给定${\mathbb{R}}$上从原点开始的超临界分支随机游动，让$M_{n}$是第$n$th代个体的最大位置。在一些温和的条件下，它在(安·普罗巴伯。 41（2013）1362–1426），即$n\rightarrow\infty$，$M_{n} -x^{*}n+frac{3}{2\theta^{*}}logn$对一些合适的常数$x^{*{$和$\theta^{}$收敛。在这项工作中，我们研究了它的适度偏差，换句话说，任何正序列$（ell{n}）$的起始{方程*}\mathbb{P}\biggl（M_{n}\leqx^{*}n-\frac{3}{2\theta^{}}\logn-\ell{n{}\bigr）、结束{方程}的收敛速度，使得$ell{nneneneep=O（n）$和$ell{n}\uparrow\infty$。作为副产品，我们获得了$M_{n}$的较低偏差；即，在Böttcher情况下，$x<x^{*}$的$\mathbb{P}（M_{n}\leq-xn）$的收敛速度，其中子数至少为2。我们还应用我们的技巧研究了所谓导数鞅极限的小球概率。我们的结果完成了(亨利·彭加雷·普罗巴布（Henri PoincaréProbab）安·Inst。斯达。 52（2016年）233-260）和(电子。Commun公司。普罗巴伯。 23(2018) 1–12).

埃坦·多恩·尤内·马歇·阿莱亚托伊·布兰坎特（Etant donée une marche aléatoire branchante surcrities sur${mathbb{R}}$）《原始问题》，注$M_{n}$la个人头寸最大值。可培养条件之源(安·普罗巴伯。 41（2013）1362–1426）que lorsque$n\rightarrow\infty$，$M_{n} -x个^{*}n+frac{3}{2\theta^{*}}\log n$converness en loi pour certaines constantes appropries$x^{*{$et$\theta^{**}$。Dans cet文章，nous designations la déviation modérée，autrement dit，les taux de convergence de \begin{equation*}\mathbb{P}\biggl（M_{n}\leqx^{*}n-\frac{3}{2\theta^{*{}}\log n-\ell{n}\biggr{n}\uparrow\infty$。特别是，获得的信息为$M_{n}$；c’est-á-dire，le taux de convergence de$\mathbb{P}（M_{n}\leq-xn）$avec$x<x^{*}$dans le cas Böttcher ole nombre d'enfants est au-moins deux。新的应用程序和技术。圣母玛利亚苏丹教堂（Notre résultats compleètent ceux dans）(亨利·彭加雷·普罗巴布（Henri PoincaréProbab）安·Inst。斯达。 52（2016）233-260）等(电子。Commun公司。普罗巴伯。 23(2018) 1–12).