我们考虑一维有偏投票模型，其中1以比另一种更快的速度替换0，从描述0和1的两个无限总体之间的界面的Heaviside初始状态开始。在弱偏差的极限下，对于扩散重标度过程，我们考虑了一个描述类型1位点局部分数随时间变化的可测值过程。在速率的有限二阶矩条件下，我们证明了在扩散标度极限下，存在一条漂移的布朗路径，其性质是该路径左侧（相对右侧）的所有位点都是0型（相对1），但几乎为零。这扩展了无偏选民模型的已知结果。我们的证明在很大程度上依赖于最近关于有偏投票模型的界面紧密性的结果。