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得到许可的 未获得许可 需要身份验证 发布人:德古意特出版社 2020年12月16日

基于Carleman估计的反向Cahn–Hilliard方程的条件稳定性

  • 尚云霞 电子邮件徽标 李树民

摘要

我们考虑有界域Ω中的Cahn–Hilliard方程n个在一段时间间隔内(0,T型)并讨论了确定中间数据时的向后问题u个(x个,θ),θ(0,T型),x个Ω根据最终数据的测量u个(x个,T型),x个Ω.在适当的先验有界假设下u个(x个,t吨),我们证明了半线性Cahn–Hilliard方程的条件稳定性估计

u个(,θ)L(左)2(Ω)C类u个(,T型)H(H)2(Ω)κ0,

线性Cahn–Hilliard方程的条件稳定性估计

u个(,θ)H(H)β(Ω)C类u个(,T型)H(H)2(Ω)κ1,

哪里θ(0,T型),β(0,4)κ0,κ1(0,1)证明基于加权函数的Carleman估计e(电子)2e(电子)λt吨具有大参数,λ+.

MSC 2010年:35K25码35公里35兰特35兰特

奖励标识/授予编号:11101391

奖励标识/授予编号:12001374

资金报表:这项工作得到了国家自然科学基金项目11101391的资助,部分获得了国家自然基金项目12001374的资助,以及上海航海计划项目20YF1435300的资助。

线性Cahn–Hilliard方程的估计

引理A.1。

u个=u个(x个,t吨)满足

(A.1){t吨u个+A类(t吨)u个=英寸,u个(,0)=u个0英寸Ω,

和边界条件

(A.2)u个=Δu个=0上的Σ,

哪里A类(t吨)u个由定义(1.3),L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))u个0L(左)2(Ω).假设(1.4)和(1.5)保持。然后存在一个常数K(K)6>0取决于Ω,T型,M(M)0这样,对于0t吨T型,

Ω|u个(x个,t吨)|2𝑑x个+t吨(|u个(x个,τ)|2+|u个(x个,τ)|2+|Δu个(x个,τ)|2)𝑑x个𝑑τ
(A.3)K(K)6(u个0L(左)2(Ω)2+L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2),

哪里t吨=Ω×(0,t吨).

此外,假设u个0=0,我们可以选择一个常量K(K)7>0这样的话

(A.4)0t吨(τu个(,τ)L(左)2(Ω)2+u个(,τ)H(H)4(Ω)2)𝑑τ+u个(,t吨)H(H)2(Ω)2K(K)7L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2,0t吨T型.

证明。

在证明L(左)2-能量估计和应用插值不等式,我们可以得到(答3).

接下来我们证明(A.4款). 根据中的方程式(A.1),我们有

(A.5)t吨(|τu个|2+|A类(τ)u个|2)𝑑x个𝑑τ+2t吨τu个(A类(τ)u个)𝑑x个𝑑τ=t吨||2𝑑x个𝑑τ.

我们设置了

α2t吨τu个(A类(τ)u个)𝑑x个𝑑τ
=2t吨(τu个)(Δ2u个)𝑑x个𝑑τ+2t吨(τu个)u个𝑑x个𝑑τ+2t吨(τu个)(B类u个)𝑑x个𝑑τ-2t吨(τu个)((c(c)u个))𝑑x个𝑑τ
j个=14αj个.

按部件集成,注意u个0=0并在中使用第三个边界条件(A.2款),我们可以估计αj个,j个=1,2.我们估计αj个,j个=,4根据柯西-施瓦兹不等式。它们和(A.5)收益率

t吨(|τu个|2+|A类(τ)u个|2)𝑑x个𝑑τ+Ω|Δu个|2𝑑x个
C类38{Ω(|u个|2+|u个|2)𝑑x个+t吨(|u个|2+|u个|2+|Δu个|2+2)𝑑x个𝑑τ}.

按部件集成并注明(A.2款),我们有(2.16),以便我们能够获得

t吨(|τu个|2+|A类(τ)u个|2+|u个|2+|u个|2+|Δu个|2)𝑑x个𝑑τ+Ω(|u个|2+|u个|2+|Δu个|2)𝑑x个
C类39{Ω|u个|2𝑑x个+t吨(|u个|2+|u个|2+|Δu个|2+2)𝑑x个𝑑τ}
(A.6)C类40L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2.

对于第二个不等式,我们使用(答3)带有u个0=0.

Δ2u个=A类(t吨)u个-u个-B类u个+(c(c)u个),由(答6),我们有

t吨|Δ2u个|2𝑑x个𝑑τC类41t吨(|A类(τ)u个|2+|u个|2+|u个|2+|Δu个|2)𝑑x个𝑑τC类42L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2.

因此,与(3.17),我们有

|α|=4t吨|αu个|2𝑑x个𝑑τC类43t吨(|Δ2u个|2+|Δu个|2+|u个|2)𝑑x个𝑑τ
(A.7)C类44L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2.

通过插值不等式(答6)和(答7),我们有

|β|t吨|βu个|2𝑑x个𝑑τC类45|α|=4t吨|αu个|2𝑑x个𝑑τ+C类45t吨|u个|2𝑑x个𝑑τ
(A.8)C类46L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2.

由(答7)和(答8),我们到达

(A.9)0t吨u个(,τ)H(H)4(Ω)2𝑑τC类47L(左)2(0,T型L(左)2(Ω))2.

签署人(答6)(答9)以及椭圆边值问题弱解的正则性,我们可以得到(A.4款).引理的证明A.1已完成。

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收到:2017-09-10
修订过的:2020-09-06
认可的:2020-10-29
在线发布:2020年12月16日
印刷出版:2021年1月4日

©2021 Walter de Gruyter GmbH,柏林/波士顿

2024年4月19日从下载https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/jiip-2017-0082/html
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