一类概率密度估计可以通过一个依赖于密度对数粗糙度的函数来惩罚似然来获得。随着平滑量的增加，估计值的极限情况具有自然形式，这使得该方法对数据分析具有吸引力，并为粗糙度惩罚的特定选择提供了理论依据。证明了这些估计是一个无约束凸优化问题的解，并给出了它们存在的温和自然条件。给出了渐近正态和高斯过程逼近的各种范数和条件的一致性率，从而在最大惩罚似然密度估计理论中开辟了新的天地。