给定可测空间$S$上定义的两个概率测度$\mathbb{P}$和$\mathbb{Q}$，积分概率度量（IPM）定义为$$\gamma_{\mathcal{F}}（\mathbb{P}，\mathbb2{Q}）=\sup\left\{left\vert\int_{S} （f）\，d\mathbb{P}（P）-\整数_{S} 如果\，d\mathbb{Q}\right\vert\，：\，f\in\mathcal{f}\right，$$其中$\mathcal{f}$是$S$上的一类实值有界可测函数。通过适当选择$\mathcal{F}$，$\mathbb{P}$和$\mathbb{Q}$之间的各种常见距离，包括Kantorovich度量、Fortet-Mourier度量、双边界Lipschitz距离（也称为Dudley度量）、总变差距离，以及内核距离，可以获得。

在本文中，我们考虑了从$\mathbb｛P｝$和$\mathbb｛Q｝$中i.i.d.抽取的有限随机样本估计$\mamma_｛\mathcal｛F｝｝$的问题。虽然上述距离不能以封闭形式计算每个$\mathbb{P}$和$\mathbb{Q}$的距离，但我们证明了它们的经验估计易于计算，并且强一致（总变差距离除外）。我们进一步分析了它们的收敛速度。基于这些结果，我们讨论了$\mathcal{F}$（以及相应的IPM）的某些选择相对于其他选择的优势，特别是内核距离与其他提到的距离相比，具有三个有利的性质：它在计算上更便宜，经验估计以更快的速度收敛于总体值，并且收敛速度与空间的维数$d$无关（对于$S=\mathbb｛R｝^｛d｝$）。我们还通过将IPM及其经验估计值与二元分类问题联系起来，对其进行了新的解释：虽然类间条件分布的IPM是与二元分类器相关的最佳风险的负值，适当的二元分类器（例如，支持向量机、Lipschitz分类器等）的平滑度与这些类条件分布之间IPM的经验估计值成反比。