On mean estimation for heteroscedastic random variables

Luc Devroye; Silvio Lattanzi; Gábor Lugosi; Nikita Zhivotovskiy

doi:10.1214/21-AIHP1239

摘要

我们研究共同平均值的估计问题μ属于n个具有不同和未知标准差的独立对称随机变量 ${\sigma _{1}}\le {\sigma _{2}}\le \cdots \le {\sigma _{n}}$ 我们证明，在对分布进行一些温和的正则性假设下，存在一个自适应估计量 $\widehat{\mu }$ 这样，它对样本元素的排列是不变量，并且满足以下条件，即高概率的对数因子，

$|\widehat{\mu }-\mu |\lesssim \min {{\sigma _{{m^{\ast }}}},\frac{\sqrt{n}}{{\textstyle\sum _{i=\sqrt{n}}^{n}}{\sigma _{i}^{-1}}}}\hspace{2.5pt},$

其中索引 ${m^{\ast }}\lesssim \sqrt{n}$ 满足 ${m^{\ast }}\approx \sqrt{{\sigma _{{m^{\ast }}}}{\textstyle\sum _{i={m^{\ast }}}^{n}}{\sigma _{i}^{-1}}}$ .

对莫扬社区估计问题的新研究μ判定元件n个变量aléatoires symétriques indépendantes avec desécarts类型differents et inconus ${\sigma _{1}}\le {\sigma _{2}}\le \cdots \le {\sigma _{n}}$ .Nous montrons que，sous faibles hythohèses de régularitésur la distribution，il existe un estimate eur adaptatif（努斯·蒙特龙斯克） $\widehat{\mu }$ 不变量par relaport aux permutations desélém ents de l’echantillon qui satisfaitáfacteurs对数près et avecune grand概率

$|\widehat{\mu }-\mu |\lesssim \min {{\sigma _{{m^{\ast }}}},\frac{\sqrt{n}}{{\textstyle\sum _{i=\sqrt{n}}^{n}}{\sigma _{i}^{-1}}}}\hspace{2.5pt},$

标记 ${m^{\ast }}\lesssim \sqrt{n}$ 满意 ${m^{\ast }}\approx \sqrt{{\sigma _{{m^{\ast }}}}{\textstyle\sum _{i={m^{\ast }}}^{n}}{\sigma _{i}^{-1}}}$ .

资金筹措表

Luc Devroye得到了NSERC发现拨款和FRQNT团队研究拨款的支持。Gábor Lugosi得到了西班牙经济与竞争力部、Grant PGC2018-101643-B-I00和欧盟FEDER的支持，并获得了“谷歌聚焦的AI奖励算法和学习”的支持。Nikita Zhivotovskiy部分由ETH数据科学基金会（ETH-FDS）资助。

致谢

作者感谢匿名审稿人和副主编的评论，他们的评论改善了论文的呈现。

引用

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吕克·德夫罗伊。西尔维奥·拉坦齐。加博尔·卢戈西。尼基塔·日沃托夫斯基。 “关于异方差随机变量的均值估计。” Ann.Inst.H.PoincaréProbab公司。统计师。 59 (1) 1 - 20, 2023年2月。 https://doi.org/10.1214/21-AIHP1239

问询处

收到日期：2020年10月28日;修订日期：2021年6月4日;接受日期：2021年12月17日;发布日期：2023年2月

欧几里德项目首次推出：2023年1月16日

数学科学网：MR4533719型

zbMATH公司：07657641

数字对象标识符：10.1214/21-AIHP1239

学科：

主要用户：62层25,62G30型

次要：62层35

关键词：适应性,异方差观察,平均值估计,订单统计,稳健性

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