1 , θ 0 → 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − 1 常量有序多引用依赖运算符（COMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − 1 OWMA操作员[8]
α 0 → 0 , β 0 → 0 , θ 0 → 1 b条 我 ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 . 恒定前景有序多重几何参考依赖算子（CPOMGR）
b条 我 = 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 年 我 w个 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 . 常前景有序多重几何算子（CPOMG）
表
表A2。SHOMR操作员系列 ( β = β 1 , γ = γ 1 , η = η 1 ) .
表A2。SHOMR操作员系列 ( β = β 1 , γ = γ 1 , η = η 1 ) .
λ β , η , γ , θ 1 b条 我 配方聚合运算符的名称
λ很奇怪并且 λ > 0 β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 θ 1 > 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) λ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 λ ( b条 我 − 年 我 ) λ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − λ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 − λ ( b条 我 − 年 我 ) − λ 1 1 2 λ 2 λ S公司-形状有序多参考依赖算子（SOMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 λ 年 我 λ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 − λ 年 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ S公司-形状有序多重运算符（SOM）
年 我 ≥ b条 我 o个 第页 年 我 < b条 我 , b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − λ 1 1 2 λ 2 λ 有序多引用相关运算符（OMR）
年 我 ≥ b条 我 o个 第页 年 我 < b条 我 , b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ GOWMA操作员[8]
λ → 0 β , η > 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ 1 > 1 b条 我 ≠ 0 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 1 − γ ( 年 我 − b条 我 ) + η γ − η γ w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 β 1 − γ ( b条 我 − 年 我 ) + η γ − η γ w个 我 + η γ 1 1 γ γ − η S公司-形状HARA有序几何参考相关算子（SHOGR）
b条 我 = 0 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 1 − γ 年 我 + η γ − η γ w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 β 1 − γ ( − 年 我 ) + η γ − η γ w个 我 + η γ 1 1 γ γ − η S公司-形HARA有序几何算子（SHOG）
β = 1 − γ , η → 0 , θ 1 > 1 b条 我 ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 w个 我 γ γ ( b条 我 − 年 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 w个 我 γ γ ( b条 我 − 年 我 ) w个 我 S公司-成形有序几何参考相关算子
b条 我 = 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 w个 我 γ γ ( − 年 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 w个 我 γ γ ( − 年 我 ) w个 我 S公司-形状有序几何算子（SOG）
β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 θ 1 → 1 b条 我 ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( b条 我 − 年 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( b条 我 − 年 我 ) w个 我 有序多重几何参考相关算子（OMGR）
b条 我 = 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( − 年 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( − 年 我 ) w个 我 有序多重几何算子（OMG）
λ = 1 β , η > 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ 1 > 1 b条 我 ≠ 0 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − 1 ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − 1 ( 年 我 ) + η γ 1 1 γ γ − η 常数HARA有序多参考依赖算子（CHOMR）
b条 我 = 0 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 A类 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 B类 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 A类 − 1 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 B类 − 1 + η γ 1 1 γ γ − η , A类 = β 年 我 1 − γ + η γ − η γ , B类 = θ 1 − β 年 我 1 − γ + η γ − η γ 常数HARA有序多重运算符（CHOM）
β > 0 , η → 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ 1 > 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) γ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 b条 我 − 年 我 γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − γ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 b条 我 − 年 我 γ − 1 1 1 2 γ 2 γ 定序多参考依赖算子（COMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 γ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 − 年 我 γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − γ − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 θ 1 − 年 我 γ − 1 1 1 2 γ 2 γ 常量有序多运算符（COM）
β > 0 , η → 0 , γ , θ 1 → 1 b条 我 ≠ 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 ( 年 我 − b条 我 ) − 1 常量有序多引用依赖运算符（COMR）
b条 我 = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − 1 OWMA操作员[8]
表
表A3。NHOMR操作员系列。
表A3。NHOMR操作员系列。
λ β , η , γ θ配方聚合运算符的名称
λ ∈ 对 ,
λ ≠ 0 		β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 θ ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 λ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ 非-S公司-成形有序多参考相关基本算子
θ = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ GOWMA操作员[8]
λ → 0 β > 0 , η > 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ ≠ 0 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 C类 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 1 + θ C类 γ − θ D类 γ w个 我 w个 我 γ γ − η , C类 = β 1 − γ 年 我 + η , D类 = β 1 − γ b条 我 + η 非-S公司-形状HARA有序参考依赖几何算子（NHORG）
θ = 0 1 − γ β ∏ 我 = 1 n个 β 1 − γ 年 我 + η w个 我 − η 有序加权效用几何平均HARA算子（OWUGA-HARA）[32]
β > 0 , η → 0 , γ → 1 θ ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 1 + θ 年 我 − θ b条 我 w个 我 非-S公司-形状有序几何算子（NOG）
θ = 0 ∏ 我 = 1 n个 年 我 w个 我 OWGA操作员[4]
λ = 1
或
λ = − 1 		β , η > 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ ≠ 0 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 C类 γ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ C类 γ − θ D类 γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 C类 − γ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ C类 γ − θ D类 γ − 1 1 1 2 γ 2 γ − η 常量非-S公司-形HARA有序多参考依赖算子（CNHOMR）
θ = 0 1 − γ β ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η γ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η γ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η − γ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 β 1 − γ 年 我 + η − γ 1 1 2 γ 2 γ − η 常数HARA有序多重运算符（CHOM）
β > 0 , η → 0 , γ ∈ 对 − ∪ ( 0 , 1 ) θ ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 γ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 γ − θ b条 我 γ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − γ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 γ − θ b条 我 γ − 1 1 1 2 γ 2 γ 常数非-S公司-成形HARA有序参考相关功率算符（CNHORP）
θ = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 γ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 γ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − γ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − γ 1 1 2 γ 2 γ 定序功率算符（COP）
β > 0 , η → 0 , γ → 1 θ ≠ 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − 1 + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 − 1 常量非-S公司-形状有序引用相关运算符（CNOR）
θ = 0 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − 1 OWMA操作员[8]
β , η > 0 , γ → 0 θ ≠ 0 1 β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 年 我 + η w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 β 年 我 + η ( 1 + θ ) w个 我 / β 年 我 + η ( 1 + θ ) w个 我 β b条 我 + η θ w个 我 β b条 我 + η θ w个 我 − η 常量非-S公司-形HARA有序几何算子（CNHOG）
θ = 0 1 β ∏ 我 = 1 n个 β 年 我 + η w个 我 − η CC-OWGA操作员[32]
β > 0 , η , γ → 0 θ ≠ 0 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 年 我 ( 1 + θ ) w个 我 / 年 我 ( 1 + θ ) w个 我 b条 我 θ w个 我 b条 我 θ w个 我 常量非-S公司-形状有序几何算子（CNOG）
θ = 0 ∏ 我 = 1 n个 年 我 w个 我 OWGA操作员[4]
中运算符的证明表A1,表A2和表A3.
POMGR操作员的证明。 
让 P（P） ( x个 ) 表示，
POMR公司 ( x个 ) = ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) 1 1 2 λ α 0 2 λ α 0 ,
哪里 v（v） 1 ( 年 我 ) = ( 年 我 − b条 我 ) α 0 , v（v） 2 ( 年 我 ) = θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 .根据洛必达的规定，我们有
林 λ → 0 P（P） ( x个 ) = 林 λ → 0 经验 1 2 α 0 λ 日志 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − λ ( 年 我 ) = 经验 1 α 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 α 0 日志 ( 年 我 − b条 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 日志 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 .
因此，
林 λ → 0 P（P） ( x个 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( b条 我 − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 .
特别是，如果 b条 我 = 0 ，那么我们有，
林 λ → 0 P（P） ( x个 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( θ 0 ( − 年 我 ) β 0 ) w个 我 w个 我 α 0 α 0 .
☐
CPOMGR运算符的证明。 
根据L'Hópital的规则，我们知道，
林 α 0 , β 0 → 0 , θ 0 → 1 P（P） ( x个 ) = 林 α 0 , β 0 → 0 , θ 0 → 1 经验 1 2 α 0 日志 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 v（v） 1 − 1 ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 v（v） 2 − 1 ( 年 我 ) = 经验 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 日志 ( 年 我 − b条 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 日志 ( 年 我 − b条 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 .
因此，
林 α 0 , β 0 → 0 , θ 0 → 1 P（P） ( x个 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 ( 年 我 − b条 我 ) w个 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 .
特别是，如果 b条 我 = 0 ，那么我们有，
林 α 0 , β 0 → 0 , θ 0 → 1 P（P） ( x个 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 年 我 w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 年 我 w个 我 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 .
☐
SHOGR运算符的证明。 
让 S公司 ( x个 ) 表示
SHOMR公司 ( x个 ) = 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − λ ( 年 我 ) 1 / 2 λ + η γ 1 / γ − η ,
哪里 μ 1 ( 年 我 ) = β ( 年 我 − b条 我 ) / ( 1 − γ ) + η γ − η γ , μ 2 ( 年 我 ) = θ 1 β ( b条 我 − 年 我 ) / ( 1 − γ ) + η γ − η γ 根据洛必达的规则，我们知道，
林 λ → 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − λ ( 年 我 ) 1 1 2 λ 2 λ = 林 λ → 0 经验 1 2 λ 日志 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 μ 1 − λ ( 年 我 ) − ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 μ 2 − λ ( 年 我 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 μ 1 w个 我 ( 年 我 ) / ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 μ 1 w个 我 ( 年 我 ) ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 μ 2 w个 我 ( 年 我 ) ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 μ 2 w个 我 ( 年 我 ) .
因此，
林 λ → 0 S公司 ( x个 ) = 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 1 − γ ( 年 我 − b条 我 ) + η γ − η γ w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 β 1 − γ ( b条 我 − 年 我 ) + η γ − η γ w个 我 + η γ 1 1 γ γ − η .
特别是，如果 b条 我 = 0 ，那么我们有，
林 λ → 0 S公司 ( x个 ) = 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 1 − γ 年 我 + η γ − η γ w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 θ 1 w个 我 β 1 − γ ( − 年 我 ) + η γ − η γ w个 我 + η γ 1 1 γ γ − η .
☐
NOMRB运算符的证明。 
让 N个 ( x个 ) 表示，
NHOMR公司 ( x个 ) = 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 1 2 λ γ 2 λ γ − η ,
哪里 u个 ( 年 我 ) = β 年 我 / ( 1 − γ ) + η γ , u个 1 ( 年 我 ) = 1 + θ β 年 我 / ( 1 − γ ) + η γ − θ β b条 我 / ( 1 − γ ) + η γ 因此，我们得到了
林 β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 N个 ( x个 ) = 林 β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 1 − γ β ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 1 2 λ γ 2 λ γ − η = ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 λ / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 λ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 − λ ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 年 我 − λ + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 1 + θ 年 我 − θ b条 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ .
注意，如果 θ = 0 ，然后我们得到，
林 β = 1 − γ , η → 0 , γ → 1 N个 ( x个 ) = ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ ∑ 我 = 1 n个 w个 我 年 我 − λ 1 1 2 λ 2 λ .
☐
NHORG操作员的证明。 
根据L'Hópital的规则，我们有，
林 λ → 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) 1 1 2 λ γ 2 λ γ = 林 λ → 0 经验 1 2 λ γ 日志 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 λ ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − λ ( 年 我 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 u个 ( 年 我 ) w个 我 w个 我 γ γ ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 u个 1 ( 年 我 ) w个 我 w个 我 γ γ .
因此，
林 λ → 0 N个 ( x个 ) = 1 − γ β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 1 − γ 年 我 + η w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 1 + θ β 1 − γ 年 我 + η γ − θ β 1 − γ b条 我 + η γ w个 我 w个 我 γ γ − η .
此外，如果 θ = 0 ，我们推导出，
林 λ → 0 N个 ( x个 ) = 1 − γ β ∏ 我 = 1 n个 β 1 − γ 年 我 + η w个 我 − η .
☐
CNHOG操作员的证明。 
根据L'Hópital的规则，我们有，
林 γ → 0 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − 1 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − 1 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − 1 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − 1 ( 年 我 ) 1 1 2 γ 2 γ = 林 γ → 0 经验 1 2 γ 日志 ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 ( 年 我 ) / ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − 1 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − 1 ( 年 我 ) ∑ 我 ∈ Y（Y） 1 w个 我 u个 − 1 ( 年 我 ) + ∑ 我 ∈ Y（Y） 2 w个 我 u个 1 − 1 ( 年 我 ) = ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 年 我 + η w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 β 年 我 + η ( 1 + θ ) / β 年 我 + η ( 1 + θ ) β b条 我 + η θ β b条 我 + η θ w个 我 .
因此，
林 γ → 0 N个 ( x个 ) = 1 β ∏ 我 ∈ Y（Y） 1 β 年 我 + η w个 我 ∏ 我 ∈ Y（Y） 2 β 年 我 + η ( 1 + θ ) β 年 我 + η ( 1 + θ ) β b条 我 + η θ β b条 我 + η θ w个 我 − η .
这就完成了证明。 ☐

工具书类

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对称09 00043 g001 550
图1。多属性群决策（MAGDM）聚合过程的一般框架。DM：决策者。
图1。多属性群决策（MAGDM）聚合过程的一般框架。DM：决策者。
对称09 00043 g001
对称09 00043 g002 550
图2。S形参考依赖实用函数。
图2。S形参考依赖实用函数。
对称09 00043 g002
对称09 00043 g003 550
图3。非S形引用相关实用程序函数（此处 u个 ( x个 ) = x个 + 1 对于 x个 ≥ 0 和 θ = 1 ).
图3。非S形引用相关实用程序函数（此处 u个 ( x个 ) = x个 + 1 对于 x个 ≥ 0 和 θ = 1 ).
对称09 00043 g003
对称09 00043 g004 550
图4。关于一个参数的最优方案的敏感性分析：(一)β; (b条)η; 和(c（c）)γ.
图4。关于一个参数的最优方案的敏感性分析：(一)β; (b条)η; 和(c（c）)γ.
对称09 00043 g004
对称09 00043 g005 550
图5。最优方案对两个参数的敏感性分析：(一)β和η; (b条)β和γ; 和(c（c）)η和γ.
图5。最优方案对两个参数的敏感性分析：(一)β和η; (b条)β和γ; 和(c（c）)η和γ.
对称09 00043 g005
对称09 00043 g006 550
图6。一个参数的绝对风险规避函数的变化：(一)β; (b条)η; 和(c（c）)γ.
图6。一个参数的绝对风险规避函数的变化：(一)β; (b条)η; 和(c（c）)γ.
对称09 00043 g006
对称09 00043 g007 550
图7。两个参数下绝对风险规避函数的变化：(一)β和η; (b条)β和γ; 和(c（c）)η和γ.
图7。两个参数下绝对风险规避函数的变化：(一)β和η; (b条)β和γ; 和(c（c）)η和γ.
对称09 00043 g007
对称09 00043 g008 550
图8。最优方案对参考点的敏感性分析 B类 .
图8。最优方案对参考点的敏感性分析 B类 .
对称09 00043 g008
对称09 00043 g009 550
图9。最优方案对损失厌恶系数的敏感性分析θ.
图9。最优方案对损失厌恶系数的敏感性分析θ.
对称09 00043 g009
表
表1。基于三个偏差度量的依赖于引用的聚合运算符。MR：多参考依赖聚合；PR：比例相关聚合；SR：减法-引用相关聚合。
表1。基于三个偏差度量的依赖于引用的聚合运算符。MR：多参考依赖聚合；PR：比例相关聚合；SR：减法-引用相关聚合。
操作员 d日 ( v（v） 1 ( z（z） ) , v（v） ( x个 我 ) ) z（z）
先生 v（v） λ ( x个 我 ) v（v） 1 λ ( z（z） ) + v（v） 1 λ ( z（z） ) v（v） λ ( x个 我 ) − 2 v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) ∑ 我 = 1 n个 w个 我 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) v（v） λ ( x个 我 ) ∑ 我 = 1 n个 w个 我 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) v（v） λ ( x个 我 ) 1 1 2 λ 2 λ
公共关系 1 − v（v） λ ( x个 我 ) v（v） 1 λ ( z（z） ) 2 v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 2 λ ( x个 我 ) / ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） 2 λ ( x个 我 ) ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) 1 1 λ λ
SR公司 ( v（v） 1 λ ( z（z） ) − v（v） λ ( x个 我 ) ) 2 v（v） 1 − 1 ∑ 我 = 1 n个 w个 我 v（v） λ ( x个 我 ) 1 1 λ λ
表
表2。备选方案的详细信息(左边)和属性(正确的).
表2。备选方案的详细信息(左边)和属性(正确的).
符号选择符号属性
A类 1 一家化工公司 克 1 短期效益
A类 2 一家食品公司 克 2 中期收益
A类 三 一家电脑公司 克 三 长期效益
A类 4 一家汽车公司 克 4 投资风险
A类 5 家具公司 克 5 投资难度
A类 6 一家制药公司 克 6 其他因素
表
表3。投资评估。
表3。投资评估。
D类 1 D类 2 D类 三
克 1 克 2 克 三 克 4 克 5 克 6 克 1 克 2 克 三 克 4 克 5 克 6 克 1 克 2 克 三 克 4 克 5 克 6
A类 1 0.70.80.60.70.50.90.60.80.50.60.40.80.70.60.60.60.40.7
A类 2 0.80.60.90.70.60.70.70.60.80.60.70.70.70.60.70.60.60.7
A类 三 0.50.40.80.30.80.80.70.60.80.70.80.80.60.50.80.50.80.8
A类 4 0.60.70.60.70.80.60.60.70.50.60.80.70.60.70.70.50.80.6
A类 5 0.90.80.40.70.70.80.70.80.70.70.60.80.70.80.60.70.60.8
A类 6 0.80.30.70.70.60.70.60.40.80.70.60.70.40.50.90.70.60.6
表
表4。最优方案对参数的敏感性分析β,η和γ.
表4。最优方案对参数的敏感性分析β,η和γ.
βηγ 第页 ( x个 ) 总体偏好值 t吨 我 订购
t吨 1 t吨 2 t吨 三 t吨 4 t吨 5 t吨 6
1120.50.07460.45020.52260.37930.47830.45390.3361 A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 5 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 6
三5−30.54300.45570.52350.41100.48040.47090.3630 A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 5 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 6
42−51.62160.45980.52520.43950.48250.49070.3881 A类 2 ≻ A类 5 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 三 ≻ A类 6
50.5−75.33330.46130.53840.48540.48390.53360.4406 A类 2 ≻ A类 5 ≻ A类 三 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6
60.45−65.71430.45970.53270.48150.48010.53290.4371 A类 5 ≻ A类 2 ≻ A类 三 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6
70.3−98.86080.45780.52980.47950.47690.53070.4329 A类 5 ≻ A类 2 ≻ A类 三 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6
90.1−1114.4000.44180.52410.47250.47110.52790.4290 A类 5 ≻ A类 2 ≻ A类 三 ≻ A类 4 ≻ A类 1 ≻ A类 6
120.05−1217.2380.43880.51250.46880.46950.52100.4258 A类 5 ≻ A类 2 ≻ A类 4 ≻ A类 三 ≻ A类 1 ≻ A类 6

分享和引用

MDPI和ACS样式

高杰。；刘，H。多属性群决策中的参考依赖聚合
.对称 2017,9, 43.https://doi.org/10.3390/sym9030043

AMA风格

高杰、刘海。多属性群决策中的参考依赖聚合
.对称. 2017; 9(3):43.https://doi.org/10.3390/sym9030043

芝加哥/图拉比安风格

高、建伟和刘慧慧。2017.“多属性群体决策中的参考依赖聚合
"对称第9页，第3页：43。https://doi.org/10.3390/sym9030043

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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