带有奇异和非奇异算子的分数离散Temimi–Ansari方法：在电路中的应用

摘要

本文的目标是提出一种最近发展起来的数值方法，用于求解具有奇异Caputo核和非奇异Caputo-Fabrizio和Atangana-Baleanu（ABC）核的分数阶随机微分方程。该方法基于离散Temimi–Ansari方法，该方法结合了适用于新分数导数算子的三种不同数值格式。该方法用于研究分数阶随机电路中高斯白噪声和高斯色噪声扰动对电位源和电阻的影响。通过与随机Runge–Kutta方法（SRK）的结果进行比较，验证了该方法的鲁棒性和有效性。本文的价值在于，所得到的数值方案能够结合两种强大的方法，这两种方法可以扩展到更复杂的随机模型。利用Mathematica 12软件对不同的分数导数进行了比较，仿真结果证明了该方法的优点。

1介绍

随机微分方程SDE是确定性微分方程和噪声项的组合。SDE因其在物理、工程、经济和金融、人口和生物学等各个领域建模现象的实用性而受到研究人员的关注。

在电路中，有两种噪声：外部噪声和内部噪声。外部噪声表示确定性系统外受外部因素影响的振荡。在确定性方程的右侧添加噪声项是一个具有众多工程应用的著名示例。内部噪声，如爆裂噪声、低频噪声、散粒噪声和热噪声，是由电信号的不连续性造成的[1]. 在内部噪声中，给定点和时间的随机场的大小不取决于其他点或时间的大小。内部噪声被称为白噪声。显然，在一定的温度下，没有没有没有热噪声的电路。通过将确定性模型的输入和内部参数替换为随机过程，可以获得外部和内部噪声的随机影响[2]. 许多研究人员已经研究了电路中这种噪声的影响，参见[三]了解更多信息。有色噪声用作外部噪声，其中微分点和时间之间的随机场的相互作用可以是非零的。许多研究人员研究了随机微分方程中用有色噪声代替白噪声[4,5]. 跟随伊藤的工作[6]这种类型的随机微分方程可以称为随机微分方程。随机微分方程的解解释了马尔可夫扩散过程[7].

分数阶微积分最近已应用于许多领域，包括热电、流体动力学、经济学、控制系统设计、反应扩散方程、信号处理等[8,9]. 使用分数微分的主要思想是利用分数阶导数的性质来描述记忆效应。分数阶导数和积分考虑了系统记忆、遗传属性和非局部分割效应；这些效果对于描述现实问题至关重要。此外，分数阶导数最终是非局部算子；模型的下一个状态不仅取决于它的当前状态，还取决于它以前的所有状态。根据状态，使用分数导数对变量进行评级。也就是说，积分将存储存储器表示为逆运算符。

Riemann–Liouville和Liouville-Caputo分数阶导数和积分并不是唯一已知的。这些定义包括表示内核并描述系统内存效果的单个函数。由于没有一个能准确描述记忆效应的全部效应，Caputo–Fabrizio（CF）和Atangana–Baleanu（ABC）提出了新的算子，其局部核和非奇异核使用指数衰减定律而非幂律。这些非奇异分数导数可以有效地模拟部分浪费或浪费的记忆效应和系统[10]. 近年来，分数阶微积分被应用于分数阶导数模型的发展，该模型代表了各种类型的分数阶导数电路模型的行为[11——15].

在下一节中，我们将介绍分数算子的三个流行定义，这三个定义将在本文中用于对RC模型进行建模。

定义1

([16])

对于\（v:[a，b]\右箭头R^{m}，m-1<\alpha\leq-m\）和\（m\单位：N\）、卡普托α四阶分数导数和分数积分分别定义为

$$开始{对齐}&{}_{a}^{C}D_{t}^{alpha}v（t）=\frac{1}{\Gamma（m-\alpha）}\int_{a{t}v^{（m）}（s）}^{t}v（s）（t-s）^{\alpha-1}\，ds.\end{aligned}$$

然而，卡普托衍生工具的主要缺点是，它在维持国内动态方面提供了一个独特的内核。为了克服这种刚性，以下定义引入了带指数核的Caputo–Fabrizio（CF）算子[12]和带有Mittag–Leffler（ML）函数的ABC导数[13]. 在[11——14,16——19]讨论了这些非奇异分数导数的一些独特应用。

定义2

([17])

对于\（v\在H^{1}（a，b）中\）,\（0<\alpha\leq 1）、CFα第个α四阶分数导数和分数积分分别定义为

$$开始{aligned}&{}_{a}^{CF}D_{t}^{alpha}v（t）=\frac{1}{（1-\alpha）}\int_{a{}^{t}\frac}dv（s）}{ds}\operatorname{Exp}\biggl[-\frac[\alpha}{1-\alfa}（t-s）\biggr]\，ds，\&{}{a}\alpha}v（t）=（1-\alpha）v（（t）+\alpha\int_{a}^{t}v（s）\，ds.\end{aligned}$$

定义3

([16,17])

对于\（v\在H^{1}（a，b）中\）,\（0<\alpha\leq 1）、美国广播公司α四阶分数导数和分数积分分别定义为

$$开始{对齐}和{}_{a}^{ABC}D_{t}^{alpha}v（t）=\frac{beta（\alpha）}{（1-\alpha）}\int_{a{a}^{t}\frac{dv（s）}{ds}E_{alpha{biggl[-\frac}\alpha}{1-\alha}I{t}^{\alpha}v（t）=\frac{（1-\alpha）}{\beta（\alphas）}v（（t）+\frac}{\bata（\alpha）\Gamma（\alfa）}\int_{a}^{t} v（s）（t-s）^{\alpha-1}\，ds，\end{aligned}$$

哪里\（E_{\alpha}\）是Mittag–Leffler(毫升)功能和\（β（α））是归一化函数\（β（0）=β（1）=1）.为了方便，我们采取\（β（α）=1）.

Temimi–Ansari方法已用于研究几种形式的微分方程[20,21]. 离散Temimi–Ansari方法（DTAM）由作者于[22,25]求解一类广泛的随机非线性微分方程，其中经典TAM与有限差分数值格式耦合。

在本文中，提出了离散Temimi–Ansari方法的一种变体，称为分数离散Temim–Ansary方法（FDTAM）。离散Temimi–Ansari方法的卓越技术与三种分数算子数值格式相结合，其中分数算子具有Caputo型奇异核和Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC型非奇异核。该方法的特点是结合了两种强大的方法来获得分数阶随机模型的近似数值解。值得注意的是，由于数值结果的高精度，与传统的数值方法相比，该方法在减少计算工作量方面非常有效。

所提出的技术已成功用于研究高斯白噪声和高斯彩色噪声扰动对分数阶分数线性电路的电位源和电阻的影响，如下所示：

$$\开始｛对齐｝｛｝_｛0｝D_｛t｝^｛\alpha｝v（t）=F（t，v）+G（t）+F（t）n（t），\ quad v（0）=a，\结束｛对齐｝$$

（1）

其中，分数时间导数\（{}_{0}D_{t}^{alpha}v（t）\）可以是以下类型\（{}_{0}^{C}D_{t}^{alpha}\）或\（{}_{0}^{CF}D_{t}^{alpha}\）或\（{}_{0}^{ABC}D_{t}^{alpha}\），导数的分数阶为\（[0,1]\中的alpha\）和\（t>0）.\（v（t）\）未知函数，t吨表示自变量，\（F（t，v）\）和\（G（t）\）是线性或非线性函数，以及\（n（t）\）是可以从维纳过程导出的高斯白噪声\（ω（t））签署人：

$$\begin{aligned}n（t）=\varrho\frac{d\omega（t）}{dt}。\结束{对齐}$$

(2)

期望\（E[n（t）]=0）和有限方差\（\operatorname{Var}[n（t）]=\varrho^{2}\），假设\（\varrho=1\）.

本文的结构如下：分数阶离散Temimi–Ansari方法（FDTAM）的数值格式在第。 2将该方法应用于Section中的分数阶随机线性电路。 三在高斯白噪声和有色噪声的影响下。最后，教派。 4包含结论。

2分数阶离散Temimi-Ansari方法（FDTAM）及其收敛性分析

在本节中，我们提出了离散Temimi–Ansari方法DTAM的一种新变体，用于处理分数阶随机线性电路，其中包括电阻、电感、电容、，以及具有Caputo型奇异核和Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC型非奇异核的新分数算子的电压源。

考虑以下形式的微分方程

$$\begin{aligned}&L\bigl[v（t）\bigr]+N\bigl[v（t）\biger]+g（t）=0，\end{alinged}$$

（3a）

$$\begin{aligned}&\text{with initial conditions}\quad I\bigl$$

（3b）

哪里我和N个分别举例说明线性和非线性算子，以及\（g（t）\）举例说明了非齐次项。使用Temimi–Ansari方法求解微分方程(1)如下：

获得初始近似函数\（v{0}（t）\），这是以下初值问题的解决方案

$$\begin{aligned}L\bigl[v_{0}（t）\bigr]+g（t）=0，\qquad I\bigl（v_{0}，\bigl（d^{j}v_{0}\bigr）/\bigle（d t^{j{}\biger）\bigra）=0。\结束{对齐}$$

(4)

获得下一个牺牲功能\（v{1}（t）\），必须解决以下问题

$$\begin{aligned}L\bigl[v_{1}（t）\bigr]+N\bigl[v_{0}（t）\biger]+g（t）=0，\qquad I\bigl（v_{1}，\bigle（d^{j}v_{1\}\bigr）/\bigl-（d t^{j{}\biger）\birgr）=0。\结束{对齐}$$

(5)

此外n个th近似函数\（v{n}（t）\）可以用同样的方式进行评估。然后，

$$开始{对齐}L\bigl[v_{n}（t）\bigr]+n\bigl[v__{n-1}（t）\biger]+g（t）=0，\quad n=2,3，\ldots，\qquad I\bigle（v_{n}，\bigl（d^{j}v_{n}\bigr）/\bigl（d t^{j}\biger）=0。\结束{对齐}$$

(6)

随着迭代次数的增加，生成的迭代解变得接近精确解

$$\begin{aligned}v（t）=\lim_{n\rightarrow\infty}v_{n}（t）。\结束｛对齐｝$$

(7)

的作者[20,22,23]对TAM方法应用于常微分方程及其扩展到微分方程组的误差分析和收敛标准进行了扩展研究。

为了对趋同进行研究，我们将从以下方面开始：

$$\begin{aligned}\textstyle\begin}-cases}\xi_{0}=v_{0{（t），\\xi_{1}=\Psi[\xi_}0}]，\\xi_2}=\Psi[\xi_0}+\xi_1}]，\ \ vdots\\\xi_}n}=\Psi[\xi_{0neneneep+\xi__1}+\cdots+\xi_{n-1}]。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(8)

通过定义因子\（\Psi[v（t）]\）作为

$$\begon｛aligned｝\Psi\bigl[\xi_｛n｝（t）\bigr]=v｛｝_｛n｝（t）-\sum_｛i=0｝^｛n-1｝v_｛i｝（t），\ quad i=1,2,3，\ldots，\ end｛aligned｝$$

(9)

考虑到这一点\（v{n}（t）\）是TAM的解决方案。

利用这些标准，通过以下定理讨论了TAM收敛的便利规定。

定理1

连锁解决方案 \（v（t）=lim{n\rightarrow\infty}v{}n}（t）） 如果链解收敛，则会显示为给定问题的精确解.

证明

请参见[18,22]. □

定理2

假设Ψ等式中规定. (9),是来自 H（H） 到 H（H）,哪里 H（H） 是希尔伯特空间.连锁解决方案 \（v（t）=\lim_｛n\rightarrow\infty｝v｛｝_｛n｝（t）\） 收敛，如果 \（\存在0<\ eta<1 \） 这样的话

$$开始{对齐}H\bigl\Vert\Psi[\xi_{0}+\xi_}1}+\cdots+\xi_{n}]\bigr\Vert\leq\eta\bigl\ Vert\Psi[\xi_ 0}+\ xi_{1}+\ cdots+/\xi_[n-1}]\bigr\Vert_quad\forall\eta\ mathbb{\在n\cup}\{0}中。\结束{对齐}$$

这个概念是固定的-点概念，这足以证明TAM的收敛性.

证明

请参见[18,22]. □

定理3

链解决方案是否 \（\sum_{i=0}^{\infty}v_{i}（t）\） 收敛于 \（v（t）\）,那么最大误差 \（E_{n}（t）\） 将是

$$开始{对齐}E_{n}（t）\leq\frac{1}{1-\rho}\rho^{n}\Vertv_{0}\Vert，\end{aligned}$$

(10)

其中链条 \（sum{i=0}^{n-1}v{i}（t）\） 用于解决一类广泛的非线性问题.

证明

请参见[18,22]. □

TAM获得的解收敛到精确解，如下所示：\（存在\0这样的话

$$\begin{aligned}D_{n}=\textstyle\begin{cases}\frac{\Vert\xi_{n{n\Vert}{\Vert_xi_{n-1}\Vert}&\Vert\xi_{nneneneep \Vert\neq 0，\\0，&\Vert\xi_{n}\Vert=0。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(11)

power-chain解决方案\（\sum_{n=0}^{\infty}v_{n}（t）\）收敛到精确解\（v（t）\）什么时候\（0\leq D_{n}<1，所有n=0,1,2，\ldots\）

只为\（阿尔法=1）随机方程的解(1)但是，由于积分随机函数的复杂性，只能进行少量迭代。作为分数时间导数\（{}_{0}D_{t}^{\alpha}\）t可以是奇异类型或非奇异类型\（{}_{0}^{C}D_{t}^{alpha}\）或\（｛｝_｛0｝^｛CF｝D_｛t｝^｛\alpha｝\）或\（{}_{0}^{ABC}D_{t}^{alpha}\）提出了求解随机非线性微分方程的分数阶离散Temimi–Ansari（FDTAM）方法(1)对于具有局部奇异核类型Caputo和非奇异核Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC类型的分数阶算子，如下所示：

2.1Liouville–卡普托感觉

Caputo分式算子逼近问题解的FDTAM格式(1)将如下所示：

假设：n个-点均匀网格\（[0，T]\）作为\（i:i=1，\ldot，n\}）,\（0<t_{1}<t_{2}<cdots<t_{n}=t\）具有\（t{i}-t{i-1}=q\）.让\（h\ in（0，q]\）是固定常数小时.

近似的有限差分形式\（压裂{d\omega（t{j+1}）}{dt}\）由提供

$$\开始{aligned}\frac{d\omega（t{i+1}）}{dt}=\frac}\omega{i+1}-\omega_{i}}{h}。\结束{对齐}$$

(12)

广义欧拉近似格式\（{}{0}^{C}D{t}^{alpha}v{0}（t_{j+1}）\）由提供

$$开始{对齐}v_{0}（t_{i+1}）=v_{0}（t_{i}）+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[G（t_{i}）+f（t_{i}$$

(13)

哪里\（v{0}（t{i+1}）=v{0{i+1}，v{0neneneei和\（ω（t{i}）=ω因此，第一个精化方程用于近似初始近似函数\（v{0}\）(\（t{i+1}\）)是

$$\开始{对齐}v_{0}^{i+1}=v_{0}^{i}+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[G（t_{i}）+f（t_{i}）\frac}\omega_{i+1}-\omega{i}}{h}\bigr]。\结束{对齐}$$

（14a）

下一个离散近似函数\（v{1}\）(\（t{i+1}\）)和n个离散近似函数\（v{n}\）(\（t{i+1}\）)可以计算如下

$$\开始{对齐}和v_{1}^{i+1}=v_1}^{i}+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[F\bigl（t_{i}，v_{0}^{i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i.}））\biggr]，\end{对齐}$$

（14b）

$$\开始{对齐}和v_{n}^{i+1}=v_{n}^{i}+\frac{h^{alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[F\bigl（t_{i}，v_{n-1}^{i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i.}）\frac}\omega_{i+1}-\omega_{i}}{h}\big gr）\大gr]。\结束｛对齐｝$$

（14c）

解决方案将通过k个维纳过程的各种模式的运行\（\omega（\mathrm{t}）\），然后是改进的方案(第14页)–(14摄氏度)可以用以下形式书写：

$$\开始{对齐}和v_{0，k}^{i+1}=v_{0,k}^}i}+\frac{h^{\alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[G（t_{i}）+f（t_{i}）\frac}\omega_{i+1}-\omega_a{i}}{h}\bigr]，\end{aligned}$$

（15年）

$$开始{对齐}&v_{1，k}^{i+1}=v_{1,k}^}i}+\frac{h^{\alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggl[F\bigl（t_{i}，v_{0，k}^{i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i}）\frac}\omega_{i+1}-\omega_{i}}{h}\biggr）\biggr]，\end{对齐}$$

（15亿）

$$\boot｛aligned｝&v_{n，k｝^｛i+1｝=v_{n，k｝^｛i｝+\frac｛h^｛\alpha｝｝｛\Gamma（\alpha+1）｝\biggl[F\bigl（t_｛i｝，v_{n-1，k｝^｛i｝\bigr）+\bigl（G（t_｛i｝）+F（t_。\结束{对齐}$$

（15美分）

我们必须选择一个时间步长小时确保系统收敛(15年)–(15摄氏度). 通过等式右侧的除法设置定点迭代的收敛规(15亿)我们获得：

$$开始{对齐}和\biggl（\frac{h^{\alpha}}{\Gamma（\alpha+1）}\biggr）\frac}\partial F（t_{i}，v_{0，k}^{i}）}{\partialv_{0,k}^i}}<1，\end{aligned}$$

（16）

$$\开始{aligned}&h<\biggl（\frac{\Gamma（\alpha+1）}{\frac}\partial F（t_{i}，v_{0，k}^{i}）}{\ partial v_{0,k}^}}\biggr）^{\frac{1}{\alpha}}。\结束{对齐}$$

(17)

让\（g{1}=\frac{\partial F（t_{i}，v{0，k}^{i}）}{\paratil v{0，k{^{i}}），然后我们有：

$$\开始{aligned}h<\biggl（\frac{\Gamma（\alpha+1）}{g{1}}\biggr）^{\frac}{\alpha}}。\结束{对齐}$$

(18)

条件\（h<（压裂{\Gamma（\alpha+1）}{g{1}}）^{\frac{1}{\alpha}}\）是Liouville–Caputo意义下用于收敛的时间步长的适当条件。其他方程式(15年)和(15摄氏度)由于对称性，可以使用相同的条件。

2.2卡普托-法布里齐奥感觉

Caputo–Fabrizio分数阶算子近似问题解的FDTAM格式(1)将如下所示：

Caputo–Fabrizio近似方案\（{}{0}^{CF}D_{t}^{alpha}v{0}（t_{j+1}）\）由提供

$$开始{对齐}v_{0}（t_{i+1}）={}&v_{0}（t_{i}）+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac}3\alphah}{2\beta（\ alpha{h}\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{\alpha-h}{2\beta（\ alpha\biggr）\biggl[G（t_{i-1}）+f（t_{i-1}$$

(19)

哪里\（v{0}（t{i+1}）=v{0{i+1}，v{0neneneei、和\（ω（t{i}）=ω因此，对初始近似函数进行近似的第一个迭代方程\（v{0}\）(\（t{i+1}\）)是

$$开始{对齐}v_{0}^{i+1}={}&v_{0}^{i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{3\alphah}{2\beta（\ alpha{}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha\压裂{ω{i}-\ω{i-1}}{h}\biggr]。\结束｛对齐｝$$

（20年）

下一个Caputo–Fabrizio近似函数\（v{1}\）(\（t{i+1}\）)和n个th Caputo–Fabrizio近似函数\（v_｛n｝\）(\（t{i+1}\）)可以计算如下

$$\开始{对齐}v_{1}^{i+1}={}&v_{1'^{i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac}3\alphah}{2\beta（\ alpha \omega{i+1}-\omega_{i}}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{\alphah}{2\beta（\alpha）}\biggr）\biggl[F\bigl（t_{i-1}，v_{0}^{i-1{\bigr）+\biggl（G（t_{1-}）+F（t_{i-1}）\frac{\omega_{i}-\omega_2i-1}}{h}\bigr]，\end{aligned}$$

（20亿）

$$开始{对齐}v_{n}^{i+1}={}&v_{n}^{i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{3\alphah}{2\beta（\ alpha{ω{i+1}-\omega{i}}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{\alpha-h}{2\β（α）}\biggr）\biggl[F\bigl（t_{i-1}，v_{n-1}^{i-1{大）+\biggl（G（t_{1-}）+F（t_{i-1}）\frac{\omega_{i}-\omega_2i-1}}{h}\bigr）\bigr]。\结束｛对齐｝$$

（20美分）

该解决方案将使用k个各种维纳过程的运行\（\omega（\mathrm{t}）\）模式和改进的方案(20年)–(20摄氏度)可以写为：

$$开始{对齐}v_{0，k}^{i+1}={}&v_{0,k}^}i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac}3\alphah}{2\beta（\ alpha]\\&{}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{\alpha-h}{2\beta（\ alpha\压裂{ω（t_{i}）-\ω（t_{i-1}）}{h}\biggr]，\结束{对齐}$$

（21年）

$$开始{对齐}v_{1，k}^{i+1}={}&v_{1,k}^}i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac}3\alphah}{2\beta（\ alpha）\压裂{ω{i+1}-\ω{i}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（\压裂{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\压裂{\alpha-h}{2\beta（\alpha）}\biggr）\biggl[F\bigl（t_{i-1}，v_{0，k}^{i-1{\bigr）+\biggl（G（t_{1-}）+F（t_{i-1}$$

（21亿）

$$开始{对齐}v_{n，k}^{i+1}={}&v_{n，k}^{i}+\biggl（\frac{1-\alpha}{\beta（\alpha）}+\frac{3\alphah}{2\beta（\ alpha}）\压裂{ω{i+1}-\ω{i}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（\压裂{1-\alpha}{β（\alpha）}+\压裂{\alpha-h}{2\β（阿尔法）}\biggr）\biggl[F\bigl（t_{i-1}，v_{n-1，k}^{i-1{\bigr）+\ biggl（G（t_{1-}）+F（t_{i-1}）\frac{\omega_{i}-\ omega__{i-1｝}{h}\bighr）\biggr]。\结束｛对齐｝$$

（21 c）

为了方便，我们采取\（β（α）=1）.

2.3阿坦加纳——巴莱努感觉

Atangana–Baleanu分数运算符的FDTAM方案如下所示，以近似问题的解决方案(1):

Atangana–Baleanu方案\（{}_{0}^{ABC}D_{t}^{alpha}v_{0{（t_{j+1}）\）由提供

$$开始{对齐}v_{0}（t_{i+1}）={}&v_{0}（t_{i}）+\biggl（\frac{h^{alpha}{\beta（\alpha）\Gamma压裂{ω（t_{i+1}）-\ω（t_{i}）}{h}\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{h^{\alpha}}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggl[G（t_{i-1}）+f（t_{i-1}$$

(22)

哪里\（v_{0}（t_{i+1}）=v_{0}^{i+1}，v_{0}（t_{i}）=v_{0}^{i}，\omega（t_{i+1}）=\omega_{i+1}\）、和\（ω（t{i}）=ω因此，第一个迭代方程近似初始近似函数\（v{0}\）(\（t{i+1}\）)是

$$\开始{对齐}v_{0}^{i+1}={}&v_{0}^{i}+\biggl（\frac{h^{alpha}}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggal（1+\frac}（1-\alpha）\Garma（\alpha）}{h^}\alpha}）\bigbl[G（t_{i}）+f（t_{i}）\ frac{\omega{i+1}-\omega{i}}{h}\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{h^{\alpha}}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggl[G（t_{i-1}）+f（t_{i-1}。\结束{对齐}$$

（23a）

下一个Atangana–Baleanu近似函数\（v_｛1｝\）(\（t{i+1}\）)和n个th Atangana–Baleanu近似函数\（v{n}\）(\（t{i+1}\）)可以计算如下：

$$\开始{对齐}v_{1}^{i+1}={}&v_{1'^{i}+\biggl（\frac{h^{\alpha}{{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggl（1+\frac}（1-\alpha）\Garma（\alpha）}{h^}\alpha{}\bigbl[F\bigl（t_{i}，v_{0}^{i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i}）\frac{\omega{i+1}-\omega_{i}}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\bigl（\frac}h^{\alpha}}{β（α）\Gamma（α）}\biggr$$

（23亿）

$$开始{对齐}v_{n}^{i+1}={}&v_{n}^{i}+\biggl（\frac{h^{alpha}}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggl（1+\frac}（1-\alpha）\Gamma（\alva）}{h^}\alpha}\bigbl[F\bigl（t_{i}，v_{n-1}^i}\big r）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i}）\frac{\omega{i+1}-\omega_{i}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\bigl（\frac}h^{\alpha}}{β（α）\Gamma（α）}\biggr。\结束{对齐}$$

（23美分）

该解决方案将使用k个各种维纳过程的运行\（\omega（\mathrm{t}）\）模式和改进的方案(第23页)–(第23页)可以写为：

$$\begin｛aligned｝v_｛0，k｝^｛i+1｝=｛｝&v_｛0，k｝^｛i｝+\bigl biggr]\\&｛｝+\bigl（\frac｛h^｛\alpha｝｝｛\beta（\alpha）\Gamma（\alpha）｝\biggr）\biggl[G（t_{i-1}）+f（t_{i-1}$$

（24a）

$$开始{对齐}v_{1，k}^{i+1}={}&v_{1,k}^}i}+\biggl（\frac{h^{\alpha}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\bigg1 i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i}）\frac{\omega_{i+1}-\omega{i}}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\bigl（\frac}h^{\alpha}}{β（α）\Gamma（α）}\biggr$$

（24b）

$$开始{对齐}v_{n，k}^{i+1}={}&v_{n，k}^{i}+\biggl（\frac{h^{\alpha}{\beta（\alpha）\Gamma（\alpha）}\biggr）\ biggl{i}\bigr）+\biggl（G（t_{i}）+F（t_{i}）\frac{\omega_{i+1}-\omega_{i}}{h}\biggr）\biggr]\\&{}+\biggl（\frac{h^{\alpha}}{\beta（\alpha）\Gamma（\alfa）}\biggr）\biggl[F\bigl（t_{i-1}，v_{n-1，k}^{i-1{\bigr）+\biggal。\结束{对齐}$$

（24美分）

计算结果序列的平均值和方差\（{v{n，1}，v{n将产生解的均值和方差。

最后，我们通过取解序列的平均值和方差来获得解的平均值与方差\（{v{n，1}，v{n这些聪明的数值格式在求解具有不同分数算子的分数阶随机非线性微分方程时比传统TAM更有效。

三应用

3.1RLC电路的数学模型

RLC电路是一种使用电压或电流源驱动电阻器、电容器和电感的电路。根据基尔霍夫定律\（v（t）\）在时间t时，在电路中的固定位置满足微分方程[15,24].

$$\开始{对齐}L\frac{d^{2}v（t）}{dt^{2{}}+R\frac}dv（t$$

(25)

哪里我是电感，对是阻力，C类是电容，以及\（q（t）\）是当时的潜在震源t吨现在，我们可能会有一种状态，其中一些系数不是确定性的。电路处于外部电压下\（q（t）\），它是周期信号和白噪声的叠加

$$\开始{aligned}q^{*}（t）=q（t）+\betan（t）。\结束{对齐}$$

（26）

使用电压源的随机版本，RLC模型可以写成：

$$开始{对齐}L\frac{d^{2}v（t）}{dt^{dv{2}}+R\frac}dv（t$$

(27)

哪里β是噪声的强度。

随机RLC电路模型的求解(27)带高斯白噪声\（n（t）\）使用Mathematica-12软件中包含的1.5阶强Kloeden–Platen–Schurz方案生成，如图所示1.

图1

白噪声随机RLC电路的解

白噪声不能被认为是一个随机过程，其中维纳过程路径不是处处可微的，但它可以被具有宽谱带的传统随机过程近似，这通常被称为有色噪声过程。Ornstein–Uhlenbeck流程\（n{1}（t）\）平均值和方差为零\（σ=0.7）是这种噪声最著名的例子。它是使用由白噪声驱动的线性随机微分方程生成的，如下所示：

$$开始{aligned}\frac{dn{1}（t）}{dt}=-\frac{1}{\tau{s}}n{1}（t）+\sigma\sqrt{\frac{2}{\tao{s}{}n（t），结束{aligned}$$

(28)

哪里\（τ{s}=100\）毫秒和\（n（t）\）是均值和方差均为零的高斯白噪声。

方程式(28)可以用Ito积分形式写成

$$\开始{对齐}dn_{1}（t）=-\frac{1}{\tau_{s}}n_1}（t）\，dt+\sigma\sqrt{\frac{2}{\tao_{s{}}}\，d\omega（t），\end{aligned}$$

(29)

哪里\（ω（t））是维纳过程。

更换白噪声\（n（t）\）在等式中(27)使用有色噪声模型(29)我们得到了图2.

图2

有色噪声随机RLC电路的解

3.2RC电路的数学模型

对于本节中的随机情况，用常微分方程及其随机等价物来模拟RC电路电容器中的电荷凝聚。由感应器、电阻器和电容器组成的每个电路都可以用一个常微分方程来表示，其中微分算子的参数是电路元件的函数。通过在潜在输入源中加入白噪声，可以将确定性常微分方程转化为随机方程。

假设\（v（t）\）是电容器上的电荷\（q（t）\）是应用于RC电路输入的电位源。利用基尔乔夫第二定律，

$$\begin{aligned}q（t）=I（t）R+\frac{v（t）}{C}。\结束｛对齐｝$$

(30)

自\（I（t）=\压裂{dv（t）}{dt}\），我们得到以下方程式：

$$\开始{对齐}\frac{dv（t）}{dt}+\bigl（RC^{-1}\bigr）v（t$$

（31a）

具有初始条件

$$\开始{aligned}v（0）=v_{0}，结束{aligned}$$

（31亿）

哪里\（v（0）\）是存储在电容器中的初始电荷。潜在电源和电阻可能不具有确定性，但形式如下：

$$\开始｛对齐｝q ^｛*｝（t）=q（t）+\βn（t），\结束｛对齐｝$$

(32)

和

$$\开始{aligned}R^{*}=R+\text{`noise''}=R+\泽塔n_{1}（t），\结束{aligned}$$

(33)

哪里\（n（t）\）是均值为零、方差为一的高斯白噪声\（n{1}（t）\）是一个零均值、指数相关的平稳过程，\（\泽塔，\贝塔\）是噪声强度，它们是正常数，表示随机情况与确定性情况的偏差，以及相关过程\（n{1}（t）\），是由等式驱动的彩色噪声(29).

替换(32)和(33)到(第31页)–(31亿)产量：

$$\begin{aligned}\frac{dv（t）}{dt}+\biggl（\frac{1}{C（R+\zeta n_{1}（t））}\biggr）v（t$$

（34a）

具有初始条件

$$\开始{aligned}v（0）=v_{0}。\结束{对齐}$$

（34亿）

随机RC电路的一般模型可以写成一般形式

$$\begin{aligned}\frac{dv}{dt}=F（t，v）+G（t）+F（t）n（t），\quad v（0）=a$$

(35)

由于分数导数最终包括记忆，因此对等式应用分数扩展是有争议的(35). 如果我们交换方程式的时间导数(35)通过Caputo（CD）或Caputo–Fabrizio（CF）或Atangana–Baleanu ABC分数导数，我们得到公式(1).

考虑基于新分数算子的分数线性电路，该算子具有Caputo局部奇异核和Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC类型的非奇异核。时域分数方程考虑范围内的导数\（\alpha\in（0,1]\）使用FDTAM方法获得了数值解，并提供了一些示例，其中涉及电阻、电感、电容和电压源电路。

案例1.外部噪声

考虑形式的势源中仅含外部噪声的分数随机RC方程

$$\begin｛aligned｝｛｝_｛0｝D_｛t｝^｛\alpha｝v（t）+Av（t）=B+D n（t），\qquad v（0）=v_｛0｝，t\geq 0，\end｛aligned｝$$

(36)

哪里\（A=（RC）^{-1}\）,\（B=R^{-1}q（t）\）、和\（D=βR^{-1}\）.

RC电路随机模型中使用的参数如下[2];\（R=10\欧米茄；C=1华氏度；q（t）=q=20伏；\β=1）.

应用构造的分数离散Temimi–Ansari方法（FDTAM）方案(15年)–(15摄氏度), (第21页)–(21摄氏度)、和(第24页)–(24摄氏度)Caputo、Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC类型的分数随机RC方程(36). 使用\（h=0.01），图三（a） ，4（a） ，5（a） 显示序列的期望值\（v_{200,1}，v_{200,2}，v_{200,3}，\ldots，v_{2001000}\）对于不同阶的分数导数算子\（α=1,0.9,0.8），以及随机龙格-库塔方法（SRK）的解\（阿尔法=1）.图三（b）4（b） 、和5（b） 用所提出的方案刻画分数导数算子不同阶的方差\（α=1,0.9,0.8），以及随机Runge–Kutta方法（SRK）在\（阿尔法=1）这些数字证实了（FDTAM）方案的结果与随机龙格库塔方法（SRK）在\（阿尔法=1）.表1比较分数阶导数CD、CF和ABC的分数阶随机RC模型与外部噪声的近似解\（阿尔法=1）,\（α=0.9）、和\（α=0.8）随机龙格库塔（SRK）方法的解。

图3

分数阶随机RC方程的均值和方差(36)对于以下几个值α通过100次CDTAM迭代

图4

分数阶随机RC方程的均值和方差(36)对于以下几个值αCFTAM的100次迭代

图5

分数阶随机RC方程的均值和方差(36)对于以下几个值αCFTAM的100次迭代

表1 CD、CF和ABC分数阶导数带外部噪声分数阶随机RC模型近似解的时间比较\（阿尔法=1）,\（α=0.9\）、和\（α=0.8）以及随机龙格-库塔（SRK）方法的解

案例2.内部和外部噪音

考虑在势源和电阻中分别含有内部和外部噪声的分数随机RC模型，形式如下

$$开始{aligned}{}_{0}D_{t}^{alpha}v（t）+\biggl（\frac{1}{C（R+\zetan_{1}（t））}\biggr）v（t）=\biggal（\frac{1}}{。\结束{对齐}$$

(37)

应用构造的分数离散Temimi–Ansari方法（FDTAM）方案(15年)–(15摄氏度), (第21页)–(21摄氏度)和(第24页)–(24摄氏度)分别针对分数随机RC方程上的Caputo、Caputo–Fabrizio和Atangana–Baleanu ABC类型(37). 通过选择\（h=0.01），图6（a） ，7（a） ，8（a） 显示序列的期望值\（{v{100,1}，v{100,2}，v{100,3}，\ldot，v{1000}\}）对于不同阶的分数导数算子：\（α=1,0.9,0.8）.图6（b） ，7（b） ，8（b） 显示不同阶分数导数算子的拟议方案的方差：\（α=1,0.9,0.8）这些数字证实了（CDTAM）、（CFTAM）和（ABTAM）的结果在良好的形态上相互兼容。表2显示了CD、CF和ABC分数阶导数的分数阶随机RC模型的近似解与外部和内部噪声的时间比较\（阿尔法=1）,\（α=0.9）、和\（α=0.8）.

图6

分数随机RC方程的均值和方差(37)对于以下几个值αCDTAM的100次迭代

图7

分数阶随机RC方程的均值和方差(37)对于以下几个值αCFTAM的100次迭代

图8

分数阶随机RC方程的均值和方差(37)对于以下几个值αABCTAM的100次迭代

表2具有外部和内部噪声的分数随机RC模型的CD、CF和ABC分数导数的近似解的时间比较\（阿尔法=1）,\（α=0.9）、和\（α=0.8）

在高斯白噪声和高斯色噪声扰动对分数线性电路和局部奇异核为Caputo–Fabrizio和ABC型的分数算子的势源和电阻的影响下，提出了一种新的分数随机逼近分数随机RC电路的方法发达的。表格1和2显示了随机RC电路模型的CD、CFD、ABC近似解与随机龙格-库塔方法的时间比较，以及针对两种不同类型噪声的新提出的数值方案。结果表明，该方法是可信的，可以应用于工程科学中更复杂的随机问题。

4结论

为了克服传统Riemann–Liouville和Caputo分数导数的局限性，最近实现了具有非局部和非奇异核的新型分数微分。本文介绍并应用一种新的数值格式来求解一种新的分数算子的线性分数随机RC电路模型，该算子具有Caputo–Fabrizio CF和Atangana–Baleanu ABC型的Caputo局部奇异核和非奇异核。本文致力于开发一种新的数值格式，该格式结合了分数阶微积分的基本定理和最近开发的DTAM方法。使用新提出的数值方法成功地实现了白噪声和有色噪声。毫无疑问，与近似和随机的龙格-库塔解相比，新的数值格式非常有效，并且收敛速度非常快。