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数学
第6卷
第8版
10.3390/毫米6080129
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第条

具有两种资产的Black-Scholes方程在Liouville—Caputo分数导数意义下的解析解

通过
帕努马特·萨旺通
1,
Kamonchat Trachoo公司
2,
Wannika Sawangtong公司
2,3,*和
Benchawan Wiwattanapataphee公司
4
1
泰国曼谷，曼谷10800，曼谷北部，国王蒙古特科技大学应用科学学院数学系
2
泰国曼谷玛希隆大学科学院数学系，邮编：10400
三
泰国曼谷10400 Sri Ayuthaya路328号教育部高等教育委员会数学卓越中心
4
澳大利亚西澳大利亚州珀斯市科廷大学电气工程、计算和数学科学学院，邮编6845
*
应向其寄送信件的作者。
数学 2018,6(8), 129;https://doi.org/10.3390/math6080129
收到的提交文件：2018年7月6日/修订日期：2018年7月18日/接受日期：2018年7月20日/发布日期：2018年7月25日
（本文属于特刊微分方程和差分方程及其应用进展)
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版本注释

摘要

以下为：
众所周知，Black-Scholes模型是用来建立金融市场中期权定价行为的。本文基于Liouville-Caputo分数导数，提出了两资产Black-Scholes模型的改进版本。利用拉普拉斯变换同伦摄动方法研究了该模型的解析解。

1.简介

衍生工具是承诺在未来某个时间支付的金融工具之一，其支付金额取决于某些标的资产的变化。它的价值可以从各种基础资产中获得，如股票、债券、利率、商品、货币等。毫无疑问，期权是金融市场中常用的衍生品的主要关键。因此，期权交易的理念不断发展。最早的研究工作是由Corzo等人提出的[1]使用荷兰积极参与期权交易的证据。奥斯本[2]利用带漂移的算术布朗运动提出了一个期权定价公式。1973年，Fischer Black和Myron Scholes[三]提出了Black-Scholes模型来研究市场中期权定价的行为。基于Black-Scholes方程建立了几个数学模型，其中包括执行价格、无风险利率、基础证券价格、波动率和成熟期五个关键组成部分[4,5,6,7].
研究和发展了几种求解Black-Scholes模型的数值和分析方法，例如有限差分法[8,9,10,11]，有限元法[12]以及梅林变换方法[13]同伦摄动法[14,15]，拉普拉斯仿射摄动法[16]用于分析解决方案。此外，求解Black-Scholes方程的方法之一是径向基函数单位分解法（RBF-PUM）[17,18]它广泛用于逼近偏微分方程问题。该方法由单位分解（PU）方法和径向基函数（RBF）逼近两种方法组成[19,20]. 当应用于非均匀密度的数据时，RBF-PUM提供了非常准确的结果[19].
一般来说，期权定价的两种资产的Black-Scholes模型可以写成如下：
∂ C类 ∂ τ + 1 2 ∑ 我 = 1 2 ∑ j个 = 1 2 σ 我 σ j个 ρ 我 j个 S公司 我 S公司 j个 ∂ 2 C类 ∂ S公司 我 ∂ S公司 j个 + ∑ 我 = 1 2 ( 第页 − q个 我 ) S公司 我 ∂ C类 ∂ S公司 我 − 第页 C类 = 0 , S公司 1 , S公司 2 ∈ [ 0 , ∞ ) , τ ∈ [ 0 , T型 ]
终端条件：
C类 ( S公司 1 , S公司 2 , T型 ) = 最大值 ( ∑ 我 = 1 2 β 我 S公司 我 − K（K） , 0 ) ,
哪里 K（K） = 最大值 { K（K） 1 , K（K） 2 } ,边界条件：
C类 ( S公司 1 , S公司 2 , τ ) = 0 作为 ( S公司 1 , S公司 2 ) → ( 0 , 0 ) C类 ( S公司 1 , S公司 2 , τ ) = ∑ 我 = 1 2 β 我 S公司 我 − K（K） e（电子） − 第页 ( T型 − τ ) 作为 S公司 1 → ∞ 或 S公司 2 → ∞
哪里：
  • C类看涨期权取决于基础股票价格吗 { S公司 1 , S公司 2 } 时间 τ ,
  • q个 我 是我第个基础股票，
  • ρ 我 j个 是我th和j个基础股价，
  • T型是到期日，
  • 第页是到期的无风险利率，
  • σ 我 是我第个基础股票，
  • K（K） 我 是我第个基础股票，
  • β 我 是一个系数，因此所有风险资产的价格都处于相同的水平。
值得注意的是，大多数现有模型都使用了严格的假设，例如，完美市场、无风险利率和波动率的恒定值、股价动态的对数正态分布、无股息、连续德尔塔对冲。可分割的股票数量不能充分代表市场的现实[21,22,23].
三百多年前，分数微分方程被引入。如今，分数微积分可以比传统微积分更好地解释实际情况中的复杂事件。分数阶模型已被用于描述许多领域，如科学、金融、物理和工程学科[11,12,24,25]. 金融市场的分数阶微积分被应用于Black-Scholes模型以扩展金融理论。
本文考虑的时间分数阶导数是Liouville-Caputo导数，因为分数阶导数的初始条件类似于传统导数[25].
Liouville—Caputo型阶分数导数 α 定义为[25]:
D类 τ α C类 ( τ ) = 1 Γ ( 1 − α ) ∫ 0 τ C类 ′ ( ξ ) ( τ − ξ ) α d日 ξ , 0 < α < 1 , d日 C类 d日 τ , α = 1 ,
哪里 Γ ( · ) 是一个伽马函数。
有很多研究都是研究具有一种资产的分数Black-Scholes模型[11,26,27,28,29,30,31]. 分数Black-Scholes模型是经典模型的推广版本，扩展了模型的局限性。Meng等人[26]利用Black-Scholes模型研究了分数期权定价问题。他们将分数Black-Scholes模型应用于中国银行外汇的看涨期权价格。他们的结果表明，分数Black-Scholes模型在估计市场机制的影响方面优于经典的Black-Sholes模型[26].
在本文中，我们使用拉普拉斯变换同调微扰方法（LHPM）的应用来获得时间分数Black-Scholes模型的显式解。LHPM是一种结合同伦摄动法和拉普拉斯变换的方法。LHPM给出了一个显式解，它是一个收敛级数。我们将重点放在带有两种资产的欧洲看涨期权的时间分数Black-Scholes模型上。LHPM用于解决问题。解析解是研究数值解特别是分数阶偏微分方程难以获得的解的行为的一种有价值的工具。分析解为研究金融行为提供了一个有用的工具。
论文组织如下。我们在中提出了时间分数Black-Scholes模型第2节分数导数是在Liouville-Caputo分数导数的意义上描述的。LHPM如所示第3节.英寸第3.1节，利用LHPM对该问题进行了显式求解。此外，还获得了数值示例和讨论第4节。最后，在中给出了一个结论第5节.

2.数学模型

我们考虑欧式期权的标准Black-Scholes偏微分方程，该方程具有两种资产，即有效市场、完美流动性和期权有效期内无股息。在本文中，我们假设 σ 1 , σ 2 , ρ 和第页是常量。
∂ c（c） ∂ τ + 1 2 σ 1 2 S公司 1 2 ∂ 2 c（c） ∂ S公司 1 2 + 1 2 σ 2 2 S公司 2 2 ∂ 2 c（c） ∂ S公司 2 2 + ρ σ 1 σ 2 S公司 1 S公司 2 ∂ c（c） 2 ∂ S公司 1 ∂ S公司 2 + 第页 S公司 1 ∂ c（c） ∂ S公司 1 + S公司 2 ∂ c（c） ∂ S公司 2 − 第页 c（c） = 0 , 对于 S公司 1 , S公司 2 ∈ [ 0 , ∞ ) , τ ∈ [ 0 , T型 ]
终端条件：
c（c） ( S公司 1 , S公司 2 , T型 ) = 最大值 β 1 S公司 1 + β 2 S公司 2 − K（K） , 0 ,
和边界条件：
c（c） ( S公司 1 , S公司 2 , τ ) = 0 作为 ( S公司 1 , S公司 2 ) → 0 和 c（c） ( S公司 1 , S公司 2 , τ ) = β 1 S公司 1 + β 2 S公司 2 − K（K） e（电子） − 第页 ( T型 − τ ) 作为 S公司 1 → ∞ 或 S公司 2 → ∞ .
通过更改变量[32]:
x个 = 自然对数 ( S公司 1 ) − 第页 − 1 2 σ 1 2 τ 和 年 = 自然对数 ( S公司 2 ) − 第页 − 1 2 σ 2 2 τ ,
方程式(1)可以写为：
∂ c（c） ∂ τ + 1 2 σ 1 2 ∂ 2 c（c） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 c（c） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 c（c） ∂ x个 ∂ 年 − 第页 c（c） = 0 , ( x个 , 年 , τ ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ]
其满足终端条件：
c（c） ( x个 , 年 , T型 ) = 最大值 β 1 e（电子） x个 + ( 第页 − 1 2 σ 1 2 ) T型 + β 2 e（电子） 年 + ( 第页 − 1 2 σ 2 2 ) T型 − K（K） , 0 ,
和边界条件：
c（c） ( x个 , 年 , τ ) = 0 , 作为 ( x个 , 年 ) → − ∞ 和 c（c） ( x个 , 年 , τ ) = β 1 e（电子） x个 + ( 第页 − 1 2 σ 1 2 ) τ + β 2 e（电子） 年 + ( 第页 − 1 2 σ 2 2 ) τ − K（K） e（电子） − 第页 ( T型 − τ ) , 作为 x个 → ∞ 或 年 → ∞ .
通过再次更改变量以消除方程式左侧的最后一项(2)，我们定义v（v）作为：
c（c） ( x个 , 年 , τ ) = e（电子） − 第页 ( T型 − τ ) v（v） ( x个 , 年 , τ ) ,
并代入方程式(2)，我们有
∂ v（v） ∂ τ + 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 = 0 , ( x个 , 年 , τ ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ]
终端条件：
v（v） ( x个 , 年 , T型 ) = 最大值 β 1 e（电子） x个 + ( 第页 − 1 2 σ 1 2 ) T型 + β 2 e（电子） 年 + ( 第页 − 1 2 σ 2 2 ) T型 − K（K） , 0 ,
边界条件：
v（v） ( x个 , 年 , τ ) = 0 , 作为 ( x个 , 年 ) → − ∞ 和 v（v） ( x个 , 年 , τ ) = β 1 e（电子） x个 + 第页 T型 − 1 2 σ 1 2 τ + β 2 e（电子） 年 + 第页 T型 − 1 2 σ 2 2 τ − K（K） , 作为 x个 → ∞ 或 年 → ∞ .
能够解决初边值问题(三)–(5)，向前时间坐标
t吨 = T型 − τ
在方程式中引入并使用(三). 因此，我们得到
∂ v（v） ∂ t吨 = 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 , ( x个 , 年 , τ ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ] ,
根据初始条件：
v（v） ( x个 , 年 , 0 ) = 最大值 β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ,
边界条件：
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = 0 , 作为 ( x个 , 年 ) → − ∞ 和 v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = β 1 ˜ e（电子） x个 + 1 2 σ 1 2 t吨 + β 2 ˜ e（电子） 年 + 1 2 σ 2 2 t吨 − K（K） , 作为 x个 → ∞ 或 年 → ∞ .
哪里 β 1 ˜ = β 1 e（电子） ( 第页 − 1 2 σ 1 2 ) T型 和 β 2 ˜ = β 2 e（电子） ( 第页 − 1 2 σ 2 2 ) T型 .
通过替换Liouville-Caputo分数阶导数，我们得到了以下分数阶Black-Scholes模型 α ∈ ( 0 , 1 ] 具有初始和边界条件：
D类 t吨 α v（v） = 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 , ( x个 , 年 , τ ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ] ,
根据初始条件：
v（v） ( x个 , 年 , 0 ) = 最大值 β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ,
和边界条件：
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = 0 , 作为 ( x个 , 年 ) → − ∞ 和 v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = β 1 ˜ e（电子） x个 + 1 2 σ 1 2 t吨 + β 2 ˜ e（电子） 年 + 1 2 σ 2 2 t吨 − K（K） , 作为 x个 → ∞ 或 年 → ∞ .
哪里 β 1 ˜ = β 1 e（电子） ( 第页 − 1 2 σ 1 2 ) T型 和 β 2 ˜ = β 2 e（电子） ( 第页 − 1 2 σ 2 2 ) T型 .

3.具有LHPM的时间分数Black-Scholes模型的基本思想

在本节中，含时微分方程的一般形式可以表示为：
A类 ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) − （f） ( x个 , 年 , t吨 ) = 0 ,
哪里 u个 ( x个 , 年 , t吨 ) 表示未知函数， （f） ( x个 , 年 , t吨 ) 表示已知的分析函数和A类由以下因素决定：
A类 ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) = D类 t吨 α u个 ( x个 , 年 , t吨 ) + N个 ˜ ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) 对于 ( x个 , 年 , t吨 ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ] .
一般方程式可以改写为：
D类 t吨 α u个 ( x个 , 年 , t吨 ) + N个 ˜ ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) = （f） ( x个 , 年 , t吨 ) , ( x个 , 年 , t吨 ) ∈ 对 × 对 × [ 0 , T型 ] ,
初始条件：
u个 ( x个 , 年 , 0 ) = 小时 ( x个 , 年 ) 对于 任何 ( x个 , 年 ) ∈ 对 × 对
边界条件：
B类 u个 , ∂ u个 ∂ x个 , ∂ u个 ∂ 年 , ∂ u个 ∂ t吨 = 0 ,
哪里B类是边界运算符。
首先，在方程式中(11)，对时间变量进行拉普拉斯变换t吨产量
L（左） D类 t吨 α u个 ( x个 , 年 , t吨 ) + L（左） N个 ˜ ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) = L（左） （f） ( x个 , 年 , t吨 ) .
利用Liouville-Caputo分数阶导数的Laplace变换[33]，然后我们获得
L（左） u个 ( x个 , 年 , t吨 ) = 秒 − α 小时 ( x个 , 年 ) − 秒 − α L（左） N个 ˜ ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) + 秒 − α L（左） （f） ( x个 , 年 , t吨 ) .
通过对方程进行拉普拉斯逆变换(12)，我们有
u个 ( x个 , 年 , t吨 ) = G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) − L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( u个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) ,
其中函数 G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) 给出了源项产生的项以及规定的初始条件和边界条件。
我们现在使用HPM技术[14,15]构造函数 ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) .我们设置
H（H） ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) , 第页 ) = ( 1 − 第页 ) [ ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) − ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) ] + 第页 [ ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) − G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) + L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) ) ] = 0 ,
哪里 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 表示同伦参数或嵌入参数，以及 ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) 表示方程式的初始近似值(13). 重新排列(13)给予
ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − 第页 [ ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) + L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) ) ] .
对于 第页 = 0 和 第页 = 1 ，我们有
H（H） ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 0 ) , 0 ) = ν ( x个 , 年 , t吨 ; 0 ) − ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) = 0 , H（H） ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 1 ) , 1 ) = ν ( x个 , 年 , t吨 ; 1 ) − G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) + L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ν ( x个 , 年 , t吨 ; 1 ) ) = 0 .
让
ν ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ν n个 ( x个 , 年 , t吨 ) .
从方程式(14)和(15)，我们有
∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ν n个 ( x个 , 年 , t吨 ) = ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − 第页 [ ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) + L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ν n个 ( x个 , 年 , t吨 ) ) ] .
通过将对应于第页在方程式的两边(16)，序列 ν n个 执行如下：
ν 0 ( x个 , 年 , t吨 ) = ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) , ν 1 ( x个 , 年 , t吨 ) = G公司 ( x个 , 年 , t吨 ) − ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ν 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) ) , ν 米 ( x个 , 年 , t吨 ) = − L（左） − 1 秒 − α L（左） N个 ˜ ( ν 米 − 1 ( x个 , 年 , t吨 ) ) 什么时候 米 ≥ 2 .
什么时候？第页收敛到1，方程的近似解(10)可以表示为：
u个 ( x个 , 年 , t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ ν n个 ( x个 , 年 , t吨 ) ,
这导致了无穷级数收敛时的显式解。

3.1. 时间分数Black-Scholes模型的LHPM解法

在本节中，我们找到了时间分数Black-Scholes模型的解(7)服从终端条件(8)和边界条件(9)采用LHPM技术。
首先，我们让
N个 ˜ ( v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) ) = 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 ,
并表示方程(7)一般形式为：
D类 t吨 α v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = N个 ˜ ( v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) ) .
通过对时间变量进行拉普拉斯变换t吨，我们得到
L（左） D类 t吨 α v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = L（左） N个 ˜ ( v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) ) .
根据Liouville-Caputo分数导数的拉普拉斯变换，方程式(19)成为，
L（左） v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = 1 秒 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + 1 秒 α L（左） { 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 } .
方程的拉普拉斯逆变换(20)计算公式如下：
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + L（左） − 1 { 1 秒 α L（左） { 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 } } .
通过应用HPM技术，我们可以构造函数
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) 以下为： 对 × 对 × [ 0 , T型 ] × [ 0 , 1 ] → 对
满足以下等式
( 1 − 第页 ) ( v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) − v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) ) + 第页 [ v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) − 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) − L（左） − 1 1 秒 α L（左） 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 ] = 0
或
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) − 第页 v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) + 第页 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + 第页 L（左） − 1 1 秒 α L（左） 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 ,
哪里 第页 ∈ [ 0 , 1 ] 是嵌入参数，并且 v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) 是方程式的初始近似值(21)可以自由选择[34].
对于此型号，我们选择 v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) 作为：
v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α .
接下来我们替换 v（v） 0 ˜ ( x个 , 年 , t吨 ) 在方程式中(21)以获得
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α + 第页 ( − e（电子） x个 + 年 t吨 α + L（左） − 1 1 秒 α L（左） 1 2 σ 1 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 v（v） ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 v（v） ∂ x个 ∂ 年 ) .
对于同伦摄动法，方程的解(7)可以假设
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = ∑ 我 = 0 ∞ 第页 n个 ϕ n个 ( x个 , 年 , t吨 ) .
通过替换方程式(23)到方程式中(22)，我们获得
∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ϕ n个 ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α + 第页 − e（电子） x个 + 年 t吨 α + L（左） − 1 { 1 秒 α L（左） { 1 2 σ 1 2 ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ∂ 2 ϕ n个 ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ∂ 2 ϕ n个 ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 ∂ 2 ϕ n个 ∂ x个 ∂ 年 } } .
通过相等于第页在方程式的两边(24)，我们有
ϕ 0 ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α ϕ 1 ( x个 , 年 , t吨 ) = − e（电子） x个 + 年 t吨 α + L（左） − 1 1 秒 α L（左） 1 2 σ 1 2 ∂ 2 ϕ 0 ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 ϕ 0 ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 ϕ 0 ∂ x个 ∂ 年 ϕ 我 ( x个 , 年 , t吨 ) = − e（电子） x个 + 年 t吨 α + L（左） − 1 { 1 秒 α L（左） { 1 2 σ 1 2 ∂ 2 ϕ 我 − 1 ∂ x个 2 + 1 2 σ 2 2 ∂ 2 ϕ 我 − 1 ∂ 年 2 + ρ σ 1 σ 2 ∂ 2 ϕ 我 − 1 ∂ x个 ∂ 年 } } , 对于 我 ≥ 2 .
然后，我们可以写 ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 , ϕ 三 , … 一般形式，即。，
ϕ 0 ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α ϕ n个 ( x个 , 年 , t吨 ) = t吨 n个 α Γ ( n个 α + 1 ) 1 2 n个 σ 1 2 n个 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 , 0 ) + 1 2 n个 σ 2 2 n个 最大值 ( β 2 ˜ e（电子） 年 , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 ( n个 + 1 ) α Γ ( α + 1 ) Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 n个 − e（电子） x个 + 年 t吨 n个 α Γ ( α + 1 ) Γ ( n个 α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 ( n个 − 1 ) 什么时候 n个 ≥ 1 .
发件人(23)，解决方案 v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) 方程式的(7)可以由以下人员编写：
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 第页 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α + ∑ n个 = 0 ∞ 第页 n个 + 1 { t吨 ( n个 + 1 ) α Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ( 1 2 ( n个 + 1 ) σ 1 2 ( n个 + 1 ) 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 , 0 ) + 1 2 ( n个 + 1 ) σ 2 2 ( n个 + 1 ) 最大值 ( β 2 ˜ e（电子） 年 , 0 ) ) + e（电子） x个 + 年 t吨 ( n个 + 2 ) α Γ ( α + 1 ) Γ ( ( n个 + 2 ) α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 ( n个 + 1 ) − e（电子） x个 + 年 t吨 ( n个 + 1 ) α Γ ( α + 1 ) Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 n个 } .
通过设置第页收敛到1，我们得到
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ; 1 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α + ∑ n个 = 0 ∞ { t吨 ( n个 + 1 ) α Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) × 1 2 ( n个 + 1 ) σ 1 2 ( n个 + 1 ) 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 , 0 ) + 1 2 ( n个 + 1 ) σ 2 2 ( n个 + 1 ) 最大值 ( β 2 ˜ e（电子） 年 , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 ( n个 + 2 ) α Γ ( α + 1 ) Γ ( ( n个 + 2 ) α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 ( n个 + 1 ) − e（电子） x个 + 年 t吨 ( n个 + 1 ) α Γ ( α + 1 ) Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 n个 }
因此，我们得到了方程的显式解(7):
v（v） ( x个 , 年 , t吨 ) = 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 + β 2 ˜ e（电子） 年 − K（K） , 0 ) + e（电子） x个 + 年 t吨 α + 最大值 ( β 1 ˜ e（电子） x个 , 0 ) t吨 α σ 1 2 2 E类 α , α + 1 ( t吨 α σ 1 2 2 ) + 最大值 ( β 2 ˜ e（电子） 年 , 0 ) t吨 α σ 2 2 2 E类 α , α + 1 ( t吨 α σ 2 2 2 ) + e（电子） x个 + 年 σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 Γ ( α + 1 ) t吨 2 α E类 α , 2 α + 1 t吨 α σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2 − e（电子） x个 + 年 Γ ( α + 1 ) t吨 α E类 α , α + 1 t吨 α σ 1 2 2 + σ 2 2 2 + ρ σ 1 σ 2
哪里 E类 一 , b条 ( z（z） ) = ∑ k个 = 0 ∞ z（z） k个 Γ ( 一 k个 + b条 ) 是广义Mittag-Lefler函数[35]其中一和b条是常量。

4.数值示例

在本节中，基于Black-Scholes模型的欧式看涨期权的一系列解决方案，两种资产如下所示(25)通过使用MATLAB编程进行计算。使用中给出的财务参数进行模拟表1.
变换显式解的图v（v）和原始显式解c（c）在看涨期权绘制的情况下图1,图2,图3,图4和图5.英寸图1、解决方案v（v）和c（c）在到期日前一天绘制，范围为 0 ≤ S公司 1 ≤ 200 和 0 ≤ S公司 2 ≤ 200 以成交价成交 α = 0.9 结果表明，当股票价格上涨时，期权价值显著增加。
通过设置 S公司 2 = 10 、解决方案v（v）和c（c）带订单 α = 0.9 绘制于图2a、 b.随着增加 S公司 1 从0到50，期权价格c（c）达到零。它类似于c（c）,v（v）当x个从2增加到4。期权价格c（c）当股价大于50时，呈线性增长。解决方案v（v）当x个大于4。
图3显示了看涨期权的曲面图 S公司 1 = 10 在一定的股价范围内 0 ≤ S公司 2 ≤ 200 和时间 0 ≤ t吨 ≤ 1 .随着增加 S公司 2 从0到40，期权价格c（c）达到零。v（v）当x个从2增加到 3.8 之后，期权价格c（c）当股票价格大于40时线性增加。解决方案v（v）当x个大于 3.8 .
在到期日前一天，欧洲看涨期权价格高于股票价格 S公司 1 和 S公司 2 用于各种订单 α = 0.5 , 0.7 和 0.9 正在调查。分数阶的影响 α 在c（c）对于不同的订单 S公司 2 = 5 和 S公司 1 = 10 如所示图4a、 b）。比较表明 α 给出了较低的看涨期权价格。在图5，的解决方案图v（v）趋势与c（c）需要注意的是 α 给出较低的期权价格v（v）此外，期权价格v（v）之后迅速增加 x个 = 4.2452 和 年 = 3.4589 如中所示图5a、 b）。因此，我们可以得出以下结论：时间导数顺序的影响 α 对期权价格的影响很小。
相关性不同的欧洲看涨期权价值 − 1 到1显示在中图6在到期日前一天。股票价格的影响 S公司 2 有一些固定的股票价格 S公司 1 和年有一些固定值x个进行了调查。的三个值 S公司 1 包括50、80和100以及三个值x个包括3.8671、4.3371和4.6556 S公司 2 = 5 和 年 = 1.6093 结果表明，欧式看涨期权与相关性之间呈线性递增关系。此外，欧洲看涨期权的变化率v（v）和c（c）关于 ρ 也彼此相似，如所示图6a、 b。

5.结论

分数阶Black-Scholes方程是经典模型的一个推广版本，扩展了使用该模型求解期权价格的限制。如结果所示，您可以看到，如果模型中的参数没有改变，我们将获得不同订单的期权价格差异值。因此，分数阶Black-Scholes模型比整数阶模型更实用。本文引入拉普拉斯同伦摄动方法，以求解具有两个资产的时间分式Black-Scholes模型的显式解。通过使用LHPM，显式解可以写成一个特殊函数的形式，即广义Mittag-Leffer函数。显式求解形式的好处是很容易用于寻找取决于两个股票价格的欧式看涨期权。此外，给出了该解的数值例子来说明显式解。

作者贡献

概念化，P.S.和W.S。；形式分析，P.S.和K.T。；方法论、P.S.和K.T。；可视化、K.T.和W.S。；书面原稿，K.T。；写作评论和编辑，W.S.和B.W。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

作者感谢泰国曼谷马希隆大学教育部和科学院高等教育委员会颁发的泰国科学成就奖学金。这项研究得到了泰国高等教育委员会数学卓越中心的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

  1. 科尔佐，T。；普拉特，M。；Joseph de la Vega的Confusion de Confusiones中的Vaquero，E.行为金融。J.贝哈夫。财务。 2014,15, 341–350. [谷歌学者] [交叉参考]
  2. Osborne，M.F.M.Brownian运动在股市中的应用。操作。物件。 1959,7, 145–173. [谷歌学者] [交叉参考]
  3. 黑色，F。；Scholes，M.期权和公司负债的定价。J.政治经济学。 1973,81, 637–654. [谷歌学者] [交叉参考]
  4. 岑，Z。；Le，A.用奇异分离法定价美式看跌期权的稳健有限差分格式。数字。算法 2010,53, 497–510. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. 岑，Z。；Le，A.广义Black-Scholes方程的稳健且精确的有限差分方法。J.计算。申请。数学。 2011,235, 2728–2733. [谷歌学者] [交叉参考]
  6. Kle惰性，K。；Korbel，J.基于双分数扩散的Black–Scholes期权定价。《物理学杂志》。A类 2016,449, 200–214. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  7. Vazquez，C.美国和欧洲期权定价模型的逆风数值方法。申请。数学。计算。 1998,97，273–286。[谷歌学者] [交叉参考]
  8. 医学博士马可西。；Choi，S。；Chen，C.S.关于金融数学中变分公式的边界条件的使用。申请。数学。计算。 2001,124, 197–214. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. Kim，J。；Kim，T。；Jo，J。；Choi，Y。；Lee，S。；Hwang，H。；Yoo，M。；Jeong，D.三维Black–Scholes方程的实用有限差分方法。欧洲药典。物件。 2016,252, 183–190. [谷歌学者] [交叉参考]
  10. 莱斯马纳，哥伦比亚特区。；Wang，S.交易成本下控制欧式期权估值的非线性Black–Scholes方程的迎风有限差分方法。J.应用。数学。计算。 2013,219, 8811–8828. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. 宋，L。；Wang，W.分数Black–Scholes期权定价模型的有限差分解法。文章摘要。申请。分析。 2013, 1–10. [谷歌学者] [交叉参考]
  12. Phaochoo，P。；Luadsong，A。；Aschariyaphotha，N.基于移动克里金插值的无网格局部Petrov–Galerkin，用于求解分数Black–Scholes模型。沙特国王大学-科学。 2016,28, 111–117. [谷歌学者] [交叉参考]
  13. Yoon，J.H.Mellin，赫尔-怀特随机利率下欧洲期权定价的转换方法。J.应用。数学。 2014,2014, 759562. [谷歌学者] [交叉参考]
  14. He，J.H.非线性问题分歧的同伦摄动方法。国际非线性科学杂志。数字。模拟。 2005,6, 207–208. [谷歌学者] [交叉参考]
  15. He，J.H.同伦微扰技术。计算。方法应用。机械。工程师。 1999,178, 257–262. [谷歌学者] [交叉参考]
  16. Trachoo，K。；西沙旺通。；Sawangtong，P.Laplace变换同伦摄动法求解带欧式看涨期权的二维Black-Scholes模型。数学。计算。申请。 2017,22, 23. [谷歌学者] [交叉参考]
  17. Safdari-Vaighani，A。；Heryudono，A。；Larsson，E.金融应用中对流扩散方程的径向基函数单位分解配置方法。科学杂志。计算。 2015,64, 341–367. [谷歌学者] [交叉参考]
  18. 谢尔巴科夫，V。；Larsson，E.香草篮子期权定价的径向基函数单位分割法。计算。数学。申请。 2016,71, 185–200. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  19. 卡沃雷托，R。；罗西，公元。；Perracchione，E.RBF-PU插值中局部逼近的最佳选择。下载PDF J.Sci。计算。 2018,74, 1–22. [谷歌学者] [交叉参考]
  20. 卡沃雷托，R。；施耐德，T。；基于OPENCL的RBF-PUM插值并行算法。科学杂志。计算。 2018,74第267页至第289页。[谷歌学者] [交叉参考]
  21. Bastian-Pinto，C.L.用对称二项式晶格应用于实物期权，对一般均值回归过程进行建模。Procedia计算。科学。 2015,55, 764–773. [谷歌学者] [交叉参考]
  22. 考克斯，J.C。；Ross，S.Rubinstein M.期权定价：一种简化方法。J.财务。经济。 1949,7, 229–263. [谷歌学者] [交叉参考]
  23. Glazyrina，A。；Melnikov，A.Bernstein的不等式及其得到Black-Scholes期权定价公式的扩展。J.Stat.概率。莱特。 2016,111, 86–92. [谷歌学者] [交叉参考]
  24. 比约克，T。；Hult，H.关于Wick产品和分数Black–Scholes模型的注释。财务。斯托克。 2005,9, 197–209. [谷歌学者] [交叉参考]
  25. 库马尔，S。；库马尔，D。；Singh，J.金融市场中出现的分数阶Black-Scholes方程的数值计算。埃及。J.基本应用。科学。 2014,1, 177–183. [谷歌学者] [交叉参考]
  26. 孟，L。；Wang，M.在波动性变化的外汇期权市场中布莱克-斯科尔斯公式与分数布莱克-斯克尔斯公式的比较。亚洲-太平洋。财务。作记号。 2010,17, 99–111. [谷歌学者] [交叉参考]
  27. 米西拉纳，M。；润滑，Z。；Teo，K.L.分数黑胆模型：应用于分数期权定价的完整mle。2010年7月18日至23日，中国贵阳，《2010年优化与控制国际会议论文集》；第573-588页。[谷歌学者]
  28. Mehrdoust，F。；Najafi，A.R.在具有弱回报函数的分数Black–Scholes模型下定价欧洲期权。计算。经济。 2017. [谷歌学者] [交叉参考]
  29. 一些分数阶Black–Scholes方程在粗粒度空间和时间中的推导和解。应用于默顿的最佳投资组合。计算。数学。申请。 2010,59, 1142–1164. [谷歌学者] [交叉参考]
  30. Liu，香港。；Chang，J.J.带交易费用的分数Black–Scholes模型的闭式近似。计算。数学。申请。 2013,65, 1719–1726. [谷歌学者] [交叉参考]
  31. 张，H。；刘，F。；特纳，I。；Yang，Q.欧式期权时间分数Black–Scholes模型的数值解。计算。数学。申请。 2016,71, 1772–1783. [谷歌学者] [交叉参考]
  32. 康特拉斯，M。；Llanquihuén，A。；Villena，M.关于多资产Black-Scholes模型的解：相关性、特征值和几何。数学杂志。财务。 2016,6，562–579页。[谷歌学者] [交叉参考]
  33. Miller，K.S。；B.罗斯。分数阶微积分泛函微分方程简介; 约翰·威利父子公司：美国纽约州纽约市，2003年。[谷歌学者]
  34. Baholian，E。；阿齐兹，A。；Saeidian，J.关于使用同位微扰方法求解含时微分方程的一些注意事项。数学。计算。模型。 2009,50, 213–224. [谷歌学者] [交叉参考]
  35. 马泰，A.M。；豪博尔德，H.J。应用科学中的数学方法; 施普林格：美国纽约州纽约市，2008年。[谷歌学者]
数学06 00129 g001 550
图1。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），用于 α = 0.9 在到期日前一天。
图1。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），用于 α = 0.9 在到期日前一天。
数学06 00129 g001
数学06 00129 g002 550
图2。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），适用于所有订购时间 α = 0.9 具有 S公司 2 = 10 .
图2。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），适用于所有订购时间 α = 0.9 具有 S公司 2 = 10 .
数学06 00129 g002
数学06 00129 g003 550
图3。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），适用于所有订购时间 α = 0.9 具有 S公司 1 = 10 .
图3。(一)转换显式解，v（v）、和(b条)看涨期权价格，c（c），适用于所有订购时间 α = 0.9 具有 S公司 1 = 10 .
数学06 00129 g003
数学06 00129 g004 550
图4。从不同订单模型中获得的欧式看涨期权解图 α = 0.5 , 0.7 , 0.9 在到期日前一天：(一) S公司 2 = 5 ; (b条) S公司 1 = 10 .
图4。从不同订单模型中获得的欧式看涨期权解图 α = 0.5 , 0.7 , 0.9 到期日前一天：(一) S公司 2 = 5 ; (b条) S公司 1 = 10 .
数学06 00129 g004
数学06 00129 g005 550
图5。解决方案v（v）从不同阶数的模型中获得的图 α = 0.5 , 0.7 , 0.9 到期日前一天：(一) 年 = 1.6093 ; (b条) x个 = 2.3024 .
图5。解决方案v（v）从不同阶数的模型中获得的图 α = 0.5 , 0.7 , 0.9 到期日前一天：(一) 年 = 1.6093 ; (b条) x个 = 2.3024 .
数学06 00129 g005
数学06 00129 g006 550
图6。欧洲看涨期权与相关性的关系 ρ 对于时间导数订单 α = 0.9 到期日前一天：(一)v（v）对于 年 = 1.6093 和(b条)c（c）对于 S公司 2 = 5 .
图6。欧洲看涨期权与相关性的关系 ρ 对于时间导数订单 α = 0.9 到期日前一天：(一)v（v）对于 年 = 1.6093 和(b条)c（c）对于 S公司 2 = 5 .
数学06 00129 g006
表
表1。数值解的参数。
表1。数值解的参数。
参数价值
执行价格，K（K）（美元）70
无风险利率（每年），第页 5 %
到期时间，T型（年）1
第一批基础资产的波动性（每年）， σ 1 10 %
基础第二资产的波动性（每年）， σ 2 20 %
相关性， ρ 0.5
β 1 2
β 2 1

分享和引用

MDPI和ACS样式

Sawangtong，P。；Trachoo，K。；W·萨旺通。；Wiwattanapataphee，B。Liouville-Caputo分数导数意义下两资产Black-Scholes方程的解析解。数学 2018,6, 129.https://doi.org/10.3390/math6080129

AMA风格

Sawangtong P、Trachoo K、Sawangtong W、Wiwattanapataphee B。Liouville-Caputo分数导数意义下两资产Black-Scholes方程的解析解。数学. 2018; 6（8）：129。https://doi.org/10.3390/math6080129

芝加哥/图拉比安风格

Sawangtong、Panumart、Kamonchat Trachoo、Wannika Sawangton和Benchawan Wiwattanapatapaphee。2018.“Liouville-Caputo分数导数意义下两资产的Black-Scholes方程的分析解”数学6，编号8:129。https://doi.org/10.3390/math6080129

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