基于Kuratowski MNC技术的变阶非线性分数阶微分方程边值问题

摘要

在本研究中，对一个给定的涉及变阶Riemann-Liouville分数阶微分方程的多项边值问题（BVP），分析了其存在性。为了达到这个目的，我们首先研究了这类变阶算子的一些规范，然后导出了确定解的存在性所需的准则，并研究了获得的解在Uham-Hyers-Rassias（UHR）意义下的稳定性。本研究的所有结果都是借助于Darbo不动点定理（DFPT）和Kuratowski非紧性测度（KMNC）建立的。我们构造了一个例子来说明我们观察到的结果的有效性。

1介绍

分数微积分的思想是用有理数取代导数顺序中的自然数。虽然这似乎是一个基本的考虑，但它在解释一些物理现象方面有着有趣的对应关系。在过去的二十年中，对这一问题出现了重要的研究，一些论文讨论了变阶问题解的存在性；例如[1–7].

尽管许多研究人员研究了分数阶常阶问题解的存在性，但文献中很少提及变阶问题解存在性（我们参考[8–13]).

由于我们在这一有趣的研究领域的调查，我们的发现是独特的和值得注意的。

此外，本文的所有发现都有很大的潜力应用于各种跨学科科学应用。在本研究的原始发现的支持下，我们能够对这个开放的研究课题进行进一步的研究。换句话说，所提出的BVP可以在未来扩展到更复杂的真实数学分数模型。

特别是，Bai等人[14]研究了以下问题：

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}^{c} D类^{u}_{0^{+}}x（t）=f（t，x（t^｛u｝_{0^{+}}x（t）），&t在J:=[a，b]中，u在]0，1]中，\\x（a）=x_{a}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

哪里$^{c} D类^{u}_{0^{+}}${c} D类^{u}_{0^{+}}\)和\（一）^{u}_{0^{+}}\)代表Caputo–Hadamard导数和Hadamard-阶积分算子u个分别为，（f）是给定的函数，\（x_{a}\in\mathbb{R}\）、和\（0<a<b<infty）.

灵感来自[14]和[1–5]，我们处理边值问题（BVP）

$$\textstyle\开始{cases}D^{u（t）}_{0^{+}}x（t）=f_{1}（t，x（t$$

(1)

哪里\（1<u（t）\leq 2）,\（f_{1}:J\乘以X\乘以X\rightarrow X\）是一个连续函数，并且\（D^{u（t）}_{0^{+}}\）和\（I^｛u（t）｝_｛0^｛+｝｝\）是Riemann–Liouville分数阶导数和变阶积分\（u（t）\）.

在本文中，我们研究了(1). 进一步，我们研究了所得解的稳定性(1)在Ulam–Hyers–Rassias（UHR）意义上。

2前期工作

在本节中，我们将介绍一些重要的基本定义，这些定义是在下一节中获得结果所必需的。

由\（C（J，X）\）我们表示连续函数的Banach空间\（瓦卡帕：J\到X\）符合规范

$$\Vert\varkappa\Vert=\sup\bigl\{\bigl\fert\varkappa（t）\bigr\Vert:t\in J\bigr\}$$

哪里X是一个真实（或复杂）的巴拿赫空间。

对于\（-\infty<a{1}<a{2}<+\infty\），我们考虑映射\（u（t）：[a{1}，a{2}]\右箭头（0，+\infty）\）和\（v（t）：[a{1}，a{2}]\右箭头（n-1，n）\）然后是可变阶的左Riemann–Liouville分数积分（RLFI）\（u（t）\）for函数\（h{1}（t）\）是[15–17]

$$I^{u（t）}_{a{1}^{+}}h_{1}（t）=\int_{a}}^{t}\frac{（t-s）^{u$$

(2)

以及可变阶的左Riemann–Liouville分数导数（RLFD）\（v（t）\）用于函数\（h{1}（t）\）是[15–17]

$$D^{v（t）}_{a{1}^{+}}h_{1}（t）=\biggl（\frac{D}{dt}\biggr）^{n}I^{n-v（t{n-v（t）-1}}{\伽马（n-v（t））}h{1}（s）\，ds，\四元t>a{1}$$

(3)

如果是常数\（u（t）\）和\（v（t）\），RLFI和RLFD分别与标准Riemann–Liouville分数导数和积分重合；例如，请参见[15,16,18].

让我们回顾以下关键观察。

引理2.1

([18])

让 \（阿尔法{1}，阿尔法{2}>0\）,\（a{1}>0\）,\L（a{1}，a{2}）中的（h{1}\）,和 \（L（a{1}，a{2}）中的D_{a{1{1}^{+}}^{\alpha{1}}h{1}\）.然后是微分方程

$$D_{a{1}^{+}}^{\alpha{1}}h_{1}=0$$

有独特的解决方案

$$h_{1}（t）=\omega_1}（t-a_1}）^{\alpha_{1}-1}+ω{2}（t-a{1}）^{\alpha_{1}-2}+\cdots+\omega{n}（t-a{1}）^{\alpha_{1} -n个}, $$

和

$$I_{a{1}^{+}}^{\alpha_{1}D_{a}1}^}}^（t）=h{1}h{1{（t_{1}-1}+\ω{2}（t-a{1}）^{\α_{1}-2}+\cdots+\omega{n}（t-a{1}）^{\alpha_{1} -n个} $$

具有 \（n-1<alpha{1}\leqn）,\（\omega_{\ell}\in\mathbb{R}\）,\（\ell=1，2，\ldots，n\）.

此外,

$$D_{a{1}^{+}}^{\alpha{1}}I{a{1'^{+{}}^}{\alfa{1}{h{1}（t）=h{1{$$

和

$$I{a{1}^{+}}^{\alpha_{1}}I{a}1}^}}^}（t）=I{a_1}^{}}^{+{}}^α{1}+\α{2}}h{1}（t）$$

备注2.1

([19–21])

注意，一般函数的半群性质不成立\（u（t）\）,\（v（t）\）也就是说，

$$I{a{1}^{+}}^{u（t）}I{a}1}^}+}}^{v（t）{h_{1}（t）\neqI{a_1}^{+}}^}{u（t）+v（t$$

示例2.1

让

$$\begin{aligned}&u（t）=t，\quad t \ in[0，4]，\quad-v（t）=\textstyle\begin{cases}2，&t \ in[0，1]，\\3，&t\in]1，4]、\end{casesneneneep \ displaystyle \qquad h_{1}（t）=2，\quad t \ in[0，4]，\\开始{aligned}I_{0^{+}}^{u（t t）}h{1}（t）&=\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{u（t）-1}}{\Gamma（u（t}｛\Gamma（v（s））｝h｛1｝（\tau）\，d\tau\，ds\\&=\int _｛0｝^｛t｝\frac｛（t-s）^｛t-1｝｝｛\Gamma（t）｝\biggl[\int _｛0｝^｛1｝\frac｛（s-\tau）｝｛\Gamma（2）｝2\，d\tau+\int _｛1｝^｛s｝\frac（s-\tau）^｛2｝｝｝｝｛\Gamma（3）｝2\，d\tau\biggr]\，ds\\&=｛int _｛0｝^｛t｝\frac｛（t-s）^｛t-1｝｝｛\Gamma（t）｝\biggl[2s-1+\frac｛（s-1）^｛3｝｝｛3｝\biggr]\，ds，\end｛aligned｝\end｛aligned｝$$

和

$$\开始{对齐}I_{0^{+}}^{u（t）+v（t）}h_{1}（t）|=&\int_{0}^{t}\frac{（t-s）^{u$$

所以我们得到

$$开始{对齐}和I_{0^{+}}^{u（t）}I_{0 ^{+{}}^{v（t）{h_{1}（t）|_{t=3}=\int_{0}^{3}\frac{（3-s）^{2}}{\Gamma（3）}\biggl[2s-1+\frac}（s-1）^{3{3}\biggr]\，ds=\frac[21}{10}，\开始{对齐}I_{0^{+}}^{u（t）+v（t）}h_{1}（t）|_{t=3}={}&\int_{0}^{3}\frac{（3-s）^{u 4}个}{\Gamma（5）}2，ds+\int_{1}^{3}\frac{（3-s）^{5}}{\Garma（6）}2^{4} -12秒^{3} +54秒^{2} -108秒+81\biger）\，ds\\&{}+\frac{1}{60}\int_{1}^{3}\bigl（-s^{5}+15s^{4} -90年代^{3} +270秒^{2} -405秒+243\bigr）\，ds\\={}&\frac{665}{180}。\end{aligned}\end{alinged}$$

因此，我们获得

$$I_{0^{+}}^{u（t）}I_{0 ^{+{}^{v（t）{h_{1}（t）|{t=3}\neqI_{0^{+}^{u（t）+v（t$$

引理2.2

([22])

让 \（u:J\右箭头（1,2]\） 是连续函数.然后针对

C_{delta}（J，X）中的$$h_{1}=C（J，X）中的\bigl\{h_{1'（t）$$

变量-阶分数积分 \（I^｛u（t）｝_｛0^｛+｝｝h｛1｝（t）\） 存在于上的任何点 J型.

引理2.3

([22])

让 \（u:J\右箭头（1,2]\） 是连续函数.然后

C（J，X）中$$I^{u（t）}_{0^{+}}h_{1}（t）\quad\textit{表示C（J、X）中}h_}1\$$

定义2.1

([23–25])

一套\（I\子集\mathbb{R}\）被称为广义区间，如果它是区间，或者\（{a{1}），或$\{ \ \}$.

有限集\（{\mathcal{P}}\）广义区间的划分称为我如果每个\（x在I中）正好位于一个广义区间E类在里面\（{\mathcal{P}}\）.

A函数\（g:I\右箭头X\）称为关于分区的分段常量\（{\mathcal{P}}\）属于我如果有\（在{\mathcal{P}}中为E\）,克持续打开E类.

2.1不一致性度量

在本小节中，我们将讨论有关KMNC的一些必要背景信息。

定义2.2

([26])

让X成为巴拿赫空间，让\（\欧米茄_{X}\）是的有界子集X。KMNC是映射\（\泽塔：\欧米茄_{X}\至[0，\infty]\）结构如下：

$$\zeta（D）=\inf\bigl\{\epsilon>0:D（\in\Omega_{X}）\substeq\cup_{\ell=1}^{n} D类_{\ell}，\operatorname{diam}（D_{\ell{）\leq\epsilon\bigr\}$$

哪里

$$\operatorname{diam}（D_{\ell}）=\sup\bigl\{\Vert x-y\Vert:x，y\在D_{\ ell}\bigr\}中$$

以下属性对KMNC有效。

提议2.1

([26,27])

让 X 成为巴拿赫空间,然后让 D类,\（D_{1}\）,和 \（D_｛2｝\） 是的有界子集 X.然后:

• 1 \（\ zeta（D）=0\左右箭头D\） 相对紧凑.

• 2 \（\zeta（\phi）=0）.

• 三。 \（\zeta（D）=\ zeta（\overline{D}）=\ zeta（\mathit{convD}.

• 4 \（D_{1}\子集D_{2}\Longrightarrow\zeta（D_}1}）\leq\zeta.

• 5 \（泽塔（D_{1}+D_{2}）.

• 6 \（\zeta（\lambda D）=|\lambda |\zeta（D）\）,\（\lambda\in\mathbb{R}\）.

• 7 \（\zeta（D_{1}\cup D_{2}）=\operatorname{Max}\{\zeta.

• 8 \（\zeta（D_{1}\cap D_{2}）=\operatorname{Min}\{\zeta.

• 9 \（\zeta（D+x_{0}）=\ zeta（D）\） 为所有人 \（x\中的x_{0}\）.

引理2.4

([28])

如果 \（U \子集C（J，X）\） 是等度连续有界集,然后:

• （i） 函数 \（\泽塔（U（t））\） 连续 \（单位：J\）,和

  $$\widehat{\zeta}（U）=\sup_{t\in J}\zeta\bigl（U（t）\bigr）$$

• （ii） \（\ζ（\ int _｛0｝^｛T｝x（\ theta）\，d \ theta:x\ in U）\ leq \ int _｛0｝^｛T｝\ζ（U（\ theta））\，d \ theta \）,

哪里

$$U（s）=\bigl\{x（s）：x\在U\bigr\}中，\quad s\在J中$$

定理2.1

（DFPT[26])

让Λ非空的,关闭,有界的,和Banach空间的凸子集 X,然后让 \（\digamma:\Lambda\longrightarrow\Lambda） 是满足条件的连续算子

$$\zeta\bigl（\digamma（S）\bigr）\leq k\zeta（S）\quad\textit｛for any｝（S\neq\emptyset）\subet \Lambda，k\in[0，1）$$

那就是,Ϝ 是一个 k个-凝固收缩.

然后 Ϝ 中至少有一个固定点∧。

定义2.3

([29])

让\（C（J，X）中的\vartheta\）.方程式(1)UHR在以下方面是否稳定ϑ如果存在\（c{f}>0\）这样，对于任何\（epsilon>0\）以及每个解决方案\（z在C（J，X）中）关于不平等

$$\bigl\Vert D^{u（t）}_{0^{+}}z（t）-f\bigl（t，z（t$$

有一个解决方案\（x在C（J，x）中）方程式的(1)带有

$$\bigl\Vert z（t）-x（t）\bigr\Vert\leq c_{f}\epsilon\vartheta（t），\quad t在J中$$

三解决方案的存在

让我们介绍以下假设：

• （H1） 让\（n\in\mathbb{n}\）是一个整数，让\（{\mathcal{P}}=\{J{1}:=[0，T_{1}]，J{2}:=（T_{1{，T_}2]，J{3}:=是区间的一个分区J型，并让\（u（t）:J\右箭头（1,2]\）是关于的分段常数函数\（{\mathcal{P}}\）也就是说，

  $$u（t）=\sum_{\ell=1}^{n} u个_{ell}I{ell}（t）=\textstyle\begin{cases}u{1}&\text{for}t在J{1}中，\\u{2}&\text在J{2}中代表}t，\\vdots\\u{n}&\ttext{for}t}在J{n}中$$

  哪里\（1<u{ell}\leq2\）是常数，并且\（I_｛\ell｝\）是间隔的指示器\（J_{\ell}:=（T_{\ell-1}，T_{\el}]\）,\（\ell=1,2，\ldot，n\）（带有\（T_{0}=0\）,\（T_｛n｝=T\）)，因此

  $$I{\ell}（t）=\textstyle\begin{cases}1&\text{for}t\inJ{\ell{，\\0&\text}others}。\结束{cases}$$

• （H2） 让\（t^{\delta}f_{1}:J\乘以X\乘以X\rightarrow X\）是连续函数\（J}}|（u（t））|中的（0\leq\delta\leq\ min_{t\）.存在常量\（K，L>0）使得

  $$t^{delta}\bigl\Vert f_{1}_{1} -年_{2} \垂直+L\垂直z_{1} -z（-z）_{2} X\text{和J中的}t表示所有}y_{1}、y_{2}、z_{1{、z_2}$$

备注3.1

根据的评论[30]在第20页，我们可以很容易地证明条件（H2）和不等式

$$\zeta\bigl（t^{\delta}\bigl\Vert f_{1}（t，B_{1{，B_2}）\bigr\Vert\bigr）\leq K\zeta（B_{1'）+L\zeta$$

对于任何有界集都是等价的\（B_｛1｝，B_｛2｝\子集X\）和\（单位：J\）.

此外，对于给定的集合U型函数的\（u:J\至X\），让我们表示

$$U（t）=\bigl\{U（t），U\在U\bigr\}中，\quad t\在J中$$

和

$$U（J）=\bigl\{U（t）：v\在U中，t\在J\bigr\}中$$

现在让我们证明BVP解的存在性(1)通过MNCK和DFPT的概念。

对于\（\ell\在\{1，2，\ldot，n\}\中），由\（E_{ell}=C（J_{ell}，X）我们表示连续函数的Banach空间\（x:J_{ell}\到x\）符合规范

$$\Vertx\Vert_{E_ell}}=\sup_{t\in J_{ell}}\bigl\Vertx（t）\bigr\Vert$$

首先，我们分析了BVP(1).

由(三)BVP方程(1)可以表示为

$$\frac{d^{2}}{dt^{2{}}\int_{0}^{t}\frac}（t-s）^{1-u（t）}}{\Gamma（2-u（t$$

(4)

拿\（（H1）\）考虑到，方程式(4)在间隔中\（J_{\ell}，\ell=1,2，\ldot，n\），可以写为

$$开始{对齐}和\frac{d_{2}}{dt^{2}{biggl（int_{0}^{T_{1}}\frac}（T-s）^{1-u{1}{{Gamma（2-u{1{）}x（s）_{\ell}）}x（s）\，ds\biggr）\\&\quad=f_{1}\bigl（T，x（T），I^{u_{ell}_{0^{+}}x。\结束{对齐}$$

(5)

现在我们向BVP介绍解决方案(1).

定义3.1

BVP公司(1)如果有函数，则有解决方案\（x_{\ell}，\ell=1,2，\ldot，n\），因此\（C（[0，T_{ell}]，x）中的x_{ell}\）满足等式(5)和\（x{\ell}（0）=0=x{\el}（T_{\ell{）\）.

根据上述观察，BVP(1)可以表示为任何\（在J_{l}中为t）,\（l=1，2，点，n），作为(5).

对于\（0\leq t\leq t_｛\ell-1｝\），采取\（x（t）等于0），我们可以写(5)作为

$$D^{u_{\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（T）=f_{1}\bigl（T，x（T$$

我们将处理以下BVP：

$$\textstyle\开始{cases}D^{u_{ell}}_{T_{ell-1}^{+}}x（T）=f_{1}（T，x（T，I^{u{ell}_{T_{ell-1}^{+}}x（T。\结束{cases}$$

(6)

为了我们的目的，以下引理将是(6).

引理3.1

一个函数 \（x\在E_{ell}\中） 形成解决方案(6)当且仅当 x 满足积分方程

$$开始{对齐}x（t）=&-（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u{\ell{}}{\ell-1}^{+}}x（t_{\ell}）\bigr）\\&{}+I^{u{\ell{}}_{t_{\ll-1}^}+}}f_{1}\bigl。\结束{对齐}$$

(7)

证明

让\（x\在E_｛\ell｝\中）成为问题的解决方案(6). 应用运算符\（I^{u_{ell}}_{T_{ell-1}^{+}}\）到的两侧(6)，来自引理2.1我们发现

$$开始{对齐}x（t）=&\omega_1}（t-t_{{ell-1}}）^{u{ell}-1}+\omega_2}（t-t_{ell-1{}）在J{ell}中，ell}-1}f{1}\bigl（s，x（s），I^{u{\ell}}_{t_{\ell-1}^{+}}x[s）\bigr）\，ds，\quart-t\。\结束{对齐}$$

由于对功能的假设\（f{1}\）随着\（x（T_{ell-1}）=0），我们得出结论\（ω{2}=0\）.

让x满足\（x（T_{ell}）=0）.请注意

$$\omega_{1}=-（T_{\ell}-T_{\ell-1}}）^{1-u_{\el}}I^{u_{ell}}_{T_{\el-1}^{+}}f_{1{\bigl（T_{\ ell}，x（T_{ell}），I^{u_\ell}}●●●●$$

然后我们发现

$$开始{对齐}x（t）=&-（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u{\ell{}}{\ell-1}^{+}}x（t_{\ell}）\bigr）\\&{}+I^{u{\ell{}}_{t_{\el-1}^}+}}f_{1}\bigl。\结束{对齐}$$

反过来，让\（x\在E_{ell}\中）是积分方程的解(7)，关于函数的连续性\（t^{\delta}f{1}\）和引理2.1，我们推断x是问题的解决方案(6). □

我们的第一个存在性结果基于定理2.1.

定理3.1

假设条件(H（H）1)和(H（H）2)保持并

$$\压裂{2（T_{\ell}-T_{\ell-1}）^{u_{\el}-1}\ell}+1）}\biggr）<1$$

(8)

然后是问题(6)在上至少拥有一个解决方案 J型.

证明

我们构造运算符

$$W:E_{\ell}\rightarrow E_{\el}$$

如下：

$$\begin{aligned}Wx（t）=&-（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u_{\el}}{\ell-1}^{+}}x（t_{\ell}）\biger）\\&{}+\frac{1}{\Gamma（u_{\ell{）}\int_{t_{ell-1}}^{t}}J_{\ell}中的x（s）\bigr）\，ds，\quad t。\结束{对齐}$$

(9)

它源于分数积分的性质和函数的连续性\（t^{\delta}f{1}\）操作员W公司定义明确。

让

$$R{\ell}\geq\frac{2f^{\star}（T_{\ell{-T{\ell-1}）}）{（1-\delta）\Gamma（u{\ell}）}（K+L\frac{$$

具有

$$f^｛\star｝=\sup_｛t\in J_｛\ell｝｝\bigl\Vert f_｛1｝（t，0，0）\bigr\Vert$$

我们考虑设置

$$B_{R_{\ell}}=\bigl\{x\在E_{\ell}中，\Vert x\Vert_{E_{\el}}\leq R_{ell}\bigr\}$$

显然，\（B_{R_{ell}}\）是非空的、闭合的、凸的和有界的。

现在我们演示一下W公司满足定理的假设2.1我们将分四个阶段进行证明。

步骤1:\（W（B_{R_{\ell}}）\子结构.

对于\（x\在B_{R_{ell}}\中），通过（H2），我们得到：

$$\begin{aligned}\bigl\Vert Wx（t）\bigr\Vert\leq&\frac{（t_{\ell}-t_{\ell-1}）^{1-u_{\el}}（t-t_{\el-1}ell}-1}\bigl\Vert f_{1}\bigle（s，x（s），I^{u{\ell}}_{t_{\ell-1}^{+}}x（s}\int_{T_{\ell-1}}^{T}^{T_{\ell}}{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{ell}-s \\&{}+\frac{2}{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{cell}-s）^{u_{ell}-1}\bigl\Vert f_1}（s，0，0）\bigr\Vert\，ds\\leq&\frac}2}{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{cell}-s+\frac{2f^{star}（T_{ell}-T_{ell-1}）-1} }{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}}s^{-\delta}\biggl（K+L\frac{（T_{\el}-T_{\el-1}）^{\star}（T_{\ell}-T_{\ell-1}）-T_{\ell-1}^{1-\delta}）}{（1-\delta）\Gamma（u{\ell}）{\biggl（K+L\frac{}）^{u{\ell}}{\Gamma（u{\el}）}\\leq&R{\ell}，\end{aligned}$$

也就是说\（W（B_{R_{\ell}}）.

步骤2:W公司是连续的。

让一个序列\（（x{n}）\）汇聚到x在里面\（E_{\ell}\），并让\（在J_{\ell}\中）。那么

$$\begin｛aligned｝&&bigl\Vert（Wx_｛n｝）（t）-（Wx）（t｛\ell｝-1｝\bigl\Vert f_｛1｝\bigl（s，x_｛n｝（s），I^｛u_｛\ell｝｝_｛t_｛\ell-1｝^｛+｝｝x_｛n｝（s）\bigr），I^{u_{\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s）\bigr\Vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\Gamma（u_{\ ell}）}\int_{T_}}^{T}（T-s）{\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x_{n}（s）\bigr）-f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_{ell}_{{\ell-1}^{++}x（s)^{1-u_{ell}（T_{ell}-T_{ell-1}）{T_{\ell-1}^{+}}x_{n}（s）\bigr）\\&\qquad{}-f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_{\ell}}_{T_{\ ell-1}^{+{}x（s}\nint_{T_{cell-1}}^{T_{ell}}（T-s）^{u_{ell}-1}\bigl\Vert f_{1}\bigr \ell-1}^{+}}x（s）\biger）\bigr\Vert\，ds\\&\quad\leq\frac{2}{\Gamma（u_{ell}）}\int_{T_{ell-1}}^{T_{el}}（T_{ell}-s）^{{ell}-1}\bigl\Vert f_{1}\bigl（s，x_{n}（s），I^{u_{\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x_{n}\bigr）-f_{1}\bigl（s，x（s）、I^{u_{\ ell}}_{T_{\ ell-1}^{+{}x（s，s）\bigr\Vert\，ds\\quad\leq\frac{2}\Gamma（u_{\\ell}）}\nint_{T_{ell-1}}^{T_{cell}}s^{-\delta}（T_{ell}-s）^{u_{ell}-1}\bigl（K\bigl\Vertx_{n}（s）-x（s） -x（s）\biger）\|）\，ds\\&\quad\leq\frac{2K}{\Gamma（u_{ell}）}\Vert x_{无}-x\Vert_{E_{ell}}\int_{T_{ell-1}}^{T_{el}s^{-\delta}（T_{ell}-s）^{u_{ell}-1}\，ds\\&\qquad{}+\frac{2L}{\Gamma（u_{el}）}\bigl\VertI^{u{ell}{{ell}_{T_ell-1}^{+}}（x_{n} -x个)\bigr\Vert _｛E_｛\ell｝｝\int _｛T_｛\ell-1｝｝^｛T_｛\ell｝s ^｛-\delta｝（T_｛\ell｝-s）^｛u_｛\ell｝-1｝\，ds\\&&quad\leq\frac｛2K｝｛\Gamma（u_｛\ell｝）｝\Vert x_{无}-x\Vert_{E_{ell}}\int_{T_{ell-1}}^{T_{EL}}s^{-\delta}（T_{ell}-s）^{u_{ell}-1}\，ds\\&\qquad{}+\frac{2L（T_{el}-T{ell-1{）1）}\垂直x_{n} -x个\Vert_{E_{ell}}\int_{T_{ell-1}}^{T_{el}s^{-\delta}（T_{ell}-s）^{u{ell}-1}\，ds\\&\quad\leq\biggl（\frac{2K}{\Gamma{\伽玛射线（u_{\ell}）\Gamma（u_}\ell}+1）}\biggr）\Vert x_{n} -x\Vert_{E_{ell}}\int_{T_{ell-1}}^{T_{el}s^{-\delta}（T_{ell}-s）^{u_{ell}-1}\，ds\\&\quad\leq\frac{}^{1-\delta}）}{（1-\delta）\Gamma（u{\ell}）{\biggl（2K+\frac{2L（T_{\ell{-T{\ell-1}）_{n} -x个\Vert_{E_\ell}}，\end{aligned}$$

也就是说，

$$\bigl\Vert（Wx_{n}）-（Wx）\bigr\Vert_{E_{ell}}\rightarrow0\quad\text{as}n\rightarror\infty$$

因此，操作员W公司持续打开\（E_{\ell}\）.

步骤3个：W公司有界且等度连续。

从第2步开始，我们有\（W（B_{R_{ell}}）={W（x）：x\在B_{R_{ell{}}}\}\子集B_{R{ell}}\中），因此，对于每个\（x\在B_{R_{ell}}\中），我们有\（W（x）{E_{ell}}\leq R{ell}\），这意味着\（W（B_{R_{ell}}）\）有界。还有待检查\（W（B_{R_{ell}}）\）是等连续的。

对于\（J{ell}中的t_{1}，t_{2}）,\（t{1}<t{2}）、和\（x\在B_{R_{ell}}\中），我们有：

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert（Wx）（t_{2}）-（Wx，（t_{1}）\bigr\Vert\\&\quad=\biggl\Vert-\frac{（t_{ell}-t_{ell-1}）^{1-u_{ell}}（t_{2} -吨_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}}{\Gamma（u{\el}）}\\&\qquad{}\times\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}}（T_{\ell}-s））\biger）\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\Gamma（u{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{2}}（T_{2} -秒)^{u{\ell}-1}f{1}\bigl（s，x（s）_{1} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}}{\Gamma（u{\el}）}\\&\qquad{}\times\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}}（T_{\ell}-s））\大）\，ds\\&\qquad{}-\frac{1}{\Gamma（u{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T_{1}}（T_{1} -秒)^{u_{\ell}-1}f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_｛\ell-1｝）^｛u_｛\ell｝-1｝\bigr）\\\\qquad｛｝\times\int _｛T_｛\ell-1｝｝^｛T_｛\ell｝｝｝（T_｛\ell｝-s）^｛u_｛\ell｝-1｝\bigl\Vert f_｛1｝\bigl（s，x（s），I^｛u_｛\ell｝｝_｛T_｛\ell-1｝^｛+｝｝x（s）\bigr \Vert，ds\\\\qquad｛｝+\frac｛1｝｛\Gamma（u_｛\ell｝）｝\int _｛T_｛\ell-1｝｝｝^｛T_｛1｝｝\bigl（（T_{2} -秒)^{u{ell}-1}-（t_{1} -秒)^{u_{\ell}-1}\bigr）\bigl\Vert f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s_{2} -秒)^{u_{\ell}-1}\bigl\Vert f_{1}\bigle（s，x（s），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}\times\int_{T_{\ell-1}}^{T_{cell}（T_{ell}-s）^}u_{ell}-1{\bigl\Vert f_{1}\bigl{1}（s，0，0）\bigr\Vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）^{1-u_{ell}}{\Gamma（u_{el}）}\bigl（（T_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）int_{T_{\ell-1}}^{T_{ell}-s ^{T{1}}\bigl（（T_{2} -秒)^{u{ell}-1}-（t_{1} -秒)^{u_{\ell}-1}\bigr）\bigl\Vert f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s T{1}}\bigl（（T_{2} -秒)^{u{ell}-1}-（t_{1} -秒)^{u_{ell}-1}\bigr）\bigl\Vert f_{1}（s，0，0）\bigr\Vert\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\Gamma（u_{el}）}\int_{t_1}}^{t_2}}（t_{2} -秒)^{u_{\ell}-1}\bigl\Vert f_{1}\bigle（s，x（s），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s（吨）_{2} -秒)^{u_{ell}-1}\bigl\Vert f_{1}（s，0，0）\bigr\Vert\，ds.\\&\quad\leq\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）^{1-u{ell}}{\Gamma（u_{cell}）}\bigle（（T_{2} -吨_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -吨_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}\times\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}}（T_{\el}-s）^{u_\ell}-1}s^{-\delta}\bigl（K\bigl\Vert x（s）\bigr\Vert+L\bigl\ Vert I^{u_{\ell{}}}x（s）\bigr\Vert\bigr）\，ds\\&\qquad{}+\frac{f^{star}（T_{ell}-T_{ell-1}）^{1-u{ell}}{\Gamma（u{ell{）}\bigl（（T_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\biger）\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}（T_{\el}-s）_{2} -秒)^{u{ell}-1}-（t_{1} -秒)^｛u_｛\ell｝-1｝\bigr）\bigl（K\bigl\Vert x（s）\bigr\Vert+L\bigl\Vert I^｛u_｛\ell｝｝_｛T_｛\ell-1｝^｛+｝｝x（s）\bigr\Vert\bigr）\，ds\\\\qquad｛｝+\frac｛f^｛\star｝｝｛\Gamma（u_｛\ell｝）｝\int _｛\ell-1｝｝^｛T_｛1｝｝｝\bigl（T_{2} -秒)^{u{ell}-1}-（t_{1} -秒)^{u{\ell}-1}\biger）\，ds\\&\qquad{}+\frac{1}{\Gamma（u{\el}）}\int_{t{1}}^{t{2}}s^{-\delta}（t_{2} -秒)^{u_{\ell}-1}\bigl（K\bigl\Vert x（s）\bigr\Vert+L\bigl\ Vert I^{u_}\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}x（s T吨_{2} -秒)^{u{\ell}-1}\，ds\\&\quad\leq\frac{1}{\Gamma（u{\el}）}\bigl（（t_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr qquad{}+\frac{f^{star}（T_{ell}-T{ell-1}）}{Gamma（u{ell}+1）}\bigl（（T_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}+\frac{1}{\Gamma（u_{\ ell}）}\bigl（K\Vert x\Vert_{E_{\ell{}}+L\bigl\Vert I^{u_-1}}^{T{1}}s^{-\delta}\bigl（（T_{2} -吨_{1} ）^{u{\ell}-1}\bigr）\，ds\\&\qquad{}+\frac{f^{\star}}{\Gamma（u{\el}）}\biggl（\frac}（t_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}}{u{\ ell}}-\frac{（t_{2} -吨_{1} ）^{u{\ell}}{{u{\ ell}}}-\frac{（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}}{{u{\ ell}}}\biggr）\\&\qquad{}+\frac{（t_{2} -吨_{1} ）^{u_{\ell}-1}}{\Gamma（u_{\tell}）}\bigl（K\Vert x\Vert_{E_{ell}}+L\bigl\Vert I^{u{\ell{}}_{T_{\ell-1}^{+}}x\bigr\Vert_1}}\bigr裂缝{f^{\star}}{\Gamma（u{\ell}）}\frac{（T_{2} -吨_{1} ）_{2} -吨_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}\times\biggl（K\Vert x\Vert_{E_{ell}}+L\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}裂缝{f^{star}（T_{ell}-T_{ell-1}）}{Gamma（u{ell}+1）}\bigl（（T_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}+\biggl（\frac{（{t_{1}}^{1-\delta}-{t_{\ell-1}}^}{1-\delta}）（t_{2} -吨_{1} ）^｛u｛\ell｝-1｝｝｛（1-\delta）\Gamma（u_｛\ell｝）｝\biggr）\biggl（K\Vert x\Vert _{E_｛\ell｝}+L\frac｛_｛\ell｝+1）｝\bigl（（T_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}}-（t_{2} -吨_{1} ）^{u_{ell}}-（t_{1} -吨_{\ell-1}）^{u_{\ell}}\biger）\\&\qquad{}+\frac{（{t{2}}^{1-\delta}-{t{1}}^}{1-\delta}）（t_{2} -吨_{1} ）^{u{\ell}-1}}{（1-\delta）\Gamma（u{\el}）}\biggl（K\Vert x\Vert_{E_{ell}}+L\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）}（T_{2} -吨_{1} ）^{u{\ell}}{\Gamma（u{\el}+1）}\\&\quad\leq\biggl}}{\Gamma（u_{\ell}+1）}\biggr）\Vert x\Vert_{E_ell}}+\frac{f^{\star}\倍\bigl（（t_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}-1}-（t_{1} -T型_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}\bigr）\\&\qquad{}+\biggl（\frac{{t_{2}}^{1-\delta}-{t_{\ell-1}}^{1-\delta}}{（1-\delta）\Gamma{\Gamma（u_{\ell}+1）}\biggr）\Vert x\Vert_{E_ell}}\bigr）（t_{2} -吨_{1} ）^{u{\ell}-1}\\&\qquad{}+\frac{f^{\star}}{\Gamma（u{\el}+1）}\bigl（（t_{2} -T型_{\ell-1}）^{u{\ell}}-（t_{1} -吨_{\ell-1}）^{u{\ell}}\bigr）。\结束{对齐}$$

因此\（（Wx）（t_{2}）-（Wx作为\（|t_{2} -吨_{1} |\右箭头0\），这意味着\（T（B_{R_{ell}}）\）是等连续的。

步骤4:W公司是一个k个-设置收缩。

对于\（B_{R_{ell}}中的U）和\（在J_{\ell}\中），我们有：

$$\begin{aligned}\zeta\bigl（W（U）（t）\bigr）=&\zeta\ bigl{\ell-1}}^{t_{\ell}}{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{\ell-1}}^{T}。\结束{对齐}$$

然后备注3.1意味着，对于每个\（在J_{i}中为\）,

$$开始{对齐}和\zeta\bigl（W（U）（t）\bigr）\\&\quad\leq\biggl\{\frac{（t_{\ell}-t_{\ell-1}）^{1-U{\ell{}}（t-t_{\el-1}\ell}}（t_{ell}-s）^{U_{ell}-1}\biggl[K\widehat{\zeta}（U）\int_{t_{{ell-1}}^{t_{ell{}s^{-\delta}\，ds+L\frac{（t_}\ell}-T_｛\ell-1｝）^｛u_｛\ell｝｝｝｛\Gamma（u_｛\ell｝+1）｝\widehat｛zeta｝hat｛\zeta｝（u）\ int _｛T_｛\ell-1｝｝｝^{t} 秒^{-\delta}\，ds\\&\qquad{}+L\frac{（T_{\ell}-T{\ell-1}）^{t} 秒^{-\delta}\，ds\biggr]，x\在U\biggr中^{t_{ell}}s^{-\delta}\，ds+L\frac{（t_{ell{-t_{ell-1}）^{U{ell}{\Gamma（U_{ell}+1）}\widehat{\zeta}（U）\int_{t_{el-1}}}^｛T_｛\ell｝｝s ^｛-\delta｝\，ds\biggr]\\&\qquad｛｝+\frac｛（T-T_｛\ell-1｝）^｛u｛\ell｝-1｝｝｝｛\Gamma（u｛\ell｝）｝\ int _｛T_｛\ell-1｝｝｝^｛T｝\biggl[K\widehat｛zeta｝（u）\ int _｛\ell-1｝｝｝^{t} 秒^{-\delta}\，ds\\&\qquad{}+L\frac{（T_{\ell}-T{\ell-1}）^{t} 秒^{-\delta}\，ds\biggr]，x\在U\biggr\}\\&\quad\leq\frac{[（{T_{ell}}^{1-\delta{-\delta}}^}{1-\ delta}）+伽马（U{\ell}）}\biggl（K+L\frac{（T_{\ell{-T_{\ell-1}）^{U{\el}}{\Gamma（U{\ ell}+1）}\biggr）\widehat{\zeta}（U）\\&\quad\leq\frac{2（{T_{ell}}^{1-\delta}-{T_{cell-1}}^{1-\ delta}）（T_{ell{-T_{ell-1}）}}{\Gamma（u_{\ell}+1）}\biggr）\widehat{\zeta}（u）。\结束{对齐}$$

因此，我们有：

$$\widehat{\zeta}（WU）\leq\frac{2 ^{u{\ell}}{\Gamma（u{\el}+1）}\biggr）\widehat{\zeta}（u）$$

因此，从(8)我们推断W公司形成一个固定的收缩。因此根据定理2.1问题(6)至少有一个解决方案\（\widetilde{x{ell}}\）在里面\（B_{R_{ell}}\）.

让

$$ {x}_{\ell}=\textstyle\begin{cases}0，&t\in[0，t_{\ell-1}]，\\widetilde{x}_{\ell}，&t\在J_{\ellneneneep中。\结束{cases}$$

(10)

我们知道这一点\（C（[0，T_{ell}]，x）中的x_{ell}\）由定义(10)满足等式

$$\frac{d_{2}}{dt^{2}{biggl（int_{0}^{T_{1}}\frac{（T-s）^{1-u{1}{{Gamma（2-u{1{）}x{ell}（s）\，ds+\cdots+\int_{T_{ell-1}}^{T}\frac}{\ell}）}{x_{\ell{}}（s）\，ds\biggr）=f_{1}\bigl$$

对于\（在J_{\ell}\中），这意味着\（x_｛\ell｝\）是的解决方案(5)带有\（x{\ell}（0）=0\）和\（x_{\ell}（T_{\ell{）=\widetilde{x}_{\ell}（T_{\ell{）=0\）。那么

$$x（t）=\textstyle\begin{cases}x_{1}（t），在J_{1{中为四t，在J_1}中为（t）{x}_{2} ，在J{2}中为&t，在[0，t_{ell-1}]中为&t\{x}_{\ell}，&t\在J_{\ellneneneep中，\end{cases}\displaystyle\end{cases}$$

形成BVP的解决方案(1). □

4Ulam–Hyers–Rassias稳定性

定理4.1

假设(H（H）1), (H（H）2), (8)，和

（H3）：

\（C（J_{ell}，X）中的\vartheta\） 是递增函数,并且存在 \（λ｛\vartheta｝＞0\） 使得

$$I^{u_{\ell}}{{T_{\ell-1}}^{+}}\vartheta（T）\leq\lambda_{{\vartheta}（T）}{\vartheta}$$

然后方程(1)UHR在以下方面是否稳定 ϑ.

证明

让\（z在C（J_{ell}，X）中）是不等式的解

$$\bigl\Vert D^{u_{ell}}_{{T_{ell-1}}^{+}}z（T）-f_{1}\bigl（T，z（T$$

(11)

让\（x在C（J_{ell}，x）中）解决问题

$$开始{对齐}和D^{u_{ell}}_{{T_{ell-1}}^{+}}x（T）=f_{1}\bigl（T，x（Tx（T_{\ell-1}）=0，\四x（T_{\ell}）=0\结束{对齐}$$

按引理3.1我们有：

$$开始{对齐}x（t）=&-\frac{（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u_{\el}}}f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_{ell}}_{t_{ell-1}^{+}}x（s\bigl（s，x（s），I^{u_{ell}}_{T_{ell-1}^{+}}x（s，s）\bigr）\，ds.\end{aligned}$$

通过整合(11)从（H3）我们得到：

$$开始{对齐}和\biggl\Vert z（t）{}+\frac{（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u_{\el}}（t-t_{\el-1}）u_{\ell-1}}f_{1}\bigl（s，z（s）），I^{u_{ell}}_{t_{ell-1}^{+}}z（s^{u_{\ell-1}}f_{1}\bigl（s，z（s）），I^{u_\ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}z（s，ds\\&\quad\leq\epsilon\lambda_{{vartheta}（T）}{vartheta}（T）。\结束{对齐}$$

另一方面，对于每个\（在J_{\ell}\中），我们有：

$$\开始{对齐}和\bigl\Vert z（t）-x（t）\bigr\Vert\\&\quad=\biggl\Vert z（t）+\frac{（t_{\ell}-t_{\ell-1}}）^{1-u_{\el}}（t-t_{\el-1}）^{t_{\ell}}（t_{\el}-s）}\nint_{T_{{\ell-1}}^{T}（T-s）^{u_{\ell-1}}f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u{\ell}_{T_2\ell-1}^{+}}x（s ^{1-u_{\ell}}（T-T_{\ell-1}）}_{T_{\ell-1}^{+}}z（s）\bigr）\，ds\\&\qquad{}-\frac{1}{\Gamma（u_{\ell}）}\int_{T_{{\ell-1}}^{T}（T-s）s）\bigr）\，ds\biggr\Vert\&\qquad{}+\frac{（T_{\ell}-T_{\ell-1}）^{1-u_{\el}}（T-T_{\el-1}}（T_｛\ell｝-s）^｛u_｛\ell｝-1｝\\&\qquad\bigl\Vert f_｛1｝\bigl（s，z（s），I^｛u_｛\ell｝｝_｛T_｛\ell-1｝^｛+｝z\bigr）-f_｛1｝\bigl（s，x（s），I^｛u_｛\ell｝｝_｛T_｛\ell-1｝^｛+｝x\bigr）\bigr\Vert，ds\\&\qquad｛+\frac｛1｝｛\Gamma（u_｛\ell｝）｝\int _｛T_｛\ell-1｝｝^｛T｝（T-s）^｛u_｛\ell｝-1｝\bigl\Vert f_｛1｝\bigl（s，z（s），I^｛u_｛\ell｝｝_｛T_｛\ell-1｝^｛+｝}z\biger）-f_{1}\bigl（s，x（s），I^{u_{ell}}_{T_{ell-1}^{+}}x\biger-1}）^{u{\ell}-1}}{\Gamma（u{\el}）}\\&\qquad{}\times\int_{T_{\ell-1}}^{T_{\ ell}}\bigl（K\bigl\Vertz（s）-x}-1}s^{-\delta}\bigl（K\bigl\Vertz（s）-x，ds\\&\quad\leq\lambda_{{vartheta}（t）}\epsilon{vartheta（t）+\frac{（t_{ell}-t_{ell-1}）垂直z-x\Vert_{E_{ell}}\biger）整型-1} }{\Gamma（u_{\ell}）}\bigl（K\Vertz-x\Vert_{E_\ell}}+LI^{u_{\ ell}}_{T_{\ell-1}^{+}}\VertZ-x\Vert_{E_{\ell{}}\bigr）\int_{T_}}^{T}s^{-\delta}\，ds\\&\quad\leq\lambda_{\vartheta}（T）}\epsilon{\vartheta}（T）+\frac{（T_{\ell}-T_{\ell-1}）^{u_{\el}-1}\伽马（u_{ell}）}\\&\qquad{}\times\biggl（K\Vertz-x\Vert_{E_ell}}+L\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）^{u{ell}}{\Gamma-T_{\ell-1}）^{u_{\ell}-1}（{T}^{1-\delta}-{T_{\el-1}}^{1-\ delta}）}{（1-\ delta）\Gamma（u_{\ ell}）}\biggl（K\Vertz-x\Vert_{E_ell}}+L\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）^{u_{ell}}{Gamma（T_{\ell}-T_{\ell-1}）}\biggl（K+L\frac{（T_{ell}-T_{ell-1}）^{u{ell}}{\Gamma（u_{ell}+1）}\biggr）\Vert-z-x\Vert_{E_ell}}。\结束{对齐}$$

然后

$$\开始{对齐}\Vert z-y\Vert_{E_{ell}}\biggl（1-\frac{2（{T_{ell}{1-\delta}-{T_{el-1}}^{1-\delta}）（T_{ell{-T{ell-1}）^{u{ell}-1}}{（1-\delta）\Gamma（u_{ell}）}\bigl（K+L\frac}（T_{ell}-T_{ell-1}）^{u_{ell}}{\Gamma（u_{el}+1）}\biggr）\bigger）\leq&\lambda_{\vartheta}（T）}\epsilon{\varheta}\结束｛对齐｝$$

对于每个\（在J_{\ell}\中），我们得到：

$$开始{aligned}\Vertz-y\Vert_{E_{ell}}\leq&\frac{lambda_{{vartheta}（t）}\epsilon{vartheta}}}{（1-\delta）\Gamma（u{\ell}）}（K+L\frac{（t_{\ell{-t{\ell-1}）}))}\\=&\biggl[1-\frac{2细胞}}}{\Gamma（u{\ell}+1）}\biggr）\biggr]^{-1}\\&{}\times\lambda_{{\vartheta}（T）}\epsilon{\vartheta}。\结束{对齐}$$

然后是公式(6)UHR在以下方面稳定吗ϑ对于每个\（\ell\in \{1,2，\ldots，n\}\）.

因此(1)UHR在以下方面是否稳定ϑ. □

5例子

在这个例子中，我们处理分数阶边值问题

$$\textstyle\开始{cases}D^{u（t）}_{0^{+}}x（t）=\frac{t^{-\frac}1}{3}}e^{-t}}{（e^{e^{t^}}{1+t}}+4e^{2t}+1）J:=[0,2]，\\x（0）=0，\q四元x（2）=0。\结束{cases}$$

(12)

让

$$\开始{对齐}&f_{1}（t，y，z）=\分数{t^{-\分数{1}{3}}e^{-t}}{（e^{e^{分数{2}}{1+t}}+4e^{2t}+1）（1+y+z）}，\四元（t，y，z）\在[0,2]\次[0，+\infty）\次[0,+\infty），\\&u（t）=\textstyle\begin{cases}\frac{3}{2}，在J{1}:=[0，1]，\\frac{9}{5}中是&t\，在J{2}:=]1，2]中是。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(13)

然后我们有：

$$开始{对齐}t^{\frac{1}{3}}\bigl\vert f_{1}（压裂{1}{1+y{1}+z{1}}-\压裂{1{1+y{2}+z}}\biggr）\biggr\vert\\\leq&\压裂{e^{-t}（\vert y_{1} -年_{2} \vert+\vert z_{1} -z（-z）_{2} \ vert）}{（e^{e^{压裂{t^{2}}{1+t}}}+4e^{2t}+1）（1+y_{1}+z{1}）（1~+y_{2}+z_2}）}\\leq&\压裂{e^}-t}}{（\垂直y_{1} -年_{2} \vert+\vert z_{1} -z（-z）_{2} \vert\bigr）\\leq&\frac{1}{（e+5）}\vert y_{1} -年_{2} \vert+\frac{1}{（e+5）}\vertz_{1} -z（-z）_{2} \垂直。\结束{对齐}$$

因此（H2）与\（δ=frac{1}{3}\）和\（K=L=\压裂{1}{e+5}\）.

由(13)问题的方程式(12)可以分为以下两个表达式：

$$\开始{对齐}和D^{\frac{3}{2}}_{0^{+}}x（t）=\frac{t^{-\frac{1}{3}}e^{-t}}{（e^{e^{t^}}{1+t}}+4e^{2t}+1）t）\vert）}，J_1}中的四元t，\&D^{\frac{9}{5}}{1^{+}}x（t）=\frac}t^{-\frac{1}{3}e^{-t}}{（e^{e^{t^{2}{1+t}}+4e^{2t}+1）裂缝{9}{5}}x（t）\vert）}，\quad t\在J_{2}中。\结束{对齐}$$

对于\（位于J_{1}中），问题(12)等同于问题

$$\textstyle\begin{cases}D^{\frac{3}{2}}_{0^{+}}x（t）=\frac}t^{-\frac_1}{3}}e^{-t}}{（e^{e^{\frac{t^{2}{1+t}}+4e^{2t}+1）x（t）\vert）}，&t在J{1}中，\\x（0）=0，\qquad x（1）=0。\结束{cases}$$

(14)

接下来，我们证明了这个条件(8)已实现。

$$\begin｛aligned｝&&frac｛2（｛T_｛1｝｝^｛1-\delta｝-｛T_｛0｝｝^｛1-\delta｝）（T_{1} -T型_{0}）^{u_{1}-1}}{（1-\δ）\Gamma（u_{1}）}\biggl（K+\压裂{L（T_{1} -T型_{0}）^{u_1}}{\Gamma（u_1}+1）}\biggr）\\&\quad=\frac{2}{\frac}{3}（e+5）\Gamma（\frac_2}{2}）}\biggl（1+\frac_1}{\Gamma（\frac{5}{2{）}\biggre）\simeq 0.7685<1。\结束{对齐}$$

让\（\vartheta（t）=t^{\frac{1}{2}}\）。那么

$$开始{对齐}I^{u_{1}}_{0^{+}}\vartheta（t）=&\frac{1}{\Gamma{0}^{t}（t-s）^{\分形{1}{2}}\，ds\\leq&\分形{2}{3\Gamma（分形{3}{2{）}\vartheta（t）：=\lambda_{{vartheta}（t）}{vartheta}（t）。\结束{对齐}$$

因此（H3）满足\（\vartheta（t）=t^{\frac{1}{2}}\）和\（\lambda{{vartheta}（t）}=\压裂{2}{3\伽马（压裂{3}{2}）}\）.

通过定理3.1问题(14)有解决方案\（在E_{1}中为x_{1}\）、和根据定理4.1中的方程式(14)UHR稳定。

对于\（在J_{2}中为t），问题(12)可以写为：

$$\textstyle\begin{cases}D^{\frac{9}{5}}_{1^{+}}x（t）=\frac}t^{-\frac[1}{3}}e^{-t}}{（e^{e^{\frac{t^{2}{1+t}}+4e^{2t}+1）x（t）\vert）}，&t在J{2}中，\\x（1）=0，\qquad x（2）=0。\结束{cases}$$

(15)

我们看到了

$$开始{对齐}和\frac{2（{T_{2}}^{1-\delta}-{T_{1}}^}1-\delta}）（T_{2} -T型_{1} ）^{u_{2}-1}}｛（1-\delta）\Gamma（u_｛2｝）｝\biggl（K+\frac｛L（T_{2} -T型_{1} ）^{u{2}}{\Gamma（u{2{+1）}\biggr）\\&\quad=\frac{2小于0.3913。\结束{对齐}$$

因此，条件(8)感到满意。此外，

$$开始{对齐}I^{u_{2}}_{1^{+}}\vartheta（t）=&\frac{1}{\Gamma{1}^{t}（t-s）^{\frac{4}{5}}\，ds\\leq&\frac{5}{9\Gamma（\frac{9}{5{）}\vartheta（t）：=\lambda_{{vartheta}（t）}{vartheta}（t）。\结束{对齐}$$

因此（H3）满足\（\vartheta（t）=t^{\frac{1}{2}}\）和\（\lambda{{vartheta}（t）}=\压裂{5}{9\伽马（压裂{9}{5}）}\）.

通过定理3.1问题(15)拥有解决方案\（\widetilde{x}_{2} \在E_{2}\）进一步，定理4.1产生这样的结果(15)是UHR稳定的。

众所周知

$$x{2}（t）=\textstyle\begin{cases}0，&t\inJ{1}\\widetilde{x}_{2} （t），&t\在J{2}中。\结束{cases}$$

因此，根据定义3.1边值问题(12)有解决方案

$$x（t）=\textstyle\begin{cases}x_{1}（t），在J_{1{中为四t，在J_1}中为（t）{x}_{2} （t），&t\在J{2}中。\结束{cases}\显示样式\结束{cases}$$

此外，根据定理4.1中的方程式(12)是UHR稳定的。

6结论

本文通过三个定理（Darbo不动点定理（DFPT）、Kuratowski非紧性测度（KMNC）和Ulam-Hyers-Rassias稳定性（UHR））成功地研究了我们提出的多项边值问题，以证明我们提出的边值问题解的存在性和稳定性。最后给出了一个数值例子，以支持和验证我们所有所得结果的潜力。由于我们对这一特定研究课题的调查，我们的结果是新颖的。此外，在我们这项工作的新成果的支持下，可以对这一开放研究课题进行进一步的研究工作。我们提出的BVP可以推广到其他分数阶模型。