我们研究多元密度的估计第页表单的第页(x个)=小时(克(x个))的x个∈ℝ^d日对于固定单调函数小时和一个未知凸函数克。典型示例是小时(年)=e（电子）^−年对于年∈ℝ;; 在这种情况下，由此产生的密度类$$\mathcal｛P｝（e^｛-y｝）=\｛P=\exp（-g）:g\mbox｛是凸的｝\｝$$被称为对数曲线密度。其他功能小时考虑到密度等级的尾部比对数曲线等级重。

我们首先研究最大似然估计量p̂类$\mathcal{P}（h）$存在单调变换的各种选择小时，包括减少和增加功能小时.用于增加转换的结果模型小时扩展的类对数-凸性之前在计量经济学文献中研究的密度，对应于小时(年)=经验(年).

然后，我们建立了相当一般函数的最大似然估计的一致性小时，包括log-concave类$\mathcal{P}（e^{-y}）$和许多其他类。在最后一节中，我们提供了估计的渐近极小极大下界第页及其在不动点上的导数向量x个₀在自然光滑假设下小时和克证明在很大程度上依赖于凸分析的结果。