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第9卷
第3版
10.3390/sym9030029
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第条

基于广义度的图熵

通过
郭祥路
中国武汉市南湖大道182号中南财经政法大学统计与数学学院，邮编：430073
对称性 2017,9(3), 29;https://doi.org/10.3390/sym9030029
收到的提交文件：2016年11月23日/修订日期：2017年2月17日/接受日期：2017年2月20日/发布日期：2017年2月28日
（本文属于特刊复杂网络中的对称性II)
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版本注释

摘要

:
受图的广义熵的启发，利用已知的信息理论测度来刻画复杂网络的结构，提出了一类基于广义度的图熵。新的熵依赖于给网络分配度的概率分布。本文利用度幂证明了广义度图熵的一些极值性质。此外，还研究了熵之间的关系。最后，给出了数值结果以说明新熵的特征。

1.简介

如今，复杂网络的研究吸引了许多研究人员。一个有趣且重要的问题是使用不同的图形和网络度量来研究网络结构。同时，这些图形和网络度量在许多不同的领域都得到了广泛的应用，如化学、生物学、生态学、社会学和计算机科学[1,2,三,4,5,6,7]. 从信息论的观点来看，图的熵最初是由莫斯霍维茨应用的[8]和Trucco[9]. 随后，Dehmer引入了基于捕获结构信息的信息泛函的图熵，并研究了它们的性质[10,11,12]. 图熵被用作网络复杂性的度量和对称性分析的度量。最近，Dehmer和Mowshowitz研究了所谓的广义图熵[13]以便更好地进行分析和应用，如机器学习。广义图熵可以更有效地刻画复杂网络的拓扑结构[14].
度幂是一个极其重要的不变量，在图论和网络科学中得到了广泛的研究，因此它们通常被用作探索网络的信息泛函[15,16]. 为了研究基于度幂的图熵的更多性质，Lu等人获得了一些不同性能的上界和下界来限定不同类型图中的图熵，并展示了它们在结构复杂性分析中的应用[17,18]. 灵感来自Dehmer和Mowshowitz[13]，重点研究了度幂与参数复杂度测度之间的关系，然后利用上述广义图熵的概念构造了广义基于度的图熵。本文的结构如下：第2节综述了图论的一些定义和符号以及我们将要研究的图熵。在第3节，我们描述了由Dehmer和Mowshowitz提出的广义度基图熵的定义[13]. 在第4节，我们给出了与度幂有关的熵的一些极值性质。此外，我们还给出了广义度图熵之间的一些不等式。在第5节，一个示例网络的数值结果显示了新的熵。最后，在最后一节中给出了简短的总结和结论。

2.基于度的图熵的初步研究

A类图表或网络 G公司是有序对 ( V（V） , E类 ) 包括一组V（V）属于顶点连同一套E类属于边缘在网络科学中，顶点被称为节点有时。这个秩序图的顶点数。这个大小图的边数。顺序图n个和尺寸米被记录为 ( n个 , 米 ) -图表. The度顶点的v（v）记为 d日 ( v（v） ) 或者简而言之 d日 v（v） 表示连接到顶点的边数，其中连接顶点到自身的边（循环）计数两次。图中的最大度和最小度通常用 Δ ( G公司 ) 和 δ ( G公司 ) .如果每个顶点具有相同的度( Δ ( G公司 ) = δ ( G公司 ) )，然后G公司称为有规律的图形，或称为d-正则具有度顶点的图d日.无序顶点对 { u个 , v（v） } 如果路径从u个到v（v）.A型有联系的图是一个图，其中每个无序的顶点对都是连通的。否则，它被称为断开图表。显然，在连通图中， 1 ≤ δ ( G公司 ) ≤ Δ ( G公司 ) ≤ n个 − 1 .A型树是一个连通图，其中任何两个顶点仅通过一条路径连接。所以树是一个连接的 ( n个 , n个 − 1 ) -图表。 P（P） n个 表示为路径图其特征是树中除两个顶点外的所有顶点的度为2，其余两个顶点的度是1。 S公司 n个 表示为a星形图以除一个顶点外所有顶点的度数为1的树为特征。有关更多详细信息，请参阅[17,18].
接下来，我们描述（香农）熵的概念[19,20]. 符号“log”表示对数以2为基数，符号“ln”表示以对数为基数 e（电子） .
定义 1
让 第页 = ( 第页 1 , 第页 2 , ⋯ , 第页 n个 ) 是概率分布， 0 ≤ 第页 我 ≤ 1 和 ∑ 我 = 1 n个 第页 我 = 1 概率分布的（香农）熵定义为
H（H） ( 第页 ) : = − ∑ 我 = 1 n个 第页 我 日志 第页 我 .
在上述定义中，我们使用 0 日志 0 = 0 相应功能的连续性。
定义 2
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图 v（v） 我 ∈ V（V） ，我们定义
第页 ( v（v） 我 ) : = 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) ,
其中f是一个有意义的信息泛函。根据信息泛函f，将顶点映射到非负实数。
因为 ∑ 我 = 1 n个 第页 ( v（v） 我 ) = 1 ，数量 第页 ( v（v） 我 ) 可以看作是概率值。然后是图熵G公司定义如下[10,12,17,18].
定义 三。
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图，f是有意义的信息泛函。G的（香农）图熵定义为
我 如果 ( G公司 ) : = − ∑ 我 = 1 n个 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) 日志 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) .
定义 4
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图 v（v） 我 ∈ V（V） ，如果 如果 ( v（v） 我 ) = d日 我 ，然后
第页 ( v（v） 我 ) = d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 .
因此，G的基于度的图熵定义为
我 d日 ( G公司 ) : = − ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 日志 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 .

3.基于广义度的图熵

基于香农熵的定义，提出了熵测度的许多推广[21,22]. 例如，Rényi熵[23]达罗奇熵[24]和二次熵[25]是具有代表性的广义熵。在[13]Dehmer和Mowshowitz引入了一类新的广义图熵，它们是从上述熵测度的推广中导出的，并给出了两个例子。
定义 5
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图。那么
( 1 ) . 我 α 1 ( G公司 ) : = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 n个 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) α , α ≠ 1 ； ( 2 ) . 我 α 2 ( G公司 ) : = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 n个 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) α − 1 , α ≠ 1 ； ( 三 ) . 我 三 ( G公司 ) : = ∑ 我 = 1 n个 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) 1 − 如果 ( v（v） 我 ) ∑ j个 = 1 n个 如果 ( v（v） j个 ) .
定义 6
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图，a是它的邻接矩阵。用表示 λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n个 G.If的特征值 如果 ( v（v） 我 ) = ∣ λ 我 ∣ ，则广义图熵如下：
( 1 ) . λ 我 α 1 ( G公司 ) : = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 n个 ∣ λ 我 ∣ ∑ j个 = 1 n个 ∣ λ j个 ∣ α , α ≠ 1 ； ( 2 ) . λ 我 α 2 ( G公司 ) : = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 n个 ∣ λ 我 ∣ ∑ j个 = 1 n个 ∣ λ j个 ∣ α − 1 , α ≠ 1 ； ( 三 ) . λ 我 三 ( G公司 ) : = ∑ 我 = 1 n个 ∣ λ 我 ∣ ∑ j个 = 1 n个 ∣ λ j个 ∣ 1 − ∣ λ 我 ∣ ∑ j个 = 1 n个 ∣ λ j个 ∣ .
定义 7
让 G公司 = ( V（V） , E类 ) 是n阶图。表示轨道的集合 S公司 = { V（V） 1 , V（V） 2 , ⋯ , V（V） k个 } 以及它们各自的概率 ∣ V（V） 1 ∣ n个 , ∣ V（V） 1 ∣ n个 , ⋯ , ∣ V（V） k个 ∣ n个 ，其中k是轨道数。然后导出另一类广义图熵为
( 1 ) . o个 我 α 1 ( G公司 ) : = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 k个 ∣ V（V） 我 ∣ n个 α , α ≠ 1 ； ( 2 ) . o个 我 α 2 ( G公司 ) : = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 k个 ∣ V（V） 我 ∣ n个 α − 1 , α ≠ 1 ； ( 三 ) . o个 我 三 ( G公司 ) : = ∑ 我 = 1 k个 ∣ V（V） 我 ∣ n个 1 − ∣ V（V） 我 ∣ n个 .
因为很难获得图的特征值或轨道集合G公司对于一个大规模的图，它们在视觉上可能无法满足要求，本文重点研究由顶点本身决定的图或网络的复杂性以及它们之间的关系。对于给定的图形G公司，顶点度是一个重要的图不变量，它与图的结构属性有关。复杂网络的大多数其他属性都是基于度分布的，如聚类系数、社区结构等。图或网络中的顶点度也很直观和显著。选择具有不同度值的顶点作为图或网络的主要结构，可以决定图或网络复杂性。因此，我们基于顶点度和度幂研究广义图熵。
根据上述广义图熵的定义，设 如果 ( v（v） 我 ) = d日 我 对于 v（v） 我 ∈ V（V） ，然后我们得到了广义的基于度的图熵，如下所示：
定义 8
( 1 ) . 我 α , d日 1 ( G公司 ) : = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 α , α ≠ 1 ；
( 2 ) . 我 α , d日 2 ( G公司 ) : = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 α − 1 , α ≠ 1 ；
( 三 ) . 我 d日 三 ( G公司 ) : = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 1 − d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 .

4.广义度基图熵的性质

在本节中，我们将展示所述广义基于度的图熵和基于度的图形熵之间的关系。首先，我们将提出五个简单的命题，它们可以从Rényi熵和[13].
提议 1
我 α , d日 1 ( G公司 ) = 1 1 − α 日志 ( 2 1 − α − 1 ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) + 1 ；
我 α , d日 2 ( G公司 ) = 1 2 1 − α − 1 2 ( 1 − α ) 我 α , d日 1 ( G公司 ) − 1 ；
我 d日 三 ( G公司 ) = 1 − 2 − 我 2 , d日 1 ( G公司 ) = 1 2 我 2 , d日 2 ( G公司 ) .
证明。 
注意到了
∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 α = 2 ( 1 − α ) 我 α , d日 1 ( G公司 ) = ( 2 1 − α − 1 ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) + 1 ,
我们可以得到方程(4)和(5). 让 α = 2 ，我们有 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 2 = 1 − 我 d日 三 ( G公司 ) ，然后是方程式(6)如下所示。 ☐
备注 1
命题1可以看作是（12）和（16）的特例[13]当信息泛函的值是每个顶点的度数时。
提议 2
林 α → 1 我 α , d日 1 ( G公司 ) = 林 α → 1 我 α , d日 2 ( G公司 ) = 我 d日 ( G公司 )
证明。 
利用l’Hóspital法则，我们可以得到方程(7). ☐
提议 三。
对于 α ∈ ( − ∞ , 1 ) Ş ( 1 , + ∞ ) , 我 α , d日 1 ( G公司 ) 相对于α单调递减。
证明。 
函数的导数 我 α , d日 1 ( G公司 ) 是
d日 我 α , d日 1 ( G公司 ) d日 α = − 1 ( 1 − α ) 2 ∑ 我 = 1 n个 问 我 日志 问 我 第页 我 ,
哪里 问 我 = d日 我 α ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 α , 第页 我 = d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 .然后 问 = ( 问 1 , 问 2 , ⋯ , 问 n个 ) 和 P（P） = ( 第页 1 , 第页 2 , ⋯ , 第页 n个 ) 也是概率分布。从Kullback-Leibler散度的非负性出发，我们得到 d日 我 α , d日 1 ( G公司 ) d日 α ≤ 0 不平等意味着 我 α , d日 1 ( G公司 ) 相对于α. ☐
提议 4
对于 α < 1 ,
我 α , d日 1 ( G公司 ) ≥ 我 d日 ( G公司 ) ；
和用于 α > 1 ,
我 α , d日 1 ( G公司 ) ≤ 我 d日 ( G公司 ) ；
证明。 
利用命题2和命题3，我们可以很容易地得到上述等式。 ☐
备注 2
命题2、命题3和命题4可视为Rényi熵性质的特例。
提议 5
我 d日 三 ( G公司 ) < 自然对数 2 · 我 d日 ( G公司 ) .
证明。 
使用标准不等式 自然对数 x个 < x个 − 1 什么时候 x个 ≠ 1 ，我们有 自然对数 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 < d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 − 1 因此，
我 d日 三 ( G公司 ) = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 1 − d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 = − ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 − 1 < − ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 自然对数 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 = − 自然对数 2 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 日志 d日 我 ∑ j个 = 1 n个 d日 j个 = 自然对数 2 · 我 d日 ( G公司 ) .
然后是不平等(10)如下所示。 ☐
接下来，我们定义α-次幂为 D类 α : = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ，其中α是任意实数。
定理 1
让 G公司 ( n个 , 米 ) 成为 ( n个 , 米 ) -图表。然后是 α ≠ 1 ，我们有
( 1 ) . 我 α , d日 1 ( G公司 ) = 1 1 − α 日志 D类 α ( 2 米 ) α ；
( 2 ) . 我 α , d日 2 ( G公司 ) = 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 ；
( 三 ) . 我 d日 三 ( G公司 ) = 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 .
证明。 
通过替换 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 = 2 米 到方程式中(1)–(三)，我们有
我 α , d日 1 ( G公司 ) = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 米 α = 1 1 − α 日志 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ( 2 米 ) α = 1 1 − α 日志 1 ( 2 米 ) α ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α = 1 1 − α 日志 D类 α ( 2 米 ) α ；
我 α , d日 2 ( G公司 ) = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 米 α − 1 = 1 2 1 − α − 1 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ( 2 米 ) α − 1 = 1 2 1 − α − 1 1 ( 2 米 ) α ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α − 1 = 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 ；
我 d日 三 ( G公司 ) = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 米 1 − d日 我 2 米 = 1 ( 2 米 ) 2 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 ( 2 米 − d日 我 ) = 1 ( 2 米 ) 2 2 米 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 − ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 = 1 ( 2 米 ) 2 ( 2 米 ) 2 − D类 2 = 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 .
那么方程式(11)–(13)保持。 ☐
从上面的定理中，我们知道广义的基于度的图熵与度幂的和密切相关 D类 α 。显然，当 α = 1 , D类 1 = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 = 2 米 表示度的总和。度幂之和作为不变量称为零阶广义Randić指数[26,27,28,29]. 对于 α = 2 , D类 2 也称为萨格勒布第一指数[30,31,32,33]. 在[34]，Chen等人审查了 D类 α 对于不同的值α并讨论了与萨格勒布指数、图能量、HOMO-LUMO指数、埃斯特拉达指数等指标的关系[35,36,37,38,39,40,41,42,43].
推论 1
让 G公司 ( n个 , 米 ) 成为 ( n个 , 米 ) -图表。那么我们有
1 − 2 米 + ( n个 − 1 ) ( n个 − 2 ) 4 米 ( n个 − 1 ) ≤ 我 d日 三 ( G公司 ) ≤ 1 − 1 n个 .
证明。 
利用Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式，我们得到
D类 2 = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 ≥ 1 n个 ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 = ( 2 米 ) 2 n个 .
在[44]德卡恩得到以下不等式
D类 2 = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 2 ≤ 米 2 米 n个 − 1 + n个 − 2 .
所以从方程式来看(13)，我们有
1 − 米 ( 2 米 ) 2 2 米 n个 − 1 + n个 − 2 ≤ 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 ≤ 1 − ( 2 米 ) 2 n个 ( 2 米 ) 2 ,
或同等标准，
1 − 2 米 + ( n个 − 1 ) ( n个 − 2 ) 4 米 ( n个 − 1 ) ≤ 我 d日 三 ( G公司 ) ≤ 1 − 1 n个 .
我们还可以找到等式的一些条件：如果G公司是一个正则图，那么等式 我 d日 三 ( G公司 ) = 1 − 1 n个 持有；如果G公司是一棵秩序树n个然后是等式 1 − 2 米 + ( n个 − 1 ) ( n个 − 2 ) 4 米 ( n个 − 1 ) 持有。 ☐
推论 2
让T成为一棵秩序树n，那么我们有
我 d日 三 ( S公司 n个 ) ≤ 我 d日 三 ( T型 ) ≤ 我 d日 三 ( P（P） n个 ) ,
哪里 S公司 n个 和 P（P） n个 分别表示n阶星图和路径图。
证明。 
在[45]李和赵表示，在所有秩序之树中n个，用于 α > 1 或 α < 0 ，路径图和星形图获得的最小值和最大值 D类 α 分别；而对于 0 < α < 1 ，星形图和路径图获得的最小值和最大值为 D类 α 分别是。然后使用方程式(13)得到了推论的结果。 ☐
定理 2
何时 α < 1 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) < 2 1 − α − 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) ; 以及何时 α > 1 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 2 1 − α − 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) 尤其是当 α = 0 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) = 日志 n个 n个 − 1 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
证明。 
首先，我们在上定义一个新函数α关于实数集 对 如下
如果 ( α ) = D类 α ( 2 米 ) α = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ( 2 米 ) α .
因为直接导数显示
d日 d日 α 如果 ( α ) = 1 ( 2 米 ) α ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α 自然对数 d日 我 − 自然对数 ( 2 米 ) ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ≤ 1 ( 2 米 ) α 自然对数 ( Δ ( G公司 ) ) ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α − 自然对数 ( 2 米 ) ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α = 自然对数 ( Δ ( G公司 ) ) − 自然对数 ( 2 米 ) ( 2 米 ) α ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α < 0 ( 通过 Δ ( G公司 ) < 2 米 ) ,
我们可以声称 如果 ( α ) 是上的严格递减函数α.
对于 如果 ( 1 ) = 1 ，我们有
D类 α ( 2 米 ) α = ∑ 我 = 1 n个 d日 我 α ( 2 米 ) α = > 1 , α < 1 ； < 1 , α > 1 .
使用标准不等式 自然对数 x个 < x个 − 1 什么时候 x个 ≠ 1 ，我们发现 自然对数 2 · 日志 D类 α ( 2 米 ) α < D类 α ( 2 米 ) α − 1 什么时候 α ≠ 1 .
因此，对于 α < 1 ，我们有
我 α , d日 1 我 α , d日 2 = 1 1 − α 日志 D类 α ( 2 米 ) α 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 < 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 D类 α ( 2 米 ) α − 1 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 = 2 1 − α − 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 .
对于 α > 1 ，我们有
我 α , d日 1 我 α , d日 2 = 1 1 − α 日志 D类 α ( 2 米 ) α 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 > 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 D类 α ( 2 米 ) α − 1 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 = 2 1 − α − 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 .
特别是当 α = 0 , 我 α , d日 1 = 日志 n个 和 我 α , d日 2 = n个 − 1 .所以 我 α , d日 1 ( G公司 ) = 日志 n个 n个 − 1 我 α , d日 2 ( G公司 ) 在这种情况下保持不变。 ☐
推论 三。
何时 0 ≤ α < 1 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) < 1 自然对数 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
证明。 
首先，我们在上定义一个新函数α关于实数集 对 如下
克 ( α ) = 2 1 − α − 1 − ( 1 − α ) .
因为二阶导数显示
d日 2 d日 α 2 克 ( α ) = 2 1 − α ( 自然对数 2 ) 2 > 0 ,
我们可以声称 克 ( α ) 是上的凸函数α.自 克 ( 0 ) = 克 ( 1 ) = 0 ，我们发现 2 1 − α − 1 ≤ 1 − α 对于 0 ≤ α < 1 ，或同等 0 < 2 1 − α − 1 1 − α ≤ 1 对于 0 ≤ α < 1 .利用定理2，不等式 我 α , d日 1 ( G公司 ) < 1 自然对数 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) 持有。 ☐
定理 三。
何时 α < 1 和 1 < α < 2 ，我们有 我 d日 三 ( G公司 ) > ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) ; 什么时候 α > 2 ，我们有 我 d日 三 ( G公司 ) < ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) ; 以及何时 α = 2 ，我们有 我 d日 三 ( G公司 ) = ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) = 1 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
证明。 
首先我们有
我 α , d日 2 ( G公司 ) − 我 d日 三 ( G公司 ) = 1 2 1 − α − 1 D类 α ( 2 米 ) α − 1 − 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α 1 − D类 α ( 2 米 ) α − 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 ,
和 如果 ( α ) = D类 α ( 2 米 ) α 是上的严格递减函数α.
因此，对于 α < 1 , 如果 ( α ) > 如果 ( 2 ) 和 1 1 − 2 1 − α < 0 获得。那么我们有
我 α , d日 2 ( G公司 ) − 我 d日 三 ( G公司 ) > 1 1 − 2 1 − α 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 − 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 我 d日 三 ( G公司 )
这意味着 我 d日 三 ( G公司 ) > ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
对于 1 < α < 2 , 如果 ( α ) > 如果 ( 2 ) 和 1 1 − 2 1 − α > 0 获得。那么我们有
我 α , d日 2 ( G公司 ) − 我 d日 三 ( G公司 ) < 1 1 − 2 1 − α 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 − 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 我 d日 三 ( G公司 )
这意味着 我 d日 三 ( G公司 ) > ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
对于 α = 2 ，使用(6)我们有 我 d日 三 ( G公司 ) = ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) = 1 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
对于 α > 2 , 如果 ( α ) < 如果 ( 2 ) 和 1 1 − 2 1 − α > 0 获得。那么我们有
我 α , d日 2 ( G公司 ) − 我 d日 三 ( G公司 ) > 1 1 − 2 1 − α 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 − 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 1 − 2 1 − α − 1 我 d日 三 ( G公司 )
这意味着 我 d日 三 ( G公司 ) < ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) 这样我们就完成了证明。 ☐
推论 4
何时 α ≥ 2 ，我们有 我 α 三 ( G公司 ) < 我 α , d日 2 ( G公司 ) .
证明。 
对于 1 − 2 1 − α < 1 ，我们利用定理3得到了结果。 ☐
定理 4
何时 α < 1 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 1 自然对数 2 · 我 d日 三 ( G公司 ) ; 什么时候 1 < α < 2 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) < 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · 我 d日 三 ( G公司 ) 1 − 我 d日 三 ( G公司 ) ; 以及何时 α ≥ 2 ，我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 1 ( α − 1 ) · 自然对数 2 我 d日 三 ( G公司 ) .
证明。 
对于 α < 1 ，使用(8)和(10)我们有 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 1 自然对数 2 · 我 d日 三 ( G公司 ) .
对于 1 < α < 2 , 如果 ( α ) > 如果 ( 2 ) 和 1 α − 1 > 0 获得。那么我们有
我 α , d日 1 ( G公司 ) 我 d日 三 ( G公司 ) = 1 1 − α 日志 D类 α ( 2 米 ) α 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 < 1 1 − α 日志 D类 2 ( 2 米 ) 2 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · 自然对数 ( 2 米 ) 2 D类 2 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2
使用标准不等式 自然对数 x个 < x个 − 1 什么时候 x个 ≠ 1 ，我们发现 自然对数 ( 2 米 ) 2 D类 2 < ( 2 米 ) 2 D类 2 − 1 .所以
我 α , d日 1 ( G公司 ) 我 d日 三 ( G公司 ) < 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · ( 2 米 ) 2 D类 2 − 1 1 − D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · 1 D类 2 ( 2 米 ) 2 = 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · 1 1 − 我 d日 三 ( G公司 ) .
这意味着 我 α , d日 1 ( G公司 ) < 1 ( α − 1 ) 自然对数 2 · 我 d日 三 ( G公司 ) 1 − 我 d日 三 ( G公司 ) .
对于 α ≥ 2 ，利用定理2和定理3，我们得到 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 2 1 − α − 1 ( 1 − α ) 自然对数 2 我 α , d日 2 ( G公司 ) 和 我 d日 三 ( G公司 ) ≤ ( 1 − 2 1 − α ) 我 α , d日 2 ( G公司 ) 。这意味着 我 α , d日 1 ( G公司 ) > 1 ( α − 1 ) · 自然对数 2 我 d日 三 ( G公司 ) 这样我们就完成了证明。 ☐

5.数值结果

为了说明基于广义度的图熵的原理，我们在图1作为一个例子。
示例网络中每个节点的度如所示表1.
我们可以很容易地计算 我 d日 三 ( G公司 ) = 0 . 946 。详细信息 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 具有不同的α如所示表2.
在表2的价值α等于 1 . 0 方法 α → 1 .然后 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 退化为基于度的图熵 我 d日 ( G公司 ) = 4 . 294 .
很明显，随着α，广义度图熵的值 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 复杂网络的数量减少。根据熵的概念，熵的值越大，网络就越复杂 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) ，熵指数的值α可以用来改变熵的结构。换句话说α表示复杂网络中节点之间的关系。结合复杂网络，每个节点的度对熵的影响通过α.的值之间的关系α复杂网络的熵如下所示：
（1）
何时 α < 1 度值较小的节点在 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 或者选择它们作为复杂网络的主要结构。尤其是当 α = 0 从熵的角度来看，每个节点对整个网络的影响是相同的。
(2)
何时 α → 1 ，每个节点对网络的影响基于每个节点的度值。广义基于度的图熵 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 退化为基于度的图熵 我 d日 ( G公司 ) 因此，由节点度决定的结构属性决定了复杂网络的复杂性。
(3)
何时 α > 1 度值较大的节点在 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 或者选择它们作为复杂网络的主要结构。熵的值趋于稳定。复杂网络趋于有序。
综上所述，根据复杂网络广义度图熵的定义，熵指数的值α用于描述节点之间的不同关系。当α小于1时，度值较小的节点比度值较大的节点更重要。这些度值较小的节点之间的边成为复杂网络的主要部分。由于这些度值较低的节点在复杂网络中占大多数，因此整个网络具有更大的复杂性。当α等于0，则网络中的节点在影响方面彼此相等。当α趋于1， 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 退化为 我 d日 ( G公司 ) 复杂网络的复杂程度取决于其结构特性。换言之，复杂网络的复杂性取决于度序列和度分布。当α趋向于∞，复杂网络的构建由具有最大度值的节点决定 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 降低到稳定值，复杂网络更加有序。复杂网络的复杂性不仅取决于复杂网络的结构，还受每个节点之间关系的类型的影响。
发件人图2，我们可以看到基于广义度的图熵的标绘值 我 α , d日 1 ( G公司 ) , 我 α , d日 2 ( G公司 ) 和 我 d日 三 ( G公司 ) 相对于α( 我 α , d日 1 ( G公司 ) , 我 α , d日 2 ( G公司 ) 在 α = 1 ). 数值结果可以解释如下：首先，我们观察到 我 α , d日 1 ( G公司 ) 小于 我 α , d日 2 ( G公司 ) 对于 α < 1 ，而 我 α , d日 1 ( G公司 ) 大于 我 α , d日 2 ( G公司 ) 对于 α > 1 。接下来，针对 我 α , d日 1 ( G公司 ) , 我 α , d日 2 ( G公司 ) 和 我 d日 三 ( G公司 ) ，我们可以有 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 始终大于 我 d日 三 ( G公司 ) 事实上，使用l’Hóspital规则，我们得到了 我 α , d日 1 ( G公司 ) 趋于3.459 我 α , d日 2 ( G公司 ) 当α倾向于 + ∞ 最后，所有的曲线都验证了第4节.
此外，还提出了带参数的广义图熵测度，用于研究与机器学习相关的复杂性。例如，Dehmer等人描述了广义图熵可以应用于机器学习中的图分类和聚类情况。这些应用包括优化与给定集合中的图形或网络相关的特定参数[4,46]. 因此，通过应用监督机器学习方法，广义度熵可用于化学结构分类，并根据生物信息学、系统生物学和药物设计中相关参数的最佳值开发表征预测模型的方法。

6.总结与结论

本文研究了由Dehmer和Mowshowitz在[13]从Rényi熵导出[23]，达洛齐熵[24]和二次熵[25]. 我们研究了度幂和与新熵之间的关系。然后，我们根据度幂和检查了上述熵的极值。我们还证明了这些广义度基图熵之间的一些不等式。最后，我们获得了一个示例性复杂网络的每个熵的数值，并得出结论，根据图熵理论，它们的参数可以影响哪类节点对网络的主要部分起作用。广义基于度的图熵扩展了复杂网络结构复杂性的描述方法。未来，它们将在描述真实网络中的结构对称性和不对称性方面发挥更大的作用。

致谢

作者要感谢编辑和审稿人对原稿提出的有益建议和意见。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

  1. R.V.Solé。；Montoya，J.M.，生态网络的复杂性和脆弱性。程序。R.Soc.伦敦。B类 2001,268, 2039–2045. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  2. 梅勒，A。；Lücking，A。；Weiß，P.人际结盟的网络模型。熵 2010,12，1440–1483。[谷歌学者] [交叉参考]
  3. Ulanowicz，R.E.生态网络分析的定量方法。计算。生物化学。 2004,28, 321–339. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  4. Dehmer，M。；北卡罗来纳州巴巴里尼。；瓦尔穆扎，K。；Graber，A.用于分析生物网络的新型拓扑描述符。BMC结构。生物。 2010,10. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  5. Dehmer，M。；Graber，A.重新审视了分子识别号的辨别力。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,69, 785–794. [谷歌学者]
  6. Garrido，A.《复杂网络中的对称性》。对称性 2011,三, 1–15. [谷歌学者] [交叉参考]
  7. Dehmer，M.网络信息理论。对称性 2011,三, 767–779. [谷歌学者] [交叉参考]
  8. 图的熵与复杂性：I.图的相对复杂性指数。牛市。数学。生物物理学。 1968,30，175–204。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  9. Trucco，E.关于图形信息内容的注释。牛市。数学。生物物理学。 1956,18, 129–135. [谷歌学者] [交叉参考]
  10. Dehmer，M.《复杂网络中的信息处理：图熵和信息泛函》。申请。数学。计算。 2008,201, 82–94. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. Dehmer，M。；瓦尔穆扎，K。；博格特，S。；Emmert Streib，F.基于熵的分子描述符：真实和合成化学结构的统计分析。化学杂志。信息模型。 2009,49, 1655–1663. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  12. Dehmer，M。；Sivakumar，L。；Varmuza，K.使用新的基于特征值的描述符独特地识别分子结构。匹配Commun。数学。计算。化学。 2012,67, 147–172. [谷歌学者]
  13. Dehmer，M。；Mowshowitz，A.广义图熵。复杂性 2011,17, 45–50. [谷歌学者] [交叉参考]
  14. Dehmer，M。；李，X。；Shi，Y.广义图熵和图能量之间的联系。复杂性 2015,21, 35–41. [谷歌学者] [交叉参考]
  15. 曹，S。；Dehmer，M。；Shi，Y.基于度的图熵的极值。通知。科学。 2014,278, 22–33. [谷歌学者] [交叉参考]
  16. 曹，S。；Dehmer，M.重新审视了基于学位的网络熵。申请。数学。计算。 2015,261, 141–147. [谷歌学者] [交叉参考]
  17. 卢，G。；李，B。；Wang，L.基于度的图熵的一些新性质。熵 2015,17, 8217–8227. [谷歌学者] [交叉参考]
  18. 卢，G。；李，B。；Wang，L.基于度的网络熵的新上界和下界。对称性 2016,8, 8. [谷歌学者] [交叉参考]
  19. 香农，C.E。；韦弗，W。传播数学理论; 伊利诺伊大学出版社：伊利诺伊州乌尔班纳，美国，1949年。[谷歌学者]
  20. 封面，T.M。；J.A.托马斯。信息论要素第2版。；威利父子公司：美国纽约州纽约市，2006年。[谷歌学者]
  21. Aczél，J。；达罗奇，Z。论信息测度及其特征; 学术出版社：美国纽约州纽约市，1975年。[谷歌学者]
  22. C·阿恩特。信息度量; 施普林格：德国柏林，2004年。[谷歌学者]
  23. Rényi，P.关于信息和熵的度量。第四届伯克利数学、统计和概率研讨会论文集，第1卷；加利福尼亚大学出版社：伯克利，加利福尼亚州，美国，1961年；第547-561页。[谷歌学者]
  24. Daràczy，Z。；关于信息论中泛函方程的可测解。数学学报。阿卡德。科学。匈牙利。 1979,34, 105–116. [谷歌学者] [交叉参考]
  25. Watanabe，S.专门为多类判别设计的一种新的熵降维方法（DIRELADIS）。模式识别。莱特。 1983,2, 1–4. [谷歌学者] [交叉参考]
  26. Randić，M.分子分支的表征。美国化学杂志。索克。 1975,97, 6609–6615. [谷歌学者] [交叉参考]
  27. 胡，Y。；李，X。；Shi，Y。；徐，T。；Gutman，I.关于具有最小和最大零阶广义Randić指数的分子图。匹配Commun。数学。计算。化学。 2005,54, 425–434. [谷歌学者]
  28. 胡，Y。；李，X。；Shi，Y。；Xu，T.已连接(n个,米)-具有最小和最大零阶广义Randić指数的图。离散应用程序。数学。 2007,155，1044–1054。[谷歌学者] [交叉参考]
  29. 李，X。；Shi，Y.关于Randić指数的调查。匹配Commun。数学。计算。化学。 2008,59, 127–156. [谷歌学者]
  30. Arezoomand，M。；图的广义层次积的Taeri，B.Zagreb指数。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,69, 131–140. [谷歌学者]
  31. 第一萨格勒布指数的一个特殊性质。匹配Commun。数学。计算。化学。 2014,72, 733–740. [谷歌学者]
  32. 瓦西里耶夫，A。；Darda，R。；Stevanovic，D.给定阶数和独立数的树，具有最小的第一萨格勒布指数。匹配Commun。数学。计算。化学。 2014,72, 775–782. [谷歌学者]
  33. Lin，H.二级顶点和第一个萨格勒布树木指数。匹配Commun。数学。计算。化学。 2014,72, 825–834. [谷歌学者]
  34. 陈，Z。；Dehmer，M。；Shi，Y.基于学位的网络熵的边界。申请。数学。计算。 2015,265, 983–993. [谷歌学者] [交叉参考]
  35. Estrada，E.3D分子结构的表征。化学。物理。莱特。 2000,319, 713–718. [谷歌学者] [交叉参考]
  36. 埃斯特拉达，E。；Rodriguez-Velazquez，J.A.复杂网络中的子图中心性。物理。版本E。 2005,71, 056103. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  37. De la Peña，J.a。；古特曼，I。；Rada，J.估计Estrada指数。线性的。代数。申请。 2007,427, 70–76. [谷歌学者] [交叉参考]
  38. Das，K。；Xu，K。；古特曼，I.关于萨格勒布和哈拉里指数。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,70, 301–314. [谷歌学者]
  39. Das，K.C。；古特曼，I。；塞维克，A。；周，B.论拉普拉斯能量。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,70, 689–696. [谷歌学者]
  40. 李，X。；李毅。；Shi，Y。；Gutman，I.关于图的HOMO-LUMO索引的注记。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,70, 85–96. [谷歌学者]
  41. Khosravanirad，A.图的Laplacian Estrada指数的下限。匹配Commun。数学。计算。化学。 2013,70, 175–180. [谷歌学者]
  42. 阿卜多，H。；迪米特洛夫，D。；雷蒂，T。；Stevanovic，D.通过第二个萨格勒布指数估计图的谱半径。匹配Commun。数学。计算。化学。 2014,72, 741–751. [谷歌学者]
  43. Bozkurt，S.B.公司。；Bozkurt，D.关于入射能量。匹配Commun。数学。计算。化学。 2014,72, 215–225. [谷歌学者]
  44. De Caen，D.图中度平方和的上界。离散数学。 1998,185, 245–248. [谷歌学者] [交叉参考]
  45. 李，X。；Zhao，H.具有前三个最小和最大广义拓扑指数的树。匹配Commun。数学。计算。化学。 2004,50, 57–62. [谷歌学者]
  46. Dehmer，M。；L.A.J.米勒。；Emmert-Streib，F.定量网络测量作为前列腺癌疾病状态分类的生物标记物：诊断生物标记物的系统方法。PLoS综合 2013,8，e77602。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
对称09 00029 g001 550
图1。例如，一个简单的网络。
图1。例如，一个简单的网络。
对称09 00029 g001
对称09 00029 g002 550
图2。 我 α , d日 1 ( G公司 ) （红色）， 我 α , d日 2 ( G公司 ) （蓝色）和 我 d日 三 ( G公司 ) （绿色）与α. ( 我 α , d日 1 ( G公司 ) , 我 α , d日 2 ( G公司 ) 在 α = 1 ).
图2。 我 α , d日 1 ( G公司 ) （红色）， 我 α , d日 2 ( G公司 ) （蓝色）和 我 d日 三 ( G公司 ) （绿色）与α. ( 我 α , d日 1 ( G公司 ) , 我 α , d日 2 ( G公司 ) 在 α = 1 ).
对称09 00029 g002
表
表1。示例网络中每个节点的阶数。
表1。示例网络中每个节点的阶数。
节点编号12三4567891011
度三三三25三5三142
节点编号12131415161718192021
度三2262三44三三
表
表2。广义基于度的图熵 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 示例网络的。
表2。广义基于度的图熵 我 α , d日 1 ( G公司 ) 和 我 α , d日 2 ( G公司 ) 示例网络的。
的价值α − 1 . 0 − 0 . 5 00.5 1 . 0 1.522.533.54
我 α , d日 1 ( G公司 ) 4.5054.4474.3924.342 4 . 294 4.2494.2064.1654.1274.0904.056
我 α , d日 2 ( G公司 ) 171.63355.146208.457 4 . 294 2.6311.8921.5271.3291.2141.143

分享和引用

MDPI和ACS样式

卢，G。基于广义度的图熵。对称性 2017,9, 29.https://doi.org/10.3390/sym9030029

AMA风格

Lu G。基于广义度的图熵。对称性. 2017; 9(3):29.https://doi.org/10.3390/sym9030029

芝加哥/图拉宾风格

陆国祥。2017.“基于广义度的图熵”对称性9，3号：29。https://doi.org/10.3390/sym9030029

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