搜索整数解决方案
在本文中，所有变量都是正整数。由(x个,年,z（z）)=1我们的意思是x个,年,z（z）是互质整数和2|年.签署人(一,b条)=1我们的意思是一,b条是互质整数和2|b条.
方程式(1)可以写为
X（X）2+Y（Y）2=Z轴k个,(2)
哪里X（X）=x个k个,Y（Y）=年k个,Z轴=z（z）2.
条件
(X（X）,Y（Y）,Z轴) = 1,Z轴是一个奇数正方形，X（X）,Y（Y）是k个-第个大国，k个是一个大于3的素数。请注意(2)可以有整数解，如示例41所示2+ 382= 55。这里的目的是表明(2)不能为以下形式X（X）=单位k个,Y（Y）=V（V）k个,Z轴=z（z）2其中(单位,V（V）,z（z）) = 1. 由于整数解(1)使用Terjanian的结果假设[9]，一个注释2k个|Y（Y）.
研究的整数解(2)在规定的条件下，我们引入了两个方程
X（X）+我Y（Y）=(克+我小时)k个,(3)
X（X）−我Y（Y）=(克−我小时)k个(4)
这样的话(克,小时)=1和2|小时（请参见[1第536页）。发件人(3)我们得到
X（X）+我Y（Y）=(克2+小时2)k个/2[余弦k个H（H）+我罪k个H（H）],
其中棕褐色H（H）=小时/克和0<H（H）<π/2.乘以(3)和(4)，我们得到
(X（X）2+Y（Y）2)=(克2+小时2)k个[余弦2(k个H（H）)+罪2(k个H（H）)].(5)
因此，从(5)我们得到
(X（X）2+Y（Y）2)=(克2+小时2)k个.(6)
比较(2)和(6)，我们得到
z（z）2=克2+小时2.(7)
假设z（z）,克,小时都是大于0的整数，等式(7)表示直角三角形ZGH公司其边和面积为整数，并且z（z）是斜边。因此ZGH公司是有理直角三角形[6]. 等效地(克,小时,z（z）)是毕达哥拉斯三元组。因此，我们得到
X（X）=z（z）k个余弦(k个H（H）),Y（Y）=z（z）k个罪(k个H（H）),
x个=z（z）(余弦k个H（H）)1/k个,(8)
年=z（z）(罪k个H（H）)1/k个,(9)
其中棕褐色H（H）=小时/克和0<H（H）<π/2.替换(8)和(9)在里面(1)和n个=k个，我们得到
x个2k个+年2k个=z（z）2k个[余弦2(k个H（H）)+罪2(k个H（H）)].
自cos以来2(千小时)+罪恶2(千小时)=1，我们得出结论x个和年在中获得(8)和(9)确实是的参数解(1).
发件人(3)我们得到X（X）=真实[(克+国际卫生组织)k个]和Y（Y）=图像[(克+国际卫生组织)k个]. 因此，我们得到
X（X）=∑我=0j个(−1)我k个2我克k个−2我小时2我,Y（Y）=∑我=0j个(−1)我k个2我+1克k个−2我−1小时2我+1,
哪里j个= (k个−1）/2，因此
X（X）=克(克k个−1−C类1克k个−三小时2+C类2克k个−5小时4+⋯+(−1)(k个+三)/2k个小时k个−1),(10)
Y（Y）=（f）小时(小时k个−1−C类1小时k个−三克2+C类2小时k个−5克4+⋯+(−1)(k个+三)/2k个克k个−1),(11)
哪里C类1,C类2，…是整数，每个整数都可以被k个,（f）=+1，如果k个≡1（模态4）。否则，（f）= − 1. 的标志（f）只会影响X（X）和Y（Y）但对的整数解没有影响(1).
方程(10)和(11)被重写为
X（X）=克问,(12)
Y（Y）=小时R（右）,(13)
分别，其中问,R（右）是实整数。自(克,小时)=1和k个|小时，我们得出的结论是(克,问)=1和(小时,R（右）) =k个因此，如果X（X）和Y（Y）是k个-那么，第三方克,问,小时、和R（右）必须采用表单的值
克=单位k个,问=w个k个,小时=k个第页k个−1v（v）k个,R（右）=k个d日k个,
其中(单位,v（v）)=1，和单位,第页,v（v）,d日是大于0的整数，并且w个是一个大于1的整数。发件人(12)和(13)因此，我们获得
棕褐色的k个H（H）=Y（Y）/X（X）=(小时/克)(k个d日k个/w个k个),棕褐色的k个H（H）/棕褐色的H（H）=k个(d日/w个)k个.(14)
不可能(14)将意味着不可能(1).通过膨胀棕褐色千小时以棕褐色计算H（H）（请参见[5，第111页]），我们得到k个(日/周)k个=U/V（U/V）, (单位,V（V）) = 1,单位=克朗k个,V（V）=w个k个,电子=小时2,（f）=克2。因此，我们得到
单位=电子第页+C类第页−1电子第页−1（f）+C类第页−2电子第页−2（f）2+⋯+C类1电子+C类0,(15)
V（V）=（f）第页+D类第页−1（f）第页−1电子+D类第页−2（f）第页−2电子2+⋯+D类1（f）+D类0,(16)
其中系数C类0,C类1, …,C类第页−1和D类0,D类1, …,D类第页−1是非零整数。这足以证明电子不是给定的整数（f）是一个整数。这意味着小时不是给定的整数克是一个整数。根据这个假设，方程式(15)和(16)被转化为
电子第页+E类第页−1电子第页−1+E类第页−2电子第页−2+⋯+E类1电子+(−1)k个(（f）(k个−1)/2+k个d日k个)=0,(17)
（f）第页+F类第页−1（f）第页−1+F类第页−2（f）第页−2+⋯+F类1（f）+(−1)k个(k个电子(k个−1)/2−w个k个)=0(18)
为了证明这两者克和小时不能是整数，这足以证明(17)和(18)不能有整数解。
系数E类第页−1,E类第页−2、…和F类第页−1,F类第页−2，…英寸(17)和(18)都可以被k个.但自从(k个,w个) = 1,k个不可分割(科(k个−1)/2+w个k个). 通过应用爱森斯坦标准[4，第160–161页]，可以看出(17)和(18)不能是整数解决方案的候选项。这证明了这种说法的合理性。
因此，(14)在给定条件下无法满足。因此，这个假设是矛盾的。这证明了所有偶数指数的费马最后定理。
