设$\｛X，X_｛i｝，i\geq 1\｝$是一个独立且同分布的正随机变量序列，其中$E（X）=\mu>0$，$\operatorname｛Var｝（X）<\infty$。放入$S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X（X）_{i} $并设$g（x）$是一个定义在满足一些温和条件的$（0，+\infty）$上的正可微函数。我们证明，对于任何$s>1$，\[lim_{\varepsilon\rightarrow0}\varepsilon^{1/s}\sum_{n=1}^{\infty}g'（n）P\Biggl\{\Biggl |\log\Biggl（\prod_{j=1}^}n}\frac{s_{j}}{j\mu}\Biggr）\Biggr|\geq\varepsi lon\sqrt{n} 克^{s} （n）\Biggr \}=E|n|^{1/s}，其中$n$是标准正态随机变量。这一结果也推广到了U统计量的乘积。