不同乙型肝炎感染者饱和发病率的分类

摘要

发病率在流行病学模型研究中的作用非常重要。本文分析了一个具有饱和发病率的HBV传播动力学流行病问题，该问题比双线性发病率更具普遍性。在建立新的数学模型后，阈值数量再现数\（R_0\）使用众所周知的方法即下一代矩阵进行研究，并研究可能的平衡点，如无病平衡点和地方病平衡点。然后，对于所提问题的局部和全局行为，证明了局部渐近稳定性分析和全局渐近稳定性分析。为了证明无病平衡点的全局渐近稳定性，考虑了经典李亚普诺夫函数理论。类似地，为了证明地方病平衡点的全局渐近稳定性，使用了几何方法，这是Lyapunov理论的推广。最后，对提出的问题进行了数值计算，以证明所得结果的可行性以及饱和入射率的作用。

背景

数学建模是研究现实世界现象中不同疾病动态的强大工具（Zaman等人。2008,2009; 曼恩和罗伯茨2011; Zhao等人。2000). 数学家和生物学家使用不同的广泛模型来理解可传播疾病在人群中的传播。乙型肝炎是一个全球性的健康问题，也是世界范围内乙型肝炎到期的一个突出根源。数十亿人感染了乙型肝炎病毒。全世界已有20亿人感染乙型肝炎病毒，约200万人长期感染乙型肝炎。每年有近78万人因慢性或急性乙型肝炎病毒感染而死亡（WHO2014). 因此，从证据中可以清楚地看出，乙型肝炎病毒感染导致了约80%的原发性肝癌。

乙型肝炎病毒的传播非常普遍，可以通过水平和垂直两种方式从一个人传播给另一个人，如血液、精液、阴道分泌物的传播（拉文西2004; Lok等人。2001; 麦克马洪2005)、无保护的性接触、共用剃须刀、刀片或牙刷（Chang2007)以及母亲在出生时感染给她/他的孩子。然而，乙型肝炎病毒不能通过水、食物、拥抱、亲吻和在工作场所、学校等场所的偶然接触传播（麦克马洪2005). 乙型肝炎病毒和艾滋病毒的传播方式是相同的，但乙型肝炎病毒的传染性是前者的50到数百倍（Thornley等人。2008; 阿里和扎曼2016).

乙型肝炎的感染有不同的阶段，如急性肝炎、慢性肝炎和携带者肝炎。乙型肝炎的急性感染是指在最初的6个月内，一些人随后接触到乙型肝炎病毒。在这种情况下，抗药性有机体通常能够完美地消除体格感染，然后某些人的身体必须在几个月内完全恢复，但对于其余的感染，则会增长并导致更严重的阶段，称为慢性期或终身疾病。乙型肝炎慢性期上升为感染，即乙型肝炎病毒在个体体内停留时发生，随着时间的推移，该传染病会发展成严重的健康问题。携带者肝炎患者通常没有古代急性病，但它会导致肝脏损伤，从而导致肝脏损伤并可能发展为肝肿瘤Mann和Roberts(2011).

许多作者已经预谋了不同的广泛模型，这些模型标记了传染病的动态（Zou等人。2010; Thornley等人。2008; 曼恩和罗伯茨2011). 发病率是数学建模领域中的关键概念之一，在数学建模领域起着重要作用。双线性发生率\（βSI）在各种流行病问题中经常回收（Fan等人。2001; 李和马2002; Zou等人。2010)，其中\（测试版）代表接触率，S公司代表易感人群和我代表感染者。卡帕索和塞里奥首次引入饱和发病率\（\压裂{\β-SI}{1+\α-I}，\）这是双线性发病率的广义形式（Capasso和Serio1978). 这种发生率比双线性发生率更为合理，特别是在性传播疾病的情况下，因为它包含了毒性个体的协商改变和群集影响，并通过指示适当的参数抑制了相互作用率的无限性，在许多流行病问题中被回收利用（Kar和Jana2013; Gomes等人。2005; 刘和杨2005).

在本文中，我们提出了一个具有饱和发病率的乙型肝炎病毒传播动力学的流行病问题，即Zou等人的改进版本。(2010). 在建立新模型后，我们使用众所周知的方法，即下一代矩阵（NGM）方法，求出了基本再生数。此外，我们研究了可能的平衡点，即无疾病和地方病平衡点，并在这两个平衡点上显示了局部渐近稳定性和全局渐近稳定性。对于局部渐近稳定性，我们使用线性化和Routh-Hurwitz准则，而对于全局稳定性，我们则使用经典的Lypanavo函数理论和几何方法。最后通过四阶格式的穷举Runge-Kutta方法进行了数值模拟，验证了所得结果的可行性和饱和入射率的作用。

本文的结构如下。在第二部分中，我们介绍了所提出的模型并研究了它的不同分析，包括基本再生数和平衡。在“稳定性分析”一节中，我们研究了稳定性分析并证明了局部和全局稳定性。“数值分析”部分专门介绍数值模拟和讨论。最后，在“结论”一节中给出了一个简短的结论。

数学模型及其分析

在本节中，我们提出了一个乙型肝炎病毒传播流行病模型。为此，我们将整个人群分为七个流行病学亚类，即易感人群S公司(t吨)，潜在的L（左）(t吨)，急性感染一个(t吨)，慢性感染者B类(t吨)，携带者个人C类(t吨)，永久免疫康复R（右）(t吨)并接种了疫苗V（V）(t吨). 因此，隔间数学模型可以用七个常微分方程的后续系统来表示，

$$\开始{对齐}\frac{dS（t）}{dt}&=b\xi（1-\eta C（t））+\phi V（t）-\frac}\beta S（t \nonnumber\\frac{dL（t）}{dt}&=\frac{\betaS（t）A（t）{1+\alpha C（t）｝+\frac{\gamma\beta S（t{1+\alpha C（t）}-（\sigma+\mu_0）L（t），\nonumber\\frac{dA（t）{dt}&=\sigma L（t B \xi\eta C（t）+（1-p）\gamma_1A（t）-（\mu_0+\mu_2+\gamma_3）C（t+\γ_3 C（t）-\mu_0R（t），n数\ \ frac{dV（t）}{dt}&=b（1-\xi）+v S（t）-（\mu_0+\phi）v（t。\结束{对齐}$$

（1）

在这里，b条代表出生率，\（\xi\）表示未成功接种疫苗的出生率，\（\t）代表产前感染者的比例，\（\phi\）代表疫苗诱导免疫力下降的速度，\（测试版）代表易感染人群的传播率，\（伽玛射线）,\（\泽塔\）分别表示慢性和携带者乙型肝炎感染者的传播率降低。\（\mu_0\）代表自然发生的死亡率，v（v）表示接种率，\（\西格玛\）表示从潜在类到急性类的移动速率，\（伽马_1）表示从急性到慢性的移动速率和携带者，\（伽马_2）代表慢性携带者对免疫的移动速度，\（γ_3）表示载体对免疫的移动速度，\（\mu _1，\） \（\mu 2\）代表乙型肝炎和第页表示那些在急性期未能康复而转入慢性携带者的平均概率。

让“\（N（t）\）“代表全体民众，\（N（t）=S（t）+L（t）+A建议模型的初始条件，确保，\（N（t）\第0页。\）因此，全体民众“\（N（t）\）“有界且持续为正\（t>0.\）现在的时间导数N个(t吨)收益率

$$\开始{aligned}\frac{dN（t）}{dt}=b-\mu_0N（t$$

(2)

这意味着，在很大程度上t吨，这是\（向右箭头，） \（N（t）\le\frac{b}{mu_0}。）因此，我们提出的模型的可行区域是

在R_{+}^7，N\le\frac{B}{\mu_0}\right\}中，$$\begin{aligned}\Omega=\left\{（S（t），L（t）。\结束{对齐}$$

(3)

因此，我们研究了我们提出的模型（1）在可行区域内的动态\（\欧米茄，\）这是一个吸引人的场景。

为了获得我们模型的雅可比矩阵，我们采用简化系统，因为R（右）在所有其他类中都不显式地出现，因此约化系统的雅可比矩阵（没有R（右）)成为

$$开始{对齐}J=\左（开始{数组}{ccccc}-a{11}&{}0&{}-a{13}&{{}-a_{14}&{}-a{15}&{neneneep \phi\\a{21}&{2}-a{22}&{6}a{23}&{9}a{24}&{10}a{25}&{0\\0&{{{}西格玛&{}-a{33}&{}0&{}0和{}0\\0&{{}0&{}p\gamma_1和{}a{44}&{{{}0与{}0\ \0&{}0&{5}&{}0&{{}-a{55}&{0\\v&{}0\end{数组}\right），\end}对齐}$$

(4)

哪里

$$开始{对齐}a{11}&=\mu_0+v+\frac{1}{1+\alpha C}（\betaA+\gamma\betaB+\zeta\betaC），~a{13}=a{23}=\frac}\betaS}{1+/\alpha-C}，~a_14}=a_{24}=\frac{\gamma\ betaB}{1+\alpha-C}，\a{15}&=\frac{1}{（1+\α-C}）^2}（\zeta\beta S-\alpha\beta SA-\alpha\ gamma\beta SB），~a{21}=a_{11}-（\mu _0+v），~a_｛22｝=\sigma+\mu _0，\\a_｛33｝&=\mu _0+\gamma _1+\psi，~a_｛44｝=\mu _0+\mu _1+\gamma _2，~a_｛55｝=b\xi\eta-（\mu _0+\mu _2+\gamma _3），~a_｛66｝=\mu _0+\phi。\结束{对齐}$$

基本再生数

在流行病学模型中，初始容量\（R_0\）被称为基本繁殖数是一个关键概念，它表征了当熟悉完全易感人群时，由单一感染者直接或迂回产生的新污染物的预期平均数量（Anderson和May1991; 范登·德雷西和沃特莫2002). 为了找到我们提出的模型（1）的这个量，我们使用了范登·德里斯切和沃特莫的方法(2008). 让\（\chi=（L（t），A（t）、B（t）和C（t）），\）所以从模型来看(1)，我们有

$$\开始{aligned}\frac{d\chi}{dt}=\bar{F}（F）-\条{V}。\结束{对齐}$$

(5)

在等式中(5),\（\bar{F}\）和\（\bar{V}\）定义为

$$\begin{aligned}\bar{F}=\left（\begin{array}{c}\betaS（t）A（t）+\gamma\beta S（t$$

哪里\（r_1=（σ+mu_0）L（t），\） \（r_2=（μ_0+\gamma_1+\psi）A（t）-\sigma L（t），\） \（r_3=（\mu_0+\mu_1+\gamma_2）B（t）-p\gamma_1A（t）\）和\（r_4=（\mu_0+\mu_2+\gamma_3）C（t）-b\xi\eta C（t）-（1-p）\gamma_1 A（t）。）现在我们找到了\（\bar{F}\）和\（\bar{V}\）处于无病平衡\（F_0，\）所以我们有

$$\begin{aligned}F=\left（\begin{array}{cccc}0&\quad\beta S_0&\quad\gamma\beta S_0&\quad\zeta\beta _S0\\0&\ quad 0&\quid 0\\quad 0&\quad 0\\quad 0\\ quad 0＆\quad 0 0\\quad0&\qued 0\\end array{arrai}\\right），V=\lefth（\being{arrary}{ccccc}a_{11}&\quad 0-\quad \四a_{22}&\quad 0&\ quad 0\\0&\quad-a{32}&\quada{33}&\quad 0\\0&\quar-a{41}&\quid 0&\quad-a{44}\\end{array}\\right），\end{aligned}$$

哪里\（a{11}=\σ+\μ_0，\） \（a{22}=\mu_0+\gamma_1+\psi，\） \（a{32}=p\gamma_1，\） \（a_｛33｝=\mu _0+\mu _1+\gamma _2，\） \（a{41}=（1-p）\γ_1\）和\（a{44}=\mu_0+\mu_0+\gamma_3-b\xi\ eta.）因此\（R_0\）是的光谱半径\（\bar｛K｝=F V ^｛-1｝，\）那就是\（R_0=\rho（FV^{-1}）\）.所以基本复制数\（R_0\）对于我们建议的模型(1)成为

$$\begin{aligned}R_0=\bar{R_1}+\bar{R_2}+\bar{R_3}，\end{alinged}$$

(6)

哪里

$$开始{对齐}\bar{R_1}&=\frac{\sigma\beta S_0}{（\sigma+\mu_0）（\gamma_1+\psi+\mu_0）}，\\bar{R_2}&=\ frac{\sigma\beta\gamma\gamma_1p S_0}（\sigma+\mu-0）（\ gamma_1+\psi+\mu_O）（\gamma_2+\mu _0+\mu_1）}zeta\gamma_1（1-p）S_0}{（\sigma+\mu_0）（\gamma_1+\psi+\mu_0）（\gamma_3+\mu_0+\mu_2-b\xi\eta）}。\结束{对齐}$$

均衡分析

研究我们提出的模型的动力学(1)，我们需要找到平衡点，从而得到模型的无病平衡点(1)表示为\（F_0\）并定义为\（F_0=（S_0,0,0,1,0,0，V_0），\）哪里

$$\开始{aligned}S_0=\frac{b（\phi+\mu_0\xi）}{\mu_0（\mu_0+v+\phi）}，~v_0=\frac{b（\ mu_0+v-\mu_0\ xi）{\mu_0（\mu_0+v+\fhi）}。\结束{对齐}$$

(7)

类似地，地方病平衡表示为\（F_1\）并定义为\（F_1=（S_1、L_1、A_1、C_1、R_1、V_1），\）哪里

$$\开始{aligned}\n编号S_1&=S_0-\frac{1}{q3q5q7}b\xi\eta\gamma_1（1-p）q_6L_1-\压裂{1}{q_7}q_2q_6L_1，编号L_1&=frac{q_2q^2_3q_4q^2_ 5q_7（R_0-1）}{σ（w_1（1-p）+\beta（1+p\gamma_1）q_2q_3q_4q ^2_5q_6）}数字B_1&=frac{q_2q_3q^2_5q_7p\gamma_1（R_0-1）}{w_1（1-p）+\beta（1+p\garma_1）q_2q_4q^2_ 5q_6}，\\C_1&=\压裂{q_2q_3q_4q_5q_7（1-p）（R_0-1）}{w_1（1-p对齐}$$

(8)

哪里\（q_1=\mu_0+v，\） \（q_2=\σ+\μ_0，\） \（q_3=\mu_0+\gamma_1+\psi，\） \（q_4=\mu_0+\mu_1+\gamma_2，\） \（q_5=\mu_0+\mu_2+\gamma_3-b\xi\eta，\） \（q_6=\mu _0+\phi，\） \（q_7=\mu_0（\mu_0+v+\phi）\）和\（w_1=\sigma\beta b\xi\eta\gamma_1q_5.

稳定性分析

在这一节中，我们想研究我们提出的模型在两个平衡点上的渐近稳定性。因此，我们首先证明了模型在无病平衡点和地方病平衡点下的局部稳定性，然后证明了全局渐近稳定性。对于局部稳定性，我们使用线性化方法，但对于全局动态稳定性，我们希望同时使用Lypanavo函数理论和几何方法。

局部稳定性分析

对于所提出模型在无病平衡点和地方病平衡点的局部动力学，我们陈述并证明了以下结果。

定理1

如果 \（R_0<1）,然后是模型（1）在无病平衡点处局部渐近稳定 \（F_0\） 如果 \（R_0>1\）,那么它就是不稳定鞍点.

证明

雅可比矩阵的特征方程J型(4)处于无病平衡\（F_0\）成为

$$\begin{aligned}P（\lambda）=（\lampda+\mu_0）（\lambeda+\mo_0+v+\phi）（\ lambda^4+a_1\lambda43+a_2\lambda^2+a_3\lambma+a_4）=0，\end{alinged}$$

(9)

哪里

$$\开始{对齐}a_1&=a{22}+a{33}+a}44}+a_{55}，\\a_2&=a_{22}一个_{33}（1-R_1）+a_{44}一个_{55}+a_{55}一个_{33}+a_{33}一个_{44}+a_{22}一个_{44}+a_{22}一个_{55}，\\a3&=a_{55}一个_{33}一个_{22}（1-R_1）+a_{33}一个_{44}一个_{55}\左（1-\压裂{a{22}}{a{55}}R2\右）+a_{22}一个_｛44｝a_{55}（1-R_2）+a_{22}一个_{33}一个_{44}（1-R_1），\\a_4&=\sigma\gamma\beta-p\gamma_1S_0a_{55}+\sigma \zeta p\gamma_1\beta-S_0a_{44}+a_｛22｝a_{33}一个_{55}-\σ\βS_0a_{44}乙_{55}-\西格玛\zeta\beta\gamma_1S_0a{44}。\结束{对齐}$$

如果\（R_0<1，\）我们有\（0<\bar｛R_i｝<1，\）对于\（i=1,2,3.）所以\（a_j>0，\）对于\（j=1,2,3,4，\）而且很容易证明，\（a_1a_2a_3>a^{2}_3+a^2_2a_4。\）因此满足Routh-Herwitz准则，即特征多项式的所有根\（P（λ））具有负实部，确保无病平衡点\（F_0\）是稳定的，而对于\（R_0>1，\）该系统同时具有负特征值和正特征值，这表明无病平衡点是一个鞍点，总是不稳定的。

定理2

如果 \（R_0>1\）,然后是模型（1）在地方病平衡点处局部渐近稳定 \（F_1\） 如果 \（R_0<1）,那就是不稳定.

证明

使用初等行运算，减少等式中的雅可比矩阵。4围绕地方病平衡\（F_1\），我们得到以下梯队形式

$$开始{对齐}J_1=\左（开始{数组}{cccccc}-l{11}&{}0&{}-l{12}&{{}-l_{13}&{}-l_14}&{neneneep \phi\\0&{{{}-l{22}&{>l{23}&{6}l{24}&{2}l{25}&{}\phil{21}\\0&}}0&}}&{}l{34}&{{}0&{}\西格玛\phil{21}\\0&{{{}0和{}0&{}l_{44}&{}l{45}和{}-\西格马\phil_{21}\ \0&{}0\sigma\phi l_{21}\\0&{}0&{{}0&{}0＆{}0+{}l_{66}\\end{array}\\right），\end{aligned}$$

(10)

哪里\（l{11}=a{11}，\） \（l{12}=a{12}，\） \（l_｛13｝=a_｛13｝，\） \（l{15}=a{15}，\） \（l{22}=a_{11} 一个_{22},\) \（l{23}=a{23}（a_{11} -a个_{12}),\) \（l{24}=a{14}（a_{11} -一个_{21}),\) \（l{25}=a{15}（a_{11} -a个_{21}),\) \（l{33}=-a_{11} 一个_{22}一个_{33}+\西格玛a{13}（a_{11} -a个_{21}),\) \（l{34}=\σa{14}（a_{11} -a个_{21}),\) \（l{35}=\σa{14}（a_{11} -a个_{21}),\) \（l{44}=-\frac{1}{p\gamma_1}\sigma）_{13} 一个_{44}（a_{11} 一个_{22}一个_{33}+a_{11} -a个_｛21｝），\） \（l{45}=a{14}（a_{11} -a个_{21}),\) \（l{45}=a{14}（a_{11} -一个_{21}),\) \（l{55}=l{44}+\西格玛a{14}（a_{11} -a个_{21})\)和\（l{66}=l_{44}-\压裂{\sigma\phi v a{14}a_{44}一个_｛53｝（\mu _0+v）｝｛\beta p\gamma _1\zeta a_｛44｝+\beta a_｛45｝（p\gamma _1+a_｛44｝））｝

因此，经过一些简化和少量重新排列后，雅可比矩阵的特征值\（J_1\）由提供

$$\begin{aligned}\nonumber\lambda_1&=-a{11}，~\lambda _2=-a{22}，~ \lambda _3=-a_{11} 一个_{22}一个_{33}+\西格玛a{13}（a_{11} -a个_{21}），λ_4&=-\frac{1}{p\gamma_1}\sigma_{13} 一个_{44}（a_{11} 一个_{22}一个_{33}+a_{11} -a个_{21}），λ_5&=-l{44}+sigma a{14}（a_{11} -a个_{21}），\\lambda _6&=l_{44}-\压裂{\sigma\phi v a{14}a_{44}一个_{53}（\mu0+v）}{\beta-p\gamma_1\zetaa{44}+\betaa{45}（p\gamma\gamma_1+a{44{））}。\结束{对齐}$$

显然\（λ_1，\） \（λ_2，） \（λ_4，） \（\lambda _6\）具有负实部并且\（λ_3，\） \（λ_5）为负值，如果\（a）_{22}一个_{33}>\西格玛\βS_1）和\（a）_{44}S_1>\伽马B_1）因此\（R_0>1，\）模型（1）在地方病平衡点处局部渐近稳定\（F_1，\）如果\（a）_{22}一个_{33}>\西格玛\βS_1）和\（a）_{44}S_1>\伽马B_1）

全局稳定性分析

利用Lypanavo函数理论和几何方法证明了该模型的全局稳定性。这里，我们要证明无病平衡点的全局稳定性\（F_0\）利用Lypanavo函数理论，同时证明了地方病平衡点的全局稳定性\（F_1，\）我们使用几何方法。在给出稳定性结果之前，由于Li和Muldowney，以下重要引理(1996)被引用。因此，我们得到了该模型全局渐近稳定的条件。

引理1

如果系统 \（\点{y}=g（y），\） \（g:D\右箭头R^｛n｝\） 包含独特的形式平衡 \（y^*\） 如果存在一个紧吸收集，则该系统在该平衡点附近全局渐近稳定，如果存在函数 D类(年)和Lozinskii测量 \（\嗯，\） 这样的话 \（\lim_{t\rightarrow\infty}supsup\frac{1}{t}\int^t_0\ell（B）dt<0.\）

因此，关于所提出模型在无病平衡点和地方病平衡点的全局稳定性，我们得到了以下结果。

定理3

如果 \（R_0<1）,然后是模型(1)在无病平衡点全局渐近稳定 \（F_0\） 否则不稳定.

证明

显示无病平衡点的全局稳定性\（F_0\），我们使用Lypanavo函数理论，所以考虑以下Lypanava函数，这样

$$开始{对齐}\n编号F（t）&=\frac{1}{2}[（S-S_0）+L（t$$

(11)

哪里\（λ_i）对于\（i=1,2,3,4,5）是一些正常数，将在后面选择。区分后F类(t吨)就时间而言，我们得到

$$\开始{对齐}\非数字\frac{dF}{dt}&=[（S-S_0）+L（t）+A dB}{dt}+\lambda_5\frac{dV}{dtneneneep。\结束{对齐}$$

(12)

选择正参数\（λ_i=q_2q_4，\）对于\（i=1,2,3,5）和\（λ_4=σ\β\γS_0）沿着模型的解(1)，我们得到

$$\开始{对齐}\非数字\压裂{dF}{dt}&=[（S-S_0）+L（t）+A（t）+B（t）+8（t）+6（t）+（V-V_0）]（B-\mu_0N（t）-\mu_1B（t 0q_4B（t）\\非数字和四元+（B-\mu _0S（t）-\mu _0V（t））q_2q_4。\结束{对齐}$$

(13)

自\（N（t）\le\frac{b}{mu_0}，\）这意味着\（S（t）\le\frac{b}{mu_0}。）因此使用\（S_0+V_0=\压裂{b}{mu_0}\）和\（S（t）\le\frac{b}{mu_0}\）在等式中(13)，我们获得

$$开始{对齐}\N编号\frac{dF}{dt}\le&{}-[（S-S_0）+L（t）+Aβ\gamma\gamma_1pS_0q_4B（t）\\非数字&-\mu_0（（S（t）+V（t））-（S_0+V_0）q_2q_4。\结束{对齐}$$

(14)

如果\（R_0<1，\）我们有\（0<\bar{R_i}<1，\）对于\（i=1,2,3，\）因此\（\压裂{dF}{dt}\）是负数，也是\（\压裂{dF}{dt}=0，\）如果\（S=S_0，\） \（L=L_0，\） \（A=A_0，\） \（B=B_0，\） \（C=C_0，\） \（R=R_0\）和\（V=V_0，\）因此\（\欧米茄\）是单例集\（\{F_0\}，\）所以“拉萨尔不变原理”意味着，无病平衡点\（F_0\）全局渐近稳定。

定理4

如果 \（R_0>1\）,然后是模型(1)在地方病平衡点全局渐近稳定 \（F_1\）.

证明

让\（J_2）和\（J_{3}\）是雅可比矩阵和仅包含模型前三个方程的第二个可加复合矩阵(1)，那么我们有

$$\开始{对齐}J_2=\左（\begin{array}{ccc}-a{11}&{}0&{}-a{13}\\a{21}&{{}a{22}&{}a{23}\\0&{{{}\sigma&{}-a{33}\\end{array），~J{3}=\左{}a{23}&{}-a{13}\\a{32}&{{}-（a{11}+a{33}。\结束{对齐}$$

(15)

让我们考虑一下功能\（P（\chi）=P（S，L，A）=diag\left\{\frac{S}{L}，\ frac{S}{L{，\）这意味着\（P^{-1}（\chi）=图\left\{\frac{L}{S}，\frac}L}{S}，\ frac{L}{S{right\}，，\）然后取时间导数，即\（P_f（\chi）\），我们得到

$$\begin{aligned}P_f（\chi）=diag\left\{\frac{\dot{S}}{宋体}-\压裂{S\点{L}}{L^{2}}，\压裂{\点{S}}｛S｝-\压裂{S\点{L}}{L^{2}}，\压裂{\点{S}}{宋体}-\裂缝{S\dot{L}}{L^{2}}\right\}。\结束{对齐}$$

（16）

现在\（P_fP^{-1}=diag\left\{\frac{\dot{S}}{宋体}-\压裂{\dot{L}}{L}，压裂{\dot{S}}{宋体}-\frac｛\dot｛L｝｝｛L｝，\frac｛\dot｛S｝｝{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{L}\right\}\）和\（PJ_{3} 2相^{-1}=J_{3}.\）因此，我们认为\（B=P_fP^{-1}+PJ_{3} P（P）^{-1}\)，可以写为

$$\begin{aligned}B=\left（\begin{array}{cc}B_{11}&{}B_{12}\\B_{21}&{{}B_22}\end{arrays}\right），\end{aligned}$$

(17)

哪里

$$\开始{aligned}B_{11}&=\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{左}-\压裂{βA（t）}{1+\alpha C（t）{-\frac{\gamma\beta B（t）◄{1+\ alpha C（t）►-\frac{\zeta B C（t 1+\alpha C（t）}\\end{数组}\right），~B_{21}=\left（\begin数组}{C}\sigma\\0\\end数组}\ right）=\左（\开始{数组}{cc}x{11}&{}0\\x{21}&{{}x{22}\\end{array}\right）。\结束{对齐}$$

在上述矩阵中\（x_{11}=\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{左}-\压裂{βA（t）}{1+\alpha C（t）{-\frac{\gamma\beta B \（x_｛21｝=\frac｛βA（t）｝｛1+\αC（t）｝+\frac｛γ\βB（t）｝｛1+\αC（t）｝+\frac｛ζ\βC（t）｝｛1+\αC（t）｝）和\（x_{22}=\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{五十} -2个\μ_0-\sigma-\gamma_1-\psi.\）让\（（b_1、b_2、b_3）\）是中的向量\（R^{3}\）及其规范\（\垂直\垂直\）由定义

$$\开始{aligned}\Vert b_1，b_2，b_3\Vert=max\{\Vert b_1\Vert，\Vert b2\Vert+\Vert b _3\Vert\}。\结束{对齐}$$

(18)

现在我们采取洛津斯基措施\（\ell（B）\）关于马丁所述的上述规范(1974)，这是\（\ell（B）\le-sup\{g_1，g_2\}=sup\{ell（B_{11}）+\VertB_{12}\Vert，\ell哪里\（g_i=\ell（B_{ii}）+\Vert B_{ij}\Vert\）对于\（i=1,2）和\（i \n ne j，\）这意味着

$$\begin{aligned}g_1=\ell（B_{11}）+\Vert B_{12}\Vert，~~g_2=\ell$$

(19)

哪里\（\ell（B_{11}）=\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{左}-\压裂{βA（t）}{1+\alpha C（t）{-\frac{\gamma\beta B,\（\Vert B_{12}\Vert=\frac{\beta S（t）}{1+\alpha C（t）{）,\（\ell（B_{22}）=最大\left\{\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{五十} -2个\μ_0-v-\gamma_1-\psi，\压裂{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{五十} -2个\μ_0-\sigma-\gamma_1-\psi\right\｝=\frac｛\dot｛S｝｝{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{五十} -2个\μ_0-\gamma_1-\psi-min\{v，\sigma\}）和\（\Vert B_｛21｝\Vert=最大\｛\西格玛，0\｝=\西格玛。\）因此\（g_1\）和\（g_2）成为

$$\开始{aligned}g_1&=\frac{\dot{S}}{宋体}-\裂缝{\dot{L}}{左}-\压裂{βA（t）}{1+\alpha C（t）{-\frac{\gamma\beta B{宋体}-\压裂｛\dot｛L｝｝{五十} -2个\μ0-\sigma-\gamma_1-\psi。\结束{对齐}$$

因此，我们可以写\（g_1\le\frac{\dot{S}}{S} -2个\mu 0分钟（v，sigma）和\（g_2\le\frac｛\dot｛S｝）{S} -2个\μ_0-\gamma_1-\psi，\）这意味着\（\ell（B）\le\left\{\frac{\dot{S}}{S} -2个\μ_0-min\{min\{v，\sigma\}，\gamma_1-\psi\}\right\}。）因此\（\ell（B）\le\frac{\dot{S}}{S} -2个\mu _0.\）现在整合Lozinski度量\（\ ell（B）\）关于t吨间隔[0t吨]和采取\（lim_｛t\rightarrow\infty｝，\）我们获得

$$\开始{对齐}lim_{t\rightarrow\infty}sup~sup\frac{1}{t}\int^{t}（t）_{0}\ell（B）dS\le-2\mu_0<0。\结束｛对齐｝$$

(20)

最后，我们可以写

$$\begin{aligned}\bar{q}=lim_{t\rightarrow\infty}sup~sup\frac{1}{t}\int^{t}（t）_{0}\ell（B）dS<0。\结束{对齐}$$

(21)

因此，包含模型前三个方程的子系统(1)在其内部平衡点附近是全局渐近稳定的\（（S_1、L_1、A_1）。\）现在考虑模型的子系统(1)，因此

$$\开始{对齐}\非数字\frac{dB（t）}{dt}&=p\gamma_1A（t）-（\mu_0+\mu_1+\gamma_2）B（t），\\非数字\frac{dC（t）{dt}&=B\xi\eta C（t _2 B（t）+\gamma_3 C（t）-\mu_0R（t），\\非数\frac{dV（t）}{dt}&=B（1-\xi）+v S（t）-（\mu_0+\phi）v（t。\结束{对齐}$$

(22)

取模型的极限系统(22)，我们得到

$$开始{对齐}非数字\frac{dB（t）}{dt}&=p\gamma_1A_1（t）-（\mu_0+\mu_1+\gamma_2）B（t），\\非数字\ frac{dC（t）{dt}&=B\xi\eta C（t+\gamma_2 B_1（t）+\gama_3C_1（t）-\mu_0R（t），\\非数值\frac{dV（t）}{dt}&=B（1-\xi）+v S_1（t）-（\mu_0+\phi）v（t.\end{对齐}$$

(23)

求解系统（38）并使用初始条件B类(0),C类(0), R（右）（0）和V（V）(0). 所以在很长一段时间内t吨那就是\（t\rightarrow\infty\）,\（B（t）\右箭头B_1，\） \（C（t）\右箭头C_1，\） \（R（t）\右箭头R_1\）和\（V（t）\右箭头V_1，\）这足以证明地方病平衡点\（E_1）全局渐近稳定。

数值分析

在本节中，我们想观察我们提出的模型的动力学行为。为了做到这一点，我们使用四阶Runge-Kutta格式来获得数值结果，该格式使用了几位作者处理由常微分方程组成的广泛问题。为了进行模拟，我们使用了所提出模型中使用的不同参数值，如表所示1。在参数集中，有些参数取自已发表的文章，而有些参数是以这种方式获取的，这在生物学上更具可行性。此外，时间间隔为50个月，初始人群的易感、潜伏、急性感染、慢性感染、携带者、恢复和接种个体分别为100、80、60、40、20、0和20。

在生物动力学特别是传染病传播动力学的研究中，敏感性分析是非常重要的。因为通过敏感性分析，我们能够判断每个参数的作用，因此很容易，我们能够制定一项战略，从社区中根除该疾病。在这里，我们对我们提出的模型进行了敏感性分析(1)关于参数\（\阿尔法，\）如图所示1.

在图中1对易感人群、潜伏人群、急性乙型肝炎感染人群、慢性乙型肝炎感染者、携带者、恢复人群和接种人群进行了敏感性分析，结果表明，易感群体、恢复人群、接种人群与饱和度成正比\（\阿尔法，\）而潜伏、急性感染、慢性感染和携带者人数与饱和度成反比\（\字母\）因此，从这一简要分析中可以看出，饱和度也是防止乙型肝炎在世界范围内传播的因素之一，乙型肝炎是三大传染病之一。将近三分之一的人口感染了乙型肝炎。

图2表示易感、潜伏、恢复和易感、潜在、接种稳定地方病平衡的相空间图以及表中给出的相应参数集1.图三表示潜在、急性、慢性感染和潜在、急性和恢复的相空间图。类似地，图4和5分别表示带菌、恢复、接种、时间、恢复、免疫、时间、潜伏、带菌、时间、潜在和恢复的相空间图，具有稳定的地方病平衡和表中给出的各自参数集1.

表1用于数值模拟的参数值

图1

该图显示了所建议模型的动力学行为(1)有饱和和无饱和

图2

该图显示了易感、潜伏、恢复和易感、潜在和接种稳定地方病平衡的相空间图\（F_1\）和表中给出的各自参数集1

图3

该图显示了潜伏、急性感染、慢性感染和潜伏、紧急感染的相空间图，恢复了稳定的地方病平衡\（F_1\）和表中给出的相应参数集1

图4

该图显示了载体、恢复和接种的相空间图，具有稳定的地方病平衡\（F_1\）和表中给出的各自参数集1

图5

该图显示了时间、易感者、接种者、时间、潜伏期、携带者和时间、潜伏期、恢复稳定的地方病平衡的相空间图\（F_1\）和表中给出的各自参数集1

结论

乙型肝炎传染病是世界卫生组织报告的三大传染病之一，其发病率在流行病模型研究中具有显著意义。在本文中，我们通过对具有饱和发生率的不同亚类进行分类，研究了乙型肝炎病毒传播动态的流行病问题。这种发生率比双线性发生率更为普遍，似乎更为现实。因此，我们将宿主人群分为7个流行病学亚类，即易感亚类、潜伏亚类、急性乙型肝炎感染亚类、慢性乙型肝炎感染亚类、携带者亚类、恢复亚类和接种亚类。首先，我们找到基本的复制数\（R_0.\）与流行病学模型一样，数学模型有两种稳态，即感染和非感染稳态。所以我们得到了两个无疾病的非负平衡\（F_0\），对于\（R_0<1）和地方平衡\（F_1\），仅在以下情况下存在\（R_0>1\），因此局部稳定，如果\（R_0>1\）这是一个预兆，因为沿着易感、接种疫苗和恢复的轴线的流动总有吸引力\（F_0\），但潜伏感染、感染急慢性乙型肝炎和携带者的感染室轴线上的流量取决于\（R_0\）.所以如果\（R_0<1），则受感染隔室的轴是朝向无病平衡的吸引子\（F_0\）。但当\（R_0\）跨过一个\（R_0>1\），这些隔间的轴线无法吸引无病平衡\（F_0\）并对其产生排斥。进一步显示全球稳定\（F_0\），我们建立了Lyapnovo函数，同时为了证明在\（F_1\），我们使用了几何方法。最后对所提出的模型进行了数值反演，以证明该模型的可行性。