pTAS分布及其在风险管理中的应用

摘要

积极向上的家庭α-稳定（pTAS）或有时也回火为单侧α-稳定分布可追溯到Tweedie（1984）和Hougaard（1986），他们在异质种群生命表方法的脆弱性分布背景下讨论了稳定分布。pTAS系列概括了众所周知的伽马分布，并根据参数允许较重的尾部α由于这一特性，pTAS分布在风险管理方面似乎很有用。在此背景下，他的工作有三个贡献：首先，我们总结了pTAS家族的特性。其次，我们描述了它的数值实现，并通过附录中的R示例说明了其功能。第三，我们实证证明，这个家族可以成功地应用于风险管理。具体地，给出了信用和操作风险的应用。

pTAS家族的推导和性质

1.1 pTAS家族的演变

（非退化）随机变量的分布X（X）如果存在常量，则称为稳定一 _n个 >0和b条 _n个 这样，对于任何n个>1，如果X（X） ₁,X（X） ₂，…是的身份验证副本X（X）和\（S_{n}\equiv\sum_{i=1}^{n} X（X）_{i} \），然后\（S_{n}\覆盖{d}{=}a_{n} X（X）+b{n}.\）如果满足以下条件，则称该分布为严格稳定b条 _n个 =0.归一化常数的形式必须是一 _n个 =n个 ^1/α对一些人来说α∈（0,2]，其中α称为分布的指数或特征指数。我们也这么说X（X）是α-如果指数稳定，则为稳定α和特征函数

$$\varphi（t；\alpha，\beta，\gamma，\delta）=\left（-\gamma^｛\alpha｝|t|^｛\alpha｝（1-i\beta\tan（\pi\alpha/2）\text｛sgn｝（t））+i\delta t\right），&&quad\alpha\neq1\\\exp\left（-\gamma|t|（1-i\beta\frac｛2｝｛\pi｝\log（t）\text｛sgn｝（t））+i\delta t\右），&&quad\alpha=1\end｛array｝\右$$

哪里β∈[−1,1]（偏度参数），\（\delta\in\mathbb{R}\）（位置参数）和γ>0（刻度参数），简要说明X（X）∼S公司 _α (β,γ,δ). 福顿，重点是积极的或片面的α-稳定（pAS）变量，即。X（X）>0 a.s.，对应于这些情况（参数集），其中0<α<1,β=1和δ≥0.在这种情况下，对于δ=0，拉普拉斯变换对所有秒>0和由给出（参见，例如。诺兰（2003）或Janson(2011，定理3.12））

$$\数学{左}_{\text{pAS}}（s；\alpha，\gamma）=\mathbb{E}\left（E^{-sX}\right）=\exp\left$$

(1.1)

积极或片面的缓和α-稳定分布起源于特威迪（1984）和霍加德（1986）.回火过程（也指指数倾斜或Esscher变换，埃舍尔（1932）)缩短稳定分布的右尾，以便与稳定情况相比，存在所有阶的矩。从技术上讲，一种新的适当密度克由定义

$$g_{Y}（Y；\alpha，\gamma，\theta）：=f_{\text{pAS}}（Y；\alfa，\gamma）\frac{\exp（-\theta Y）}{\mathcal{左}_{\text{pAS}}（\theta；\alpha，\gamma）}，\quad\theta\geq0$$

(1.2)

相应随机变量的分布Y（Y）被称为积极锻炼α-稳定（pTAS）分布。使用(1.1), (1.2)，其拉普拉斯变换推导为

$$\马塔尔{左}_{Y} （s）=\exp\left（-\frac{\gamma^{\alpha}}{\cos\left（\pi\alpha/2\right）}\ left（（\theta+s）^{\阿尔pha}-\theta^{\alpha}\right（右））$$

(1.3)

1.2 pTAS分布的性质和一些备注

霍加德（1986）)证明了如果θ>0。特别是，使用(1.3),

$$\开始{array}{*{20} 我}\mu=\mathbb{E}（Y）=\frac{\alpha\xi}{\theta^{1-\alpha}}\text{和}~\sigma^{2}=\text{Var}（Y）=\frac{\alpha（1-\alfa）\xi}{\theta^{2-\alpha{}}，\end{array}$$

哪里ν=σ/μ表示变异系数。此外，斜度和峰度，由第三和第四标准矩定义为

$$\mathbb｛S｝（Y）=\frac｛\nu（2-\alpha）｝｛1-\alpha｝\fquad\text｛and｝\fquad\mathbb｛K｝（Y）=\frac｛\nu ^｛2｝（2-\alpha）（3-\alpha）｝｛（1-\alpha）^｛2｝｝+3$$

(1.4)

在相关文献中，出现了不同的参数化，总结见表1，如下所示。

表1不同参数：\（\mathcal{P}（K）\leftrightarrows\mathcal}（T）\）具有β=α,α=θ ^α·δ/(1−α),λ=(1−α)/δ.\（\mathcal{P}（H）\leftrightarrows\mathcal}P}使用\（δ=\mu\left（\frac{1-\alpha}{\mu\nu^{2}}\right）^{1-\alpha}\）,\（\gamma=\left[\frac{\mu\cos（\pi\alpha/2）}{\alpha}\right]^{\frac}{\alpha}}\left[\frac[1-\alpha}{\mu\nu^{2}}\right]^{\ frac{1-\ alpha}{\阿尔pha}}\）和\（θ=\frac{1-\alpha}{\mu\nu^{2}}\）

图1说明了可通过pTAS分布（灰色阴影区）建模的偏度和峰度的可能组合。可以看出，可能组合的区域由下面的伽马分布限定，而对数正态分布的可能组合由pTAS族覆盖。因此，我们认为，只要假设数据一般遵循对数正态分布，pTAS分布就可以作为一个很好的替代方案，但尾部行为需要更大的灵活性。出于比较原因，我们还描述了运营风险模型中常用的威布尔分布（参见第节3.2).

图1

pTAS族、Weibull和对数正态分布的偏峰度图

霍加德（1986）)表明所有pTAS密度均为单峰，并证明了以下标度特性：\（cX\sim\mathcal{P}（\alpha，c^{alpha}\delta，\theta/c）\）什么时候\（X\sim\mathcal{P}（\alpha，\delta，\theta））此外，pTAS家族是自我组合的（即如果X（X）遵循pTAS分布，然后针对每个λ∈（0,1）存在随机变量Y（Y）独立于X（X）这样（）=(λ+))和无限可分（即对所有n个∈N个存在iid随机变量序列\（\左（X_{j}^{1/n}\右）_{j=1}^{n}\）这样的话\（X\stackrel{d}{=}X_{1}^{1/n}+\ldots+X_{n}^{1/n}\）在这种情况下，特征函数读取

$$\varphi_{X}（u）=\mathbb{E}（E^{iuX}）=\exp\left（i\gamma u-0.5\sigma^{2} u个^{2} +\int_{-\infty}^{\infty}\左（e^{iux}-1-iux1_{|x|<1}\右）（dx）\右）$$

哪里γ∈R（右）,σ≥0且ν表示Lévy度量。三胞胎(γ,σ ²,ν)被称为Lévy三胞胎。如果Lévy措施ν(d日 x个)具有密度k个(x个)，则此密度称为Lévy密度。巴恩多夫·尼尔森和谢泼德（2001）)讨论pTAS分布的Lévy密度。经过适当的重新参数化后，可以获得

$$k（x）=\压裂{\gamma 2^{\alpha}\alpha\exp（-\theta x）}{\gamma（1-\alpha）x^{-（1+\alpha）}}，\四元x>0$$

用于0<α<1,θ>0,γ>0.根据引理4Küchler和Tappe（2011年)它还认为

$$\varphi_{X}（u）=\exp\left（\alpha\Gamma（-\beta）\left[（\lambda-iu）^{\beta}-\lambda ^{beta}\right]\right）$$

在三种特殊情况下，pTAS密度减小为简单的闭合形式。首先，让\（\alpha\rightarrow 0\），带刻度的伽马分布\（\alpha_{\Gamma}=\frac{\theta^{\alpha}\delta}{1-\alpha{\），形状\（β{\Gamma}=\frac{1-\alpha}{\theta}\）已恢复。其次，设置α=1/2，逆高斯分布\（lambda{IG}=frac{delta^{2}\theta^{2\alpha-1}}{（1-\alpha）}\）出现。最后，当α=1/3，其中概率密度函数（pdf）可以用闭合形式表示：

$$f_{\alpha=1/3}（y；\delta，\theta）=\frac{\sqrt{3}}{\pi}\left（\frac}\delta}{y}\right）^{1.5}克_{1/3}\左（2\sqrt{\delta^{3} 年^{-1}}）\exp（3\δ\θ^{1/3}-\θy\右）$$

哪里K（K） _λ (x个)表示带指数的第三类修正贝塞尔函数λ.

特殊情况以及一些密度函数的进一步值α如图所示。2.

图2

不同值的pTAS分布密度α以及逆高斯的特殊情况(α=0.5）和伽玛分布(\（\alpha\rightarrow 0\）)

pTAS系列可被视为广义逆高斯（GIG）系列的替代品（参见Koudou和Ley（2014）对于这个家族的回顾），它本身是由指数倾斜的逆高斯（IG）分布产生的。巴恩多夫·尼尔森和谢泼德（2001）)引入四参数，即所谓的修正稳定（MS）分布，该分布嵌套了GIG族和pTAS族（设置κ=0.5和ν=−κ（以符号表示），其中ν表示第四个（附加）参数。

实施问题

本章描述了可用于pTAS随机变量的标准函数（例如密度和分布函数、随机数生成和分位数函数）的数值算法。算法的描述独立于特定的编程语言。然而，我们在附录中给出了如何使用pTAS R包的一些示例，其中包含所描述的函数4R包尚未发布，但可以通过请求从作者处获得。

2.1密度和分布函数

由于pTAS族的pdf和累积分布函数（cdf）通常不可用闭合形式，而只能通过拉普拉斯变换，因此我们必须使用数值反演技术来计算密度或分布函数的值。因此，我们遵循以下给出的一般方法Abate等人（2000年），将在本节中简要介绍。有关更多详细信息，请参阅上述文献。

从Bromwich积分开始，pdf的值（f）在t吨>可以从拉普拉斯变换中恢复0\（\hat{f}:=\mathcal{L}（f）\）通过¹

$$f（t）=\frac{1}{2\pii}\int\limits_{b-i\infty}^{b+i\inffy}e^{st}\hat{f}（s）~\mathrm{d} 秒~=~\frac{2e^{bt}}{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\text{Re}\left（\hat{f}（b+iu）\right）\cos（ut）\，\mathrm{d} 单位, $$

(2.1)

哪里\（i=\sqrt{-1}\）和b条是一个实数，大于的所有奇点\（{f}\）第二个转换是通过改变变量实现的。

近似积分(2.1)按阶梯尺寸的梯形规则小时>0，我们得到

$$f（t）\approx\ frac{he^{bt}}{\pi}\left（\hat{f}（b）+2\sum\limits_{k=1}^{\infty}\text{Re}\left[（hat{f2}（b+ikh）\right）\cos（kht）\right]）$$

(2.2)

该方程产生了三种误差，即步长引起的离散化误差小时、截断误差和舍入误差，因为通过计算级数进行的数值运算。

通过解释可以减少离散化误差(2.1)作为函数的傅里叶级数克(t吨):=e（电子） ^−b条t吨 （f）(t吨)其中，级数本身的系数可以通过拉普拉斯变换的值来表示。然后可以通过增加比率来减少误差b条/小时。可通过选择来控制舍入误差\（h=\frac{\pi}{lt}\）和\（b=\压裂{A}{2lt}\）对一些人来说\（l\in\mathbb{N}>0\）和\（A=\压裂{2l}{2l+1}m\ln 10\），依次为米>应选择0，以便10^−米接近机器精度。为了改善截断误差，可以应用所谓的欧拉求和技术，这给了我们另一个参数\（n\in\mathbb{n}\）确定总和（完全）考虑的系数的数量。类似于Abate等人（2000年）我们建议使用以下默认值：我=1,n个=38和米=11.

最后，通过

$$f（t）\approx\frac{\exp\left（\frac}A}{2l}\right）}{2lt}\sum\limits_{k=1}^{m}\binom{m}{k} 2个^{-m}S_{n+k}$$

(2.3)

具有

$$\开始｛数组｝{*{20} 我}S_{0}&=\hat{f}\left（\frac{A}{2lt}\right）+2\sum\limits_{j=1}^{l}\text{Re}\left[\hat}\f}\ left（\frac{A}{2lt{+\frac{ij\pi}{lt}\reght）\exp\left+（-1）^{k} 2个\sum\limits_{j=1}^{l}\text{Re}\left[\hat{f}\left（\frac{A}{2lt}+\frac}ij\pi}{lt}+\frac{ik\pi}}{t}\right）\exp\left{无}_{>0}. \结束{数组}$$

(2.4)

使用拉普拉斯变换和部分积分的定义，很容易看出\（F（t）=\int_{0}^{\infty}F（t）\，\mathrm{d} t吨\)

$$\hat{F}（s）：=\mathcal{L}（F）=\mathcal{Lneneneep（F）/s$$

(2.5)

因此，只需稍作修改，就可以使用与近似pdf相同的方法来近似pTAS分布的cdf。

2.2分位数和随机数

计算给定级别的分位数第页∈(0,1),Ridout（2008）提出了一种改进的牛顿法来反演cdf。因为，特别是在分布的上尾部和下尾部，pdf可能接近于零，这可能导致在给定间隔之外的迭代步骤\（[t{\最小}，t{\最大}]\）在这种情况下，牛顿步长被二分法取代。

给定公差ε>0，最大迭代次数\（N_{max}\in\mathbb{N}\）和一个封闭区间\（[t{\最小}，t{\最大}]\）这样的话\（存在于\[t_{\min}，t_{\max}]：\，\left|F（t）-p\right|\leq\epsilon\）可以使用以下算法计算第页-pTAS分布的分位数：

为了确定上下界的初始值，我们建议为t吨和F类(t吨)在网格上t吨 _{我=1，…，N个} 取决于平均值和标准偏差。使用预先计算的值\（t_｛\min｝\）和\（t_{\最大}\）提高了性能，特别是在应该经常执行分位数转换时。

如果针对不同的概率同时计算多个分位数第页 _{米=1，…，M（M）} ，概率应在转换之前按升序排序。假设第页 ₁≤…≤第页 _M（M） 我们可以对第一个元素应用算法1第页 ₁并使用结果值t吨 ₁=F类 ⁻¹(第页 ₁)作为下一个元素的起点（也作为下限）第页 ₂.

对于随机数的生成，基于排序均匀图的算法2可以很容易地应用逆概率积分变换方法。

2.3估算参数

给定一系列N个积极的观察结果x个 ₁,…,x个 _N个 pTAS分布可以通过各种方法拟合。首先，可以使用数值最大似然估计（MLE）。在软件包中（见附录A），我们使用mle（）R包的功能统计4它反过来使用optim（）R的优化器，以便执行最大似然估计。特别是对于观察t吨 ₁,…,t吨 _N个 参数取决于

$$\左（\alpha^{*}，\mu^{*{，\sigma^{*neneneep \right）=\text{参数}_{α，\mu，\sigma}，-\sum_{n=1}^{n}\log，f_{（\alpha，\ mu，\ sigma）}\left（t_{n}\right）$$

而对于pdf的计算（f） _(α,μ,σ)(t吨)使用2.1中描述的算法。作为起始值，我们使用经验平均值和方差以及0.5的值α为了确保参数保持在其特定范围内，我们使用带方框约束的L-BFGS-B方法。或者，可以根据平均值和方差估计分布参数，这决定了参数μ和ν关于\（\mathcal{P}（P）_{P} \）参数化和偏度、峰度或分位数来估计参数α.给定偏度或峰度值（除平均值和方差外），参数α可以使用公式(1.4). 请注意，pTAS分布的最小偏度等于2ν请注意，如果α应根据给定的峰度值进行估计，解决方案可能不是唯一的（参见公式。1.4).

如果α应该基于给定的分位数进行估计t吨 ^∗概率第页 ^∗因此，我们建议从网格开始α _{我=1，…，N个−1}（例如。\（\alpha_{i}=\frac{i}{N}\）对于我=1，…，N个某些情况下为-1\（n\in\mathbb{n}\）)并计算分位数\（t_{i}=F_{mathcal{P}（P）_{P} （\alpha_{i}，\mu，\nu）}^{-1}（P^{*}）为了确定可能解的数量以及每个解的上下限。给定每个可能解的上下限，可以应用标准的求根方法（例如二分法）。为了选择适当的值N个，我们建议首先借助图中给出的绘图将问题可视化。3，其中显示了一个包含以下两种可能解决方案的示例α在这种情况下，我们修复了参数μ和ν基于均值和方差，并希望找到解决方案α这样的话\（F_{mathcal{P}（P）_{P} （α，μ，nu）}（14.36）=0.999\）如图所示。3显示，我们得到了两个解决方案α ₁=0.5和α ₂=0.98.

图3

99.9%分位数取决于参数α(μ=1和ν=1.5为固定值）

在没有唯一解决方案的情况下，产生的参数可能会导致非常不同的分布（例如具有不同的尾部），在风险管理的背景下，这些分布可能会导致不同的风险数字。因此，我们建议根据建议的应用领域选择估算方法，并比较不同方法之间的估算结果（如果它们不是唯一的）。否则，使用不适当的参数估计可能会导致模型风险增加。

应用于风险管理

在展示了如何实现pTAS分布和估计参数之后，我们提供了pTAS家族的两个广泛的风险管理应用。

3.1信用风险

我们的第一个应用程序处理信用风险的量化。给定特定的信贷组合N个交易对手，金融机构使用信贷组合模型来估计由于交易对手违约而在固定时间范围（通常是一年）内组合损失的分布²对于每个交易对手，我们表示EAD违约时的风险敞口 _我 >0，给定违约的损失（作为EAD的一部分 _我 )由LGD提供 _我 ∈[0,1]和违约概率 _我 ∈（0,1）。投资组合损失L（左）然后读取为

$$L=\sum\limits_{i=1}^{N}\text{EAD}（欧洲宇航防务集团）_{i} \cdot\text{LGD}（LGD）_{i} \cdot D_{i}$$

哪里D类 _我 是概率为PD的伯努利分布随机数 _我 表示默认值(D类 _我 =1）或交易对手的存续我.

鉴于这些特定于交易对手的信息，信贷组合模型的关键任务是对PD的变化进行建模 _我 通过考虑国家或业务依赖性以及特殊变化造成的系统影响，在指定的时间范围内。例如，我们使用CreditRisk⁺模型，可通过GCPM公司CRAN上的R包。我们简要介绍了这些模型部件，这是本例所必需的。有关详细信息，请参阅瑞士信贷第一波士顿国际（1997)或Gundlach和Lehrbass（2004）.

在CreditRisk内⁺对交易对手可能发生的变化进行建模我的PD由条件建模\（上一行{\text{PD}}_{i}\），由给出

$$\上划线{\text{PD}}_{i}=\text{PD}_{i} \左（w_{i，0}+\sum\limits_{k=1}^{K} w个_｛i，k｝S_{k} \右）$$

哪里w个 _我,k个 ∈[0,1]表示一个或多个K（K）行业（企业-国家组合）。相反，\（w{i，0}=1-\和{k=1}^{K} w个_{i，k}\geq 0\）表示特性组件。变量S公司 _k个 >0（所谓部门变量）代表部门的经济状况k个=1，…，K（K）经济繁荣与价值观有关S公司 _k个 <1，得出的条件PD低于无条件PD（即。\（上一行{\text{PD}}_{i}<\text{PD}_{i} \）)而衰退是用数值表示的S公司 _k个 >1，这增加了交易对手的PD。在最初的框架内瑞士信贷第一波士顿国际（1997)部门变量通过伽马分布建模，这确保了（连同一些附加假设）投资组合损失分布可以进行分析计算³.

如上所述，选择伽马分布是为了解决性能问题。从经济学角度来看，这种假设可能是有问题的。也可以使用对数正态分布代替伽马分布，对数正态分配比伽马分布更重，因此更保守。然而，对数正态分布也只有两个参数。因此，使用均值和方差⁴参数化S公司 _k个 尾巴的重量无法明确控制。如果我们改用pTAS分布，我们可以将扇区分布拟合为观察到的PD变化的均值和方差，并且仍然可以通过参数控制尾部α.

在我们的示例中，我们使用的是属于十个不同行业的5000个交易对手的投资组合。用于估算部门分布的数据是10年内的月度PD值，通过默顿类型模型进行估算（参见默顿（1974）)来自20000多家公司的标记数据（即股票价格和负债），并在行业层面进行汇总。投资组合和基础数据在费舍尔和雅各布（2015）和雅各布和费舍尔（2014）。我们使用MLE和经验性观察到的偏度来估计每个部门的pTAS分布，并将投资组合风险数据的结果与原始设置（即通过均值和方差参数化的伽马分布）和使用对数正态分布和威布尔分布的框架进行比较。由于观测数量相对较少（10年的月度数据），我们在本例中不使用峰度或分位数估计方法。信用风险的蒙特卡罗模拟⁺建模GCPM公司使用R包装。扇区变量之间的相关性通过3.8自由度的Student-t copula建模，并使用最大似然法进行估计⁵.

表2显示了每个部门的经验偏度以及估计参数α伽马分布、对数正态分布和威布尔分布的偏度仅通过均值和方差参数化。如图所示。1，对数正态分布具有类似于pTAS分布的偏度和峰度，具有更高的值α.通过查看表2我们可以看到，观察到的偏度经常被对数正态分布低估，这也得到了图。4，其中对数正态框架的风险数字略低于pTAS（偏度）框架的数字。然而，只有偏度在合适的范围内，才可能出现这种情况。通过使用pTAS分布，与对数正态分布或伽马分布相比，人们总是具有更大的灵活性来解释半重（或不太重）尾分布。此外，图。5显示了部门变量的经验观察结果S公司 _k个 以及扇区4拟合分布的密度。图中显示，与所有其他分布相比，通过MLE方法估计的pTAS分布更适合数据。通过MLE方法估计的pTAS分布也具有所有竞争对手中最重的尾部，这反过来导致显著的更高风险数字，如图所示。4.

图4

不同部门分布的投资组合损失分布。这个垂直线指出所述损失水平的风险价值

图5

扇区4：扇区实现直方图以及拟合参数分布

表2不同扇区分布的偏斜值和估计参数

风险值要高得多

图4显示了投资组合损失分布的pdf以及指示风险价值（VaR）水平的垂直线τ，即投资组合损失分布的分位数。如果我们使用考虑偏度的pTAS分布或通过MLE估计的扇区分布，与仅考虑均值和方差的伽马分布的标准情况相比，VaR要高得多。因为金融机构通常使用较高的价值τ（例如。τ=0.999）计算弥补意外损失所需的经济资本时，使用简单的伽马分布可能意味着存在大量的模型风险。在我们的案例中，风险值_0.999如果我们使用基于偏度的pTAS分布，则上升约12%，如果我们使用MLE，则上升高达28%。请注意，影响通常取决于投资组合的部门（即业务线和国家）以及用于估计部门分布的数据。

3.2操作风险

例如，金融机构面临着不同的风险，如信贷风险和市场风险，并被要求留出资本缓冲以应对意外损失。随着新巴塞尔协议建议的实施，监管部门也制定了操作风险资本要求（OpRisk）。操作风险有很多定义，许多机构采用了自己的定义，更好地反映了其业务模式和战略。巴塞尔委员会定义运营风险由于内部流程、人员和系统不足或失败或外部事件导致的损失风险显而易见，OpRisk是一个非常广泛的概念，可能包括从银行抢劫、未经授权的交易、内部系统故障到恐怖袭击和自然灾害等任何情况。通常，损失数据是根据巴塞尔新协议规定的七种官方事件类型（内部欺诈、外部欺诈、就业实践和工作场所安全、客户、产品和商业实践、实物资产损坏、业务中断和系统故障、执行、交付和流程管理）进行组织的以及八个业务线（公司金融、贸易与销售、零售银行、商业银行、支付与结算、代理服务、资产管理、零售经纪），共56个类别。为了推导运营风险损失分布，通常在第一步中推导每个相关类别的损失分布⁶并在第二步中将单个损失分布汇总为总损失分布。为了简单起见，我们在续集中假设该银行在一条业务线上运营，并且只面临一种事件类型。在这种情况下，损失分布减少为以下类型的复合和

$$L=L_{1}+\ldots+L_{N}$$

带有随机变量N个（下一年的损失数量）及相应的损失严重程度L（左） ₁,…,L（左） _N个 每次损失。为了简单起见，我们假设N个和L（左） ₁,…,L（左） _N个 相互独立（参见，例如。Neslehova等人（2006年）包含相关性）。一旦在参数设置中指定并估计了这些变量，对于给定的损失数据集，可以在蒙特卡罗框架内轻松模拟损失分布。通常，假设损失数量遵循带参数的泊松分布λ>0对应于下一期间/年度内的预期损失数量。相反，在某种程度上，指定严重性分布更为复杂。为了避免用一个或两个参数将单个参数分布拟合到整个数据集时出现问题，通常使用复合严重性分布，请参阅El Adlouni等人（2011年). 这包括通过阈值将严重性分布划分为所谓的身体和所谓的尾巴，并假定每个部分的分布不同。然后将这两种分布组合成一个单一的严重性分布，通常称为复合分布。低于和高于阈值的损失称为低严重性损失和高严重性损失。一旦选定了严重性分布的参数模型，就可以使用矩法（MM）、最大似然法（ML，用于经验部分）或普通最小二乘法（OLS）来估计未知参数。为了比较图像的质量（GoF），应该使用图形工具，如分位数-分位数-点或合适的GoF测试。

基础数据集在Bolancè等人（2012年)，第7章。它包含2011年至2014年的700份损失数据，由于技术原因，这些数据乘以1000。图中描述了相应的损失严重程度和损失频率。6.

图6

经验损失严重程度和损失频率

为了说明OpRisk计算，我们假设损失的数量是泊松分布的，并且我们有一个复合严重性分布，其中身体是由经验分布函数建模的，而尾巴是假设遵循对数正态、威布尔、pTAS、伽马和广义伽马（参见，例如。斯泰西（1962）)分布。表3总结了不同置信水平和四种分布中每一种的对应OpVaR（即损失分布的分位数）。显然，Weibull（通常应用于银行业）和pTAS尾部模型非常接近，而对数正态模型意味着OpVaR显著更高。相比之下，伽马分布和广义伽马分布都会产生较低的OpVaR值。

表3不同置信水平和分布的OpVaR

为了比较图像的质量，两个分位数图（见图。7)和良好的成绩统计数据（Kolmogorov-Smirnov和Anderson-Darling，见表4和Chernobay等人（2015）详细讨论）表明pTAS分布\（宽度{\alpha}=0.3842）似乎是更好的选择。尽管广义伽马分布也提供了合理的AD2UP和KS统计数据，但考虑到只有少数观察值，且真实参数模型未知，用户仍有被累进的危险⁷.

图7

信誉统计和损失分布（TAS尾部）

表4优良率统计

最后，图。7还描述了OpRisk数据集的模拟投资组合损失。

结论

在本文中，我们讨论了积极向上的性格α-稳定分布，这是一个灵活的分布族，非常适合在正半轴上建模轻尾和半重尾数据。除了族的派生和某些与实际应用相关的特征的总结外，我们还概述了有关该族的现有文献。此外，我们还介绍了可用于实现pTAS系列基本功能（即密度和分布函数、分位数计算和随机数生成）的算法，这些算法也可通过pTAS R包获得。通过在信贷和操作风险领域应用pTAS分布，我们表明，与常用的其他竞争对手相比，这种分布更灵活，更适合于经验数据。因此，就信贷风险而言，pTAS分布有助于降低模型风险的金额，或就操作风险而言，有助于更充分地反映风险，从而帮助银行更恰当地配置经济资本。除了这两个给定的例子外，pTAS分布还可用于建模（股票）回报，因此也有利于市场风险管理。

尾注

¹请参考Schiff(1999，定理4.3）以获得进一步的细节。

²除了交易对手的违约之外，交易对手的信用度也会发生变化（所谓的评级迁移），从而导致投资组合损失。然而，为了简单起见，我们将此示例仅限于违约风险。

³1997年，当信贷风险⁺这是模拟模型的一个主要优势，模拟模型使用蒙特卡罗模拟来估计损失分布。然而，如今计算机功能更强大，蒙特卡罗模拟被广泛使用。

⁴基于均值和方差的参数化是CreditRisk中的标准方法⁺模型。为了确保\（\mathbb{E}\left（\overline{text{PD}}_{i}\right）=\text{PD}_{i} \），这是一个常见的假设，我们有一个条件\（\mathbb{E}（S_{k}）=1\）为所有人k个.

⁵对于对信贷组合模型中的连接函数主题感兴趣的读者，我们参考雅各布和费舍尔（2014）和费舍尔和雅各布（2015）.

⁶巴塞尔委员会规定了三种计算操作风险资本要求的方法的指南。这些是基本指标法、标准法和高级测量法。后者是最复杂的方法，这就是本节的内容。

⁷请注意，对于左旋样本的GoF检验，统计分布并非无参数第页-数值和临界值通过蒙特卡罗模拟获得。仍然存在一定的变化第页-值-直接比较没有意义。

附录

使用pTAS R包

借助简短示例，我们解释了如何在R会话中使用这些函数。我们不会在所有细节和参数中描述这几个函数。有关更多信息，请参阅软件包中相应的帮助页面。

创建pTAS分发

pTAS包使用面向对象的方法，这意味着每个分布（例如具有不同参数）都由pTAS类的不同对象表示。因此，可以同时（在同一工作空间内）处理许多不同的分布，而不会危及它们在分布或数值参数方面的一致性。

因此，第一步是创建一个新的pTAS分发对象。

这个MYPTAS公司对象通过参数化描述pTAS分布\（\mathcal{P}（P）_{P} （α、γ、θ）=\左（0.5,1,1.5\右）\）. ThePTAS公司函数自动对给定参数执行一些合理性检查，并转换给定参数（即根据Palmer等人(2008)在这种情况下）。此外，还计算了平均值、方差、偏度和峰度等分布图。

为了获得分布的第一印象，密度（以及分布函数）可以通过简单地使用绘图功能。

密度、分布函数、分位数和随机数

密度和分布函数可通过标准R符号（d…/p…）获得。中描述的数值参数2.1可以在通过PTAS公司功能。

分位数和随机数通过算法2生成。

估算方法

对于实施问题，MLE将在\（\mathcal{P}（P）_{P} \）-始终参数化。对于参数α,μ,ν可以指定下限和上限以及固定值。特别是参数α适当的上限可能会有所帮助，因为参数的pdf计算α接近1的数值具有挑战性。这个配件_MLE函数使用MLE公司函数STATS4（状态4）包，它反过来使用ROPTIM公司优化器。

优化结果的详细信息可以通过优化_RES功能。这给出了一个包含迭代次数、收敛结果和Hessian矩阵的列表，用于进一步计算（例如计算置信区间）。如果优化没有正确收敛，将自动显示警告。

或者，也可以根据决定参数的均值和方差估计分布参数μ和ν关于\（\mathcal{P}（P）_{P} \）参数化和偏度、峰度或分位数来估计参数α.如果α应根据给定的峰度值进行估计，该峰度值可能有多个解，pTAS分布具有可能的最大值或最小值α将返回的或包含所有分发内容的列表。

如果α应该基于给定的分位数进行估计，这是一种网格搜索方法，如第节所述2.3已应用。对于给定值t吨 ^∗>0和第页 ^∗∈（0,1）如果\（\left|F_{\mathcal{P}（P）_{P} （\alpha，\mu，\nu）}（t^{*}）-P^{*{right|<\epsilon\）对于预先指定的ε>0，而值为μ和ν基于均值和方差确定。与基于峰度的估计类似α（如果存在）可能不唯一。同样，可以确定应该使用附加参数返回哪个分布（参见下面的示例）。