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得到许可的 未获得许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2017年7月14日

关于微分方程的内部方法2。可控性结构

  • 维罗妮卡·克拉斯蒂诺娃 电子邮件徽标 瓦克拉夫·特利胡克
来自日志斯洛伐克数学

摘要

本文讨论了一般偏微分方程组Ω的几何理论绝对意义也就是说,不需要任何额外的结构,并且可以在尽可能广泛的意义上任意改变变量。主要结果描述了唯一确定的成分序列Ω0⊂ Ω1⊂…\8834»Ω其中Ωk个是由Ω“诱导”的微分方程的最大系统,使得Ω的解k个取决于的任意函数k个自变量(如果是常数k个= 0). 这是一个众所周知的结果,只适用于欠定常微分方程组的特殊情况。则Ω=Ω1我们有组成序列Ω0⊂ Ω1=Ω,其中Ω0包含Ω的所有第一积分,因此Ω0在可控的情况下是微不足道的。一般组成系列Ω0⊂ Ω1⊂…\8834»Ω可被视为偏微分方程的“多维”可控结构。

虽然结果在概念上是明确的,但它不能包含在微分方程的通用射流理论框架中。引入了另一种真正的无协调方法。

MSC 2010年:58甲1758J99型35A30型

本文是在欧盟“创新研究与开发业务计划”(编号:CZ.1.05/2.1.00/03.097)的资助下,作为AdMaS“先进材料、结构和技术”区域中心的一项活动而编写的。



(由Andras Ronto传达)


附录

首先,让我们非正式地提及众所周知的“几何物体”的无穷小对称性概念𝓐” 在空间上M(M).这种无穷小的对称性Z轴𝓣(M(M))由Lie导数的属性定义𝓛Z轴“不更改𝓐”. 因此,在这样的向量场Z轴.

这个想法的微小改变提供了Adj-module[7]. 让我们假设,即使所有的李导数𝓛自由贸易区((f)𝓕(M(M)))不要改变𝓐. 然后,几何直觉表明,物体“由Z轴”. 或者说,𝓐 可以用函数来表示(f)𝓕(M(M))“沿轨道保持不变。换句话说,如果Adj𝓐 ⊂ Φ(M(M))是微分生成的子模块数据流然后𝓗(调整𝓐) ⊂ 𝓣(M(M))由向量场生成Z轴.

示例

如果𝓐 ⊂ Φ(M(M))是一个子集微分形式,向量场Z轴𝓗(调整𝓐) 满足𝓛自由贸易区φ= 0 (φ𝓐). 如果𝓐 ⊂ Φ(M(M))是一个子模块,我们需要𝓛自由贸易区𝓐 ⊂ 𝓐. 我们也可以用张量代替微分形式。对于外部系统,调整模块仅描述了经典的柯西特性。

Adj-modules经常出现在早期E.Cartan的文章中,特别是[2], [5]我们还参考了最近的文章[11]以获得其他方法和对古典文学的有用评论。然而,所有这些作者都处理有限维空间M(M).在我们的无限维空间中M(M),由于向量场Z轴不需要生成任何群,因此“不生成”任何轨道。为了获得“𝓐”, 有必要介绍柯西子模𝓒在这种情况下,我们参考以下结果[7:七。6].

提议

Ω ⊂ Φ(M(M))善于过滤Ω*.𝓒(Ω) ⊂ 𝓗(Ω)是所有向量场Z的子模,因此L(左)Z轴k个ΩΩ+c(c)(Z轴)对所有人来说(相当于:对一些人来说)我足够大了.那么有一个基础Ω用函数f表示𝓕(M(M))这样Zf= 0 (Z轴𝓒(Ω)).

或者说,向量场的轨道Z轴𝓒(Ω)存在,可被视为绝对柯西特性不愉快的Ω。这一主张在上述前提下仍然成立[7:八。3]. 这样,唯一确定的基础空间N个平坦子模𝓡⊂Ω没有任何“寄生变量”出现。

工具书类

[1]Bryant,R.-Chern,S.S.-Goldschmidt,H.-Griffiths,P.A.:外部差速器系统.数学。科学。Res.Inst.出版物。,第18号,施普林格-弗拉格出版社,1991年。10.1007/978-1-4613-9714-4在谷歌学者中搜索

[2]Cartan女士:Les Sysémes Differentiels Extérieurs et Leurs Applications计量学《科学与工业现状》,第994号,巴黎:赫尔曼出版社,1971年。在谷歌学者中搜索

[3]Cartan女士:Les sous-groupes des groupes continus de变换,Ann.de l’etc.Norm(《国家标准年鉴》)。(3) ,(法语)25(1908), 57–194.10.24033/箱588在谷歌学者中搜索

[4]Cartan女士:无限群的La结构.数学学院。,ExpoéG,1937年3月1日,再版于Elie Cartan,Oeuvres complétes,第二卷,CNRS版,1984年。10.5802/桶40在谷歌学者中搜索

[5]Cartan女士:Lecons Sur Les不变量国际, 3. 编辑(法语),巴黎:赫尔曼X出版社,1971年。在谷歌学者中搜索

[6]查拉什蒂纳,J.:微分方程应该是什么《微分几何及其应用会议论文集》,第2部分,布尔诺大学,1984年,第41-50页。在谷歌学者中搜索

[7]查拉斯蒂纳,J.:微分方程的形式理论.叶面。科学。自然。马萨里克大学。布伦。数学。,1998年,布尔诺,Masaryk大学,第6名。在谷歌学者中搜索

[8]Chrastinová,V.-Tryhuk,V.:关于微分方程的内部方法1。对合性和标准依据,数学。斯洛伐克语66(2016), 999–1018,10.1515/ms-2015-0198.在谷歌学者中搜索

[9]Krasil’schchik,I.S.-Lychagin,V.V.-Vinogradov,A.M.:射流空间的几何与非线性偏微分方程《当代数学的高级研究》,戈登和布雷奇科学出版社,纽约,1986年。在谷歌学者中搜索

[10]Kumpera,A.:关于不变微分方程的Lie和Cartan理论,J.数学。科学。东京大学6(1999), 229–314.在谷歌学者中搜索

[11]米特罗波尔斯基,Y.A.-普里卡帕茨基,A.E.-萨莫林科,V.G.:可微流形上Grassman代数中理想的可积性及其应用,乌克兰数学。J。36(1984), 365–369.2007年10月10日/BF01066555在谷歌学者中搜索

[12]蒙哥马利,R.:Subriemannian Geometries之旅.数学。调查专题。,第91号,AMS,普罗维登斯,RI,美国。在谷歌学者中搜索

[13]Olver,P.J.:李群在微分方程中的应用.《数学研究生文本》,第107期,施普林格出版社,纽约,1986年。10.1007/978-1-4684-0274-2在谷歌学者中搜索

[14]奥夫桑尼科夫,L.V.:微分方程组分析,阿卡德。纽约出版社,1982年。10.1016/B978-0-12-531680-4.50007-1在谷歌学者中搜索

[15]斯蒂芬妮,H.:微分方程:利用对称性求解剑桥大学出版社,1989年。10.1017/CBO9780511599941在谷歌学者中搜索

[16]Tryhuk,V.-Chrastinová,V.:曲线的自同构,J.非线性数学。物理学。16(2009), 259–281.10.1142/S1402925109000224在谷歌学者中搜索

[17]Tryhuk V.-ChrastinováV.:变分积分的对称约简,数学。Bohemica(出现)。在谷歌学者中搜索

[18]维诺格拉多夫,A.M.:微分方程的范畴及其物理意义摘自:微分几何及其应用会议论文集,第2部分,普金大学,布尔诺,1984年,第289-301页。在谷歌学者中搜索

收到:2014-9-20
认可的:2015年6月3日
在线发布:2017-7-14
印刷出版:2017-8-28

©2017斯洛伐克科学院数学研究所

2024年4月19日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/ms-2017-0029/html
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