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第条

非对称多重旅行商问题到有色Petri网的映射算法

巴基斯坦卡拉奇市卡亚尼沙希德路花园/工商管理学院计算机科学系人工智能实验室,邮编74400
*
信件应寄给的作者。
算法 2018,11(10), 143;https://doi.org/10.3390/a11100143
收到的提交文件:2018年7月30日/修订日期:2018年9月4日/接受日期:2018年9月14日/发布日期:2018年9月25日

摘要

以下为:
多旅行商问题是著名旅行商问题的推广。多旅行商问题(mTSP)属于NP-hard问题,因此寻求其最优解是一项艰巨的任务。当成本矩阵不对称时,问题变得更加复杂。在这种情况下,为这个问题找到一个甚至可行的解决方案都是一项具有挑战性的任务。本文提出了一种用彩色Petri网(CPN)这一数学建模语言来表示多旅行商问题的算法。该算法将任意给定的mTSP映射到CPN上。CPN中转换的模型保证了具有非对称成本矩阵的mTSP的可行解。该模型在CPNTools中进行了仿真,以度量两个优化目标:销售人员在可行解中花费的最大时间和所有销售人员花费的集体时间。转换后的模型还通过可达性分析进行了形式化验证,以确保其正确且正在终止。

1.简介

多重旅行推销员问题(mTSP)[1]是著名的旅行推销员问题(TSP)的自然延伸[2]. TSP要求销售人员在每个城市只能访问一次的限制下,找到通过给定城市的最短路线。在经典TSP中只有一个销售员,即m=1,而在mTSP中我们有m>1,这意味着涉及多个销售员。
多重旅行商问题属于NP-hard问题,这表明不存在多项式时间算法来寻找其最优解。然而,在许多应用中,由于问题的复杂性和附加的约束条件,找到甚至可行的解决方案都是一项具有挑战性的任务。此外,在其他一些情况下,由于问题的固有性质,仅找到可行的解决方案就足够了。
在求解mTSP时观察到的一个基本和实际约束是任何两个城市之间的成本差异(时间、距离、燃料消耗等)。在现实生活中,通常情况下,从A城市到B城市的成本不一定与从B城市到A城市的成本相同。这种问题称为非对称多重旅行推销员问题。根据应用程序的不同,多重旅行推销员问题可能需要实现单个优化目标或多个优化目标。这些优化目标可能需要最小化数量(例如时间、距离、成本、罚款、销售人员数量)或最大化数量(利润、负载等)。
mTSP有许多实际应用,包括公交车调度、任务规划、乘务员调度和印刷机调度。mTSP还与其他一些已知的优化问题密切相关,如车辆路径问题(VRP)和作业调度问题;因此,mTSP的解决方案也可以用于解决这些问题。
本文使用形式化数学建模语言彩色Petri网(CPN)对非对称多重旅行商问题进行建模。所提出的mTSP到CPN的转换始终保证了一个可行的解决方案,并且具有足够的灵活性,可以解决具有不对称或对称成本矩阵的mTSP问题。此外,它还可以用于求解旅行商问题(TSP),这是m=1的mTSP-的一个特例。
本文首先提出了一种机制,将多旅行推销员问题中的城市、仓库、推销员和时间概念映射到有色Petri网中的位置和过渡结构。利用这些映射,提出了一种算法,将任意给定的非对称多旅行商问题转化为有色Petri网模型。CPN中转换的模型在CPNTools中进行了仿真[]计算不同的优化目标,并通过可达性分析进行形式化验证,以确保模型的完整状态空间具有各种属性。
论文的其余部分组织如下。第2节讨论了技术背景和现有文献。建议的映射如所述第3节而基于所建议映射的案例研究在第4节以及正式的验证技术。文中对所提算法与其他方法进行了定性比较第5节最后,第6节对论文进行了总结,并提出了未来的研究方向。

2.技术背景及相关工作

2.1. 着色网

彩色Petri网(CPN)是由Kurt Jensen开发的一种数学建模语言[4]用于复杂系统的设计和分析。CPN是Petri网的扩展[5]它是由卡尔·亚当·佩特里(Carl Adam Petri)用颜色、时间和层次的概念发明的。
在CPN中,被建模系统的状态用椭圆表示,称为位置。另一方面,活动由矩形表示,称为转换。有向弧连接一个地方和一个过渡,这样一组地方、过渡和弧就形成了相互不相交的集合。与Petri网不同,CPN中的一个位置包含具有不同类型值的标记,这允许对复杂系统进行建模。CPN包含一种数学形式,允许验证和验证建模系统的结构和行为属性。
要理解CPN,请考虑一个简单的红绿灯信号。在任何给定的情况下,红绿灯可以处于三种状态之一:红色、橙色或绿色。信号在固定的指定时间后改变其状态。该红绿灯系统的彩色Petri网模型如所示图1。系统的三种状态(红色、橙色和绿色)分别由位置R、O和G表示。从状态红色变为橙色、从状态橙色变为状态绿色以及从状态绿色变为状态红色的动作分别由Tro、Tog和Tgr转换表示。
系统的时间特性用过渡延迟建模。过渡Tro上的值20图2表示20个时间单位后,红绿灯将处于橙色状态。类似地,转换Tog和Tgr上的值5和15分别反映了红绿灯在绿色和红色状态下将经历的时间延迟。
在中的位置R处存在单个令牌图2表示红绿灯当前处于红色状态。在转换和保护表达式的输入弧上没有表达式的情况下,当所有输入位置中至少有一个可用标记时,称转换已启用并准备启动。触发转换表示该转换所代表的事件已发生。触发转换时,从其输入位置获取令牌,并为输出位置生成令牌。
如中所示图2,转换Tro已启用并准备启动。一旦触发,它将使用来自位置R的令牌,并为位置O生成一个令牌,如所示图3这表明红绿灯已从红色变为橙色。O处的标记显示红绿灯现在处于橙色状态,并且在20个时间单位后改变了状态。
为了验证特定属性在模型的完整状态空间中是否成立,分析了CPN的可达图。图中的节点对应CPN模型的可到达标记,其边缘对应CPN模式从一个标记到另一个标记的转换。表1介绍了CPN模型的基本属性,可以通过可达性分析和简要描述进行验证[6].
红绿灯信号CPN可达性分析报告(图2)总结如下表2。该报告是在CPNTools中生成的[]其自动分析CPN模型的可达性图。上限和下限的值1和0表示每个位置将具有的最大和最小标记数。没有死标记反映了红绿灯系统是一个持续不断的系统。无死区转换确保使用红绿灯系统的所有功能,并且由于所有转换都是活动的,因此也确保可以再次使用所有功能。

2.2. 文献综述

针对多旅行商问题,提出了几种算法。这些解决方案由三种不同的方法提出,即(1)精确解,(2)使用启发式,(3)转换为TSP。
拉波特(Laporte)和诺伯特(Nobert)早期的一项工作是提出mTSP的精确解[7]其解是基于原始问题的一些约束的松弛。卡拉和贝克塔斯[8]提出了一种基于整数线性规划的解决方案来解决子巡更消除约束(SEC),而Kulkarni和Bhave[9]提出了不同的SEC来解决车辆路径问题(VRP),这是mTSP的一个特例。Ali和Kennington提出了一种分枝定界算法[10]这为mTSP的不对称情况提供了解决方案。
在难以找到最优解的大规模问题中,使用基于启发式算法来提供次优解。求解多旅行商问题的启发式算法包括进化算法[11],遗传算法[12],禁忌搜索[13],模拟退火[14]和神经网络[15]. Hosseinabadi等人提出了一种使用遗传算法(GA)和重力仿真局部搜索(GELS)算法的混合方法[16]解决了mTSP的复杂情况。
解决多旅行商问题的另一种方法是将其转化为一个简单的旅行商问题,用现有的算法解决转化后的问题,从而解决原来的问题。洪和帕德伯格的作品[17]、饶[18],以及Jonker和Volgenant[19]提出了对称mTSP到对称TSP的转换,而Bellmore和Hong提出的转换[20]将非对称mTSP转换为非对称TSP。
有色Petri网已广泛用于各个领域的系统建模和分析。吴[21]使用CPN对制造系统进行建模,并对其进行分析,以找出避免其运行期间死锁所需的条件。Piera等人[22]通过CPN对物流和制造系统进行建模,并进行仿真分析,以提高系统性能。扎伊采夫[23]使用CPN对交换局域网进行建模,并通过仿真估计其缓冲区大小和响应时间。阿尔斯特[24]提出了一种将调度问题转换为时间Petri网的方法,并使用分析技术来发现冲突和冗余的调度优先级,并对完成任务所需的时间设定一个下限和上限。一类称为随机Petri网(SPN)的Petri网被用来为基于网格的系统提出有效的调度机制[25]以及优化此类系统中任务的执行时间[26].

3.拟定测绘

为了将多个旅行推销员问题(mTSP)转换到有色Petri网(CPN)上,建议使用以下机制将城市、存款、推销员和时间的概念从mTSP映射到CPN的地点和过渡符号。
通过将多旅行商问题(mTSP)定义为元组{m,C,X,W},其中
  • m=销售人员数量,且m>1
  • C=包含C1、C2、C3…、Cn的城市列表
  • X=起点或终点
  • W=成本矩阵,其中Wij表示从城市Ci到城市Cj所需的时间,其中i,j=1,2,3,…,n
以及以下假设
  • 所有销售人员都从X仓库开始他们的旅程
  • 销售人员在参观完城市后无需返回仓库
城市、仓库、销售人员和时间的概念映射到以下地点和过渡

3.1. 地图绘制城市

城市C可以有三种可能的状态:(1)尚未访问,(2)正在访问,(3)已访问。对于这三个州,确定了两个事件:(1)销售人员到达C市时和(2)销售人员离开该市时。这三个状态和两个事件映射到位置和转换上,如所示图4位置Pnv、Piv和Pv对应于城市的状态,而转换T和Tc分别对应于推销员的到达和离开。最初,地点Pnv包含一个标记,这意味着该城市尚未被访问。

3.2. 映射部门和销售人员数量

推销员开始其巡演的地方X也被称为depo,它是用一个地方d建模的,如所示图5对于每个定义了从仓库到该城市的路线的城市,通过过渡T将地点d连接到地点Pnv。推销员的数量m通过d处的初始标记进行建模。In图5,d处的代币数量是3,这意味着销售人员的数量是3。

3.3. 绘制城市之间的时间和路线

从一个城市到另一个城市的路线是通过过渡T将第一个城市的地点Pv和第二个城市的地方Piv连接起来绘制的。从X号仓库到达任何城市的时间是通过连接过渡T和该城市Piv的弧上的铭文绘制的,然而,从一个城市到另一个城市所需的时间是通过在连接过渡T和目的地城市Piv的弧上写下铭文来绘制的。
如所示图6,城市A的地点Pv通过过渡选项卡连接到城市B的地点Piv。这表明销售人员可以从城市A到城市B的路线。连接过渡Ts和城市A的地点Piv的弧形铭文5说明了销售人员从depo X到达城市A所需的时间。类似地,连接过渡段Tab和B城Piv的弧线上刻着7,说明了销售人员从a城到达B城所需的时间。
建议算法的流程图如所示图7而各种mTSP概念到CPN构造的完整映射在表3。中给出的算法表3可以将任何给定的mTSP转换为CPN。

4.案例研究

要解释算法的工作原理,请参见表3,本节将介绍三种不同的情况。前两个案例解决了多重旅行推销员问题(mTSP),而第三个和最后一个案例解决的是旅行推销人员问题(TSP)——多重旅行推进员问题的特例。mTSP涉及五个城市和三名销售人员,而TSP涉及三个城市和一名销售人员。在CPNTools中模拟每个案例的转换CPN模型[26],一个用于创建、模拟和分析有色Petri网的开源工具。针对案例研究评估了两个优化目标:(a)最小化所有销售人员的旅行时间总和(miniSUM)和(b)最小化单个销售人员对所有销售人员最长的旅行时间(miniMAX)[27].

4.1. 案例一:具有对称成本矩阵的mTSP

在第一种情况下,所有城市都相互连接,从城市A移动到城市B的时间与从城市B移动到城市A的时间相同表4.
在第一步中,数据库和销售人员的数量将进行转换,如所示图8.
在第二步中,五个城市进行了改造,如图9.
在第三步中,车辆段和城市之间的路线随时间而改变,如所示图10.
最后,在最后一步中,城市之间的路线以及时间都会进行转换,如所示图11.

4.2. 案例B:具有不对称成本矩阵的mTSP

第二种情况与前一种情况类似,即城市之间的完全连通性,但这种情况假设从第一个城市到第二个城市的成本不一定与从第二个国家到第一个国家的成本相同。从中所示的成本矩阵可以看出表5从A城市到D城市的费用是8个单位,但从D城市到A城市的费用为9个单位。
与前一个场景中的情况一样,第一步是创建depo和销售人员数量,如所示图12.
在第二步中,五个城市进行了改造,如图13.
在第三步中,车辆段和城市之间的路线随时间而改变,如所示图14.
在最后一步中,只有城市之间的路线会随着时间而改变,如所示图15。由于没有从城市A到城市C或从城市B到城市E的直接路线,因此没有创建相应的过渡Tac和Tbe。

4.3. 案例C:具有对称成本矩阵的TSP

在第三种也是最后一种情况下,假设成本矩阵是对称的,并且只涉及一个销售人员。这是mTSP的一个特例,其中m=1,也称为旅行推销员问题。本案例的成本矩阵如所示表6以及基于算法的转换模型表1如所示图16.

4.4. 仿真结果

所有三种情况的转换CPN模型都在CPNTools中进行了模拟,结果总结如下表7下表显示了两个优化目标的仿真结果,即miniSUM和miniMAX。
这三个案例中的每一个都进行了十次模拟。三个销售人员的最小时间总和(miniSUM),在案例A中使用对称成本矩阵,在案例B中使用非对称成本矩阵均为18个时间单位。在对称成本矩阵(案例a)下,单个销售人员相对于三个销售人员(miniMAX)的最大时间最小值为8个时间单位,在成本矩阵不对称(案例B)下为7个时间单位。
在情况C中,当只有一个销售员时,所有销售员的最小时间总和(miniSUM)的目标函数不适用。对于单个销售人员对三个销售人员(miniMAX)的最短时间和最长时间的目标函数,所获得的值为15个时间单位。
必须注意的是,在CPNTools中进行模拟时,如果有多个启用的转换,则会为每个启用的转换分配相等的触发概率。因此,每次模拟运行后生成的解决方案是所有可能解决方案的随机解决方案。CPNTools确实提供了从模拟中收集数据的工具,这些数据可用于统计研究和计算不同的性能相关度量。

4.5. 可达性分析

在本节中,将分析表示CPN模型状态空间的可达图,以验证各种属性。对于转换为CPN的mTSP模型,感兴趣的属性是活性属性。在活性属性下,没有死转换意味着使用了正在建模的所有功能,而存在死标记意味着模型不会停留在无限的步骤序列中,并在有限的步骤序列之后终止。
CPNTools支持自动生成和分析CPN模型的可达性图。表8显示了CPNTools为mTSP的所有三个转换模型生成的状态空间报告的一部分。可以看出,在所有这三种情况下,都没有死跃迁,并且在活性属性下有死标记。这证明所有的城市都有推销员访问,而且行程是有限的。

5.与其他方法的比较

文中总结了所提算法与前面讨论的其他方法的定性比较表9用于评估的参数是(a)成本矩阵的类型,以及(b)解决TSP的能力,即mTSP的特殊情况。
可以从中看到表9对于评估参数A(成本矩阵类型),现有方法确实解决了成本矩阵的对称性和非对称性。可以得出结论,如果一个解决方案可以求解非对称的mTSP,那么它也可以用于求解对称的mTS P。
对于评估参数B,解决TSP的能力,基于精确的解决方案和转换也可以解决TSP,因为这是mTSP的特定情况。然而,一般来说,基于启发式的解决方案和基于GA的解决方案需要不同的染色体表示来求解TSP。
该算法为具有非对称或对称成本矩阵的mTSP问题提供了一个可行的解决方案。该算法还可以用于转换和求解mTSP的一个具体实例——旅行商问题。必须注意的是,随着约束条件添加到mTSP中,所提出的映射方案的实际效用开始发挥作用,甚至找到可行的解决方案都成为一项复杂的任务。

6.结论和未来方向

提出了一种将给定的非对称多旅行商问题转化为有色Petri网的算法。CPN中转换的模型保证了原mTSP问题的可行解。本文还讨论了将仓库、城市、销售员和时间的不同概念从mTSP映射到CPN中位置和过渡结构的机制。
映射的CPN模型在CPNTools中进行了模拟,CPNTool是一个用于创建、分析和模拟CPN模型的开源工具。仿真结果用于测量所有销售人员的最小旅行时间和以及单个销售人员在所有销售人员中花费的最小时间。该映射有一个局限性,即随着城市数量的增加,CPN中相应的转换和建模将变得费时费力。为了验证转换模型的正确性和终止性,在CPNTools中对模型进行了可达性分析,验证了所需属性的正确性。
未来,本文将扩展到其他类型的成本矩阵,包括距离、工作量和燃料。还将努力解决具有附加约束的mTSP的变化。此外,模拟结果将用于测量其他优化目标函数,如最小化销售人员数量或最大化访问城市数量。与其他优化技术的比较也将成为我们未来研究的一部分。

作者贡献

概念化、F.H.E.和S.H。;形式分析,F.H.E。;调查,F.H.E。;方法论,F.H.E。;软件,F.H.E;监督,S.H。;Writing-原始草案编制,F.H.E。;写作-评论与编辑,S.H。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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图1。红绿灯系统的CPN模型。
图1。红绿灯系统的CPN模型。
算法11 00143 g001
图2。具有时间行为的红绿灯系统的CPN模型。
图2。具有时间行为的红绿灯系统的CPN模型。
算法11 00143 g002
图3。发射过渡Tro后红绿灯的CPN模型。
图3。发射过渡Tro后红绿灯的CPN模型。
算法11 00143 g003
图4。CPN城市模型。
图4。CPN城市模型。
算法11 00143 g004
图5。CPN模型包括一个仓库、两个城市和三个销售人员。
图5。CPN模型包括一个仓库、两个城市和三个销售人员。
算法11 00143 g005
图6。多重旅行推销员问题的CPN模型。
图6。多重旅行推销员问题的CPN模型。
算法11 00143 g006
图7。建议算法的流程图。
图7。建议算法的流程图。
算法11 00143 g007
图8。德波和三名推销员。
图8。德波和三个推销员。
算法11 00143 g008
图9。德波有三名推销员和五个城市。
图9。德波有三名推销员和五个城市。
算法11 00143 g009
图10。五个城市通过depo连接。
图10。五个城市通过车站相连。
算法11 00143 g010
图11。mTSP涉及五个相连城市、一个仓库和三个销售人员,成本矩阵对称。
图11。mTSP涉及五个相连城市、一个仓库和三个销售人员,成本矩阵对称。
算法11 00143 g011
图12。德波和三名推销员。
图12。德波和三名推销员。
算法11 00143 g012
图13。德波有三名推销员和五个城市。
图13。德波有三名推销员和五个城市。
算法11 00143 g013
图14。五个城市通过车站相连。
图14。五个城市通过depo连接。
算法11 00143 g014
图15。mTSP涉及五个相连城市、一个仓库和三个销售人员,成本矩阵不对称。
图15。mTSP涉及五个相连城市、一个仓库和三个销售人员,成本矩阵不对称。
算法11 00143 g015
图16。TSP涉及三个具有对称成本矩阵的城市。
图16。TSP涉及三个具有对称成本矩阵的城市。
算法11 00143 g016
表1。着色Petri网属性。
表1。着色Petri网属性。
财产描述
有界性它确保一个地方不包含超过其定义容量的标记。
正在终止它确保模型正在终止
死转换(Dead Transition)它确保原则上使用正在建模的系统的所有功能
活力它确保建模系统的功能始终可以再次使用。它与Terminating属性互斥
表2。交通信号灯可达性分析报告。
表2。红绿灯信号可达性分析报告。
财产结果
有界性
上限1
下限0
正在终止
死标记
死转换(Dead Transition)
活力
实时转换全部
表3。将mTSP映射到CPN的算法。
表3。将mTSP映射到CPN的算法。
步骤描述
第1步创建带有初始标记m的位置d。
步骤2a为每个城市创建三个位置:Pnv、Piv和Pv。
步骤2b将每个Pnv的初始标记设置为1。
步骤2c对于每个城市C,通过过渡T连接位置Pnv和Piv,通过过渡Tc连接位置Piv和Pv。
步骤3a对于从站点X到城市C定义的每条路线,通过过渡T连接地点d和城市C的地点Piv。
步骤3 b在连接过渡T和Piv的弧线上刻上铭文,该位置等于从仓库到城市所需的时间。
步骤4a对于从城市(i)到城市(j)的每条路线,通过过渡段Tij连接地点Pv(i)和Piv(j)。
步骤4b在连接过渡时期Tij和地点Piv(j)的弧线上刻上铭文,时间等于从城市(i)到城市(j)所需的时间。
步骤4c用圆弧连接place Pnv(j)和transition Tij
表4。五个城市mTSP的对称成本矩阵。
表4。五个城市mTSP的对称成本矩阵。
XA类B类C类D类E类
X01245
A类106789
B类26024
C类72078
D类4870
E类59480
表5。五个城市mTSP的非对称成本矩阵。
表5。五个城市mTSP的非对称成本矩阵。
XA类B类C类D类E类
X01245
A类106789
B类21024
C类56078
D类49120
E类545670
表6。三个城市的对称成本矩阵。
表6。三个城市的对称成本矩阵。
XA类B类C类
X07135
A类7046
B类13409
C类5690
表7。模拟结果。
表7。模拟结果。
优化目标案例A
(时间单位)
案例B
(时间单位)
案例C
(时间单位)
迷你SUM1818不适用
迷你MAX8715
表8。国家空间报告的一部分。
表8。国家空间报告的一部分。
Liveness属性
死转换实例固定标记
案例一出席
案例二出席
案例三出席
表9。所提算法与其他方法的定性比较。
表9。所提算法与其他方法的定性比较。
1B=对称和非对称成本矩阵,S=仅对称成本矩阵
2Y=是,N=否
方法标准A1标准B2
建议的算法B类Y(Y)
精确解决方案Laporte等人[7]B类Y(Y)
Kara等人[8]B类Y(Y)
Iqbal Ali等人[10]B类Y(Y)
启发式Carter等人[12]S公司N个
Song等人[14]B类N个
Wacholder等人[15]B类Y(Y)
侯赛纳巴迪[16]S公司N个
转型Hong等人[17]S公司Y(Y)
饶[18]S公司Y(Y)
Jonker等人[19]S公司Y(Y)

分享和引用

MDPI和ACS样式

埃萨尼,F.H。;南卡罗来纳州海德尔。一种将非对称多重旅行商问题映射到有色Petri网的算法。算法 2018,11, 143.https://doi.org/10.3390/a11100143

AMA风格

Essani FH、Haider S。一种将非对称多重旅行商问题映射到有色Petri网的算法。算法. 2018; 11(10):143.https://doi.org/10.3390/a11100143

芝加哥/图拉宾风格

Essani、Furqan Hussain和Sajjad Haider。2018.“将非对称多旅行商问题映射到有色Petri网的算法”算法11,编号10:143。https://doi.org/10.3390/a11100143

请注意,从2016年第一期开始,该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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