1引言
在这项工作中，我们将关注一类拉格朗日系统解的存在性问题
d日d日t吨∇Φ(u个˙(t吨))+∇u个V（V）(t吨,u个(t吨))=0,林t吨→±∞u个(t吨)=林t吨→±∞u个˙(t吨)=0,
（LS）
哪里t吨∈ℝ,Φ: ℝn个→ [0，∞）是一个G公司-Trudinger意义上的功能，以及V（V）: ℝ × (ℝn个∖{ξ}) → ℝ 是一个C类1-在一点上具有无限深单井的光滑势ξ∈ℝn个{0}和原点处的严格全局最大值0。
我们从以下概念开始G公司-功能。让一个C类1-函数Φ: ℝn个→ ℝ 满足以下条件：
Φ是强制性的，即。
林|x个|→∞Φ(x个)|x个|=∞,
Φ是凸的，即。Φ(斧头+ (1 −一)年) ≤aΦ(x个) + (1 −一)Φ(年)对于每个一∈[0,1]和所有x个,年∈ℝn个,
Φ对称，即。Φ(x个) =Φ(−x个)为所有人x个∈ℝn个,
特别地，Φ是一个G公司-Trudinger意义上的功能（比较[1]). 让我们回顾一下芬切尔变换Φ*的G公司-功能Φ是函数Φ*: ℝn个→ ℝ 由定义
Φ∗(年)=啜饮x个∈对n个(x个,年)−Φ(x个),
其中（●，●）：ℝn个× ℝn个→ ℝ 是标准内部产品ℝn个（参见[2,三]). 众所周知Φ*连续且满足（G1）−（G4）（c.f[4]). 此外，Φ**=Φ（抄送[5]).
通过这篇论文，我们假设Φ和Φ*是全球性的Δ2-正规的[6]，即存在一个常数L（左）>0，以便每个x个∈ℝn个,
Φ(2x个)≤L（左）Φ(x个)≤12Φ(L（左）x个).
(Δ2)
给定一个函数Φ我们定义ϕ: ℝ → ℝ 通过
ϕ(第页)=最小值{Φ(x个)；|x个|=第页}
和ϕ(−第页) =ϕ(第页). 这里的：ℝn个→ [0，∞）是标准范数。让我们回忆一下函数的铭文（f）: ℝn个→ ℝ 是布景吗
计划免疫 （f）={(x个,t吨)∈对n个×对；（f）(x个)≤t吨}
（参见[2]). 我们定义了支持功能φ: ℝ→ℝ对于Φ根据公式：
φ=卷积和多项式相乘 ϕ,
也就是说epiφ=conv（计划免疫）ϕ)显然，
Φ(x个)≥φ(|x个|)对于x个∈对n个.
（1）
可以很容易地进行检查
φ连续且满足（G1）−（G4），即。φ是一个G公司-功能；
φ满足(Δ2)-条件，即。φ和φ*是全球性的Δ2-常规。
我们的意图是将保罗·H·拉比诺维茨的以下结果从[7]拉格朗日系统（LS）.
定理1.1
假设
V（V）: ℝ × (ℝ2∖{ξ}) → ℝ,哪里 ξ∈ℝ2∖ {0},是一个 C类1-平滑电位, 1-周期性输入 t吨∈ℝ和
林x个→ξV（V）(t吨,x个)=−∞
时间变量一致 t吨,
为所有人 t吨∈ℝ，x个∈ℝ2∖ {0},V（V）(t吨,x个) ≤ 0和 V（V）(t吨,x个) = 0若（iff） x个= 0,
有一个负常数 V（V）0 这样所有人 t吨∈ℝ,
林 啜饮|x个|→∞V（V）(t吨,x个)≤V（V）0,
有一个街区𝓝 ⊂ℝ2 奇点的 ξ 和一个函数 单位∈C类1(𝓝 ∖ {ξ}, ℝ)这样的话∣单位(x个)∣ → ∞作为 x个→ξ,以及所有人 x个∈𝓝∖{ξ}和 t吨∈ℝ,
|∇单位(x个)|2≤−V（V）(t吨,x个).
然后是问题
u个¨(t吨)+∇u个V（V）(t吨,u个(t吨))=0,林t吨→±∞u个(t吨)=林t吨→±∞u个˙(t吨)=0
（HS）
至少有两个解决方案 u个±: ℝ → ℝ2∖ {ξ},哪个绕着风转 ξ 在相反的方向.
证明定理1.1英寸[7]具有变化的性质。基本思想是采取与问题相对应的拉格朗日作用（HS），定义在Sobolev空间所有函数的子集上W公司1,2(ℝ，ℝn个)在有限时间忽略奇点，并在绕线数为正的函数子集上最小化此泛函ξ以及具有负旋转的函数子集。
因此，我们需要以下加强定理1.1.
定理1.2
让 Φ: ℝ2→ [0, ∞)满足(G公司1)−(G公司5）和 (Δ2).同时假设 V（V）: ℝ × (ℝ2∖ {ξ}) → ℝ满足(V（V）1)−(V（V）三),而且,
有一个街区𝓝 ⊂ℝ2 点的 ξ 和一个函数 单位∈C类1(𝓝 ∖ {ξ}, ℝ)这样的话∣单位(x个)∣ → ∞作为 x个→ξ,以及所有人 x个∈𝓝∖{ξ}和 t吨∈ℝ,
φ∗(|∇单位(x个)|)≤−V（V）(t吨,x个).
那么至少存在两个经典解 u个±: ℝ → ℝ2∖ {ξ}问题的关键 （LS） 绕来绕去 ξ 在相反的方向.
让我们注意一下，如果我们替换Φ(x个) =
12
∣x个∣2,x个∈ℝ2，到（LS）然后我们得到（HS）。更重要的是Φ(x个) =
1第页
∣x个∣第页,x个∈ℝ2,第页>1，我们有
d日d日t吨∇Φ(u个˙(t吨))=d日d日t吨|u个˙(t吨)|第页−2u个˙(t吨),
即第页-拉普拉斯，和Φ(x个) =χ(∣x个Ş），其中χ: ℝ → ℝ 是所谓的N个-函数（aG公司-具有额外增长条件的单变量函数[8])我们得到一个χ-拉普拉斯人。让我们注意到φ*在这种情况下
(V（V）4′)
是支持函数的芬切尔变换φ对于Φ.因此φ*取决于Φ现在让我们简要讨论一下我们在定理1.2.
条件(V（V）4)由W.B.Gordon于年介绍[9]在文献中，它被称为强力条件或戈登条件。它决定了V（V）(x个) → −∞ 作为x个→ξ并保持，例如，如果α≥2用于V（V）(x个)=−Üx个−ξ∣−α附近的ξGordon的条件排除了引力情况，并揭示了强力系统和引力系统之间的行为。条件
(V（V）4′)
是的扩展(V（V）4)拉格朗日系统（LS）.跟随Gordon，如果V（V）: ℝ × (ℝ2∖ {ξ}) → ℝ 满足
(V（V）4′)
然后是+u个第五章：ℝ × (ℝ2∖ {ξ}) → ℝ2将被称为强大的力量。此外，（LS）据说是一个强大的拉格朗日系统。
(V（V）4′)
意味着系统（LS）不具备Orlicz-Sobolev空间中与φ，输入奇点ξ在有限的时间内。条件(V（V）三)可以用一个较弱的假设来代替，即，
林|x个|→∞|x个|2V（V）(x个)=−∞.
在过去的三十年中，利用变分方法研究拉格朗日系统的同宿解取得了很大进展。关于变分方法的一些基本资料可以在[2,10,11,12,13]. 由于同诊所在时间上是全球性的，所以使用全球性方法来研究它们的存在是很自然的。最小化和极小极大参数都被用来获得同宿解（参见[7,14,15,16,17,18]. 拉格朗日系统的变分公式导致作用泛函。虽然可能有一类自然的曲线或函数可供使用，但并不总是容易选择相关的范数或度量。选择一个好的环境来描述变分问题通常是一个很大的困难。
研究问题的同宿解（LS），英寸第2节将引入一个技术框架，在适当的Sobolev-Orlicz空间中处理相应的动作函数。第3节包含我们主要结果的证明。证明的基本思想定理1.2是找到围绕奇点在相反方向缠绕的动作函数的两个极小值。
2准备工作
从现在开始，我们假设Φ: ℝn个→ [0，∞）满足(G公司1)−(G公司5） 和(Δ2).
让Ω⊂ℝ 成为一个域。跟随Trudinger[1]我们定义空间
L（左）Φ(Ω)=u个:Ω→对n个:u个勒贝格是可测量的吗和∫ΩΦ(u个)d日t吨<∞.
该空间符合卢森堡标准
∥u个∥Φ=inf公司ν>0:∫ΩΦu个νd日t吨≤1
（2）
是巴纳赫空间。自Φ是Δ2-常规，L（左）Φ(Ω)也是一个可分离空间（c.f.Rem.8.22英寸[8]). 此外，L（左）Φ(Ω)是自反的当且仅当(Δ2)满足（c.f.厚度8.20英寸[8]).
设置ψ=φ∘，即。ψ(x个) =φ(∣x个）x个∈ℝn个.由于（1），空间L（左）Φ(Ω)不断嵌入L（左）ψ(Ω)（参考厚度8.12英寸[8]),
L（左）Φ(Ω)⊂L（左）ψ(Ω).
注意‖u个∥ψ= ∥∣u个∣∥φ.
为了简化符号，我们写L（左）Φ而不是L（左）Φ(ℝ). 尽管标准公式（2）取决于域Ω，我们使用相同的符号Φ对于的不同子集ℝ. 从上下文中可以清楚地看到Ω是。
让A类C类本地(ℝ, ℝn个)是上的局部绝对连续函数的空间ℝ 值在中ℝn个最后，让我们E类表示Orlicz-Sobolev空间
E类=u个∈A类C类我o个c（c）(对,对n个):u个˙∈L（左）Φ(对,对n个)
符合规范
∥u个∥=∥u个˙∥Φ+|u个(0)|.
我们注意到，供以后参考E类是可分自反Banach空间（参见[19]).
对于每个吨>我们定义了巴拿赫空间E类T型包括以下限制u个∈E类到间隔[0，T型]用诱导范数，
∥u个∥E类T型=|u个(0)|+∥u个˙∥Φ.
让C类([0,T型], ℝn个)表示从[0，T型]到ℝn个符合标准规范。
2.1号提案
包含图 E类T型→C类([0,T型], ℝn个)是连续的,即有 C类T型> 0这样，对于每个 u个∈E类T型 一个有
最大值t吨∈[0,T型]|u个(t吨)|≤C类T型∥u个∥E类T型.
证明
有一个
|u个(t吨)|=u个(0)+∫0t吨u个˙(秒)d日秒≤|u个(0)|+∫0t吨|u个˙(秒)|d日秒≤|u个(0)|+∫0T型|u个˙(秒)|d日秒≤|u个(0)|+2∥1∥φ∗∥|u个˙|∥φ≤(1+2∥1∥φ∗)|u个(0)|+∥|u个˙|∥φ≤C类T型|u个(0)|+∥u个˙∥Φ=C类T型∥u个∥E类T型.
□
提议2.2
如果序列{u个k个}k个∈ℕ⊂E类T型 弱收敛于 u个0∈E类T型 然后它一致收敛到 u个0 在里面 C类([0,T型], ℝn个).
证明
自{u个k个}k个∈ℕ收敛到u个0中的弱E类T型然后，通过提议2.1，它也收敛到u个0中的弱C类([0,T型]，ℝn个). 此外，‖u个k个∥E类T型≤M（M）对一些人来说M（M）>0和每隔k个∈ℕ.
设0≤秒≤t吨≤T型.然后
|u个k个(t吨)−u个k个(秒)|=∫秒t吨u个˙k个(τ)d日τ≤∫秒t吨|u个˙k个(τ)|d日τ≤2∥1∥φ∗∥|u个˙k个|∥φ≤2∥1∥φ∗∥u个k个∥E类T型≤2M（M）(φ∗)−11t吨−秒−1.
因此{u个k个}k个∈ℕ是一系列等连续函数。根据Arzela-Ascoli定理，每个序列{u个k个我}我∈ℕ包含收敛到特定û在里面C类([0,T型]，ℝn个). 根据弱极限的唯一性，û=u个0，这就完成了证明。□
在以下内容中，Φ: ℝ2→ ℝ 和V（V）: ℝ × (ℝ2∖ {ξ}) →ℝ满足以下假设定理1.2.
对于每个u个∈E类，我们定义了一个函数我通过设置
我(u个)=∫−∞∞Φ(u个˙(t吨))−V（V）(t吨,u个(t吨))d日t吨.
(3)
让
αε=inf公司{−V（V）(t吨,x个):x个∉B类ε(0)},
(4)
其中0<ε≤
12
∣ξ和B类ε（0）表示半径球ε以原点为中心。签署人(V（V）1)−(V（V）三)我们有αε> 0.
引理2.3
假设 u个∈E类 和 u个(t吨) ∉B类ε(0)对于每个 t吨∈ [一,b条].然后,有 C类> 0这样的话
(我(u个)+1)2≥C类⋅我e（电子）n个克t吨小时(u个|[一,b条])≥C类|u个(b条)−u个(一)|.
(5)
证明
有一个
|u个(b条)−u个(一)|=∫一b条u个˙(t吨)d日t吨≤∫一b条|u个˙(t吨)|d日t吨≤2∥|u个˙|∥φ∥1∥φ∗.
最后一个估计来自Orlicz空间中的Hölder不等式（c.f[5]第8.11段）。直接从定义来看
∥1∥φ∗=(φ∗)−11b条−一−1.
设置δ=长度(u个∣[一,b条])和τ=b条−一.然后
∥|u个˙|∥φ≥12δ∥1∥φ∗−1=12δ⋅(φ∗)−11τ.
因此，
我(u个)≥∫一b条Φ(u个˙(t吨))−V（V）(t吨,u个(t吨))d日t吨=∫一b条Φ(u个˙(t吨))d日t吨+∫一b条−V（V）(t吨,u个(t吨))d日t吨≥∫一b条φ(|u个˙(t吨)|)d日t吨+αετ≥∥|u个˙|∥φ−1+αετ≥12δ⋅(φ∗)−11τ−1+αετ.
(6)
因此
我(u个)+1≥12δ⋅(φ∗)−11τ+αετ≥12δτk个⋅(φ∗)−1(k个)+αετ,
其中自然数k个满足τ k个≥1，最后一个不等式来自以下事实(φ*)−1是凹面的。我们选择最小的k个使用该属性τ k个≥ 1. 特别是，我们设置k个=1，如果τ≥ 1. 现在，如果τ≥1，则
（f）(τ)=12δτ⋅(φ∗)−1(1)+αετ
在该点达到最小值
τ最小值=δ⋅(φ∗)−1(1)2αε12,
等于
（f）最小值=(2δαε(φ∗)−1(1))12.
如果τ<1则
12δτk个⋅(φ∗)−1(k个)+αετ≥14δ⋅(φ∗)−1(k个)+αετ≥14δ⋅(φ∗)−1(1).
最后，设置
C类=最小值2αε(φ∗)−1(1),14(φ∗)−1(1).
□
备注2.4
在上述引理中，区间[一,b条]可以替换为不相交区间的有限和.
我们将用表示L（左）∞(ℝ, ℝ2)Lebesgue可测本质有界函数的空间ℝ 到ℝ2符合规范
∥u个∥∞=字母S 啜饮|u个(t吨)|.
推论2.5
如果 u个∈E类 和 我(u个) < ∞然后 u个∈L（左）∞(ℝ, ℝ2).
证明
假设u个∉L（左）∞(ℝ, ℝ2). 那么对于每个n个∈ℕ 存在t吨n个∈ℝ 这样一来u个(t吨n个)∣ >n个因此，由引理2.3我们得到
(我(u个)+1)2≥C类|u个(t吨n个)−u个(t吨1)|≥C类(|u个(t吨n个)|−|u个(t吨1)|)≥C类(n个−|u个(t吨1)|)
对于n个∈ℕ, 与…相反我(u个) < ∞.□
引理2.6
如果 u个∈E类 和 我(u个) < ∞然后
林t吨→±∞
u个(t吨) = 0.
引理2.6类似于[20]和的引理2.4[21]. 尽管对潜力有不同的假设V（V），索赔类似。
证明
让A类(u个)表示一组极限点u个(t吨)，作为t吨→ −∞. 发件人推论2.5我们的结论是A类(u个) ≠ ∅. 假设有ε>0和ρ∈ℝ 如果t吨<ρ然后u个(t吨) ∉B类ε(0). 由(4)我们得到，
我(u个)≥∫−∞ρ−V（V）(t吨,u个(t吨))d日t吨=∞,
矛盾。因此A类(u个)包含0。值得注意的是A类(u个)由一个点组成。如果没有，就有ε>0，这样u个(t吨)相交
∂B类ε2(0)
和∂ B类ε（0）无限多次。让τ0≥0是最小的数字，以便
我(u个)+1≥12ε2⋅(φ∗)−11τ0+αε2τ0.
自lim以来τ→∞(φ*)−1(τ)=∞，一个有τ0> 0. 由备注2.4，我们获得
我(u个)+1≥n个αε2τ0
对于每个n个∈ℕ, 因此我(u个)=∞，矛盾。
以同样的方式，我们可以看到
林t吨→∞
u个(t吨) = 0.□
引理2.7
如果[一,b条]是这样的间隔 u个([一,b条]) ⊂𝓝 ∖ {ξ}那么它能保持
|单位(u个(b条))|−|单位(u个(一))|≤2(我(u个)+1)2.
(7)
证明
我们首先注意到
|单位(u个(b条))|≤|单位(u个(一))|+∫一b条d日d日t吨单位(u个(t吨))d日t吨≤|单位(u个(一))|+∫一b条∇单位(u个(t吨)),u个˙(t吨)d日t吨≤|单位(u个(一))|+∫一b条|∇单位(u个(t吨))||u个˙(t吨)|d日t吨≤|单位(u个(一))|+2∥|∇单位(u个)|∥φ∗∥|u个˙|∥φ
自
∥|∇单位(u个)|∥φ∗≤1+∫一b条φ∗(|∇单位(u个(t吨))|)d日t吨≤1+∫一b条−V（V）(t吨,u个(t吨))d日t吨
和
∥|u个˙|∥φ≤1+∫一b条φ(|u个˙(t吨)|)d日t吨
我们获得
|单位(u个(b条))|≤|单位(u个(一))|+2(我(u个)+1)2.
□
作为以下情况的直接后果(7)一个有那个u个(t吨) ≠ξ对于t吨∈ℝ 前提是我(u个)<∞（c.f[7]，等式（2.21））。事实上，我们获得了以下结果
推论2.8
（抄送[17])如果动作正常 我 在某个集合上有界 W公司⊂E类,说 我(W公司) ⊂[0,β]那么就有了 ρ> 0取决于 β 这样每 u个∈W公司 和 t吨∈ℝ一个有∣u个(t吨) −ξ∣ ≥ρ.
设置
Λ=u个∈E类:林t吨→±∞u个(t吨)=0,u个(对)⊂对2∖{ξ}.
如果我(u个)<∞那么u个∈Λ。因此，u个描述了中的闭合曲线ℝ2∖ {ξ}从0开始到0结束。因此它的同伦类[u个]表示基本组的元素π1(ℝ2∖ {ξ}).
让我们提醒一下u个0,u个1∈Λ同伦当且仅当存在连续映射小时: [0, 1] →Λ这样的话小时(0) =u个0和小时(1) =u个1.转数（或绕组数）腐烂ξ(u个)第页，共页u个围绕ξ在每个连接的组件上是常数Λ并诱导同构腐烂*:π1(ℝ2∖ {ξ}) → ℤ,
第页o个t吨∗([u个])=第页o个t吨ξ(u个).
等效地，Λ是由整数标记的路径连接组件的总和。
类似于[17]可以证明以下结果。
提案2.9
让 W公司⊂Λ 是一个集合，以便 我 限制为 W公司 是有界的.然后就有了 D类∈ℕ这样的话∣腐烂ξ(u个)Ş≤D类 为所有人 u个∈W公司.
让
Λ±={u个∈Λ:±第页o个t吨ξ(u个)>0},
和
λ±=inf公司u个∈Λ±我(u个).
(8)
我们的主要结果是以下情况的直接后果。
定理2.10
如果以下假设定理1.2满足了就存在了 u个±∈Λ± 这样的话 我(u个±) =λ±> 0.此外,u个± 是的经典同宿解 （LS）.
将对“+”情况进行证明。“-”案例的证据类似。我们设置了λ=λ+.让
{u个n个}n个=1∞
是一个最小化序列(8).在不失一般性的情况下，我们假设n个∈ℕ,
λ≤我(u个n个)≤λ+1,
和依据提案2.9，对于一些d日∈ℕ,
第页o个t吨ξ(u个n个)=d日.
自d日>0，有νn个和θn个>1这样u个n个(νn个) =θn个⋅ξ特别是推论2.8
∥u个n个∥∞>|ξ|.
此外，还有σn个,μn个和τn个∈ [σn个,μn个]这样：
u个n个([σn个,μn个]) ⊂
对2∖B类|ξ|2(0),
∣u个n个(σn个)===u个n个(μn个)∣ =
12
∣ξ∣,
因此，通过引理2.3,
(λ+2)2≥(我(u个n个)+1)2≥C类⋅长度 (u个n个|[σn个,μn个])>C类(2∥u个n个∥∞−|ξ|)>C类∥u个n个∥∞,
因此序列{‖u个n个∥∞}n个∈ℕ有界。此外，由于(6)
λ+2≥我(u个n个)+1≥12δ⋅(φ∗)−11τ+αετ
具有δ≥ ∣ξ，有M（M）>米>0，这样米<τ<M（M）特别是，μn个−σn个>米对于每个n个∈ℕ. 因此，λ=inf{我(u个n个) ;n个∈ℕ} ≥αε米>0。发件人(G公司3） 我们获得
∫对Φ(A类⋅ω(t吨))d日t吨≤A类∫对Φ(ω(t吨))d日t吨
对于0≤A类≤1和ω∈L（左）Φ.如果我们允许A类= (λ+1)−1然后
∫对Φ((λ+1)−1u个˙n个(t吨))d日t吨≤(λ+1)−1∫对Φ(u个˙n个(t吨))d日t吨≤(λ+1)−1我(u个n个)≤1,
这意味着‖u̇n个∥Φ≤λ+1.因此，
{u个n个}n个=1∞
以为界E类.
现在，让我们
C类0∞
(ℝ, ℝ2)表示光滑函数的空间ℝ 到ℝ2带有紧凑的支架。
我们说一套Z轴⊂Λ具有扰动特性并写入Z轴∈𝓟 如果每个u个∈Z轴以及每个v（v）∈
C类0∞
(ℝ, ℝ2)存在δ>0，如果秒∈ (−δ,δ)那么u个+sv∈Z轴.
让我们注意一下，如果u个是的最小值我在一个集合上Z轴∈𝓟 然后
d日d日秒我(u个+秒v（v）)|秒=0=0=∫−∞∞((∇Φ(u个˙(t吨)),v（v）˙(t吨))−(∇V（V）(t吨,u个(t吨)),v（v）(t吨)))d日t吨,
因此，u个是的弱解（LS）.与中3.18命题的证明相似的论点[20]说明了这一点u个是的经典解（LS）。最后，使用（LS）, (V（V）1)和(V（V）2)如中所示[18]给予u̇(±∞) = 0.
当然Λ±∈𝓟. 我们希望将其最小化我结束Λ+和Λ−给出了两种解决方案。
让
L（左）我o个c（c）∞
(ℝ, ℝ2)是勒贝格可测函数的空间ℝ 到ℝ2基本上有界于ℝ.
自E类是自反的，序列
{u个n个}n个=1∞
沿子序列收敛到问∈E类中的弱E类和，通过提议2.2，强烈处于
L（左）我o个c（c）∞
(ℝ, ℝ2). 根据Fatou引理我(问) ≤λ.因此问∈Λ最后，我们应用以下版本的阴影链引理
引理3.1
让 Z轴∈𝓟是一个任意集，其所有元素都具有相同的旋转数 d日∈ℤ.设置
z（z）=inf公司{我(q个):q个∈Z轴}.
在以下条件下厚度1.2,存在有限个同宿解:问1,问2, …,问我∈Λ 属于 （LS） 这样的话
z（z）=我(问1)+我(问2)+…+我(问我)
和
d日=第页o个t吨ξ(问1)+第页o个t吨ξ(问2)+…+第页o个t吨ξ(问我).
该证明类似于中引理3.2的证明[17].
自d日>0至少有一个问我具有腐烂ξ(问我) > 0. 事实上，这个非同寻常的解决方案是独一无二的。如果问j个是另一个重要的解决方案我(问j个) > 0. 因此我(问我) <λ，这是一个矛盾。
