Chiral Symmetry and the Nucleon-Nucleon Interaction

Machleidt, Ruprecht

doi:10.3390/sym8040026

开放式访问第条

手征对称性与核子-核子相互作用

通过

鲁普雷希特·马什利特

爱达荷大学物理系，莫斯科，ID 83844，美国

对称性 2016,8(4), 26;https://doi.org/10.3390/sym8040026

收到的提交文件：2016年1月13日/修订日期：2016年4月7日/接受日期：2016年4月13日/发布日期：2016年4月20日

（本文属于特刊强子和核的对称性)

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版本注释

摘要

:

我们回顾了如何通过手征有效场理论（EFT）从低能量子色动力学（QCD）中产生核力。在过去的二十年中，这种方法已经发展成为一种强大的工具，可以以系统和模型相关的方式推导核两体和多体力。然后我们关注核子-核子(

N个 N个

)相互作用，并详细展示了手征对称性如何控制

N个 N个

潜力是一个接一个的。我们在小动量中前进到六阶，在这里实现了收敛。最终结果允许对手性EFT方法的有效性进行全面评估

N个 N个

互动。

关键词：

低能量子色动力学（QCD）；有效场理论；手征微扰理论；核子-核子散射；核子-核子势

PACS分类：

13.75.Cs；12.39.铁；21.30.-x；21.45.Ff（平方英尺）

1.历史观点

1932年查德威克发现中子后[1]很明显，原子核是由质子和中子组成的。在这样的系统中，电磁力不可能是原子核的组成部分粘在一起的原因。因此，引入了新的强核相互作用的概念。1935年，日本物理学家Yukawa首次提出了这种新力量的理论[2]他认为核子会相互交换粒子，这种机制会产生作用力。Yukawa构建了他的理论，与电磁相互作用理论类似，其中（无质量）光子的交换是力的原因。然而，在核能的情况下，Yukawa假设“造力者”携带的质量介于电子和质子的质量之间（这就是为什么这些粒子最终被称为“介子”的原因）。介子的质量将力的影响限制在有限范围内，因为测不准原理允许大量虚拟粒子只移动有限距离。汤川预言的介子最终于1947年在宇宙射线中被发现，1948年在实验室中被发现，并被称为π介子。Yukawa于1949年获得诺贝尔奖。在20世纪50年代和60年代，加速器实验中发现了更多的介子，核力的介子理论被扩展到包括许多介子。这些模型被称为单玻色子交换模型，这是指在这个模型中不同的介子是单独交换的。单玻色子交换模型成功地从本质上解释了低能核子-核子相互作用的所有性质[三,4,5,6,7,8,9]. 在20世纪70年代和80年代，也开发出了超越简单的单粒子交换机制的介子模型。这些模型特别包括两个π介子的显式交换及其所有复杂情况。后者的著名代表是巴黎[10]以及波恩的潜力[11].

由于这些介子模型在数量上非常成功，看来它们是核力问题的解决方案。然而，随着20世纪70年代发现强相互作用的基本理论是量子色动力学（QCD）而不是介子理论，所有“介子理论”都必须被视为模型，从第一原理推导核力的尝试必须从头开始。

从QCD推导核力的问题有两个方面。首先，每个核子由三个价夸克、夸克-反夸克对和胶子组成，因此两核子系统是一个复杂的多体问题。其次，由胶子交换产生的夸克之间的作用力，在低能级具有很强的特征，这是核物理的特点。这种非凡的力量使得很难找到收敛的扩张。因此，在第一轮新的尝试中，受QCD启发的夸克模型变得流行起来。这些模型的积极方面是，它们试图在平等的基础上解释核子结构（由三个组成夸克组成）和核子-核子相互作用（六夸克）。双核子力的一些基本特征，如“硬核”，在这种模型中得到了成功的解释。然而，从关键的角度来看，必须指出，这些基于夸克的方法是另一组模型，而不是理论。或者，人们可以尝试用强大的计算能力解决六夸克问题，方法是将六夸克系统放在代表空间三维和时间一维的四维离散点晶格上。这种方法被称为晶格QCD，并正在取得进展。然而，这种计算在计算上非常昂贵，不能用作标准的核物理工具。

1990年左右，诺贝尔奖得主史蒂文·温伯格将有效场理论（EFT）的概念应用于低能QCD时，出现了重大突破[12,13]. 他简单地写下了与低能QCD的所有性质一致的最一般的理论，因为这将使该理论等效于低能QCD。一个特别重要的性质是所谓的手征对称性，它是“自发”破缺的。无质量旋转-

\frac{1}{2}

费米子具有手性，这意味着它们的自旋和动量要么平行（“右手”），要么反平行（“左手”），并且永远保持不变。由于核子所由的夸克（“上”夸克和“下”夸克）几乎没有质量，因此给出了近似的手征对称性。天真地说，这种对称性应该具有人们在自然界中发现的具有相同质量但具有正负宇称的介子的结果。然而，情况并非如此，这种破坏被称为对称性的“自发”破坏。根据戈德斯通首先证明的一个定理，对称性的自发破缺会产生一个粒子，这里是π介子。因此，π介子成为产生核力量的主要参与者。与胶子与夸克的相互作用相比，π子与核子的相互作用较弱。因此，可以毫无问题地计算π-核子过程。此外，该有效场理论可以扩展为“尺度”上的动量幂，其中尺度表示“手征对称破缺尺度”，约为1GeV。这个方案也被称为手征微扰理论（ChPT），可以系统地按幂次或按序计算构成核势的各种项。手性EFT方法的另一个优点是它不仅能够在两个核子之间产生作用力，而且能够在相同的基础上产生多个核子作用力[14]. 在现代理论核物理中，手性EFT方法越来越受欢迎，并取得了巨大的成功[15,16].

本文的组织结构如下。在第2节，我们将介绍低能量QCD的EFT方法的教学介绍，包括培养有效的拉格朗日人。第3节提供了从EFT中产生的核力量层级的大致概述。第4节,第5节和第6节然后详细阐述了双核子力从长程到短程的发展以及定量的构造

N个 N个

电位。第7节文章的结论。

2.低能质量控制的有效场理论

QCD是强相互作用理论。它处理夸克、胶子及其相互作用，是粒子物理标准模型的一部分。QCD是一种有色非阿贝尔规范场理论

S公司 单位 (三)

基础计量组。该理论的非阿贝尔性质产生了戏剧性的后果。而有色物体之间的相互作用在短距离或高动量传递时较弱（“渐近自由”）；它在远距离时很结实(

\overset{>}{\sim} 1

fm）或低能量，导致夸克被禁闭成无色物体，即强子。因此，QCD允许在大能量下进行微扰分析，而在低能区则是高度非微扰的。核物理处于低能状态，核子之间的作用力是一种残余的颜色相互作用，类似于中性分子之间的范德瓦尔斯作用力。因此，就夸克和胶子而言，核力是一个非常复杂的问题，然而，在离散化的欧几里德时空晶格（称为晶格QCD）上，核力可以用强大的计算能力进行攻击。在最近的一项研究中[17]，单重态和三重态中子-质子散射长度S公司-波已在全动态晶格QCD中测定，最小π介子质量为354MeV。然后利用手征微扰理论将该结果外推到物理π介子质量。354MeV的π介子质量仍然太大，无法进行可靠的推断，但其可行性已经得到证明，预计在不久的将来还会取得更多进展。在一种非常不同的晶格计算中，核子-核子(

N个 N个

)研究了电势[18]. 势的中心部分显示出排斥核心加上中间范围的吸引力。这是一个非常有希望的结果，但必须指出的是，在这项研究中，仍然使用了相当大的介子质量。无论如何，先进的晶格QCD计算正在进行并不断改进。然而，由于这些计算非常耗时且昂贵，因此只能用于检查少数具有代表性的关键问题。对于日常核结构物理，需要一种更有效的方法。

有效的方法是有效的场理论。对于EFT的开发来说，确定天平的分离是至关重要的。在强子谱中，介子质量和矢量介子质量之间的巨大差距，如

ρ (770)

和

ω (782)

，可以清楚地识别。因此，很自然地假设π介子质量决定了软尺度，

问 \sim 米_{π}

ρ质量是硬标尺，

Λ_{χ} \sim 米_{ρ}

也被称为手对称破缺量表。这意味着要考虑从软规模到硬规模的扩张，

问 / Λ_{χ}

关于相关自由度，我们已经注意到，对于原子核的基态和低能激发光谱以及常规核反应，夸克和胶子是无效的自由度，而核子和介子是合适的自由度。为了确保这种EFT不仅仅是另一种现象学，它必须与QCD有牢固的联系。这种联系是通过让EFT观察基础理论的所有相关对称性来建立的。这一要求基于温伯格的“民间定理”[12]:

如果写下最普遍的拉格朗日量，包括全部的项与假定对称性原理一致，然后用此拉格朗日函数计算矩阵元素到任意给定阶的扰动理论，结果将简单地是符合解析性、扰动酉性、簇分解和假定对称性原则的最一般可能的S-矩阵。

总之，EFT程序包括以下步骤：

确定软尺度和硬尺度，以及适用于（低能）核物理的自由度。
识别低能QCD的相关对称性，并调查它们是否以及如何被破坏。
构造与这些对称性和对称破缺相一致的最一般的拉格朗日函数。
设计一个能够区分更多和更少重要贡献的组织方案：低动力扩张。
在展开式的指导下，计算所考虑过程的费曼图，以达到所需的精度。

此程序适用于π-π[19]和π-N个[20]，因为在这些情况下，可以扰动地计算物理振幅。然而，事实证明

N个 N个

情况更为复杂。它涉及束缚态（氘核）和大的散射长度（inS公司-波），这不能用微扰理论解释。因此，温伯格建议[13]使用上述（微扰）方案推导

N个 N个

势，并将此势应用于薛定谔或李普曼-施温格方程中，以获得

N个 N个

振幅。请注意，这个过程意味着非扰动地恢复潜力。因此，即使在以明确的顺序计算电势时

N个 N个

由于恢复，振幅不清楚。这也将模糊预测观测值的误差估计。例外情况是

N个 N个

外围部分波中的散射，可以微扰计算。因此，在本文后面，我们将首先考虑外围设备

N个 N个

散射(第5节)在我们讨论之前

N个 N个

潜在结构及其所有概念问题(第6节尤其是，第6.3节).

接下来，我们将逐一详细说明上述步骤。既然我们已经讨论了第一步，现在我们将讨论第二步。

2.1. 低能QCD的对称性

在本节中，我们将简要介绍（低能）QCD及其对称性和对称破缺。参考文献中提供了有关此主题的更详细介绍。[15,21].

2.1.1。手征对称性

QCD拉格朗日读数

{L（左）}_{质量控制文件} = \bar{q个} (我 γ^{μ} 天_{μ} - M（M）) q个 - \frac{1}{4} {G公司}_{μ ν, 一} {G公司}_{一}^{μ ν}

（1）

用规范协变导数

天_{μ} = \partial_{μ} - 我 克 \frac{λ_{一}}{2} {A类}_{μ, 一}

（2）

和胶子场强张量

{G公司}_{μ ν, 一} = \partial_{μ} {A类}_{ν, 一} - \partial_{ν} {A类}_{μ, 一} + 克 {（f）}_{一 b条 c（c）} {A类}_{μ, b条} {A类}_{ν, c（c）}

(3)

（用于

S公司 单位 (N个)

组索引，我们使用拉丁字母，

\dots, 一, b条, c（c）, \dots, 我, j个, k个, \dots

和，通常不区分下标和上标。）在上述内容中，q个表示夸克场和

M（M）

夸克质量矩阵。此外，克是强耦合常数

{A类}_{μ, 一}

是胶子场。这个

λ_{一}

是Gell-Mann矩阵和

{（f）}_{一 b条 c（c）}

的结构常数

S公司 单位 {(三)}_{颜色}

李代数

(一, b条, c（c） = 1, \dots, 8)

; 重复指数的总和总是隐含的。最后一个方程中的胶子-胶子项源于规范理论的非阿贝尔性质，是色力具有特殊特征的原因。

上层社会的群众

(u个)

，向下

(d日)

，奇怪的夸克是[22]:

\begin{matrix} 米_{u个} & = & 2 . 三 \pm 0.7 墨西哥湾 \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} 米_{d日} & = & 4.8 \pm 0.5 墨西哥湾 \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} 米_{秒} & = & 95 \pm 5 墨西哥湾 \end{matrix}

(6)

与典型的强子尺度相比，这些质量很小，即，一种非Goldstone玻色子的低质量强子尺度，例如。，

米_{ρ} = 0.78 GeV公司 \approx 1 GeV公司

.

因此，有兴趣讨论消失夸克质量极限下的QCD拉格朗日：

{L（左）}_{质量控制文件}^{0} = \bar{q个} 我 γ^{μ} 天_{μ} q个 - \frac{1}{4} {G公司}_{μ ν, 一} {G公司}_{一}^{μ ν}

(7)

定义右手和左手夸克场，

{q个}_{R（右）} = {P（P）}_{R（右）} q个, {q个}_{L（左）} = {P（P）}_{L（左）} q个

(8)

具有

{P（P）}_{R（右）} = \frac{1}{2} (1 + γ_{5}), {P（P）}_{L（左）} = \frac{1}{2} (1 - γ_{5})

(9)

我们可以将拉格朗日函数改写如下：

{L（左）}_{质量控制文件}^{0} = {\bar{q个}}_{R（右）} 我 γ^{μ} 天_{μ} {q个}_{R（右）} + {\bar{q个}}_{L（左）} 我 γ^{μ} 天_{μ} {q个}_{L（左）} - \frac{1}{4} {G公司}_{μ ν, 一} {G公司}_{一}^{μ ν}

(10)

这个等式揭示了这一点无质量夸克的右旋分量和左旋分量不混合在QCD拉格朗日。对于双味情况，这是

S公司 单位 {(2)}_{R（右）} \times S公司 单位 {(2)}_{L（左）}

对称，也称为手性对称性然而，这种对称性以两种方式被打破：显式的和自发的。

2.1.2. 显式对称破坏

质量项

- \bar{q个} M（M） q个

在QCD拉格朗日方程（1）中，显式地破坏了手征对称性。为了更好地看到这一点，让我们重写

M（M）

对于双味案例，

\begin{matrix} M（M） & = & (\begin{matrix} 米_{u个} & 0 \\ 0 & 米_{d日} \end{matrix}) \\ = & \frac{1}{2} (米_{u个} + 米_{d日}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + \frac{1}{2} (米_{u个} - 米_{d日}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) \\ = & \frac{1}{2} (米_{u个} + 米_{d日}) 我 + \frac{1}{2} (米_{u个} - 米_{d日}) τ_{三} \end{matrix}

(11)

最后一个方程中的第一项在

S公司 单位 {(2)}_{V（V）}

（同位旋对称）和第二项消失

米_{u个} = 米_{d日}

因此，同位旋是一种精确对称，如果

米_{u个} = 米_{d日}

然而，方程（11）中的两项都破坏了手征对称性。由于上下夸克质量（方程（4）和（5））与典型的强子质量标度相比很小

\sim 1

GeV，由于非消失夸克质量而导致的显式手性对称性破坏非常小。

2.1.3. 自发对称破缺

（连续）对称称为自发断裂如果拉格朗日对称性在系统基态中没有实现。有证据表明，由于非微扰起源的动力学原因，QCD拉格朗日方程的（近似）手征对称性自发破缺，目前还没有完全理解。最可信的证据来自强子光谱。

从手征对称性出发，人们天真地期望存在宇称相反的简并强子多重态，即，对于任何正宇称的强子，人们都会期望负宇称的简并强子态，反之亦然。然而，这些“奇偶双光子”在自然界中并没有观察到。例如，以ρ-介子是负宇称的矢量介子(

{J型}^{P（P）} = 1^{-}

)质量776 MeV。确实存在

1^{+}

介子

一_{1}

，但其质量为1230 MeV，因此不能被视为退化ρ另一方面ρ介子有三种电荷态（相当于三种同位旋态）

ρ^{\pm}

和

ρ^{0}

，质量相差最多几个MeV。因此，在强子谱中，

S公司 单位 {(2)}_{V（V）}

（同位旋）对称性被很好地观察到，而轴对称性被破坏：

S公司 单位 {(2)}_{R（右）} \times S公司 单位 {(2)}_{L（左）}

分解为

S公司 单位 {(2)}_{V（V）}

.

自发破缺的全球对称性意味着（无质量）戈德斯通玻色子的存在。Goldstone玻色子与（伪标量）π介子的同位旋三重态一致，这解释了为什么π介粒子如此轻。π介子的质量并不完全为零，因为上夸克和下夸克的质量也不完全为零（显式对称破缺）。因此，π介子是一个真正引人注目的物种：它们反映了自发和明确的对称性破坏。Goldstone玻色子在低能下相互作用较弱。它们与真空简并，因此它们之间的相互作用必须在零动量和手征极限下消失(

米_{π} \to 0

).

2.2. 手性有效拉格朗日函数

我们的EFT程序的下一步是建立与上面讨论的（破）对称一致的最一般的拉格朗日函数。Callan、Coleman、Wess和Zumino（CCWZ）为建造这种拉格朗日式建筑发展了一种优雅的形式主义[23,24]他提出了手性对称非线性实现的群论基础。（参考文献[21].) 这些非线性实现的特点是，每当Goldstone玻色子的函数出现在朗格朗日函数中时，它们总是伴随着至少一个时空导数。下面给出的拉格朗日函数是基于CCWZ形式主义的。

如前所述，相关的自由度是介子（戈德斯通玻色子）和核子。由于Goldstone玻色子的相互作用必须在零动量转移和手征极限下消失(

米_{π} \to 0

)，拉格朗日函数的低能展开按导数和π介子质量的幂排列。硬标度是手对称破缺标度，

Λ_{χ} \approx 1

GeV公司。因此，扩张是指

问 / Λ_{χ}

哪里问是（小）动量或π介子质量。这是手征微扰理论（ChPT）。

有效拉格朗日量可以形式地写成，

L（左） = {L（左）}_{π π} + {L（左）}_{π N个} + {L（左）}_{N个 N个} + \dots

(12)

哪里

{L（左）}_{π π}

研究介子之间的动力学，

{L（左）}_{π N个}

描述了介子和核子之间的相互作用，以及

{L（左）}_{N个 N个}

包含由四个核子场（四核子腿）和无介子场组成的双核子接触相互作用。省略号表示涉及两个核子加上π和三个或更多带或不带π的核子的项，与核多体力有关（最低阶的例子是下面方程式（18）的最后两项）。拉格朗日人的个体是按顺序组织的：

\begin{matrix} {L（左）}_{π π} & = & {L（左）}_{π π}^{(2)} + {L（左）}_{π π}^{(4)} + \dots \end{matrix}

(13)

\begin{matrix} {L（左）}_{π N个} & = & {L（左）}_{π N个}^{(1)} + {L（左）}_{π N个}^{(2)} + {L（左）}_{π N个}^{(三)} + {L（左）}_{π N个}^{(4)} + {L（左）}_{π N个}^{(5)} + \dots \end{matrix}

(14)

和

\begin{matrix} {L（左）}_{N个 N个} & = & {L（左）}_{N个 N个}^{(0)} + {L（左）}_{N个 N个}^{(2)} + {L（左）}_{N个 N个}^{(4)} + {L（左）}_{N个 N个}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(15)

其中上标表示导数或π介子质量插入数（手征维），省略号表示更高维的项。

上面，我们用导数或π介子插入数来组织拉格朗日函数。这是标准的方式，特别适用于π-π和π-N个散射。事实证明(囊性纤维变性。第3.1节)对于核子之间的相互作用，有时也可以考虑所谓的相互作用指数，

Δ \equiv d日 + \frac{n个}{2} - 2

（16）

哪里d日是导数或π介子插入数，以及n个核子场算符（核子腿）的数目。我们现在将根据参数Δ的增加值写下拉格朗日函数，我们将使用所谓的重量级巴里昂形式主义，我们用“帽子”表示[25].

领先的拉格朗日读道，

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 0} & = & \frac{1}{2} \partial_{μ} π \cdot \partial^{μ} π - \frac{1}{2} 米_{π}^{2} π^{2} \\ + \frac{1 - 4 α}{2 {（f）}_{π}^{2}} (π \cdot \partial_{μ} π) (π \cdot \partial^{μ} π) - \frac{α}{{（f）}_{π}^{2}} π^{2} \partial_{μ} π \cdot \partial^{μ} π + \frac{8 α - 1}{8 {（f）}_{π}^{2}} 米_{π}^{2} π^{4} \\ + \bar{N个} [我 \partial_{0} - \frac{克_{A类}}{2 {（f）}_{π}} τ \cdot (\vec{σ} \cdot \vec{\nabla}) π - \frac{1}{4 {（f）}_{π}^{2}} τ \cdot (π \times \partial_{0} π)] N个 \\ + \bar{N个} \{\frac{克_{A类} (4 α - 1)}{4 {（f）}_{π}^{三}} (τ \cdot π) [π \cdot (\vec{σ} \cdot \vec{\nabla}) π] + \frac{克_{A类} α}{2 {（f）}_{π}^{三}} π^{2} [τ \cdot (\vec{σ} \cdot \vec{\nabla}) π]\} N个 \\ - \frac{1}{2} {C类}_{S公司} \bar{N个} N个 \bar{N个} N个 - \frac{1}{2} {C类}_{T型} (\bar{N个} \vec{σ} N个) \cdot (\bar{N个} \vec{σ} N个) + \dots \end{matrix}

(17)

转租拉格朗日人，

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 1} & = & \bar{N个} \{\frac{{\vec{\nabla}}^{2}}{2 {M（M）}_{N个}} - \frac{我 克_{A类}}{4 {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}} τ \cdot [\vec{σ} \cdot (\overset{\leftarrow}{\nabla} \partial_{0} π - \partial_{0} π \vec{\nabla})] \\ - \frac{我}{8 {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{2}} τ \cdot [\overset{\leftarrow}{\nabla} \cdot (π \times \vec{\nabla} π) - (π \times \vec{\nabla} π) \cdot \vec{\nabla}]\} N个 \\ + \bar{N个} [4 {c（c）}_{1} 米_{π}^{2} - \frac{2 {c（c）}_{1}}{{（f）}_{π}^{2}} 米_{π}^{2} π^{2} + ({c（c）}_{2} - \frac{克_{A类}^{2}}{8 {M（M）}_{N个}}) \frac{1}{{（f）}_{π}^{2}} (\partial_{0} π \cdot \partial_{0} π) \\ + \frac{{c（c）}_{三}}{{（f）}_{π}^{2}} (\partial_{μ} π \cdot \partial^{μ} π) - ({c（c）}_{4} + \frac{1}{4 {M（M）}_{N个}}) \frac{1}{2 {（f）}_{π}^{2}} ϵ^{我 j个 k个} ϵ^{一 b条 c（c）} σ^{我} τ^{一} (\partial^{j个} π^{b条}) (\partial^{k个} π^{c（c）})] N个 \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{天}{4 {（f）}_{π}} (\bar{N个} N个) \bar{N个} [τ \cdot (\vec{σ} \cdot \vec{\nabla}) π] N个 - \frac{1}{2} E类 (\bar{N个} N个) (\bar{N个} τ N个) \cdot (\bar{N个} τ N个) + \dots \end{matrix}

(18)

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 2} & = & {L（左）}_{π π}^{(4)} + {\hat{L（左）}}_{π N个}^{(三)} + {\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(2)} + \dots \end{matrix}

(19)

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 三} & = & {\hat{L（左）}}_{π N个}^{(4)} + \dots \end{matrix}

(20)

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 4} & = & {\hat{L（左）}}_{π N个}^{(5)} + {\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(4)} + \dots \end{matrix}

(21)

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}^{Δ = 6} & = & {\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(22)

其中我们包括了计算六阶二核子力的相关项。拉格朗日人

{\hat{L（左）}}_{π N个}^{(三)}

和

{\hat{L（左）}}_{π N个}^{(4)}

可在参考文献中找到[26]和

N个 N个

拉格朗日联系人如下。π介子场表示为π重重子核子场由N个(

\bar{N个} = {N个}^{†}

). 此外，

克_{A类}

,

{（f）}_{π}

,

米_{π}

、和

{M（M）}_{N个}

分别是轴矢量耦合常数、π介子衰变常数、介子质量和核子质量。这些数量的数值将在后面给出。这个

{c（c）}_{我}

是二维的低能常数

π N个

拉格朗日和α是π介子场展开中出现的参数，参见参考[15]了解更多详细信息。结果独立于α.

最低顺序（或前导顺序）

N个 N个

拉格朗日函数没有导数[13]

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(0)} = - \frac{1}{2} {C类}_{S公司} \bar{N个} N个 \bar{N个} N个 - \frac{1}{2} {C类}_{T型} (\bar{N个} \vec{σ} N个) \cdot (\bar{N个} \vec{σ} N个)

(23)

哪里

{C类}_{S公司}

和

{C类}_{T型}

是未知常数，由对

N个 N个

数据。

第二个订单

N个 N个

拉格朗日函数可以表述如下[27]

\begin{matrix} {\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(2)} & = & - {C类}_{1}^{'} [{(\bar{N个} \vec{\nabla} N个)}^{2} + {(\bar{\vec{\nabla} N个} N个)}^{2}] - {C类}_{2}^{'} (\bar{N个} \vec{\nabla} N个) \cdot (\bar{\vec{\nabla} N个} N个) - {C类}_{三}^{'} \bar{N个} N个 [\bar{N个} {\vec{\nabla}}^{2} N个 + \bar{{\vec{\nabla}}^{2} N个} N个] \\ - 我 {C类}_{4}^{'} [\bar{N个} \vec{\nabla} N个 \cdot (\bar{\vec{\nabla} N个} \times \vec{σ} N个) + \bar{(\vec{\nabla} N个)} N个 \cdot (\bar{N个} \vec{σ} \times \vec{\nabla} N个)] \\ - 我 {C类}_{5}^{'} \bar{N个} N个 (\bar{\vec{\nabla} N个} \cdot \vec{σ} \times \vec{\nabla} N个) - 我 {C类}_{6}^{'} (\bar{N个} \vec{σ} N个) \cdot (\bar{\vec{\nabla} N个} \times \vec{\nabla} N个) \\ - ({C类}_{7}^{'} δ_{我 k个} δ_{j个 我} + {C类}_{8}^{'} δ_{我 我} δ_{k个 j个} + {C类}_{9}^{'} δ_{我 j个} δ_{k个 我}) [\bar{N个} σ_{k个} \partial_{我} N个 \bar{N个} σ_{我} \partial_{j个} N个 + \bar{\partial_{我} N个} σ_{k个} N个 \bar{\partial_{j个} N个} σ_{我} N个] \\ - ({C类}_{10}^{'} δ_{我 k个} δ_{j个 我} + {C类}_{11}^{'} δ_{我 我} δ_{k个 j个} + {C类}_{12}^{'} δ_{我 j个} δ_{k个 我}) \bar{N个} σ_{k个} \partial_{我} N个 \bar{\partial_{j个} N个} σ_{我} N个 \\ - (\frac{1}{2} {C类}_{13}^{'} (δ_{我 k个} δ_{j个 我} + δ_{我 我} δ_{k个 j个}) + {C类}_{14}^{'} δ_{我 j个} δ_{k个 我}) [\bar{\partial_{我} N个} σ_{k个} \partial_{j个} N个 + \bar{\partial_{j个} N个} σ_{k个} \partial_{我} N个] \bar{N个} σ_{我} N个 \end{matrix}

(24)

类似

{C类}_{S公司}

和

{C类}_{T型}

式（23）中

{C类}_{我}^{'}

式（24）中的未知常数固定为

N个 N个

数据。显然，拉格朗日的这些接触会随着订单的增加而膨胀，这就是为什么我们不给出

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(4)}

和

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(6)}

此处明确显示。这个

N个 N个

从

N个 N个

拉格朗日公式如下第6.1节.

3.EFT核力量：概述

在开始的时候第2节，我们列出了执行导出核电势的EFT程序必须采取的步骤。到目前为止，我们讨论了步骤1到3。剩下的是第四步（低动量膨胀）和第五步（费曼图）。在本节中，我们将详细介绍我们正在使用的扩展，并概述按顺序出现的费曼图。

3.1. 手性微扰理论与功率计数

有效朗格朗日数有无穷多个项，可以从中计算出无限多个费曼图。因此，我们需要一个使理论易于管理和计算的方案。这个方案告诉我们如何区分大（重要）贡献和小（不重要）贡献，这就是手征微扰理论（ChPT）。

在ChPT中，图形是根据小外力在大尺度上的功率进行分析的：

{(问 / Λ_{χ})}^{ν}

，其中问是动量（核子三动量或π四动量）或π质量的泛型

Λ_{χ} \sim 1

GeV是手征对称破缺标度（强子标度，硬标度）。确定功率ν被称为功率计数。

目前，我们只考虑所谓的不可约图。根据定义，不可约图是不能通过仅切割核子线而将其分为两部分的图。根据协变微扰理论的费曼规则，核子传播子是

问^{- 1}

，π介子传播子

问^{- 2}

，任何交互作用中的每个导数都是问，以及每个四动量积分

问^{4}

这也被称为天真维度分析。应用一些拓扑恒等式，我们得到了一个不可约图的幂A类核子[15]

ν = - 2 + 2 A类 - 2 C类 + 2 L（左） + \sum_{我} Δ_{我}

(25)

具有

Δ_{我} \equiv {d日}_{我} + \frac{{n个}_{我}}{2} - 2

（26）

哪里C类表示单独连接件的数量和L（左）图中的回路数；

{d日}_{我}

是导数或π介子插入数，以及

{n个}_{我}

顶点中涉及的核子场（核子腿）数我; 总和遍及所有顶点我包含在考虑中的图表中。请注意

Δ_{我} \geq 0

对于手征对称所允许的所有相互作用。纯π相互作用至少有两个导数(

{d日}_{我} \geq 2, {n个}_{我} = 0

); π介子与核子的相互作用至少有一个导数(

{d日}_{我} \geq 1, {n个}_{我} = 2

); 和核子-核子接触项(

{n个}_{我} = 4

)有

{d日}_{我} \geq 0

这说明了手征对称如何保证低能膨胀。

功率计数的一个重要观察结果是，功率是从下方限定的，具体来说，

ν \geq 0

这一事实对于低动量膨胀的收敛是至关重要的。

此外，幂公式方程（25）允许预测连接的多核子力的领先阶数。考虑一个米-核子不可约连通图(米-核子力）A类-核子系统(

米 \leq A类

). 单独连接件的数量为

C类 = A类 - 米 + 1

将其与

L（左） = 0

和

\sum_{我} Δ_{我} = 0

产量

ν = 2 米 - 4

因此，双核子力(

米 = 2

)开始于

ν = 0

，三核子力(

米 = 三

)在

ν = 2

（但它们恰好按这个顺序抵消），四核子力

ν = 4

（他们不会取消）。有关这方面的更多信息，请参阅下一小节。

为了后面的目的，我们注意到对于不可约

N个 N个

图表(

A类 = 2

,

C类 = 1

)，幂公式分解为非常简单的表达式

ν = 2 L（左） + \sum_{我} Δ_{我}

(27)

总之，ChPT扩展的主要要点是，按照给定的顺序ν，只存在有限数量的图。这就是使理论可计算的原因。表达式

{(问 / Λ_{χ})}^{ν + 1}

提供了对所遗漏贡献的相对大小的粗略估计，从而提供了订单的准确性ν从这个意义上说，该理论可以计算到任何期望的精度，并且具有预测能力。

3.2. 核力量的等级

手性微扰理论和功率计数表明，核力是由功率控制的一个层次ν,图1.

在最低的顺序中，通常称为领先顺序（LO，

ν = 0

)

N个 N个

振幅由两个动量无关的接触项组成(

\sim 问^{0}

)，由四核腿图表示，图的第一行显示了一个小点顶点图1和静态单π交换（1PE），图中第一行的第二个图。当然，这是对双核子力（2NF）的一个相当粗略的近似，但已经说明了一些重要的特征。1PE提供了描述氘核所必需的张量力，它解释了

N个 N个

轨道角动量很高的外围分波中的散射。按此顺序，仅在S公司-波提供了短距离和中间距离的相互作用，这有点粗糙。

在下一个订单中，

ν = 1

，由于奇偶性和时间反转不变性，所有贡献都消失了。

因此，次前导顺序（NLO）为

ν = 2

.双介子交换（2PE）首次出现（“领先的2PE”），因此，对中间-量程相互作用的更复杂描述正从这里开始。因为每个π-二图中涉及的环已经暗示了

ν = 2

(囊性纤维变性。方程式（27））中，顶点必须具有

Δ_{我} = 0

因此，在这个顺序下，只有最低的顺序

π N个 N个

和

π π N个 N个

允许顶点，这就是为什么前面的2PE相当弱的原因。此外，还有七个合同条款

O（运行） (问^{2})

，由带有实心正方形的四核子腿图所示，它有助于S公司和P（P）-波浪。这些接触的算符结构除了中心项、自旋项和张量项之外，还包括一个自旋项。因此，从现象学上描述双核子力所必需的所有自旋-异自旋结构基本上都是按这个顺序生成的。这一发展阶段的主要不足是中间区域吸引力不足。

这个问题最终在第三级得到解决(

ν = 三

)，相邻到相邻的前导顺序（NNLO）。2PE现在涉及到两个衍生产品

π π N个 N个

海鸥顶点（与

{c（c）}_{我}

LEC）由中的一个大实心点表示图1这些顶点代表相关的2PE以及中间点

Δ (1232)

-等压线贡献。这是众所周知的介子现象学的核力量[10,11]这两个贡献对现实的定量2PE模型至关重要。因此，2PE现在假设了一个现实的尺寸，并描述了核力量的中等范围吸引力。没有新联系人。

我们谈论核力量等级的原因是，两核子和多核子力量是在平等的基础上产生的，并且随着我们越来越高的等级而不断增加。在NNLO，第一组非对称三核子力（3NF）发生[28,29],囊性纤维变性。第“3N力”列图1事实上，在前面的顺序上，NLO，不可约3N图已经出现了，然而，它已经被Weinberg证明了[14]这些图表都取消了。由于非对等3NF贡献首先发生

{(问 / Λ_{χ})}^{三}

，与起始于

{(问 / Λ_{χ})}^{0}

.

更多2PE生产于

ν = 4

，相邻相邻领先订单（N

^{三}

LO），其中我们只显示了几个符号图图1.有一个很大的吸引人的单回路2PE贡献（带有两个大实心点的气泡图

\sim {c（c）}_{我}^{2}

)，这稍微超出了2NF的中间范围吸引力。双圈2PE图首次出现，三π交换（3PE）也是如此，它必然涉及两个圈。发现3PE在该订单中可以忽略不计[30,31]. 最重要的是，15个新的联系条款

\sim 问^{4}

出现并由带实心菱形的四核子腿图表示。它们包括一个二次旋量项，并有助于天-波浪。主要是由于接触项数量的增加，可以对高达300 MeV左右的双核子相互作用进行定量描述

^{三}

润滑油[15,32]. 除了进一步的3NF外，四个核子力（4NF）以这个顺序开始。由于领先的4NF比领先的3NF高一个数量级，因此4NF弱于3NF。因此，ChPT对2NF≫3NFᚳ4NF……这一经验性已知事实提供了直接的解释…。

此外，2PE和3PE发生在N

^{4}

LO（五阶）。Entem首先计算了按此顺序对2NF的贡献等。[33]. 结果表明，它具有适度的排斥性，从而补偿了N处产生的吸引剩余

^{三}

LO由气泡图和两个实心点组成。已经评估了该订单的长期和中期3NF贡献[26]，但尚未应用于核结构计算。预计规模会很大。此外，出现了一组新的3NF接触术语[34]. N

^{4}

LO 4NF尚未导出。由于转租

π π N个 N个

海鸥顶点（大实心点

\sim {c（c）}_{我}

)，这个4NF可能相当大。

最后转向N

^{5}

LO（六阶）：Entem得出了2PE和3PE对2NF的主要贡献等。参考文献中[35]，这代表了有史以来在手性EFT中对

N个 N个

系统。这些影响很小，表明2NF的手性展开趋于收敛。此外，一组新的26

N个 N个

合同条款

\sim 问^{6}

有助于F类-波浪发生（由

N个 N个

图中有一颗星图1)带来的总数

N个 N个

触点到50[36]. 这种顺序的三核子、四核子和五核子力尚未导出。

本节提供了概述。在以下部分中，我们将填写所有涉及的详细信息。我们从讨论对两核子力的各种介子交换贡献开始。

4.对 $N个 N个$ 互动

各种介子交换对

N个 N个

势可以根据两个核子之间交换的π数进行分析：

V（V） = {V（V）}_{1 π} + {V（V）}_{2 π} + {V（V）}_{三 π} + {V（V）}_{4 π} + \dots

(28)

其中下标的含义明显，省略号表示

5 π

以及更高的π介子交换。对于上述每一项，我们都有一个低动量膨胀：

\begin{matrix} {V（V）}_{1 π} & = & {V（V）}_{1 π}^{(0)} + {V（V）}_{1 π}^{(2)} + {V（V）}_{1 π}^{(三)} + {V（V）}_{1 π}^{(4)} + {V（V）}_{1 π}^{(5)} + {V（V）}_{1 π}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(29)

\begin{matrix} {V（V）}_{2 π} & = & {V（V）}_{2 π}^{(2)} + {V（V）}_{2 π}^{(三)} + {V（V）}_{2 π}^{(4)} + {V（V）}_{2 π}^{(5)} + {V（V）}_{2 π}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(30)

\begin{matrix} {V（V）}_{三 π} & = & {V（V）}_{三 π}^{(4)} + {V（V）}_{三 π}^{(5)} + {V（V）}_{三 π}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(31)

\begin{matrix} {V（V）}_{4 π} & = & {V（V）}_{4 π}^{(6)} + \dots \end{matrix}

(32)

其中上标表示顺序ν椭圆代表七阶和更高阶的贡献。由于奇偶校验和时间反转，没有一阶贡献。此外，由于n个介子创造

L（左） = n个 - 1

循环，的前导顺序n个-π介子交换

ν = 2 n个 - 2

(囊性纤维变性。方程式（27））。

按顺序排序

N个 N个

潜在积累如下：

\begin{matrix} {V（V）}_{润滑油} & \equiv & {V（V）}^{(0)} = {V（V）}_{1 π}^{(0)} \end{matrix}

(33)

\begin{matrix} {V（V）}_{非直瞄} & \equiv & {V（V）}^{(2)} = {V（V）}_{润滑油} + {V（V）}_{1 π}^{(2)} + {V（V）}_{2 π}^{(2)} \end{matrix}

(34)

\begin{matrix} {V（V）}_{NNLO公司} & \equiv & {V（V）}^{(三)} = {V（V）}_{非直瞄} + {V（V）}_{1 π}^{(三)} + {V（V）}_{2 π}^{(三)} \end{matrix}

(35)

\begin{matrix} {V（V）}_{N个 三 润滑油} & \equiv & {V（V）}^{(4)} = {V（V）}_{NNLO公司} + {V（V）}_{1 π}^{(4)} + {V（V）}_{2 π}^{(4)} + {V（V）}_{三 π}^{(4)} \end{matrix}

(36)

\begin{matrix} {V（V）}_{N个 4 润滑油} & \equiv & {V（V）}^{(5)} = {V（V）}_{N个 三 润滑油} + {V（V）}_{1 π}^{(5)} + {V（V）}_{2 π}^{(5)} + {V（V）}_{三 π}^{(5)} \end{matrix}

(37)

\begin{matrix} {V（V）}_{N个 5 润滑油} & \equiv & {V（V）}^{(6)} = {V（V）}_{N个 4 润滑油} + {V（V）}_{1 π}^{(6)} + {V（V）}_{2 π}^{(6)} + {V（V）}_{三 π}^{(6)} + {V（V）}_{4 π}^{(6)} \end{matrix}

(38)

其中LO代表领先订单，NLO代表次领先订单，等。

势的显式表达式将根据对动量空间的贡献进行说明

N个 N个

质量中心系统（CMS）中的振幅，由以下一般分解产生：

\begin{matrix} V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) & = & {V（V）}_{C类} + τ_{1} \cdot τ_{2} {W公司}_{C类} \\ + & [{V（V）}_{S公司} + τ_{1} \cdot τ_{2} {W公司}_{S公司}] {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} \\ + & [{V（V）}_{L（左） S公司} + τ_{1} \cdot τ_{2} {W公司}_{L（左） S公司}] (- 我 \vec{S公司} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个})) \\ + & [{V（V）}_{T型} + τ_{1} \cdot τ_{2} {W公司}_{T型}] {\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{q个} {\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{q个} \\ + & [{V（V）}_{σ L（左）} + τ_{1} \cdot τ_{2} {W公司}_{σ L（左）}] {\vec{σ}}_{1} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个}) {\vec{σ}}_{2} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个}) \end{matrix}

(39)

哪里

\vec{第页}^{'}

和

\vec{第页}

分别表示CMS中的最终和初始核子动量。此外，

\vec{q个} = \vec{第页}^{'} - \vec{第页}

是动量转移，

\vec{k个} = (\vec{第页}^{'} + \vec{第页}) / 2

平均动量，以及

\vec{S公司} = ({\vec{σ}}_{1} + {\vec{σ}}_{2}) / 2

总旋转

{\vec{σ}}_{1, 2}

和

τ_{1, 2}

核子1和核子2的自旋和同位旋算符。对于壳上散射，

{V（V）}_{α}

和

{W公司}_{α}

(

α = C类, S公司, L（左） S公司, T型, σ L（左）

)可以表示为的函数

q个 = | \vec{q个} |

和

第页 = | \vec{第页}^{'} | = | \vec{第页} |

仅限。

我们现在将逐一讨论捐款。

4.1. 前导次序（LO）

在领先订单中，只有

1 π

-外汇捐款，囊性纤维变性。图1.电荷依赖性

1 π

-兑换方式为

{V（V）}_{1 π}^{(CI公司)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) = - \frac{克_{A类}^{2}}{4 {（f）}_{π}^{2}} τ_{1} \cdot τ_{2} \frac{{\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{q个} {\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{q个}}{{q个}^{2} + 米_{π}^{2}}

(40)

高阶修正

1 π

-交换是通过质量和耦合常数重整化来处理的，而重整化又是通过物理值来解释的。还要注意，在壳层上，没有相对论修正。因此，我们应用

1 π

-以方程式（40）的形式交换所有订单。

我们使用

克_{A类} = 1.290

（而不是

克_{A类} = 1.276

[37])解释所谓的Goldberger-Treiman差异。通过Goldberger-Treiman关系，

克_{π N个 N个} = 克_{A类} {M（M）}_{N个} / {（f）}_{π}

，我们的价值

克_{A类}

与一起

{（f）}_{π} = 92.4

MeV和

{M（M）}_{N个} = 938.918

MeV暗示

克_{π N个 N个}^{2} / 4 π = 13.67

这与从

π N个

和

N个 N个

数据分析[38,39].

对于下面的结果，我们将专门计算中子-质子(

n个 第页

)散射并获取

1 π

-兑换成帐户。因此

1 π

-我们实际应用的交换电位读取

{V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) = - {V（V）}_{1 π} (米_{π^{0}}) + {(- 1)}^{我 + 1} 2 {V（V）}_{1 π} (米_{π^{\pm}})

(41)

哪里

我 = 0, 1

表示两核子系统的总同位旋

{V（V）}_{1 π} (米_{π}) \equiv - \frac{克_{A类}^{2}}{4 {（f）}_{π}^{2}} \frac{{\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{q个} {\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{q个}}{{q个}^{2} + 米_{π}^{2}}

(42)

我们使用

米_{π^{0}} = 134.9766

MeV和

米_{π^{\pm}} = 139.5702

墨西哥湾。从形式上讲，1PE交换的电荷依赖性是NLO[15]，但我们已经将其包含在主导顺序中，以便与

n个 第页

相移更有意义。

4.2. 下一订单到领先订单（NLO）

NLO的2PE贡献(囊性纤维变性。图1)由提供[40]:

\begin{matrix} {W公司}_{C类} & = & \frac{L（左） (\tilde{Λ} ； q个)}{384 π^{2} {（f）}_{π}^{4}} [4 米_{π}^{2} (1 + 4 克_{A类}^{2} - 5 克_{A类}^{4}) + {q个}^{2} (1 + 10 克_{A类}^{2} - 23 克_{A类}^{4}) - \frac{48 克_{A类}^{4} 米_{π}^{4}}{{w个}^{2}}] \end{matrix}

(43)

\begin{matrix} {V（V）}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {V（V）}_{S公司} = - \frac{三 克_{A类}^{4}}{64 π^{2} {（f）}_{π}^{4}} L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(44)

其中，（正则化的）对数循环函数由以下公式给出：

L（左） (\tilde{Λ} ； q个) = \frac{w个}{2 q个} 自然对数 \frac{{\tilde{Λ}}^{2} (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) - 2 米_{π}^{2} {q个}^{2} + \tilde{Λ} \sqrt{{\tilde{Λ}}^{2} - 4 米_{π}^{2}} q个 w个}{2 米_{π}^{2} ({\tilde{Λ}}^{2} + {q个}^{2})}

(45)

具有

w个 = \sqrt{4 米_{π}^{2} + {q个}^{2}}

.

\tilde{Λ}

表示光谱函数重整化（SFR）的截止点[41]. 请注意

\underset{\tilde{Λ} \to \infty}{林} L（左） (\tilde{Λ} ； q个) = \frac{w个}{q个} 自然对数 \frac{w个 + q个}{2 米_{π}}

(46)

是维数正则化的对数循环函数。

4.3. 下一对下一对领先订单（NNLO）

2PE对NNLO处2NF的贡献由气泡图和三角形图组成(囊性纤维变性。图1). 气泡消失了，因为回路积分涉及回路动量的时间分量的奇数幂。三角形贡献由下式给出[40]:

\begin{matrix} {V（V）}_{C类} & = & \frac{三 克_{A类}^{2}}{16 π {（f）}_{π}^{4}} [2 米_{π}^{2} ({c（c）}_{三} - 2 {c（c）}_{1}) + {c（c）}_{三} {q个}^{2}] (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) A类 (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(47)

\begin{matrix} {W公司}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {W公司}_{S公司} = - \frac{克_{A类}^{2}}{32 π {（f）}_{π}^{4}} {c（c）}_{4} {w个}^{2} A类 (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(48)

出现在上述表达式中的循环函数，通过频谱函数截止进行正则化

\tilde{Λ}

，是

A类 (\tilde{Λ} ； q个) = \frac{1}{2 q个} 阿卡坦 \frac{q个 (\tilde{Λ} - 2 米_{π})}{{q个}^{2} + 2 \tilde{Λ} 米_{π}}

(49)

和

\underset{\tilde{Λ} \to \infty}{林} A类 (\tilde{Λ} ； q个) = \frac{1}{2 q个} 阿卡坦 \frac{q个}{2 米_{π}}

(50)

生成用于维正则化的循环函数。

4.4. 下一个下一个下一个主订单（N $^{三}$ LO）

N的2PE贡献

^{三}

LO如所示图2它们由三部分组成，我们现在将逐一讨论。

4.4.1. N位置的足球图表 $^{三}$ 润滑油

N的足球图表

^{三}

润滑油，图2a、生成[42]:

{V（V）}_{C类} = \frac{三}{16 π^{2} {（f）}_{π}^{4}} [{(\frac{{c（c）}_{2}}{6} {w个}^{2} + {c（c）}_{三} (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) - 4 {c（c）}_{1} 米_{π}^{2})}^{2} + \frac{{c（c）}_{2}^{2}}{45} {w个}^{4}] L（左） (\tilde{Λ} ； q个)

(51)

\begin{matrix} {W公司}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {W公司}_{S公司} = \frac{{c（c）}_{4}^{2}}{96 π^{2} {（f）}_{π}^{4}} {w个}^{2} L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

（52）

4.4.2. 领先的双环贡献

主要订单

2 π

-交换双回路图如所示图2b.就谱函数而言，结果如下[42]:

我 {V（V）}_{C类} = \frac{三 克_{A类}^{4} (2 米_{π}^{2} - μ^{2})}{π μ {(4 {（f）}_{π})}^{6}} [(米_{π}^{2} - 2 μ^{2}) (2 米_{π} + \frac{2 米_{π}^{2} - μ^{2}}{2 μ} 自然对数 \frac{μ + 2 米_{π}}{μ - 2 米_{π}}) + 4 克_{A类}^{2} 米_{π} (2 米_{π}^{2} - μ^{2})]

(53)

\begin{matrix} 我 {W公司}_{C类} & = & \frac{2 κ}{三 μ {(8 π {（f）}_{π}^{2})}^{三}} \int_{0}^{1} d日 x个 [克_{A类}^{2} (μ^{2} - 2 米_{π}^{2}) + 2 (1 - 克_{A类}^{2}) κ^{2} {x个}^{2}] \\ \times {96 π^{2} {（f）}_{π}^{2} [(2 米_{π}^{2} - μ^{2}) ({\bar{d日}}_{1} + {\bar{d日}}_{2}) - 2 κ^{2} {x个}^{2} {\bar{d日}}_{三} + 4 米_{π}^{2} {\bar{d日}}_{5}] \\ + [4 米_{π}^{2} (1 + 2 克_{A类}^{2}) - μ^{2} (1 + 5 克_{A类}^{2})] \frac{κ}{μ} 自然对数 \frac{μ + 2 κ}{2 米_{π}} + \frac{μ^{2}}{12} (5 + 13 克_{A类}^{2}) - 2 米_{π}^{2} (1 + 2 克_{A类}^{2}) \\ - 三 κ^{2} {x个}^{2} + 6 κ x个 \sqrt{米_{π}^{2} + κ^{2} {x个}^{2}} 自然对数 \frac{κ x个 + \sqrt{米_{π}^{2} + κ^{2} {x个}^{2}}}{米_{π}} \end{matrix}

\begin{matrix} + 克_{A类}^{4} (μ^{2} - 2 κ^{2} {x个}^{2} - 2 米_{π}^{2}) [\frac{5}{6} + \frac{米_{π}^{2}}{κ^{2} {x个}^{2}} - {(1 + \frac{米_{π}^{2}}{κ^{2} {x个}^{2}})}^{三 / 2} 自然对数 \frac{κ x个 + \sqrt{米_{π}^{2} + κ^{2} {x个}^{2}}}{米_{π}}]} \end{matrix}

(54)

\begin{matrix} 我 {V（V）}_{S公司} & = & μ^{2} 我 {V（V）}_{T型} = \frac{克_{A类}^{2} μ κ^{三}}{8 π {（f）}_{π}^{4}} ({\bar{d日}}_{15} - {\bar{d日}}_{14}) \\ + \frac{2 克_{A类}^{6} μ κ^{三}}{{(8 π {（f）}_{π}^{2})}^{三}} \int_{0}^{1} d日 x个 (1 - {x个}^{2}) [\frac{1}{6} - \frac{米_{π}^{2}}{κ^{2} {x个}^{2}} + {(1 + \frac{米_{π}^{2}}{κ^{2} {x个}^{2}})}^{三 / 2} 自然对数 \frac{κ x个 + \sqrt{米_{π}^{2} + κ^{2} {x个}^{2}}}{米_{π}}] \end{matrix}

(55)

\begin{matrix} 我 {W公司}_{S公司} & = & μ^{2} 我 {W公司}_{T型} (我 μ) = \frac{克_{A类}^{4} (4 米_{π}^{2} - μ^{2})}{π {(4 {（f）}_{π})}^{6}} [(米_{π}^{2} - \frac{μ^{2}}{4}) 自然对数 \frac{μ + 2 米_{π}}{μ - 2 米_{π}} + (1 + 2 克_{A类}^{2}) μ 米_{π}] \end{matrix}

(56)

哪里

κ = \sqrt{μ^{2} / 4 - 米_{π}^{2}}

.

动量空间振幅

{V（V）}_{α} (q个)

和

{W公司}_{α} (q个)

通过减去色散积分从上述表达式中获得：

\begin{matrix} {V（V）}_{C类, S公司} (q个) & = & - \frac{2 {q个}^{米 + 三}}{π} \int_{n个 米_{π}}^{\tilde{Λ}} d日 μ \frac{我 {V（V）}_{C类, S公司} (我 μ)}{μ^{米 + 2} (μ^{2} + {q个}^{2})} \\ {V（V）}_{T型} (q个) & = & \frac{2 {q个}^{米 + 1}}{π} \int_{n个 米_{π}}^{\tilde{Λ}} d日 μ \frac{我 {V（V）}_{T型} (我 μ)}{μ^{米} (μ^{2} + {q个}^{2})} \end{matrix}

（57）

和类似的

{W公司}_{C类, S公司, T型}

。我们使用

米 = 三

对于N处贡献的色散积分

^{三}

LO和N

^{4}

LO和

米 = 5

N时

^{5}

润滑油。此外，

n个 = 2

用于双离子交换和

n个 = 三

用于三π交换。对于

\tilde{Λ} \to \infty

上述弥散积分产生了维数正则化的结果，而对于有限

\tilde{Λ} \geq n个 米_{π}

我们有所谓的谱函数正则化（SFR）[41]. 有限尺度的目的

\tilde{Λ}

是将虚部约束到手征有效场理论适用的低动量区域。在实践中，我们将保持

\tilde{Λ} \overset{<}{\sim} 1.5

GeV公司。理想情况下，人们可能希望

\tilde{Λ} \to \infty

然而，由于目前尚未完全理解的原因，这导致了不切实际的结果。这一问题值得进一步调查。

4.4.3. 领先的相对论修正

计数

问 / {M（M）}_{N个} \sim 问^{2} / Λ_{χ}^{2}

，NLO图的相对论修正，如所示图2c、属于N级

^{三}

LO和由给出[15]:

\begin{matrix} {V（V）}_{C类} & = & \frac{三 克_{A类}^{4}}{128 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} [\frac{米_{π}^{5}}{2 {w个}^{2}} + (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) ({q个}^{2} - 米_{π}^{2}) A类 (\tilde{Λ} ； q个)] \end{matrix}

(58)

\begin{matrix} {W公司}_{C类} & = & \frac{克_{A类}^{2}}{64 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} \{\frac{三 克_{A类}^{2} 米_{π}^{5}}{2 ω^{2}} + [克_{A类}^{2} (三 米_{π}^{2} + 2 {q个}^{2}) - 2 米_{π}^{2} - {q个}^{2}] (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) A类 (\tilde{Λ} ； q个)\} \end{matrix}

(59)

\begin{matrix} {V（V）}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {V（V）}_{S公司} = \frac{三 克_{A类}^{4}}{256 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} (5 米_{π}^{2} + 2 {q个}^{2}) A类 (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(60)

\begin{matrix} {W公司}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {W公司}_{S公司} = \frac{克_{A类}^{2}}{128 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} [克_{A类}^{2} (三 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) - {w个}^{2}] A类 (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(61)

\begin{matrix} {V（V）}_{L（左） S公司} & = & \frac{三 克_{A类}^{4}}{32 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} (2 米_{π}^{2} + {q个}^{2}) A类 (\tilde{Λ} ； q个), \end{matrix}

（62）

\begin{matrix} {W公司}_{L（左） S公司} & = & \frac{克_{A类}^{2} (1 - 克_{A类}^{2})}{32 π {（f）}_{π}^{4} {M（M）}_{N个}} {w个}^{2} A类 (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(63)

4.4.4. 领先的三离子交换捐款

领先者

三 π

-发生的汇兑出资N

^{三}

LO显示在图3。它们已在参考文献中计算。[30,31]并且可以忽略不计。因此，我们省略了它们。

4.5. 下一个至下一个到下一个的至领先订单（N $^{4}$ LO）

4.5.1. N的两个Pion交换捐款 $^{4}$ 润滑油

这个

2 π

-N发生的汇兑出资

^{4}

LO以图形方式显示图4。我们可以区分三组图表。

首先是N

^{4}

润滑油

2 π

-交换（a）类的两个回路贡献，图4a.对于这一类，谱函数是通过对前一个回路的乘积进行积分得到的

π N个

振幅与手性

π π N个 N个

顶点与成比例

{c（c）}_{我}

在洛伦兹不变量上

2 π

-相空间。

其次，我们有N

^{4}

润滑油

2 π

-交换（b）类的两个回路贡献，图4b.这里是单回路的乘积

π N个

振幅与

{c（c）}_{我}

（参见参考[26]详细信息）和主导顺序手性

π N个

振幅积分在

2 π

-相空间。

（a）和（b）类谱函数的解析表达式非常复杂，这就是为什么我们不在这里重印它们的原因。感兴趣的读者请参阅参考文献[33].

最后，还有一些相对论修正。该组由一个顶点与

{c（c）}_{我}

和一个

1 / {M（M）}_{N个}

修正。一些有代表性的图表如所示图4c.由于在本次调查中，我们计算

问 / {M（M）}_{N个} \sim {(问 / Λ_{χ})}^{2}

，这些相对论修正形式上是N阶

^{4}

润滑油。这组图的结果是[42]:

{V（V）}_{C类} = \frac{克_{A类}^{2} L（左） (\tilde{Λ} ； q个)}{32 π^{2} {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{4}} [(6 {c（c）}_{三} - {c（c）}_{2}) {q个}^{4} + 4 (三 {c（c）}_{三} - {c（c）}_{2} - 6 {c（c）}_{1}) {q个}^{2} 米_{π}^{2} + 6 (2 {c（c）}_{三} - {c（c）}_{2}) 米_{π}^{4} - 24 (2 {c（c）}_{1} + {c（c）}_{三}) 米_{π}^{6} {w个}^{- 2}]

(64)

\begin{matrix} {W公司}_{C类} & = & - \frac{{c（c）}_{4}}{192 π^{2} {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{4}} [克_{A类}^{2} (8 米_{π}^{2} + 5 {q个}^{2}) + {w个}^{2}] {q个}^{2} L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(65)

\begin{matrix} {W公司}_{T型} & = & - \frac{1}{{q个}^{2}} {W公司}_{S公司} = \frac{{c（c）}_{4}}{192 π^{2} {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{4}} [{w个}^{2} - 克_{A类}^{2} (16 米_{π}^{2} + 7 {q个}^{2})] L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(66)

\begin{matrix} {V（V）}_{L（左） S公司} & = & \frac{{c（c）}_{2} 克_{A类}^{2}}{8 π^{2} {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{4}} {w个}^{2} L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(67)

\begin{matrix} {W公司}_{L（左） S公司} & = & - \frac{{c（c）}_{4}}{48 π^{2} {M（M）}_{N个} {（f）}_{π}^{4}} [克_{A类}^{2} (8 米_{π}^{2} + 5 {q个}^{2}) + {w个}^{2}] L（左） (\tilde{Λ} ； q个) \end{matrix}

(68)

4.5.2. N的三离子交换捐款 $^{4}$ 润滑油

这个

三 π

-交换订单N

^{4}

LO如所示图5这些图表的光谱函数已在参考文献中计算[43]. 我们在这里使用该参考中引入的分类方案，并注意到XI类消失了。此外，我们发现X类和XIV类的一部分贡献微乎其微。因此，我们的计算中只包括第XII类和第XIII类，以及

{V（V）}_{S公司}

第十四类出资。对于非常复杂的表达式，我们请感兴趣的读者参阅参考文献[33].

4.6. 下一个到下一个订单 $^{5}$ LO）

4.6.1. N的两个Pion交换捐款 $^{5}$ 润滑油

这个

2 π

-N发生的汇兑出资

^{5}

LO以图形方式显示在图6。我们现在将分别讨论每节课。

N

^{5}

润滑油

2 π

-交换两个循环贡献，用类（a）表示，如所示图6a.对于这一类，谱函数是通过积分分装单回路的乘积得到的

π N个

-振幅（参见参考[26]详细信息）和手性

π π N个 N个

-顶点与成比例

{c（c）}_{我}

在洛伦兹不变量上

2 π

-相空间[35].

第一组

2 π

-以类（b）表示的三个oop顺序的交换贡献显示在图6b.这里，领先的单回路

π N个

-散射振幅与自身相乘，并在

2 π

-相空间[35].

进一步

2 π

-在N处交换三回路贡献

^{5}

LO，用类（c）表示，如所示图6c.对于这些，两个回路

π N个

-散射振幅（五阶）必须与树级折叠

π N个

-振幅。据我们所知，双圈弹性

π N个

-散射振幅从未以适当的分析形式进行过评估。请注意，（c）类贡献中涉及的回路仅包括领先的手性

π N个

-顶点。根据我们的经验，这种贡献通常很小。由于这些原因，类（c）被忽略了。

除上述之外，还有一些相对论

1 / {M（M）}_{N个}^{2}

-修正。该组由

1 / {M（M）}_{N个}^{2}

-手性先导的修正

2 π

-交换图。自从我们计数

问 / {M（M）}_{N个} \sim {(问 / Λ_{χ})}^{2}

，这些相对论修正形式上是六阶（N

^{5}

LO）。对应的表达式

N个 N个

-振幅见参考[44]:

4.6.2. N的三离子交换捐款 $^{5}$ 润滑油

这个

三 π

-N阶汇兑出资

^{5}

LO如所示图7。我们可以区分两个类。

类（a）由中显示的图表组成图7a.其特点是存在一次转租

π π N个 N个

-每个核子线的顶点。使用参考文献中引入的符号。[33,43]，我们用罗马数字来区分图表的各个子类。

（b）类如所示图7b.每个

三 π

-此类的交换图包括单回路

π N个

-振幅（由低能常数完成

{\bar{d日}}_{j个}

). 只有那些部分

π N个

-散射振幅，无论是独立于πCMS能量还是线性依赖于它，都可以用现有的技术进行处理。一般来说，捐款很少。下面给出的结果仅包括该类中较大的部分。遗漏的部分大约小一个数量级。为了便于更好地理解，我们将这一类细分为用罗马数字标记的子类，如下所示。[33,43].

光谱函数的解析表达式可以在参考文献中找到[35].

4.6.3. N处的四离子交换 $^{5}$ 润滑油

两个核子之间的四个介子交换第一次发生在N

^{5}

润滑油。相关的图表包括三个回路和唯一的前导序顶点，这解释了小动量的六次幂。只有前导序顶点的三离子交换被证明小得可以忽略不计[30,31]，所以我们预计四π交换与前导序顶点的交换会更小。因此，我们可以放心地忽略这一贡献。

5.扰动 $N个 N个$ 外围部分波中的散射

由于几个原因，外围部分波中的核子散射特别有趣。首先，这些分波探测核力的长程和中程。由于离心屏障，对短程贡献的敏感性很小；例如，N处的合同条款

^{4}

LO对轨道角动量没有贡献

L（左） \geq 三

因此，在N

^{4}

LO，用于F类在π介子产生阈值以下的更高的波和能量，我们有一个窗口，其中

N个 N个

相互作用仅由手性对称性决定（手性单离子和多离子交换），我们可以对理论的工作情况进行相对清晰的测试。使用LEC的值

π N个

分析

N个 N个

预测甚至是无参数的。此外，外围部分波的相移很小，这表明可以微扰地进行计算。这避免了低分波所必需的Lippmann-Schwinger方程的非扰动处理所面临的复杂性和可能的模型依赖性（例如，截止依赖性）。

扰动K（K）-矩阵

n个 第页

散射计算如下：

\begin{matrix} K（K） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) & = & {V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) + {V（V）}_{2 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) + {V（V）}_{三 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) + V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \end{matrix}

(69)

具有

{V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

如方程式（41）所示，以及

{V（V）}_{2 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

表示一次迭代的单π交换（1PE），由

{V（V）}_{2 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) = P（P） \int \frac{{d日}^{三} {第页}^{″}}{{(2 π)}^{三}} \frac{{M（M）}_{N个}^{2}}{{E类}_{{第页}^{″}}} \frac{{V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}^{″}) {V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{″}, \vec{第页})}{{第页}^{2} - {第页}^{''}^{2}}

(70)

哪里

P（P）

表示主值积分和

{E类}_{{第页}^{″}} = \sqrt{{M（M）}_{N个}^{2} + {第页}^{''}^{2}}

LO处的计算仅包括方程式（69）右侧的第一项，

{V（V）}_{1 π}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

，而NLO或更高阶的计算也包括右侧的第二项，

{V（V）}_{2 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

。在NNLO，也应包括两次迭代的1PE；在更高的阶数下，应该考虑进一步的迭代。然而，我们发现，一次迭代的1PE和无限迭代的1PE之间的差异非常小，以至于无法在我们的相移图的尺度上识别。因此，我们省略了1PE中包含的内容以外的迭代

{V（V）}_{2 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

此外，

{V（V）}_{三 π, 它}^{(n个 第页)} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

表示不可约2PE与1PE迭代的项。

最后，方程（69）的r.h.s.的第四项，

V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页})

，表示按计算顺序发生的不可约多离子交换贡献。在多离子交换中，我们使用平均π介子质量

米_{π} = 138.039

MeV，因此，忽略了不可约多离子图中由于π-质量分裂引起的电荷依赖性。

在本文中，我们使用

{M（M）}_{N个} = \frac{2 {M（M）}_{第页} {M（M）}_{n个}}{{M（M）}_{第页} + {M（M）}_{n个}} = 938.9182 墨西哥湾

（71）

基于相对论运动学，CMS壳上动量第页与实验室系统中入射中子的动能有关（“实验室能量”），

{T型}_{实验室}

，由

{第页}^{2} = \frac{{M（M）}_{第页}^{2} {T型}_{实验室} ({T型}_{实验室} + 2 {M（M）}_{n个})}{{({M（M）}_{第页} + {M（M）}_{n个})}^{2} + 2 {T型}_{实验室} {M（M）}_{第页}}

(72)

具有

{M（M）}_{第页} = 938.2720

MeV和

{M（M）}_{n个} = 939.5653

MeV分别是质子和中子的质量。

这个K（K）-矩阵，方程（69），根据参考[45]然后通过以下公式计算相移

棕褐色的 δ_{L（左）} ({T型}_{实验室}) = - \frac{{M（M）}_{N个}^{2} 第页}{16 π^{2} {E类}_{第页}} 第页 {K（K）}_{L（左）} (第页, 第页)

(73)

有关相移评估的更多详细信息，包括耦合分波的情况，请参见参考文献[46]或附录[9].

手征对称性在

π N个

-系统和

N个 N个

-系统（通过常见的低能常数）。为了检查一致性，我们使用LEC进行分装

π N个

-低能弹性分析中确定的联轴器

π N个

-散射。参考文献中包含了针对我们目的的适当分析。[26]，其中

π N个

-使用相对论的相同功率计数，计算了四阶散射

1 / {M（M）}_{N个}

-本工作中的修正。参考[26]进行了两次安装，一次安装到GW上[47]一个给KH[48]产生下列两组LEC的部分波分析表1.

最多N的供款

^{三}

LO及其对外围设备的影响

N个 N个

散射已在参考文献中详细讨论和演示[15]因此，我们在此不再重复。然而，我们将介绍在计算N以上订单方面取得的最新进展

^{三}

润滑油。

我们首先展示单个N

^{4}

LO（五阶）贡献影响

N个 N个

外围波的相移。为此，我们在图8六个重要外围部分波的相移，即，

^{1} {F类}_{三}

,

^{三} {F类}_{2}

,

^{三} {F类}_{三}

,

^{三} {F类}_{4}

,

^{1} {G公司}_{4}

、和

^{三} {G公司}_{5}

在每一帧中，显示以下曲线：

N个 $^{三}$ 润滑油。
上一条曲线加上 ${c（c）}_{我} / {M（M）}_{N个}$ 修正（用“c/M”表示），图4c。
上一条曲线加上N $^{4}$ 润滑油 $2 π$ -交换（a）类的两个回路贡献，图4a。
上一条曲线加上N $^{4}$ 润滑油 $2 π$ （b）类的双回路贡献，图4b。
上一条曲线加上N $^{4}$ 润滑油 $三 π$ -交换捐款，图5.

总之，各种曲线依次加总单个N

^{4}

LO贡献按曲线标签中指示的顺序。该系列中的最后一条曲线，即曲线（5），是完整的N

^{4}

LO结果。在这些计算中，SFR截止值

\tilde{Λ} = 1.5

GeV已应用(囊性纤维变性。方程式（57））和KH LEC(囊性纤维变性。表1)使用。

发件人图8，我们进行以下观察。三胞胎F类-波浪

{c（c）}_{我} / {M（M）}_{N个}

修正以及2PE两圈，（a）和（b）类，都是排斥的，并且强度大致相同。因此，过度吸引力的问题

^{三}

LO被困扰，被克服。类似的趋势出现在

^{1} {G公司}_{4}

。例外情况是

^{1} {F类}_{三}

，其中（b）类贡献具有吸引力，导致能量高于150 MeV的数据发生相移。

现在转向N

^{4}

LO 3PE贡献（曲线（5）in图8)：在所有外围部分波中，它们都大大小于2PE两环路。这可以解释为两个核子之间交换的π介子数量的趋同，这是一个非常受欢迎的趋势。此外，请注意，3PE的总贡献是非常全面的，囊性纤维变性。图5它是十个项的总和，每个项都可能相当大。然而，它们之间的破坏性干扰会导致较小的净结果。

对于所有人F类-和G公司-波浪（除

^{1} {F类}_{三}

)，最后一个N

^{4}

LO结果接近于经验相移。请注意，这还包括

^{三} {G公司}_{5}

，在N处造成持续问题

^{三}

低[49].

了解预测如何随着

\tilde{Λ}

在合理范围内。因此，我们有不同的

\tilde{Λ}

0.7到1.5 GeV之间，并显示所有F类和G公司-中的波浪图9和图10分别以色带表示。可以看出，在N

^{三}

LO，当N时，预测的变化非常大，总是太有吸引力

^{4}

LO，变化很小，预测接近数据或正好在数据上。图9和图10还包括低阶（LO、NLO和NNLO），以便可以比较逐个订单贡献的相对大小。我们观察到没有太大的收敛，因为NNLO的幅值N明显

^{三}

LO和N

^{4}

LO贡献大致相同。

因此，接下来，我们转向N

^{5}

LO贡献。如所示图6和图7，六阶修正包含几个贡献。如N的情况

^{4}

LO，我们首先展示单个N

^{5}

LO贡献影响

N个 N个

-外围波中的相移。在图11，我们显示两个外围部分波的相移，即，

^{1} {G公司}_{4}

、和

^{三} {G公司}_{5}

。显示了以下曲线：

N个 $^{4}$ 润滑油。
上一条曲线加上N $^{5}$ 润滑油 $2 π$ -（a）类外汇捐款，图6a。
上一条曲线加上N $^{5}$ 润滑油 $2 π$ -（b）类外汇捐款，图6b。
上一条曲线加上N $^{5}$ 润滑油 $三 π$ -（a）类外汇捐款，图7a。
上一条曲线加上N $^{5}$ 润滑油 $三 π$ -（b）类外汇捐款，图7b。
上一条曲线加上 $1 / {M（M）}_{N个}^{2}$ -修正（用“1/M2”表示）[44].

该系列中的最后一条曲线，即曲线（6），包括所有N

^{5}

参考中计算的LO贡献[35]. 对于该图的所有曲线，SFR截止

\tilde{Λ} = 800

墨西哥湾(囊性纤维变性。采用方程（57）），GW(囊性纤维变性。表1)使用LEC。

发件人图11，我们看到两圈

2 π

-交换等级（a），图6a、产生强烈的排斥中心力，而这类提供的自旋-自旋和张量力可以忽略不计。这个类产生相对较大的贡献这一事实并不意外，因为它与

{c（c）}_{我}^{2}

. The

2 π

-汇兑贡献类别（b），图6b、产生一个适度的排斥中心力

^{1} {G公司}_{4}

以及一个明显的张量力

^{三} {G公司}_{5}

演示。这个

三 π

-交换等级（a），图7a、在中可以忽略不计

^{1} {G公司}_{4}

，但在

^{三} {G公司}_{5}

因此，它不应被忽视。此贡献与

{c（c）}_{我}^{2}

，这意味着一个不可忽略的大小，但它通常小于相应的

2 π

-交换贡献类别（a）。这个

三 π

-交换（b）类出资，图7b、结果可以忽略不计（参见中的曲线（4）和（5）之间的差异图11). 这可能并不意外，因为这是一个只有前导阶顶点的三回路贡献。最后是相对论

1 / {M（M）}_{N个}^{2}

-对前导的修正

2 π

-交易所[44]有一个小但不可忽视的影响，特别是在

^{三} {G公司}_{5}

.

N

^{5}

所有LO预测G公司和H（H）-波浪，显示在图12根据通过改变SFR截止值生成的有色带

\tilde{Λ}

(囊性纤维变性。方程式（57））介于700和900 MeV之间。该图再次清楚地表明，在N

^{三}

LO，总的来说，这些预测太有吸引力了。如前所述，N

^{4}

LO的贡献基本上补偿了这一诱人的盈余。N个

^{5}

LO然后添加额外的排斥力，使最终预测正确地反映在数据上(即，经验相移）。此外，N

^{5}

总的来说，LO贡献比N处的贡献要小得多

^{4}

因此，LO显示了手征展开的收敛性。

总之，我们在图13从LO到N的所有订单之间的比较

^{5}

润滑油。注意，LO预测（单π交换，虚线）和数据（实心和空心圆）之间的差异将由两个和三个π交换提供，即，核动力的中间射程部分。这项工作完成得如何，是对任何核力量理论的关键考验。NLO只产生一小部分贡献，但N

^{2}

LO创造了巨大的中间距离吸引力（最明显的是

^{1} {G公司}_{4}

,

^{三} {G公司}_{5}

、和

^{三} {H（H）}_{6}

). 事实上，N

^{2}

LO是所有订单中贡献最大的。这是由于单回路

2 π

-涉及一个的交换三角图

π π N个 N个

-接触顶点与

{c（c）}_{我}

。该顶点表示相关的2PE以及中间点

Δ (1232)

-等压线激发。这一点在传统的介子核力理论中是众所周知的[10,11,53]这两个特征对于现实和定量的2PE模型至关重要。因此，单回路

2 π

-N处的交换

^{2}

LO很有吸引力，并假设一个真实的大小来描述核力量的中间范围吸引力。N时

^{三}

LO，气泡图增加了更多的单回路2PE

{c（c）}_{我}

-顶点，这一贡献似乎高估了吸引力。然后，这种吸引人的剩余被普遍排斥的两圈补偿

2 π

-和

三 π

-N发生的交换

^{4}

LO和N

^{5}

润滑油。

在这种情况下，值得注意的是，在传统的介子理论中[11]2PE贡献的单环模型总是显示出一些过度的吸引力(囊性纤维变性。图7,图8和图9参考号[49]). 巴黎小组所追求的弥散理论方法也是如此[10,53]. 在传统的介子理论中，剩余吸引力通过重-介子交换而降低(ρ-和ω-然而，在手性有效场理论中没有位置（作为有限范围的贡献）。相反，在后一种方法中，两个循环

2 π

-和

三 π

-交易所提供了纠正措施。

6.构建手性 $N个 N个$ 潜力

在前面的部分中，我们讨论了π交换对

N个 N个

互动。它们描述了核力的长程和中程部分，这些部分由手征对称性控制，并支配着外围的分波。然而，对于一个“完整”的核力量，我们必须正确地描述所有的分波，包括较低的分波。事实上，在计算

N个 N个

低能量下的可观察性（横截面、分析功率等），等.），部分波

L（左） \leq 2

是最重要的，贡献最大。微观核结构计算也是如此。较低的分波主要由短距离的动力学控制。因此，我们现在需要研究

N个 N个

潜力。

6.1. $N个 N个$ 合同条款

在传统的介子理论中，短程核力是通过重介子的交换来描述的，特别是

ω (782)

.定性地说

N个 N个

势是通过重介子传播子的傅里叶变换得到的，

\int {d日}^{三} q个 \frac{{e（电子）}^{我 \vec{q个} \cdot \vec{第页}}}{米_{ω}^{2} + {\vec{q个}}^{2}} \sim \frac{{e（电子）}^{- 米_{ω} 第页}}{第页}

(74)

ChPT是小动量的扩展问，太小，无法解析类似

ρ (770)

或

ω (782)

介子，因为

问 ≪ Λ_{χ} \approx 米_{ρ, ω}

但后一种关系允许我们将重介子的传播子展开为幂级数，

\frac{1}{米_{ω}^{2} + 问^{2}} \approx \frac{1}{米_{ω}^{2}} (1 - \frac{问^{2}}{米_{ω}^{2}} + \frac{问^{4}}{米_{ω}^{4}} - + \dots)

(75)

其中ω代表任何感兴趣的重介子。上述扩展表明，应该可以简单地用

问 / 米_{ω}

这与我们自年以来的全面电力扩张相吻合

问 / 米_{ω} \approx 问 / Λ_{χ}

由于这些项直接作用于核子之间，因此被称为接触项。

接触项在重整化中起着重要作用。多离子交换图中出现的回路积分的正则化通常会生成多项式项，其系数在一定程度上是无限的或与尺度相关的(囊性纤维变性。参考附录B[15]). 接触项吸收无穷大并消除尺度依赖性，这就是为什么它们也被称为反项。

功率的粒子波分解

问^{ν}

有一个有趣的特性。首先要注意的是问只能是两个相互作用的核子之间的动量转移，q个，或平均动量k个（其定义见下文方程式（39））。无论如何，即使如此ν,

问^{ν} = {（f）}_{\frac{ν}{2}} (余弦 θ)

(76)

哪里

{（f）}_{米}

代表次数多项式米和θ是CMS散射角。粒子波分解

问^{ν}

对于轨道角动量状态L（左）涉及积分

我_{L（左）}^{(ν)} = \int_{- 1}^{+ 1} 问^{ν} {P（P）}_{L（左）} (余弦 θ) d日 余弦 θ = \int_{- 1}^{+ 1} {（f）}_{\frac{ν}{2}} (余弦 θ) {P（P）}_{L（左）} (余弦 θ) d日 余弦 θ

(77)

哪里

{P（P）}_{L（左）}

是勒让德多项式。由于

{P（P）}_{L（左）}

,

我_{L（左）}^{(ν)} = 0 对于 L（左） > \frac{ν}{2}

(78)

因此，零阶接触条件仅对S公司-waves，而order-two项的作用是P（P）-波浪，最多四项天-波浪，等。

由于平价，只有问是允许的。因此，接触电势的膨胀形式上由下式给出

{V（V）}_{计算机断层扫描} = {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(0)} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(4)} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(6)} + \dots

(79)

其中，上标表示权力或命令。

我们现在将逐一介绍

N个 N个

合同条款由合同末尾所示的拉格朗日合同产生第2.2节.

6.1.1. 零阶（LO）

联系人拉格朗日

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(0)}

，方程式（23），它是

{\hat{L（左）}}^{Δ = 0}

，式（17）得出以下结果

N个 N个

接触电势，

{V（V）}_{计算机断层扫描}^{(0)} (\vec{{第页}^{'}}, \vec{第页}) = {C类}_{S公司} + {C类}_{T型} {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2}

(80)

就分波而言，我们有

\begin{matrix} {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(0)} (^{1} {S公司}_{0}) & = & {\tilde{C类}}_{^{1} {S公司}_{0}} = 4 π ({C类}_{S公司} - 三 {C类}_{T型}) \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(0)} (^{三} {S公司}_{1}) & = & {\tilde{C类}}_{^{三} {S公司}_{1}} = 4 π ({C类}_{S公司} + {C类}_{T型}) \end{matrix}

(81)

6.1.2条。二阶（非直瞄）

联系人拉格朗日

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(2)}

，方程式（24），它是

{\hat{L（左）}}^{Δ = 2}

，方程式（19），生成以下内容

N个 N个

接触电势

\begin{matrix} {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (\vec{{第页}^{'}}, \vec{第页}) & = & {C类}_{1} {q个}^{2} + {C类}_{2} {k个}^{2} \\ + & ({C类}_{三} {q个}^{2} + {C类}_{4} {k个}^{2}) {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} \\ + & {C类}_{5} (- 我 \vec{S公司} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个})) \\ + & {C类}_{6} ({\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{q个}) ({\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{q个}) \\ + & {C类}_{7} ({\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{k个}) ({\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{k个}) \end{matrix}

(82)

系数

{C类}_{我}

这里使用的接触电势当然与系数有关

{C类}_{我}^{'}

发生在拉格朗日山脉

{\hat{L（左）}}_{N个 N个}^{(2)}

，方程式（24）。这种关系对于我们来说并不重要，可以在参考文献中找到。[27,54].

有很多方法可以对上述电位进行分波分解。我们理解了埃尔克伦茨、阿尔泽塔和霍林德提出的方法[45]作为最优雅的一个。因此，我们获得

\begin{matrix} {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{1} {S公司}_{0}) & = & {C类}_{^{1} {S公司}_{0}} ({第页}^{2} + {第页}^{'}^{2}) \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} {P（P）}_{0}) & = & {C类}_{^{三} {P（P）}_{0}} 第页 {第页}^{'} \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{1} {P（P）}_{1}) & = & {C类}_{^{1} {P（P）}_{1}} 第页 {第页}^{'} \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} {P（P）}_{1}) & = & {C类}_{^{三} {P（P）}_{1}} 第页 {第页}^{'} \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} {S公司}_{1}) & = & {C类}_{^{三} {S公司}_{1}} ({第页}^{2} + {第页}^{'}^{2}) \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} {S公司}_{1} -^{三} 天_{1}) & = & {C类}_{^{三} {S公司}_{1} -^{三} 天_{1}} {第页}^{2} \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} 天_{1} -^{三} {S公司}_{1}) & = & {C类}_{^{三} {S公司}_{1} -^{三} 天_{1}} {第页}^{'}^{2} \\ {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} (^{三} {P（P）}_{2}) & = & {C类}_{^{三} {P（P）}_{2}} 第页 {第页}^{'} \end{matrix}

(83)

具有

\begin{matrix} {C类}_{^{1} {S公司}_{0}} & = & 4 π ({C类}_{1} + \frac{1}{4} {C类}_{2} - 三 {C类}_{三} - \frac{三}{4} {C类}_{4} - {C类}_{6} - \frac{1}{4} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{三} {P（P）}_{0}} & = & 4 π (- \frac{2}{三} {C类}_{1} + \frac{1}{6} {C类}_{2} - \frac{2}{三} {C类}_{三} + \frac{1}{6} {C类}_{4} - \frac{2}{三} {C类}_{5} + 2 {C类}_{6} - \frac{1}{2} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{1} {P（P）}_{1}} & = & 4 π (- \frac{2}{三} {C类}_{1} + \frac{1}{6} {C类}_{2} + 2 {C类}_{三} - \frac{1}{2} {C类}_{4} + \frac{2}{三} {C类}_{6} - \frac{1}{6} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{三} {P（P）}_{1}} & = & 4 π (- \frac{2}{三} {C类}_{1} + \frac{1}{6} {C类}_{2} - \frac{2}{三} {C类}_{三} + \frac{1}{6} {C类}_{4} - \frac{1}{三} {C类}_{5} - \frac{4}{三} {C类}_{6} + \frac{1}{三} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{三} {S公司}_{1}} & = & 4 π ({C类}_{1} + \frac{1}{4} {C类}_{2} + {C类}_{三} + \frac{1}{4} {C类}_{4} + \frac{1}{三} {C类}_{6} + \frac{1}{12} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{三} {S公司}_{1} -^{三} 天_{1}} & = & 4 π (- \frac{2 \sqrt{2}}{三} {C类}_{6} - \frac{\sqrt{2}}{6} {C类}_{7}) \\ {C类}_{^{三} {P（P）}_{2}} & = & 4 π (- \frac{2}{三} {C类}_{1} + \frac{1}{6} {C类}_{2} - \frac{2}{三} {C类}_{三} + \frac{1}{6} {C类}_{4} + \frac{1}{三} {C类}_{5}) \end{matrix}

(84)

6.1.3. 四阶（N $^{三}$ LO）

四阶接触电位读数

\begin{matrix} {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(4)} (\vec{{第页}^{'}}, \vec{第页}) & = & 天_{1} {q个}^{4} + 天_{2} {k个}^{4} + 天_{三} {q个}^{2} {k个}^{2} + 天_{4} {(\vec{q个} \times \vec{k个})}^{2} \\ + & (天_{5} {q个}^{4} + 天_{6} {k个}^{4} + 天_{7} {q个}^{2} {k个}^{2} + 天_{8} {(\vec{q个} \times \vec{k个})}^{2}) {\vec{σ}}_{1} \cdot {\vec{σ}}_{2} \\ + & (天_{9} {q个}^{2} + 天_{10} {k个}^{2}) (- 我 \vec{S公司} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个})) \\ + & (天_{11} {q个}^{2} + 天_{12} {k个}^{2}) ({\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{q个}) ({\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{q个}) \\ + & (天_{13} {q个}^{2} + 天_{14} {k个}^{2}) ({\vec{σ}}_{1} \cdot \vec{k个}) ({\vec{σ}}_{2} \cdot \vec{k个}) \\ + & 天_{15} ({\vec{σ}}_{1} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个}) {\vec{σ}}_{2} \cdot (\vec{q个} \times \vec{k个})) \end{matrix}

(85)

参考文献附录E中给出了该阶相当长的分波表达式[15].

6.1.4. 第六阶（N $^{5}$ LO）

在第六个订单中，出现了26个新的合同条款，使总数达到50个。这些术语及其分波分解已在参考文献[36]. 到目前为止，这些术语尚未用于

N个 N个

电位。

6.2. 的定义 $N个 N个$ 潜力

我们现在已经收集了现实的核力量长、中、短程组件所需的一切，因此我们最终可以进入较低的部分波。然而，在这里我们遇到了另一个问题。低角动量下的双核子系统，特别是在S公司-波的特征是存在浅束缚态（氘核）和较大的散射长度。因此，摄动理论不适用。与…对比π-π和π-N个，核子之间的相互作用在手性极限内不受抑制(

问 \to 0

). 温伯格[13]结果表明，散射振幅的强增强来自纯核子中间态（“红外增强”）。因此，他建议使用微扰理论计算

N个 N个

电势(即，不可约图），并将此势应用于散射方程，以获得

N个 N个

振幅。我们将遵循此处方，并在下一小节中讨论此方法的问题。

的π交换部分

N个 N个

电势在方程式（33）-（38）中给出。要获得完整的电势，只需将方程式（79）中列出的接触项添加到该电势中。因此，必须对一些方程式（33）–（38）进行以下扩展：

\begin{matrix} {V（V）}_{润滑油} & ⟼ & {V（V）}_{润滑油} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(0)} \end{matrix}

(86)

\begin{matrix} {V（V）}_{非直瞄} & ⟼ & {V（V）}_{非直瞄} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(2)} \end{matrix}

(87)

\begin{matrix} {V（V）}_{N个 三 润滑油} & ⟼ & {V（V）}_{N个 三 润滑油} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(4)} \end{matrix}

(88)

\begin{matrix} {V（V）}_{N个 5 润滑油} & ⟼ & {V（V）}_{N个 5 润滑油} + {V（V）}_{计算机断层扫描}^{(6)} \end{matrix}

(89)

没有更改

{V（V）}_{NNLO公司}

和

{V（V）}_{N个 4 润滑油}

.

潜力V（V）如前几节所推导的，原则上是一个不变振幅，因此满足相对论散射方程，为此我们选择了BbS方程[15]，它显式地读取，

T型 (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) = V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) + \int \frac{{d日}^{三} {第页}^{″}}{{(2 π)}^{三}} V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}^{″}) \frac{{M（M）}_{N个}^{2}}{{E类}_{{第页}^{″}}} \frac{1}{{第页}^{2} - {第页}^{″}^{2} + 我 ϵ} T型 (\vec{第页}^{″}, \vec{第页})

(90)

具有

{E类}_{{第页}^{″}} \equiv \sqrt{{M（M）}_{N个}^{2} + {第页}^{”}^{2}}

使用相对论散射方程的优点是它自动包含所有阶的相对论修正。因此，在散射方程中，当提高计算的顺序时，不需要修改传播子。

定义

\hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \equiv \frac{1}{{(2 π)}^{三}} \sqrt{\frac{{M（M）}_{N个}}{{E类}_{{第页}^{'}}}} V（V） (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \sqrt{\frac{{M（M）}_{N个}}{{E类}_{第页}}}

(91)

和

\hat{T型} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \equiv \frac{1}{{(2 π)}^{三}} \sqrt{\frac{{M（M）}_{N个}}{{E类}_{{第页}^{'}}}} T型 (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \sqrt{\frac{{M（M）}_{N个}}{{E类}_{第页}}}

(92)

其中因子

1 / {(2 π)}^{三}

为了方便起见，将BbS方程分解为通常的非相对论性Lippmann-Schwinger（LS）方程，

\hat{T型} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) = \hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) + \int {d日}^{三} {第页}^{″} \hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}^{″}) \frac{{M（M）}_{N个}}{{第页}^{2} - {第页}^{″}^{2} + 我 ϵ} \hat{T型} (\vec{第页}^{″}, \vec{第页})

(93)

自

\hat{V（V）}

满足方程（93），它可以像非相对势一样使用，并且

\hat{T型}

可被视为传统的非相对论性T矩阵。在应用中，使用K矩阵代替T矩阵，并将LS方程分解为部分波更为方便：所有这些技术问题在参考文献附录A中详细解释[9]其中还包括计算

n个 第页

和

第页 第页

（后者带有库仑）相移。代表电势的算符的部分波分解可在参考文献第4节中找到[45]参考文献中解释了求解LS方程的数值方法[46].

6.3. 正则化与非微扰重整化

的迭代

\hat{V（V）}

在LS方程中，方程（93）需要切割

\hat{V（V）}

关闭高动量以避免无穷大。这与ChPT是仅对动量有效的低动量膨胀这一事实一致

问 ≪ Λ_{χ} \approx 1

GeV公司。因此

\hat{V（V）}

乘以调节器功能

（f） ({第页}^{'}, 第页)

,

\hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) ⟼ \hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) （f） ({第页}^{'}, 第页)

(94)

具有

（f） ({第页}^{'}, 第页) = 经验 [- {({第页}^{'} / Λ)}^{2 n个} - {(第页 / Λ)}^{2 n个}]

(95)

这样的话

\hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) （f） ({第页}^{'}, 第页) \approx \hat{V（V）} (\vec{第页}^{'}, \vec{第页}) \{1 - [{(\frac{{第页}^{'}}{Λ})}^{2 n个} + {(\frac{第页}{Λ})}^{2 n个}] + \dots\}

(96)

调节器中出现的截止参数∧的典型选择如下

Λ \approx 0.5 GeV公司 < Λ_{χ} \approx 1

GeV公司。在N

^{三}

LO和N

^{4}

LO，适合于n个是三。

方程（96）表明，指数截止值并不一定影响计算的给定顺序。对于足够大的n个，监管机构引入了超出给定顺序的捐款。假设手性展开具有良好的收敛速度，则此类阶数与给定阶数相比较小，因此不会影响给定阶数下的精度。当然，在计算中，使用的是指数形式的方程（95），而不是膨胀方程（96）。在类似的注释中，我们也没有展开方程（91）-（92）中的平方因子，因为它们是保证相对论弹性统一性的运动学因子。

很明显T型-矩阵可能敏感地依赖于调节器及其截止参数。如果希望构建模型，这是可以接受的。例如，过去的介子模型[8,11]始终敏感地依赖于截止参数的选择，事实上，这些参数对于拟合

N个 N个

数据。然而，EFT方法希望在本质上是基本的，而不仅仅是另一种模式。

在场论中，发散积分并不少见，并且已经开发了处理发散积分的方法。一种是调节积分，然后通过重正化消除对正则化参数（尺度、截止值）的依赖性。最后，该理论及其预测不依赖于截止值或重整化尺度。

所谓的可重正化量子场论，如量子电动力学，本质上只有一套处方可以处理所有阶的重正化。相反，EFT是逐个重新规范化的。

重正化令人不安的EFT计算不是问题。问题是非扰动重整化。此问题通常发生在原子能的EFT是因为核物理的特点是束缚态在本质上是非微扰的。与微扰过程相比，非微扰过程的EFT功率计数可能不同。这种差异可能是由LS方程中生成的可约图的红外增强引起的。

温伯格的隐含假设[13]基于朴素量纲分析（“温伯格计数”），引入反项来重整化微扰计算的势，也足以重整化LS方程中势的非微扰恢复。1996年，卡普兰、萨维奇和怀斯（KSW）[55,56,57]指出，如果LS方程是通过最小收缩维正则化进行重整化的，则Weinberg格式存在问题。这种批评导致了一系列关于非微扰物质重整化的出版物

N个 N个

问题[58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72]. 文献太全面，无法讨论所有贡献。让我们仅提及一些与我们目前的讨论特别相关的工作。

如果潜在的V（V）仅由接触项组成（也称为无介子理论），然后可以解析地执行非微扰求和方程（93），并且功率计数是显式的。然而，当包括π介子交换时，则方程（93）只能用数字求解，并且功率计数的透明度较低。任意高阶摄动梯形图中，梯形的横档代表由不可约π介子交换构成的势，这表明需要无限个反项才能实现迭代生成的所有递增阶项的截止独立性。因此，KSW[55,56,57]建议将引线阶接触相互作用求和到所有阶（解析），并将高阶接触和π介子交换微扰添加到给定阶。不幸的是，事实证明，1PE在

^{三} {S公司}_{1}

-

^{三} 天_{1}

状态[58,59]. 故障是由

1 / {第页}^{三}

迭代到二阶时1PE张量力的奇异性。因此，不再考虑KSW计数（然而，请参见[60]). 中提供了对可能解决方案的平衡讨论[61].

一些研究人员决定重新审视温伯格最初的提议。诺加、蒂默曼斯和范·科尔克对温伯格领先顺序计数进行了系统研究[62]在动量空间中，由Valderrama和Arriola在LO和配置空间中的更高阶[63]. 参考文献中对这两种方法及其等效性进行了全面讨论[64].

联络处

N个 N个

势在方程（86）中给出，由1PE加上两个非驱动接触项组成，这两个非驱动接触项仅在S公司-波浪。诺加等。[62]发现给定的反项使S公司-波浪(即，获得了稳定的结果

Λ \to \infty

)而且不需要天真地期望无限多的反条件。这意味着温伯格功率计数在S公司-LO（忽略

米_{π}

参考文献中讨论的接触相互作用的依赖性。[55,61]). 然而，一类特殊的高分波存在问题，即1PE张量力具有吸引力的问题。这种低角动量的前几个例子是

^{三} {P（P）}_{0}

,

^{三} {P（P）}_{2}

、和

^{三} 天_{2}

这需要一个与切断独立性相对应的条件。领先的（非衍生的）反条款对P（P）以及更高的波，这就是为什么温伯格计数在这些情况下失败的原因。但二阶接触电势为P（P）-波浪。因此，特别是

^{三} {P（P）}_{0}

和

^{三} {P（P）}_{2}

从NLO到LO的联系人将修复中的问题P（P）-波浪。处理

^{三} 天_{2}

问题，一个N

^{三}

LO触点，即，来自的术语

{V（V）}_{计算机断层扫描}^{(4)}

，需要提升为LO。轨道角动量分波

L（左） \geq 三

可以在玻恩近似下以足够的精度进行计算，因此不会产生重整化问题。这样，我们就得到了一个“修正的温伯格计数”方案[62]对于领先级的两核子相互作用。

6.3.1. 超越领先顺序的重整化

如下所示，对于定量手性

N个 N个

潜在客户需要一直前进到N

^{三}

润滑油。因此，需要在LO之外讨论重整化问题。天真地说，最完美的重整化过程是将截止参数∧带到无穷大，同时保持稳定结果的过程。诺加在LO的工作中成功地做到了这一点等。[62]如上所述。在NNLO，无限剪切重整化过程在[68,69,70]对于具有总角动量的部分波

J型 \leq 1

和中[63]对于所有分波

J型 \leq 5

.在N

^{三}

LO，对所有部分波的调查

J型 = 6

已在参考文献[73]. 从所有这些工作中可以明显看出，在短程排斥的粒子波中没有有效的反项，只有一个反项可以有效地用于短程吸引的粒子波。因此，对于

Λ \to \infty

重整化处方，即使在N

^{三}

LO，每个部分波态要么有一个反项，要么没有反项。这与任何合理的电量计算方案都不一致，因此，这违背了EFT的原则。

已经在年提出了一种可能的摆脱这种困境的方法[62]Long和van Kolck在一篇论文中重申了这一点[71]. 在后一篇参考文献中，作者研究了引力场的重整化

1 / {第页}^{2}

受a扰动的电位

1 / {第页}^{4}

修正。概括他们的发现，他们得出结论，对于任何有吸引力的

1 / {第页}^{n个}

电势（有

n个 \geq 2

)，低角动量的分波L（左）必须汇总到所有订单，每个订单都需要一个合同条款L（左）重新规范LO贡献。然而，存在一个角动量

{L（左）}_{第页}

(

{L（左）}_{第页} \approx 三

核案，囊性纤维变性。参考[62])，在其上方，可以扰动地计算前导顺序。简言之，天真维度分析（NDA）不适用于以下LO

{L（左）}_{第页}

然而，一旦NDA的这种失效在LO得到纠正，就可以使用NDA后面的反项在微扰理论中添加高阶修正[71].

参考[71]只使用了一个玩具模型。Valderrama利用手性展开进行了全面的研究[74,75]. 作者对本振相互作用进行了非微扰重整化，然后用本振畸变波微扰计算了非线性光学和非线性光学下的2PE贡献。事实证明，扰动重整化性需要引入21个反项，最多可达天-与Weinberg方案中的9个反项相比，这降低了预测能力。参考文献中接触运算符的分布[75]与Birse的相关重整化群分析基本一致[65]. 对相互作用的分拆部分的扰动处理需要相当软的截止值，这是令人担忧的。

然而，即使考虑Valderrama项目[74,75]作为成功的

N个 N个

散射，在这种方法中产生的相互作用对于核少数和多体问题的应用是否有任何用处是值得怀疑的。在应用中，首先必须解决重整化本振相互作用的多体问题，然后在微扰理论中添加高阶修正。然而，它显示在参考文献中[76]重整化LO相互作用的特征是来自1PE的非常大的张量力。这并不奇怪，因为LO是用重新规范化的

Λ \to \infty

这意味着1PE，特别是其张量力，是完全未切割的。因此，核物质中的伤口积分，κ，约占40%。众所周知，孔线展开和耦合簇展开是收敛的

⑪ κ^{n个 - 1}

具有n个每个簇的孔线或粒子数[77]. 对于常规核力，绕线积分通常在5%到10%之间，需要包含三体簇（或三个孔线）才能在多体系统中获得收敛结果[78]. 因此，如果伤口积分为40%，可能需要包含多达六条孔线才能近似收敛。即使使用当今最强大的计算机，这种计算也不可行，而且短期内也不可行。因此，即使在[74,75]似乎对

N个 N个

散射，由于多体能量和波函数的收敛问题，在少体和多体问题中产生的相互作用将非常不切实际（至少可以说）。

6.3.2. 回到起点

上述重整化程序的各种问题可能有一个简单的共同原因：EFT仅对动量有效

问 < Λ_{χ}

施加的力矩

问 ≫ Λ_{χ}

（因为调节器切断

Λ \to \infty

). Epelbaum和Gegelia的论文[79]说明了这一点：作者构建了一个精确可解的玩具模型，该模型模拟了一个点EFT，并为

Λ \to \infty

然而，事实证明，这些有限的结果与基本的EFT不兼容，而对于硬尺度顺序的截断，保持了一致性。简单地说，需要认识到的是：如果EFT计算（意外）产生有限结果

Λ \to \infty

，那么这并不意味着这个结果也有意义。

Lepage在1997年的演讲中进一步阐述了这一问题[80]. Lepage指出，将动量截止值超出有效理论的有效范围是没有意义的。根据假设，我们的数据涉及的能量太低，波长太长，无法在很短的距离内探测理论的真实结构。当一个人超越了理论的硬尺度时，就会发现结构几乎肯定是错误的。因此，结果无法改善，事实上，它们可能会退化，或者在更极端的情况下，理论可能会变得不稳定或无法成立。事实上，在

N个 N个

在这种情况下，这是在几个分波中发生的情况（如上所述）。因此，Lepage建议在构建有效理论时采取以下三个步骤：

纳入正确的长期行为：必须了解基础理论的长期行为，并且必须将其纳入有效理论。就核力量而言，远程理论当然是众所周知的，并且是由单离子和多离子交换提供的。
引入紫外截止以排除高动量状态，或者等效地，软化短程行为：截止具有两个效果：首先，它排除了对未知短程动力学敏感的高动量状态；只保留我们理解的状态。其次，它使所有交互在 $第页 = 0$ 从而避免了困扰天真方法的无限性。
在有效哈密顿量中加入局部修正项（也称为接触项或反项）。这些模拟了上一步中引入的截止所排除的高动量状态的影响。在介子交换图中，短程核力用重介子交换来描述，如 $ρ (770)$ 和 $ω (782)$ 然而，在低能量下，此类结构不会被分解。由于我们无论如何都必须包括联系条款，因此使用它们来解释任何重量级交易也是最有效的。修正项系统地消除了对截止值的依赖性。

参考文献[81]. 在这项工作中，通过计算

χ^{2}

/中子质子再现的数据(

n个 第页

)弹性散射数据作为调节器函数方程（95）的截止参数∧的函数。手性预测

n个 第页

利用Weinberg计数对NLO和NNLO阶电位进行了研究(

N个 N个

联系条款）。能量范围为35–125 MeV的研究结果显示在图14对于下部框架中的125–183 MeV。可以看出

n个 第页

在这些能量下，NLO的数据通常较差，而在NNLO

χ^{2}

/datum采用可接受的值（清楚地显示逐个订单的改进）。此外，在NNLO观察到恒定低的“平台”

χ^{2}

对于范围从大约450到850MeV的截止参数。这可能被视为相关截止参数范围的截止独立性（因此，成功的重整化）。

6.4. $N个 N个$ 潜在客户订单

如前所述，

N个 N个

电位可以按不同的顺序计算，囊性纤维变性。等式（33）–（38）和等式（86）–（89），精度随着阶数的增加而提高。手征展开在重要的低分波中收敛的程度在图15，我们在这里显示

J型 \leq 2

通过从LO到N的所有阶数构造的势的相位参数

^{三}

润滑油。这些数字清楚地表明，随着顺序的增加，经验相移的再现有了实质性的改进。

有一种更好的方法可以将理论与实验对立起来。一个计算可观察到的

N个 N个

散射，并将其直接与实验数据进行比较。习惯上是用

χ^{2}

/统一值表示完美匹配的数据。

让我们从开发NLO和NNLO的潜力开始。在表2，我们显示

χ^{2}

/世界拟合基准

n个 第页

数据低于290 MeV的家庭

n个 第页

波鸿群在NLO和NNLO处构造的势[41]. 非直瞄电位产生非常大的

χ^{2}

/数据介于67和105之间，NNLO介于12和27之间，与参考文献[81]如所示图14.

从一个订单到另一个订单的改进速度非常令人鼓舞，但

n个 第页

NLO和NNLO的数据显然不足以进行可靠的预测。基于这些事实，Entem和Machleidt于2002年指出了这一点[49,82]必须转到N

^{三}

润滑油。因此，第一个N

^{三}

LO电位发表于2003年[32].

N时

^{三}

润滑油(

问^{4}

)，共有24个接触项（24个参数），它们对具有

L（左） \leq 2

，而在NLO和NNLO只有9个联系人

L（左） \leq 1

(囊性纤维变性。第6.1节和表3). 这些LEC本质上是自由常数，将相互作用的短期唯象部分参数化。表3显示了这些项如何在部分波上分布。提高再生能力的一个原因

N个 N个

相移（和

N个 N个

观测值）N

^{三}

LO是这样一个事实，即按此顺序，联系人首次出现在天-波浪。天-波并不是真正的外围波，因此，单是1PE加2PE并不能很好地描述它们。这个天-波接触提供必要的短程修正，以预测天-相位正确。此外，在N

^{三}

LO，每个都添加了另一个联系人P（P）-wave带来了实质性的改进，特别是

^{三} {P（P）}_{0}

和

^{三} {P（P）}_{1}

100 MeV以上(囊性纤维变性。图15).

在表3，我们还显示了奈梅亨部分波分析（PWA93）中使用的参数数量[50]以及高精度CD波恩潜力[9]. 表中显示S公司和P（P）-波，高精度现象学和N时EFT中使用的参数数量

^{三}

润滑油(

问^{4}

)都差不多。因此，EFT方法为20世纪90年代用于获得高精度拟合的现象学提供了追溯性理由。

N的24个参数

^{三}

LO接近PWA93中使用的30+和高精度电势。因此，在N

^{三}

LO，可以构造与高精度电势具有相同质量的电势

N个 N个

20世纪90年代的潜力[9,83,84]. 这一事实在

χ^{2} /

配合基准

n个 第页

和

第页 第页

数据低于290 MeV，如所示表4和表5分别是。爱达荷州

^{三}

LO电位[32]带有

Λ = 500

MeV产生

χ^{2}

/世界数据=1.1

n个 第页

数据低于290 MeV，与

χ^{2}

/根据阿贡电势，datum=1.04。2005年，波鸿集团还生产了几个N

^{三}

润滑油

N个 N个

电位[85]，其中最适合

n个 第页

带有的数据

χ^{2}

/datum=1.7，最差为7.9(表4).

当我们现在转向

第页 第页

，首先注意

χ^{2}

对于

第页 第页

数据通常大于

n个 第页

因为更高的精度

第页 第页

数据(表5). 因此，阿贡

{V（V）}_{18}

生成一个

χ^{2}

/世界数据=1.4

第页 第页

数据低于290 MeV，是爱达荷州最好的

^{三}

润滑油

第页 第页

电势获得1.5。最佳波鸿N的贴合感

^{三}

润滑油

第页 第页

潜在结果

χ^{2}

/datum=2.9，最差值为22.3。鉴于这些穷人

χ^{2}

波鸿集团最近开始尝试提高其手性潜力[86,87]. 然而，与他们之前的工作一样[85]，他们的新潜力只适用于

N个 N个

相移而不是

N个 N个

数据。这个

χ^{2}

用于复制

N个 N个

新波鸿电位的数据不可用，因此，无法对新电位的质量做出可靠的陈述。20世纪90年代，奈梅亨集团反复指出，对于高质量电势而言，仅适用相移是不够的。看似“良好”的相移拟合可能会产生误导，并可能导致较差的

χ^{2}

用于复制数据。

现在转到N

^{4}

LO：基于2PE和3PE对

N个 N个

N时的相互作用

^{4}

Entem的LO等。[33]在中显示第4.5节并应用于第5节,

N个 N个

N处的电势

^{4}

最近开发了LO[33,87]. 请注意，较低的分波对于定量再现

N个 N个

数据，由联系条款决定。N处的触点数量

^{4}

润滑油(

问^{5}

)与N时相同

^{三}

润滑油(

问^{4}

). 因此，N

^{4}

LO电位与N电位没有太大区别

^{三}

LO个。还请注意，一些N的高质量

^{三}

LO电位[15,32]几乎没有改进的余地。

在N时可以进一步提高精度（如果需要）

^{5}

润滑油(

问^{6}

)，其中联系条款数量增加到50个(表3) [36]. 如中所述第4.6节N时，主要的2PE和3PE贡献

^{5}

已导出LO[35]. 因此，所有的数学材料都用于构造N

^{5}

LO电位可用。然而，是否有必要这样做还存在争议。

7.结论

在过去的15年里，我们在低能量QCD方面对核力的理解取得了巨大进展。这一发展的关键是认识到低能QCD等同于有效场理论（EFT），该理论允许微扰展开，即手征微扰理论（ChPT）。在这个框架中，两体力和多体力在平等的基础上出现，原子核多体力实质上弱于两核子力这一经验事实得到了自然的解释。

在这篇综述中，我们重点讨论了双核子力。我们已经展示了LO的逐个订单贡献(

\sim 问^{0}

)至N

^{5}

润滑油(

\sim 问^{6}

). 使用低能常数（LEC），由

π N个

散射，我们的预测是无参数的，除了谱函数截止，它正则化了色散积分，从而确定了

N个 N个

振幅。这种谱函数正则化确保了计算的贡献被限制在适用手征有效场理论的中长范围内。具体来说，我们计算了

N个 N个

周边粒子波中的散射，主要由一、二、三π介子交换所控制，受手征对称性控制。逐阶收敛速度较慢，但最终在N

^{5}

LO，其中预测与经验相移完全一致。

这篇综述总结了手性对称性对

N个 N个

系统。这些结果最终证实了手征EFT是核子-核子相互作用的一个充分理论。

致谢

作者的研究部分得到了美国能源部的支持，批准号为DE-FG02-03ER41270。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。手征微扰理论中的核力层次。实线表示核子，虚线表示介子。小点、大实心点、实心正方形、三角形、菱形和星形表示索引的顶点

Δ =

分别为0、1、2、3、4和6。文中给出了进一步的解释。

图1。手征微扰理论中的核力层次。实线表示核子，虚线表示介子。小点、大实心点、实心正方形、三角形、菱形和星形表示索引的顶点

Δ =

分别为0、1、2、3、4和6。文中给出了进一步的解释。

图2。下一个下一个下一个主订单（N

^{三}

LO）双离子交换贡献(一)N

^{三}

LO足球图；(b条)领先的2PE双回路贡献；和(c（c）)NLO图的相对论修正。符号如中所示图1.阴影椭圆表示完整

π N个

-散射振幅，其顺序由椭圆中的数字指定。开圆圈表示相对论

1 / {M（M）}_{N个}

修正。

图2。下一对下一对领先订单（N

^{三}

LO）双离子交换贡献(一)N

^{三}

LO足球图；(b条)领先的2PE双回路贡献；和(c（c）)NLO图的相对论修正。符号如中所示图1.阴影椭圆表示完整

π N个

-散射振幅的顺序由椭圆中的数字指定。开圆圈表示相对论

1 / {M（M）}_{N个}

修正。

图3。N个

^{三}

LO三π交换贡献。符号如中所示图1.

图3。N个

^{三}

LO三π交换贡献。符号如中所示图1.

图4。N个

^{4}

LO双离子交换贡献。(一)领先的单回路

π N个

振幅与手性折叠

π π N个 N个

与成比例的顶点

{c（c）}_{我}

; (b条)单回路

π N个

振幅与

{c（c）}_{我}

用前导顺序手性折叠

π N个

振幅；(c（c）)相邻相邻前导顺序（NNLO）图的相对论修正。符号如中所示图1和图2.

图4。N个

^{4}

LO两π交换贡献。(一)领先的单回路

π N个

振幅与手性折叠

π π N个 N个

与成比例的顶点

{c（c）}_{我}

; (b条)单回路

π N个

振幅与

{c（c）}_{我}

用前导顺序手性折叠

π N个

振幅；(c（c）)次序到次序（NNLO）图的相对论修正。符号如中所示图1和图2.

图5。N个

^{4}

LO三π交换贡献。罗马数字是指遵循参考文献中介绍的方案的子类。[33,43]. 符号如中所示图1.

图5。N个

^{4}

LO三π交换贡献。罗马数字是指遵循参考文献中介绍的方案的子类。[33,43]. 符号如中所示图1.

图6。N个

^{5}

LO双离子交换贡献。(一)分装单回路

π N个

-振幅与手性折叠

π π N个 N个

-与成比例的顶点

{c（c）}_{我}

; (b条)领先的单回路

π N个

-振幅与自身折叠；(c（c）)领先的两圈

π N个

-振幅与树平面折叠

π N个

-振幅。符号如中所示图1,图2、和图4.

图6。N个

^{5}

LO双离子交换贡献。(一)分装单回路

π N个

-振幅与手性折叠

π π N个 N个

-与成比例的顶点

{c（c）}_{我}

; (b条)领先的单回路

π N个

-振幅与自身折叠；(c（c）)领先的两圈

π N个

-振幅与树平面折叠

π N个

-振幅。符号如中所示图1,图2、和图4.

图7。N个

^{5}

LO三π交换贡献。(一)与成比例的图表

{c（c）}_{我}^{2}

; (b条)涉及单回路的图表

π N个

-振幅。符号如图1,图2、和图5.

图7。N个

^{5}

LO三π交换贡献。(一)与成比例的图表

{c（c）}_{我}^{2}

; (b条)涉及单回路的图表

π N个

-振幅。符号如中所示图1,图2、和图5.

图8。单个N的影响

^{4}

LO（五阶）对某些选定外围部分波的中子-质子相移的贡献。各个贡献按每条曲线旁边括号中给出的顺序依次相加。曲线（1）为N

^{三}

LO和曲线（5）是完整的N

^{4}

润滑油。使用KH低能常数（LEC）

\tilde{Λ}

=1.5 GeV。填充的圆圈和开放的圆圈代表了奈梅根多能源的结果

n个 第页

相移分析[50]和VPI/GWU单能源

n个 第页

分析SM99[51]分别是。

图8。单个N的影响

^{4}

LO（五阶）对某些选定外围部分波的中子-质子相移的贡献。各个贡献按每条曲线旁边括号中给出的顺序依次相加。曲线（1）为N

^{三}

LO和曲线（5）是完整的N

^{4}

润滑油。使用KH低能常数（LEC）

\tilde{Λ}

=1.5 GeV。实心和空心圆表示奈梅根多能的结果

n个 第页

相移分析[50]和VPI/GWU单能源

n个 第页

分析SM99[51]分别是。

图9。不同阶数中子-质子散射的相移

^{4}

润滑油。彩色带显示了当谱函数重整化（SFR）截止时预测的变化

\tilde{Λ}

在0.7至1.5 GeV范围内变化。采用KH LEC。经验相移，如图8.

图9。不同阶数中子-质子散射的相移

^{4}

润滑油。彩色带显示了光谱函数重整化（SFR）截止时预测值的变化

\tilde{Λ}

在0.7至1.5 GeV范围内变化。采用KH LEC。经验相移，如图8.

图10。等同于图9，但为了G公司-波浪。

图11。单个N的影响

^{5}

LO（六阶）对二者中子质子相移的贡献G公司-波浪。各个贡献按每条曲线旁边括号中给出的顺序依次相加。曲线（1）为N

^{4}

LO和曲线（6）包含所有N

^{5}

参考文献中计算的LO贡献[35]. SFR截止

\tilde{Λ} = 800

采用MeV，使用GW LEC。实心和空心圆代表奈梅亨多能研究的结果

n个 第页

相移分析[50]和GWU

n个 第页

-分析SP07[52]分别是。

图11。单个N的影响

^{5}

LO（六阶）对二者中子质子相移的贡献G公司-波浪。各个贡献按每条曲线旁边括号中给出的顺序依次相加。曲线（1）为N

^{4}

LO和曲线（6）包含所有N

^{5}

参考文献中计算的LO贡献[35]. SFR截止

\tilde{Λ} = 800

采用MeV，使用GW LEC。填充的圆圈和开放的圆圈代表奈梅亨多能源的结果

n个 第页

相移分析[50]和GWU

n个 第页

-分析SP07[52]分别是。

图12。中子-质子散射的相移G公司和H（H）-N处的波

^{三}

LO、N

^{4}

LO和N

^{5}

润滑油。彩色带显示SFR截止时预测的变化

\tilde{Λ}

在700至900 MeV范围内变化。采用GW LEC。经验相移如图11.

图12。中子-质子散射的相移G公司和H（H）-N处的波

^{三}

洛，N

^{4}

LO和N

^{5}

润滑油。彩色带显示SFR截止时预测的变化

\tilde{Λ}

在700至900 MeV范围内变化。采用GW LEC。经验相移如图11.

图13。中子-质子散射的相移G公司-和H（H）-从LO到N的所有命令下的波

^{5}

润滑油。SFR截止

\tilde{Λ} = 800

使用MeV和GW LEC。经验相移如图11.

图13。中子-质子散射的相移G公司-和H（H）-从LO到N的所有命令下的波

^{5}

润滑油。SFR截止

\tilde{Λ} = 800

使用MeV和GW LEC。经验相移如图11.

图14。

χ^{2}

/复制的数据

n个 第页

能量范围为35–125 MeV的数据(上面的框架）和125–183 MeV(降低帧）作为调节器函数方程（95）的截止参数∧的函数。（黑色）虚线曲线显示

χ^{2}

/通过以下方式获得的基准

n个 第页

以NLO级构造的势和（红色）固体曲线是NNLO的。

图14。

χ^{2}

/复制的数据

n个 第页

能量范围为35–125 MeV的数据(上面的框架）和125–183 MeV(降低框架）作为调节器函数方程（95）的截止参数∧的函数。（黑色）虚线曲线显示

χ^{2}

/通过以下方式获得的基准

n个 第页

以NLO级构造的势和（红色）固体曲线是NNLO的。

图15。的相移

n个 第页

散射计算依据

N个 N个

ChPT不同阶次的电势。黑色虚线为LO（500），蓝色虚线为NLO（550/700）[41]，绿色虚线标记NNLO（600/700）[41]和红色固体N

^{三}

LO（500）[32]，其中括号中的数字表示MeV中的截止值。具有总角动量的相位参数

J型 \leq 2

将显示。经验相移（实心点和空心圆），如图8.

图15。的相移

n个 第页

散射计算依据

N个 N个

ChPT不同阶的电位。黑色虚线为LO（500），蓝色虚线为NLO（550/700）[41]，绿色虚线标记NNLO（600/700）[41]和红色固体N

^{三}

LO（500）[32]，其中括号中的数字表示MeV中的截止值。具有总角动量的相位参数

J型 \leq 2

将显示。经验相移（实心点和空心圆），如图8.

表1。参考文献中确定的低能常数[26]. 设置“GW”和“KH”基于

π N个

参考文献的部分波分析。[47,48]分别是。这个

{c（c）}_{我}

出现在方程式（18）中，单位为GeV

^{- 1}

. The

{\bar{d日}}_{我}

和

{\bar{e（电子）}}_{我}

属于

{\hat{L（左）}}_{π N个}^{(三)}

和

{\hat{L（左）}}_{π N个}^{(4)}

(囊性纤维变性。方程式（19）和（20））的单位为GeV

^{- 2}

和GeV

^{- 三}

分别是。

**表1。**参考文献中确定的低能常数[26]. 设置“GW”和“KH”基于 $π N个$ 参考文献的部分波分析。[47,48]分别是。这个 ${c（c）}_{我}$ 出现在方程式（18）中，单位为GeV $^{- 1}$ . The ${\bar{d日}}_{我}$ 和 ${\bar{e（电子）}}_{我}$ 属于 ${\hat{L（左）}}_{π N个}^{(三)}$ 和 ${\hat{L（左）}}_{π N个}^{(4)}$ (囊性纤维变性。方程式（19）和（20））的单位为GeV $^{- 2}$ 和GeV $^{- 三}$ 分别是。
LEC公司	千兆瓦	千赫
${c（c）}_{1}$	–1.13	–0.75
${c（c）}_{2}$	3.69	3.49
${c（c）}_{三}$	–5.51	–4.77
${c（c）}_{4}$	3.71	3.34
${\bar{d日}}_{1} + {\bar{d日}}_{2}$	5.57	6.21
${\bar{d日}}_{三}$	–5.35	–6.83
${\bar{d日}}_{5}$	0.02	0.78
${\bar{d日}}_{14} - {\bar{d日}}_{15}$	–10.26	–12.02
${\bar{e（电子）}}_{14}$	1.75	1.52
${\bar{e（电子）}}_{15}$	–5.80	–10.41
${\bar{e（电子）}}_{16}$	1.76	6.08
${\bar{e（电子）}}_{17}$	–0.58	–0.37
${\bar{e（电子）}}_{18}$	0.96	3.26

表2。第三列和第四列显示了

χ^{2}

/1999年复制数据

n个 第页

数据库（参考[9])按家庭

n个 第页

波鸿群在NLO和NNLO处构造的势[41]. 这个

χ^{2}

/数据是根据调节器功能中使用的截止参数的变化而产生的范围来表示的。括号中给出了以MeV为单位的这些截止参数的值。

{T型}_{实验室}

表示实验室系统中入射中子的动能。

**表2。**第三列和第四列显示了 $χ^{2}$ /1999年复制数据 $n个第页$ 数据库（参考[9])由的家庭 $n个第页$ 波鸿群在NLO和NNLO处构造的势[41]. 这个 $χ^{2}$ /数据是根据调节器功能中使用的截止参数的变化而产生的范围来表示的。括号中给出了以MeV为单位的这些截止参数的值。 ${T型}_{实验室}$ 表示实验室系统中入射中子的动能。
${T型}_{实验室}$ （MeV能量箱）	#第页，共页净现值数据	波鸿np电位
${T型}_{实验室}$ （MeV能量箱）	#第页，共页净现值数据	非直瞄（550/700–400/500）	NNLO（600/700–450/500）
0–100	1058	4–5	1.4–1.9
100–190	501	77–121	12–32
190–290	843	140–220	25–69
0–290	2402	67–105	12–27

表3。拟合所需的参数数量

n个 第页

奈梅亨相移分析中的数据和高精度CD-Bonn电位与的总数

N个 N个

基于EFT的电位对不同订单的接触条款。

**表3。**装配所需的参数数量 $n个第页$ 奈梅亨相移分析中的数据和高精度CD-Bonn电位与的总数 $N个 N个$ 基于EFT的电位对不同订单的接触条款。
州	奈梅亨PWA93	CD-波恩罐。	EFT接触电势[36]
州	参考[50]	参考[9]	$问^{0}$	$问^{2}$	$问^{4}$	$问^{6}$
$^{1} {S公司}_{0}$	三	4	1	2	4	6
$^{三} {S公司}_{1}$	三	4	1	2	4	6
$^{三} {S公司}_{1}$ - $^{三} 天_{1}$	2	2	0	1	三	6
$^{1} {P（P）}_{1}$	三	三	0	1	2	4
$^{三} {P（P）}_{0}$	三	2	0	1	2	4
$^{三} {P（P）}_{1}$	2	2	0	1	2	4
$^{三} {P（P）}_{2}$	三	三	0	1	2	4
$^{三} {P（P）}_{2}$ - $^{三} {F类}_{2}$	2	1	0	0	1	三
$^{1} 天_{2}$	2	三	0	0	1	2
$^{三} 天_{1}$	2	1	0	0	1	2
$^{三} 天_{2}$	2	2	0	0	1	2
$^{三} 天_{三}$	1	2	0	0	1	2
$^{三} 天_{三}$ - $^{三} {G公司}_{三}$	1	0	0	0	0	1
$^{1} {F类}_{三}$	1	1	0	0	0	1
$^{三} {F类}_{2}$	1	2	0	0	0	1
$^{三} {F类}_{三}$	1	2	0	0	0	1
$^{三} {F类}_{4}$	2	1	0	0	0	1
$^{三} {F类}_{4}$ - $^{三} {H（H）}_{4}$	0	0	0	0	0	0
$^{1} {G公司}_{4}$	1	0	0	0	0	0
$^{三} {G公司}_{三}$	0	1	0	0	0	0
$^{三} {G公司}_{4}$	0	1	0	0	0	0
$^{三} {G公司}_{5}$	0	1	0	0	0	0
总计	35	38	2	9	24	50

表4。第三列至第五列显示

χ^{2}

/1999年复制数据

n个 第页

数据库（参考[9])通过各种方式

n个 第页

潜力。对于手性势

χ^{2}

/数据是根据调节器功能中使用的截止参数的变化而产生的范围来表示的。括号中给出了以MeV为单位的这些截止参数的值。

{T型}_{实验室}

表示实验室系统中入射核子的动能。

**表4。**第三列至第五列显示 $χ^{2}$ /1999年复制数据 $n个第页$ 数据库（参考[9])通过各种方式 $n个第页$ 潜力。对于手性势 $χ^{2}$ /数据是根据调节器功能中使用的截止参数的变化而产生的范围来表示的。括号中给出了以MeV为单位的这些截止参数的值。 ${T型}_{实验室}$ 表示实验室系统中入射核子的动能。
${T型}_{实验室}$ （百万伏特）	#第页，共页净现值数据	爱达荷州N个 $^{三}$ 润滑油	波鸿N个 $^{三}$ 润滑油	阿贡 ${V（V）}_{18}$
能量箱	#第页，共页净现值数据	(500–600) [32]	(600/700–450/500) [85]	参考[84]
0–100	1058	1.0–1.1	1.0–1.1	0.95
100–190	501	1.1–1.2	1.3–1.8	1.10
190–290	843	1.2–1.4	2.8–20.0	1.11
0–290	2402	1.1–1.3	1.7–7.9	1.04

表5。等同于表4但为了

第页 第页

.

**表5。**等同于表4但为了 $第页第页$ .
${T型}_{实验室}$ （百万伏特）	#第页，共页聚丙烯数据	爱达荷州N个 $^{三}$ 润滑油	波鸿N个 $^{三}$ 润滑油	阿贡 ${V（V）}_{18}$
能量箱	#第页，共页聚丙烯数据	(500–600) [32]	(600/700–450/500) [85]	参考[84]
0–100	795	1.0–1.7	1.0–3.8	1
100–190	411	1.5–1.9	3.5–11.6	1.3
190–290	851	1.9–2.7	4.3–44.4	1.8
0–290	2057	1.5–2.1	2.9–22.3	1.4

分享和引用

MDPI和ACS样式

R.Machleidt。手征对称性与核子-核子相互作用。对称性 2016,8, 26.https://doi.org/10.3390/sym8040026

AMA风格

马赫莱特·R。手征对称性与核子-核子相互作用。对称性. 2016; 8(4):26.https://doi.org/10.3390/sym8040026

芝加哥/图拉宾风格

鲁普雷希特·马什利特。2016.“手征对称性与核子-核子相互作用”对称性第8页，第4页：第26页。https://doi.org/10.3390/sym8040026

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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手征对称性与核子-核子相互作用

摘要

1.历史观点

2.低能质量控制的有效场理论

2.1. 低能QCD的对称性

2.1.1。手征对称性

2.1.2. 显式对称破坏

2.1.3. 自发对称破缺

2.2. 手性有效拉格朗日函数

3.EFT核力量：概述

3.1. 手性微扰理论与功率计数

3.2. 核力量的等级

4.对 N个 N个 互动

4.1. 前导次序（LO）

4.2. 下一订单到领先订单（NLO）

4.3. 下一对下一对领先订单（NNLO）

4.4. 下一个下一个下一个主订单（N 三 LO）

4.4.1. N位置的足球图表 三 润滑油

4.4.2. 领先的双环贡献

4.4.3. 领先的相对论修正

4.4.4. 领先的三离子交换捐款

4.5. 下一个至下一个到下一个的至领先订单（N 4 LO）

4.5.1. N的两个Pion交换捐款 4 润滑油

4.5.2. N的三离子交换捐款 4 润滑油

4.6. 下一个到下一个订单 5 LO）

4.6.1. N的两个Pion交换捐款 5 润滑油

4.6.2. N的三离子交换捐款 5 润滑油

4.6.3. N处的四离子交换 5 润滑油

5.扰动 N个 N个 外围部分波中的散射

6.构建手性 N个 N个 潜力

6.1. N个 N个 合同条款

6.1.1. 零阶（LO）

6.1.2条。二阶（非直瞄）

6.1.3. 四阶（N 三 LO）

6.1.4. 第六阶（N 5 LO）

6.2. 的定义 N个 N个 潜力

6.3. 正则化与非微扰重整化

6.3.1. 超越领先顺序的重整化

6.3.2. 回到起点

6.4. N个 N个 潜在客户订单

7.结论

致谢

利益冲突

参考文献和注释

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

4.对 $N个 N个$ 互动

4.4. 下一个下一个下一个主订单（N $^{三}$ LO）

4.4.1. N位置的足球图表 $^{三}$ 润滑油

4.5. 下一个至下一个到下一个的至领先订单（N $^{4}$ LO）

4.5.1. N的两个Pion交换捐款 $^{4}$ 润滑油

4.5.2. N的三离子交换捐款 $^{4}$ 润滑油

4.6. 下一个到下一个订单 $^{5}$ LO）

4.6.1. N的两个Pion交换捐款 $^{5}$ 润滑油

4.6.2. N的三离子交换捐款 $^{5}$ 润滑油

4.6.3. N处的四离子交换 $^{5}$ 润滑油

5.扰动 $N个 N个$ 外围部分波中的散射

6.构建手性 $N个 N个$ 潜力

6.1. $N个 N个$ 合同条款

6.1.3. 四阶（N $^{三}$ LO）

6.1.4. 第六阶（N $^{5}$ LO）

6.2. 的定义 $N个 N个$ 潜力

6.4. $N个 N个$ 潜在客户订单