本文证明了随机变量依赖于参数（别名被积函数）的Birkhoff遍历定理（BET）的一个新版本。这涉及到变分收敛，即表观收敛、表观收敛和一致收敛，并且需要被积函数的条件期望的适当定义。我们还必须建立关于不变子集的$\sigma$-域的表观下限和上限的可测性。从主要结果出发，简要推导了BET对随机集序列的一致版本和估计量的强相合性的应用。