给定非负随机变量序列$T=（T_{i}）{i\geq1}$，正半线上的函数$f$可以转换为$\mathbb{E}\prod_{i\gerq1}f（tT_{i{）$。我们在递减函数类中研究了这种变换的不动点。通过利用与一般分支过程的密切关系，在没有早期研究中出现的矩条件的情况下，建立了解集的完整描述。由于所考虑的函数类包含$[0，\infty）$上概率分布的所有拉普拉斯变换，因此结果提供了光滑变换的不动点方程$X\stackrel{d}{=}\sum{i\geq1}T的解集的完整描述_{i} X（X）_{i} $，其中$\stackrel{d}{=}$表示相应定律的相等性，而$X_{1}、X_{2}、\ldots$是独立于$T$的$X$的身份证副本序列。此外，由于还覆盖了左连续生存函数，因此结果也适用于不动点方程$X\stackrel{d}{=}\inf\{X{i}/T{i} : i\geq1，T_{i}>0\}$。此外，我们在平滑变换的背景下研究了内生性现象，从而解决了Aldous和Bandyopadhyay提出的一个公开问题。