退化完全和部分Bell多项式的一些性质

摘要

本文研究了退化完全贝尔多项式和部分贝尔多项式，并建立了这些多项式的一些新恒等式。此外，我们还研究了与退化完全和部分Bell多项式密切相关的修正退化完全和局部Bell多项式之间的联系，以及独立退化泊松随机变量加权和的联合分布。

1介绍

最近对一些特殊数字和多项式的退化版本的研究，使我们引入了有趣的退化伽马函数（参见[18])、和λ-关于本影演算的研究λ-Sheffer序列（参见[14]). 因此，我们可以说，到目前为止，研究许多特殊多项式和数字的退化版本是很有道理的。

完全贝尔多项式和部分贝尔多项式分别是贝尔多项式和第二类斯特林数的多元版本。它们在组合学、概率论、代数和分析等不同领域都有应用。例如，复合函数的高阶导数可以用部分Bell多项式表示，这被称为Faádi Bruno公式n个随机变量的第h个矩是n个第一个中的第个完备Bell多项式n个累积量。出现在部分Bell多项式中的单项式数\（B_{n，k}（x_{1}，x_{2}，\dots，x_{n-k+1}）\）（请参见(6), (7))是具有的集合的分区数n个元素到k个块，每个单项的系数是用n个元素作为相应的k个阻碍。

本文的目的是进一步研究最近引入的退化完全和部分Bell多项式，它们是完全和部分贝尔多项式的退化版本（参见(12), (13)). 更详细地说，我们导出了与此类Bell多项式相关的几个恒等式，其自变量由两个“可变向量”的和给出（见定理1-4）。进一步，我们在定理中获得了退化部分Bell多项式的递推关系5此外，我们还提到了退化部分贝尔多项式的三个结果，这些结果可以通过与部分贝尔多项式相同的方法导出（参见[9]). 然后，作为概率论的应用，我们展示了修改后的退化完全贝尔多项式和部分贝尔多项式之间的联系，它们与退化完全贝尔和部分Bell多项式略有不同（参见(27), (29))以及独立退化泊松随机变量加权和的联合分布（见定理6和7).

尽管文献中有大量关于Bell多项式的论文，但在[17]和[19]. 本文件的贡献是双重的。第一部分是关于退化完全贝尔多项式和不完全贝尔多项式的进一步结果的推导。第二个是概率论的应用，它显示了修正的退化完全和部分Bell多项式与独立退化泊松随机变量加权和的联合分布之间的某些联系。最近关于贝尔多项式的一些工作可以在[1,三,4,6,7,9,10,12,25].

在本节的其余部分中，我们回顾了贯穿本文所需的必要事实。对于任何\（\lambda\in\mathbb{R}\），退化指数函数定义为

$$\begin｛aligned｝e_｛\lambda｝^｛x｝（t）=\sum_｛l=0｝^｛\infty｝（x）_｛l，\lambda｝\frac｛t^｛l｝｝｛l！｝，\end｛aligned｝$$

(1)

哪里

$$\begin{aligned}\begin{aligned}&（x）_{0，\lambda}=1，\qquad（x）{n，\lampda}=x（x-\lambda）（x-2\lambda frac{t^{l}}{l！}\quad（见[13，15-17，19-24，26]}）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(2)

最近，Kim–Kim引入了由

$$\begin{aligned}\frac{1}{k！}\bigl（e_{\lambda}（t）-1\bigr）^{k}=\sum_{n=k}^{\infty}S_{2，\lambda}（n，k）\ frac{t^{n}}{n！}\quad（k\ge0）\（\text{see[13]}）。\结束{对齐}$$

(3)

请注意\（（x）{n，\lambda}=\sum{l=0}^{n} S公司_{2，\lambda}（n，l）（x）{l}，（n\ge0）、和\（\lim_{\lambda\rightarrow 0}S_{2，\lambda}（n，l）=S_{2}（n，l）\），其中\（S_{2}（n，l）\）是第二类斯特林数。

在[19]，退化Bell多项式定义为

$$\开始{对齐}e^{x（e_{\lambda}（t）-1）}=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{贝尔}_{n，\lambda}（x）\frac{t^{n}}{n！}\quad（见[2，5，8，9，11，13，15-17，19-24]}）。\结束{对齐}$$

(4)

因此，通过(三)和(4)，我们得到

$$\开始{aligned}\mathrm{贝尔}_{n，\lambda}（x）=\sum_{l=0}^{n} S公司_{2，\lambda}（n，l）x^{l}\quad（\text{see[19]}）。\结束{对齐}$$

(5)

对于任何具有\（n \ge k \ge 0），部分Bell多项式由下式给出

$$开始{对齐}\frac{1}{k！}\Biggl（\sum_{m=1}^{\infty}x_{m}\frac{t^{m}{m！}\Biggr）{见[8]}）。\结束{对齐}$$

（6）

因此，我们注意到

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[c]&B_{n，k}（x_{1}，x_{2}，\dots，x_}n-k+1}）\\&\quad=\sum_{\子堆栈{l_1}+\cdots+l_{n-k+1}=k\\l_1}+2l_2{2}+\cdots+（n-k+1）l_{n_k+1}=n}}\frac{n！}{l_{1{}！l{2}！\cdot l{n-k+1}！}\biggl（\frac{x{1}}{1！}\biggr）^{l{1}{\biggl。\end{aligned}\end{alinged}$$

(7)

在[9]，发现

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}[c]和B_{n，k}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k+1}）\\&=\frac{1}{x{1{}}\frac}1}{n-k}\sum_{\alpha=1}^{n-k{\binom{n}{alpha}\biggl[（k+1）-\frac[1}{n+1}{alpha+1}\bigr]x_{\alpha+1}B_{n-\alpha，k}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-\alpha-k+1}），\end{aligned}\end{arigned}$$

(8)

$$\开始｛对齐｝和\开始｛对齐｝[c]&B_｛n，k_｛1｝+k_｛2｝｝（x_｛1｝，x_｛2｝，\dots，x_｛n-k_{1} -k个_{2} +1}）\\&=\压裂{k{1}！k_｛2｝！｝{（k{1}+k{2}）！}\sum{\alpha=0}^{n}\binom{n}{\alalpha}B_{alpha，k{1}}$$

(9)

和

$$开始{对齐}开始{校准}[c]&B_{n，k+1}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k}）_{1}-1}\cdots\sum_{alpha_{k}=1}^{alpha_{k-1}-1}\binom{n}{\alpha_{1}}\binom}\alpha_1}}{\alpha_2}}\cdots\binom{\alfa_{k-1}}{\ alpha_}k}}x{n-\alpha_2}{x{\alba_1}}_｛1｝-\alpha_{2}}\cdots x_{\alpha_{k-1}-\α{k}}x{\alpha{k}{end{aligned}\end{alinged}$$

(10)

\（（n \ge k+1，k=1,2，\点）\）.

发件人(6)，我们注意到\（B_{n，k}（1,1，\点，1）=S_{2}（n，k），（n，k\ge 0）\）.

让X（X）是带参数的泊松随机变量\（阿尔法>0）然后是概率质量函数X（X）由提供

$$\开始{对齐}p（i）=p\{X=i\}=\frac{\alpha^{i}}{i！}e^{-\alpha}（i=0,1,2，\dots）\quad（\text{请参阅[26]}）。\结束{对齐}$$

(11)

请注意n个第个时刻X（X）由提供

$$\开始{对齐}E\bigl[X^{n}\bigr]&=\sum_{k=0}^{\infty}k^{n} 第页（k） =e^{-\alpha}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{n}}{k！}\alpha^{k}\quad（\text{see[26]}）\\&=\mathrm{贝尔}_{n} （\alpha）\quad（n\ge 0），\end{对齐}$$

哪里\（\mathrm{贝尔}_{n} （\字母）\）普通的贝尔多项式定义为

$$\开始{aligned}e^{alpha（e^{t} -1个)}=\sum_{n=0}^{\infty}\mathrm{贝尔}_{n} （\alpha）\frac{t^{n}}{n！}\quad（\text{see[26]}）。\结束{对齐}$$

让克是一个实值函数。然后是\（E[g（X）]\）定义为

$$\开始{对齐}E\bigl[g（X）\bigr]=\sum_{k=0}^{\infty}g（k）p（k）\quad（\text{see[26]}），\end{aligned}$$

哪里\（p（k）\）是离散随机变量的概率质量函数X（X）.

对于\（lambda\ in（0,1）\）,X（X）是带参数的退化泊松随机变量\（\alpha（>0）\）如果X（X）由提供

$$\begin{aligned}p_{\lambda}（i）=p\{X=i\}=e_{\lampda}^{-1}（\alpha）（1）_{i，\lambda}\frac{\alpha^i}}{i！}\quad（\text{see[13，15]}）。\结束{对齐}$$

请注意\（\lim_{\lambda\rightarrow 0}P_{\lambda}（i）=e^{-\alpha}\frac{\alpha^{i}{i！}\）是带有参数的泊松随机变量的概率质量函数\（阿尔法>0）.

最近，退化的部分Bell多项式定义为

$$开始{对齐}\frac{1}{k！}\Biggl（\sum_{i=1}^{infty}（1）_{i，\lambda}x_{i}\frac{t^{i}}{i！}\Biggr）^{k}=\sum_{n=k}^{infty}B_{n，k}^}（\lambda）}（x_{1}，x_{2}，\dots，x_n-k+1}）\ frac{t^{n}}{n！}\quad（\text{see[17,22--24]}），\end{aligned}$$

(12)

哪里k个是非负整数。

由(三)，我们得到

$$\开始{对齐}B_{n，k}^{（\lambda）}（1,1，\dots，1）=S_{2，\lambda}（n，k）\quad（n\ge-k\ge0）。\结束{对齐}$$

在[17,19,24]，通过引入退化的完备Bell多项式

$$开始{aligned}\exp\Biggl（\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}（1）_{i，\lambda}\frac{t^{i}{i！}\Biggr）=\sum_{n=0}^{\finty}B_{n}^{（\lambda）}。\结束{对齐}$$

(13)

发件人(4)和(13)，我们注意到

$$\开始{对齐}B_{n}^{（\lambda）}（x，x，\dots，x）=\mathrm{贝尔}_{n，\lambda}（x）\quad（n\ge 0）。\结束{对齐}$$

(14)

特别是(12)和(13)，我们得到

$$开始{对齐}B_{n}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n}）=\sum_{k=0}^{n} B类_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\点，x{n-k+1}）。\结束{对齐}$$

(15)

2退化完全和退化部分Bell多项式

在本节中，我们将推导退化完全和部分Bell多项式的几个性质。发件人(13)，我们注意到

$$开始{对齐}&\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}^{（\lambda）}1）{i，\lambda}\frac{t^{i}{i！}\Biggr）\\&\quad=\exp\Biggl（\sum_{i=1}^{infty}x_{i}（1）_{i，\ lambda{i}\frac{t^}{i_{i，\lambda}\frac{t^{i}{i！}\Biggr）\\&\quad=\sum_{j=0}^{\infty}B_{j}^{（\lambda）}{2}，\点，y_{m}）\frac{t^{m}}{m！}\\&\quad=\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl（\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j} B类_{j} ^{（λ）}（x{1}，x{2}，dots，x{j}）B_{n-j}^{。\结束{对齐}$$

(16)

因此，通过比较(16)，我们得到以下定理。

定理1

对于 \（第0页）,我们有

$$开始{对齐}B_{n}^{（\lambda）}（x{1}+y_{1}，x{2}+y_2}，\dots，x{n}+y_n}）=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j} B类_{j} ^{（λ）}（x{1}，x{2}，点，x{j}）B_{n-j}^{。\结束{对齐}$$

因此，根据定理1和(15)，我们得到

$$\beart｛aligned｝&&sum_｛n=k｝^｛infty｝B_｛n，k｝^｛，但本…，t^｛m｝｝｛m！｝+\sum_｛m＝1｝^｛infty｝（1）_^{\infty}（1）_{m，\lambda}y_{m}\frac{t^{m}{m！}\Biggr）^{i}\frac{1}{（k-i）{k}\sum_{j=i}^{\infty}B_{j，i}^}{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）\frac{t^j}{j！}\sum_{l=k-i}^（\infty）B_{l，k-i}{\压裂{t^{l}}{l！}\\&\quad=\sum_{i=0}^{k}\sum_}n=k}^{infty}\sum_{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B_{j，i}^{（\lambda）}（y_1}，y_2}，\dots，y_{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}{k}\sum_{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_｛j，i｝^｛（\lambda）｝（y_｛1｝，\dots，y_｛j-i+1｝）B_｛n-j，k-i｝^｛（\lambda）｝（x_｛1｝，x_｛2｝，\dots，x_｛n-j-k+i+1｝）\Biggr）\frac｛t^｛n｝｝｛n！｝。\结束{对齐}$$

(17)

通过比较(17)，我们得到以下定理。

定理2

对于任何具有 \（n \ge k \ge 0）,我们有

$$开始{对齐}开始{校准}和B_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}+y_{1}，x{2}+y_2}，点，x{n-k+1}+y_n-k+1}）\\&\quad=\sum{i=0}^{k}\sum{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\dotes，x{n-j-k+i+1}）。\end{aligned}\end{alinged}$$

发件人(12)带有\（k=0），我们有

$$\begin{aligned}B_{n，0}^{（\lambda）}（x_{1}，x_{2}，\dots，x_}n+1}）=\textstyle\begin}cases}1&\text{if$n=0$，}\\0&\text}if$n>0$}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(18)

来自定理2和(18)，我们注意到

$$开始{对齐}和B_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}+y_{1}，x{2}+y_2}，\dots，x{n-k+1}+y_a{n-k+1}）\\&\quad=\sum_{i=0}^{k}\sum_{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，\dots，y{j-i+1}）B{n-j，k-i}（x{1}，x{2}，\ dots，x{n-j-k+i+1}）\\&\ quad=\sum{j=0}^{n-k}\binom{n}{j} B类_{j，0}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j+1}）B_{n-j，k}^{（\lampda）{（x{1}，x{2}，\dotes，x{n-j-k+1}，）\\&\qquad{}+\sum{i=1}^{k}\sum{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\dotes，x{n-k-j+i+1}qquad{}+\sum{i=1}^{k}\sum{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，\dots，y{j-i+1}）B{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\ dots，x{n-j-k+i+1}^{n}\binom{n}{j} B类_{j，k}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-k+1}）B_{n-j，0}^{（\lampda{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\ dots，x{n-j-k+i+1}{n，k}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{n-k+1}）\\&\qquad{}+sum{i=1}^{k-1}\sum{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\dotes，x{n-j-k+i+1}）。\结束{对齐}$$

(19)

因此，通过(19)，我们得到以下定理。

定理3

对于 \（n，k\in\mathbb{Z}\） 具有 \（n \ge k） 和 \（第2页）,我们有

$$\开始{对齐}&\sum_{i=1}^{k-1}\sum_{j=i}^{n-k+i}\binom{n}{j} B类_{j，i}^{（\lambda）}（y{1}，y{2}，\dots，y{j-i+1}）B_{n-j，k-i}^}（\lambda）{（x{1}，x{2}，\dotes，x{n-j-k+i+1}），x{n-k+1}+y{n-k+1}）-B_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k+1}）。\结束{对齐}$$

来自定理1，我们有

$$\开始｛对齐｝和B_｛n｝^｛（λ）｝（x_｛1｝+y_｛1｝，x_｛2｝+y_｛2｝，\dots，x_｛n｝+y_｛n｝）=\sum_｛j=0｝^｛n｝\binom｛n｝{j} B类_{n-j}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-j{）B_{j}^}（\lambda），\点，y{n}）+\sum{j=1}^{n-1}\binom{n}{j} B_{n-j}^{（\lambda）}（x{1}，\dots，x{n-j{）B_{j}^}（\lambda）{（y{1}，y{2}，\ dots，y{j}）。\结束{对齐}$$

(20)

因此，通过(20)，我们得到以下定理。

定理4

对于 \（第2页）,我们有

$$\begin｛aligned｝&&sum_｛j=1｝^｛n-1｝\binom｛n｝{j} B类_{n-j}^{（λ）}（λ）}（x{1}，dots，x{n}）-B_{n}^{（λ。\结束{对齐}$$

发件人(12)，我们有

$$\开始{对齐}&\sum_{n=k}^{\infty}\mathit{千字节}_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，\dotes，x{n-k+1}）\frac{t^{n}}{n！}\\&\quad=\frac{1}{（k-1）！^{\infty}（1）{j，\lambda}x{j}\frac{t^{j}{j！}\\&\quad=\sum_{j=k-1}^{\infty}B_{j，k-1}（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{j-k+2}）（1） {l，\lambda}x{l}\frac{t^{l}{l！}\\&\quad=\sum_{n=k}^{infty}\Biggl（\sum_{j=k-1}^{n-1}\binom{n}{j} B类_{j，k-1}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{j-k+2}）（1）{n-j，\lambda}x{n-j}\Biggr）\frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

（21）

因此，通过比较(21)，我们得到以下定理。

定理5

对于 \（n，k第1页） 我们有

$$\开始{aligned}\mathit{千字节}_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k+1}）=\sum{j=k-1}^{n-1}\binom{n}{j} B类_{j，k-1}^{（λ）}（x{1}，x{2}，点，x{j-k+2}）（1）{n-j，λ}x{n-j}。\结束{对齐}$$

发件人(12)，我们可以推导出以下方程：

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[c]&B_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k+1}）\\&\quad=\sum\frac{n！}{i{1}！i{2}！\cdots i{n-k+1}！}\biggl（frac{（1）{{1，\lambda}x{1}}{1！}\biggr））^{i{n-k+1}}，\end{aligned}\end{aligned}$$

(22)

其中求和覆盖所有整数\（i{1}，i{2}，\ldots，i{n-k+1}\ge0）这样的话\（i{1}+\cdots+i{n-k+1}=k\）和\（i{1}+2i{2}+\cdots+（n-k+1）i{n-k+1}=n\）.

因此，通过使用(22)并继续进行推导中使用的类似论证(8), (9)和(10)（请参见[9])，我们获得以下身份：

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}[c]和B_{n，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k+1}）大gr]（1）{j+1，\lambda}x{j+1}B_{n-j，k}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-j-k+1}），\end{aligned}\end{arigned}$$

(23)

$$\begin｛aligned｝和\begin｛aligned｝[c]&B_｛n，k_｛1｝_{1} -k个_{2} +1}）\\&\quad=\frac{k{1}！k_｛2｝！｝{（k{1}+k{2}）！}\和{j=0}^{n}\binom{n}{j} B_{j，k{1}}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\点，x{j-k{1{1}+1}）B_{n-j，k}2}}^}（\lambda）$$

(24)

和

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[c]&B_{n，k+1}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n-k}）\\&\quad=\frac{1}{（k+1）！}\sum_{j{1}=k}^{n-1}\sum_{j{2}=k=1}^{j_{1}-1}\cdots\sum_{j_{k}=1}^{j_{k-1}-1}\二元{n}{j{1}}\二元{j{2}}\cdots\binom{j{k-1}}{j}}\\&\qquad{}\次（1）{n-j{1，\lambda}}x{n-j}}（1）_{1} -j个_{2，\lambda}}x{j_{1} -j个_{2} }\cdot（1）{j_{k-1}-j_{k，\lambda}}x{j_{k-1}-j_{k} }（1）{j{k，\lambda}}x{j{k}}，\end{aligned}\end{aligned}$$

(25)

哪里\（第k+1页）,\（k=1,2，\点\）.

发件人(13)，我们注意到

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[c]&B_{n}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n}）\\&\quad=\sum_{l_{1}+2l_{2}+\cdots+\mathit{nl}_{n} =n}\frac{n！}{l{1}！l{2}！\cdot l{n}！}\biggl（frac{x{1}（1）{1，\lambda}}{1！}\biggr），\end{对齐}\end}对齐}$$

(26)

哪里n个是非负整数。

三进一步备注

对于任何整数\（n，k）具有\（n \ge k），我们将修改的退化部分Bell多项式定义为

$$\begin{aligned}\begin{aligned}[c]&B_{n，k}（x_{1}，x_{2}，\dots，x__{n-k+1}|\lambda）\\&\quad=\sum_{\ substack{l_1}+\cdots+l_{n-k+1}=k\\l_{1{+2l_2}+\cdots+（n-k+1）l_{nk+1}=n}}\frac{n！}{l_{1}！l{2}！\cdot l{n-k+1}！}\Biggl（\prod_{i=1}^{n-k+1}\frac{x_{i}{i！}\Biggr）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(27)

在这里，我们应该观察修改的退化部分Bell多项式和由以下公式给出的退化部分贝尔多项式之间的差异

$$\boot｛aligned｝和B_｛n，k｝^｛（\lambda）｝（x_｛1｝，x_｛2｝，\dots，x_｛n-k+1｝）\\&&\dquad=\sum_｛\substack｛l｛1｝+\cdots+l_｛n-k+1｝=k\\l_｛1｝+2l_｛2｝+\cdots+（n-k+1）l_｛n-k+1｝=n｝\frac｛n！｝｛l｛1｝！l{2}！\cdot l{n-k+1}！}\比格尔（\prod_｛i=1｝^｛n-k+1｝\frac｛x_｛i｝｝｛i！｝\Biggr）^｛l_｛i｝｝\比格尔（\prod_｛i=1｝^｛n-k+1｝（1）_｛i，\lambda｝\Biggr）^｛l_｛i｝｝｝。\结束{对齐}$$

请注意\（\lim_{\lambda\rightarrow 0}B_{n，k}（x_{1}，x_{2}，\dots，x__{n-k+1}|\lambda）=B_{n，k{（x_1}，x_{2neneneep，\dotes，x{n-k+1}）.

假设\（X_{i}\（i=1,2，\点，n）\）是具有参数的同独立退化泊松随机变量\（\alpha_{i}（>0）\） \（（i=1,2，\点，n）\），并让\（n，k）是整数\（第二页）.那么我们有

$$\开始{对齐}&P\{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_}n}=k，X_{1'+2X_{1}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}\\&\quad=\sum_{\子堆栈{k_{1}+\cdots+k_{n}=k\\k_{1'+2k_{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} =n}}P\{X{1}=k{1}，X{2}=k}2}，\ldots，X{n}=k_{n}\}\\&\quad=\sum_{\子堆栈{nk}_{n} =n}}P\{X{1}=k{1}\}\cdot P\{X{2}=k}2}\}\ cdot P\{X{n}=k_{n}\}\\&\quad=e_{lambda}^{-1}&\qquad{}\times\sum{{\子堆栈{k{1}+\cdots+k{n-k+1}=k\\k{1{+2k{2}+\cdots+（n-k+1）k{n-k+1}=n}}\frac{（1）{k{1}，\lambda}（1_{k{n-k+1}，\lambda}}{k{1}！k{2}！\cdots k{n-k+1}！}\阿尔法{1}^{k{1}}\cdots\alpha_{n-k+1}^{k-k+1}}\\&\quad=\frac{P\{X{1}+X{2}+\cdots+X{n}=0\}}{n！}B_{n，k}\bigl（1！\α{n-k+1}（λ）。\结束{对齐}$$

(28)

因此，通过(28)，我们得到以下定理。

定理6

让 \（X{1}，X{2}，\点，X{n}\） 具有参数的同独立退化泊松随机变量 \（\alpha_{1}（>0）、\alpha_2}（>0）、\点、\阿尔pha_{n}（＞0）\）.对于任何整数 \（n，k） 具有 \（第二页）,我们有

$$\开始{aligned}&B_{n，k}\bigl（1！\alpha_{1}，2！\alfa_{2}，\dots，（n-k+1）！\alpha_{n-k+1}|\lambda\biger）\\&\quad=\frac{n！}{P\{X_1}+X_2}+\cdots+X_{n}=0\}}P\{X_1}+X_2}+\ cdots+X_{n}=k，X_{1}+2X_{1}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}。\结束{对齐}$$

对于任何正整数n个，我们通过

$$开始{对齐}和B_{n}（x{1}，x{2}，\dots，x{n}|\lambda）\\&\quad=\sum_{k{1}+2k{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} =n｝\frac｛n！｝｛k_｛1｝！k{2}！\cdot k{n}！}\Biggl（\prod_{i=1}^{n}\frac{x{i}{i！}\Biggr）。\结束{对齐}$$

(29)

再次，我们应该观察修正的退化完全Bell多项式和退化完全Bell多项式之间的差异，它们由下式给出

$$开始{对齐}和B_{n}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n}）\\&\quad=\sum_{k{1}+2k{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} =n｝\frac｛n！｝｛k_｛1｝！k{2}！\cdot k{n}！}\Biggl（\prod_{i=1}^{n}\frac{x{i}{i！}\Biggr）。\结束{对齐}$$

假设\（X_{i}\（i=1,2，\点，n）\）是具有参数的同独立退化泊松随机变量\（\alpha_{i}（>0）\） \（（i=1,2，\点，n）\）.我们有

$$\开始{对齐}&P\{X_{1}+2X_{2}+3X_{3}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}\\&\quad=\sum_{k_{1}+2k_{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} }P\{X_1}=k_1}，X_2}=k_2}，X_3}=k_3}，点，X_{n}=k_{n{}\}\\&\四元=e_{lambda}^{-1}（\alpha_1}）e_{lambda}^{-1{（\alpha_2}）{1}+2k{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} =n}\frac{（1）{k{1}，\lambda}（1！k{2}！\cdot k{n}！}\阿尔法{1}^{k{1}}\阿尔法{2}^{k{2}}\cdots\阿尔法{n}^{k{n}}\\&\quad=\frac{P\{X{1}+X{2}+\cdots+X{n}=0\}}{n！}B{n}（1！\alpha{1}，2！n \ge 0）。\结束{对齐}$$

因此，我们得到以下定理。

定理7

让 \（X_{i}\（i=1,2，\点，n）\） 具有参数的同独立退化泊松随机变量 \（α{i}>0（i=1,2，点，n））.那么我们有

$$开始{对齐}和B_{n}（1！\alpha_{1}，2！\alalpha_2}，\dots，n！\alfa_{n{|\lambda）\\&\quad=\frac{n！}{P\{X_1}+X_2}+\cdots+X_2{n}=0\}}P\{X_1}+2X_2}+3X_3}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}。\结束{对齐}$$

现在，我们考虑\（X_{i}\（i=1,2，\点，n）\）具有参数的同独立泊松随机变量

$$\begin{aligned}\frac{\alpha_{i}}{i！}（1）{i，\lambda}（>0）\quad（i=1,2，\dots，n）。\结束{对齐}$$

(30)

那么我们有

$$\开始{aligned}&P\{X_{1}+2X_{2}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}\\&\quad=\sum_{k_{1}+2k_{2}+\cdots+\mathit{nk}_{n} =n}P\{X{1}=k{1}，X{2}=k}2}，\点，X{n}=k_{n}\}\\&\四=e^{-（\frac{\alpha_1}}{1！}（1）{1，\lambda}+\frac}\alpha_2}}{2！}（1）{n，\lambda}）}\\&\qquad{}\times\sum{k{1}+2k{2}+\cdots+\mathit｛nk｝_{n} =n}\frac{1}{k{1}！k{2}！\cdot k{n}！}\biggl（\frac｛\alpha_｛1｝（1）_｛1，\lambda｝｝｛1！｝\biggr）^｛k_｛1｝｝\cdots\biggl（\frac｛\alpha_｛n｝（1）_｛n，\lambda｝｝｛n！｝\biggr）^｛k_｛n｝｝\\&&quad=\frac｛P\｛X_｛1｝+X_｛2｝+\cdots+X_｛n｝=0｝｝｝｛n！｝B_｛n｝^｛（\lambda）｝（X_｛1｝，X_｛2｝，\dots，X_｛n｝）。\结束{对齐}$$

由(30)，我们得到

$$开始{对齐}B_{n}^{（\lambda）}（x{1}，x{2}，\dots，x{n}）=\frac{n！}{P\{x{1}+x{2}+\cdots+x{n}=0\}}P\{x{1{+2X{2{+\cdot+\mathit{nX}_{n} =n \｝。\结束{对齐}$$

此外，我们还有

$$\开始{对齐}&P\{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_}n}=k，X_{1}+2X_{2}+\cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}\\&\quad=\sum_{\子堆栈{k_{1}+k_{2}+\cdots+k_}n}=k\\k_{1'+2k_{2]+\cdot+\mathit{nk}_{n} =n}}P\{X{1}=k{1}，X{2}=k}2}，\ldots，X{n}=k_{n}\}\\&\quad=e^{-\sum_{j=1}^{n}\ frac{\alpha_{j}}{j！}（1）_{j，\lambda}}\sum_{\substack{k{1{+k{2}+\cdots+k{n-k+1}=k\\k{1}+2k{2}+cdots+（n-k+1）k{n-k+1}=n}}\压裂{1}{k{1{！k{2}！\cdots k{n-k+1}！}\Biggl（\prod_{j=1}^{n-k+1}\frac{（1）_{j，\lambda}}{j！}x_{j}\Biggr）^{l_{j{}}\\&\quad=\frac{P\{x{1}+\cdots+x{n}=0\}}{n！}B_{n，k}^{（\lambda）}（x_{1}，x_{2}，点，x_n-k+1}）。\结束{对齐}$$

因此，我们有

$$开始{对齐}和B_{n，k}^{（\lambda）}cdots+\mathit{nX}_{n} =n\}。\结束{对齐}$$

4结论

完全贝尔多项式和部分贝尔多项式分别是贝尔多项式和第二类斯特林数的多元版本。它们在组合学、概率论、代数和分析等不同领域都有应用。

本文研究了最近引入的退化完全贝尔多项式和部分贝尔多项式，它们是完全贝尔多项式与部分贝尔多项式的退化形式。更详细地说，我们导出了与此类Bell多项式相关的几个恒等式，其参数由两个“变量向量”之和给出进一步，我们得到了退化部分Bell多项式的递推关系。此外，我们还提到了退化部分贝尔多项式的三个结果，这些结果可以用与部分贝尔多项式相同的方法导出。然后，作为概率论的应用，我们展示了与退化完全和部分Bell多项式略有不同的修正退化完全和局部Bell多项式之间的联系，以及独立退化泊松随机变量加权和的联合分布。

我们未来的项目之一是继续探索一些特殊数字和多项式在概率论中的应用。