2型退化中心Fubini多项式的新构造及其某些性质

摘要

基姆等。（《长江数学学报》21（4）：589–598，2018)研究了与第二类中心阶乘数相关的中心Fubini多项式。受他们工作的启发，我们引入了中心Fubini多项式的退化版本。我们证明这些多项式可以用费米子表示第页-上的adic积分\（\mathbb｛Z｝_{p} \）.来自费米子第页-在adic积分方程中，我们导出了第二类退化中心阶乘数和第二类简并欧拉数的一些新性质。

1介绍

让第页被选为固定的奇数素数。我们使用以下符号：\（\mathbb｛Z｝_{p} \），\（\mathbb{问}_{p} \），\（\mathbb{C}（C）_{p} \），\（\mathbb｛N｝\），\（\mathbb{N}_{0}\）和\（\mathbb{R}\）表示第页-adic整数，字段第页-adic有理数，代数闭包的完成\（\mathbb{问}_{p} \）、自然数集、包含零的自然数集和实数集。我们这么说\（\vert\cdot\vert_{p}\）是标准化的，如果\（\vert{p}\vert_{p}=p^{-1}\）.让\（C（\mathbb{Z}_{p}）\）是的空间\（\mathbb{C}_{p}\）-上的值连续函数\（\mathbb{Z}_{p}\）。对于\（f在C（\mathbb{Z}_{p}）中），费米子第页-函数的adic积分（f）最初由Kim建造[12]如下：

$$\开始{对齐}I_{-1}（f）：=&\int_{\mathbb｛Z｝_{p} }f（x）\，d\mu_{-1}（x）\\=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{a=0}^{p^{n} -1个}f（a）\mu{-1}\bigl（a+p^{n}\mathbb｛Z｝_{p} \biger）\\=&\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{a=0}^{p^{n} -1个}f（a）（-1）^{a}。\结束{对齐}$$

(1)

在这里\（I_｛-1｝\）由于费米子分布，被用作符号\（\mu_{-1}\）。它源自(1)那个

$$I_{-1}（f_{1}）+I_{-1-}（f）=2f（0）\quad\text{（参见[12]）}$$

(2)

带着这个假设\（f{1}（x）：=f（x+1）\）。有关应用程序的更多信息第页-adic积分，可以参考[4，8，9，14，17，22]以及其中引用的参考文献。

最近，金等. [20]表明Fubini多项式可以用费米子表示第页-上的adic积分\（\mathbb｛Z｝_{p} \）如下：

$$\int_{\mathbb｛Z｝_{p} }（x\bigl（1-e^{t}\biger）\bigr）^{y}，d\mu{-1}（y）=\frac{2}{1-x（e^{t} -1个)}=2\sum_{n=0}^{\infty}F_{n}（x）\frac{t^{n}}{n！}$$

(3)

有关Fubini多项式的更多信息，可以查看参考文献[5，10，24]. 第二类斯特林数定义如下（参见[11])

$$x^{n}=\sum_{k=0}^{n} S公司_{2} （n，k）（x）{k}$$

(4)

哪里

$$（x）_{n}=\textstyle\begin{cases}x（x-1）\cdots（x-n+1），&\text{when}n\geq1，\\1，&\text{when{n=0，\end{cases{$$

或等同于

$$\sum_{n=k}^{\infty}S_{2}（n，k）\frac{t^{n}}{n！}=\frac{（e^{t} -1个)^{k} }{k！}\quad（k\geq 0）$$

(5)

让\（\lambda\neq 0\）可以是任何实数。卡利茨[1]通过以下生成函数引入退化伯努利多项式：

$$\sum_{n=0}^{\infty}\beta_{n}（x；\lambda）\frac{t^{n}{n！}=\frac}{（1+\lambdat）^{frac{1}{lambda}}-1}（1+/lambda-t）$$

(6)

什么时候？\（x=0）英寸(6),\（\beta_{n}（\lambda）=：\beta_n}（0；\lambda\）是退化的伯努利数。很明显(6)那个

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}\beta_{n}（x；\lambda）：=B_{n{（x）\quad（n\in\mathbb{n}_{0}）$$

哪里\（B_{n}（x）\）伯努利多项式由

$$\sum_{n=0}^{\infty}B_{n}（x）\frac{t^{n}}{n！}=\frac{t}{e^{t} -1个}e^{xt}，\quad\textit{cf}\mbox{[1]}$$

平行于(6)，退化欧拉多项式由以下生成函数定义：

$$\sum_{n=0}^{\infty}\mathit{电子}_{n} （x；\lambda）\frac{t^{n}}{n！}=\frac{2}{（1+\lambdat）^{\frac{1}{\lambda}}+1}（1+/\lambdatat）^}\frac}x}{\lambda}}}\quad（0\neq\lambada\in\mathbb{R}）\text{（参见[1]）}$$

(7)

什么时候？\（x=0）英寸(9),\（\mathit{电子}_{n} （\lambda）=：\mathit{电子}_{n} （0；\lambda）\）是退化的欧拉数。

对于\（0\neq\lambda\in\mathbb{R}\），值得注意[16，21]那个

$$开始{对齐}e_{\lambda}^{x}（t）：=&（1+\lambda t）^{\frac{x}{\lampda}}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\biggl（\frac}x}{lambda{\biggr）_{n}\lambda^{n}{n，\lambda}\frac{t^{n}}{n！}，\end{aligned}$$

(8)

哪里

$$（x）_{0，\lambda}=1，\quad\quad（x）{n，\lampda}:=x（x-\lambda）（x-2\lambda$$

第二类退化欧拉数由下式给出

$${\operatorname{sech}}_{\lambda}（t）=\frac{2}{e_{\lampda}$$

(9)

很明显

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}E_{n，\lambda}^{\ast}：=E_{n}^{\st}$$

哪里\（E_{n}^{\ast}\）第二类欧拉数由

$$\frac{2}{e^{t}+e^{-t}}=\sum_{n=0}^{\infty}e_{n}^{\st}\frac{t^{n}}{n！}，\quad\textit{cf}\mbox{[3]}$$

由(5)和(6)，第二类退化斯特林多项式由生成函数定义

$$\sum_{n=k}^{\infty}S_{2，\lambda}^{（x）}（n，k）\frac{t^{n}}{n！}=\frac}（e_{lambda{（t）-1）^{k}}{k！}e_{\lambda}^{x}（t$$

(10)

哪里\（x\in\mathbb{R}\）、和k个是非负整数（请参见[13]). 在这种情况下\（x=0），\（S_｛2，\lambda｝^｛（0）｝（n，k）：=S_｛2，\lambda｝（n，k）\）是第二类退化斯特林数，立方英尺. [1–4，6，7].

自

$$\lim_｛\lambda \rightarrow 0｝e｛\lambda｝（t）=e ^｛t｝$$

我们有

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}S_{2，\lambda}^{（x）}（n，k）：=S_{2}^{$$

哪里\（S_{2}^{（x）}（n，k）\）第二类斯特林多项式由

$$\sum_{n=k}^{infty}S_{2}^{（x）}（n，k）\frac{t^{n}}{n！}=\frac{e^{xt}（e^{t} -1个)^{k} {k！}$$

第二类中心阶乘数，表示为\（T（j，k）\）符合条件\（j\geqsleat 0）和\（k\geq 0），由定义

$$x^{j}=\sum_{k=0}^{j} T型（j，k）x^{[k]}\quad\text{（参见[11]）}$$

(11)

哪里

$$x^{[k]}=\textstyle\begin{cases}x（x+\frac{k}{2}-1)（x+\压裂{k}{2}-2)\cdot（x-\frac{k}{2}+1），&\text{when}k\geqsleat1，\\1，&\text{when{k=0\end{cases}$$

或等同于

$$\frac{1}{k！}\bigl（e^{\frac{z}{2}}-e^{-\frac}{2{}}\bigr）^{k}=\sum_{j=k}^{\infty}T（j，k）\frac[z^{j}}{j！}\quad\text{（参见[11,23]）}$$

(12)

Kim–Kim（金）[15]引入第二类退化中心阶乘多项式如下：

$$\sum_｛j=k｝^｛infty｝T_｛\lambda｝（j，k|x）\frac｛z^｛j｝｝｛j！｝=\frac｛1｝｛k！｝\bigl（e_｛\lambda｝^｛\frac｛1｝｛2｝｝｝（z）-e｛\lambda｝^｛\frac｛-1｝｛2｝｝｝（z）\bigr）^{k} e（电子）_{\lambda}^{x}（t）$$

(13)

哪里k个是非负整数。这个案子\（x=0）产量\（T_{\lambda}（j，k）=：T_{\λ}（j，k|0）\）这是第二类退化中心阶乘数。

本文的结构如下。在Sect。 2，我们考虑了2型退化中心Fubini多项式的母函数，并给出了这些数和多项式的一些性质。在Sect。 三引入了退化中心Fubini数和多项式，并利用第页-上的adic费米积分\（\mathbb｛Z｝_{p} \）。在Sect。 4引入了二元2型退化中心Fubini多项式，并构造了这些多项式的一些性质。此外，这些多项式和第二类退化中心阶乘数和第二种退化欧拉数密切相关。

2关于2型退化中心Fubini多项式

在本节中，我们假设\（\lambda\neq 0\）是任意实数。我们首先给出2型退化中心Fubini多项式，如下所示：

$$\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}$$

(14)

请注意

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}（x）\frac{t^{n}}{n！}:=\sum_{n=0.}^{\ infty{F_{n}^{（C）{（x ^{-\frac{t}{2}}）}\quad\text{（参见[11]）}$$

由(14)，人们可能会看到

$$开始{对齐}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C}x^{k}\bigl（e_{\lambda}^{\frac{1}{2}}^{k} k!\和{n=k}^{infty}T_{lambda}（n，k）分形{T^{n}}{n！}\\=&\sum_{n=0}^{infty}\Biggl（sum_{k=0}^{n} x个^{k} k个!T_{\lambda}（n，k）\Biggr）\frac{T^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

因此，我们提出以下定理。

定理2.1

让 n个 为非负整数.然后以下内容成立:

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（x）=\sum_{k=0}^{n} x个^{k} k个!T_{\lambda}（n，k）$$

(15)

退化有序Bell数由生成函数定义为

$$\frac{1}{1-2\sinh_2\lambda}（\frac{t}{2}）}=\sum_{n=0}^{\infty}b_{n，\lambda}\frac{t^{n}}{n！}$$

(16)

哪里

$$\sinh_{\lambda}（t）=\frac{e_{\lampda}$$

推论2.1

拿 \（x=1） 在里面(15)给予

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（1）：=b_{n、\lambda}=\sum_{k=0}^{n} k!T_{\lambda}（n，k）\quad（n\geq 0）$$

由(14)，我们有

$$\开始{对齐}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}（x）\frac{t^{n}}{n！}=&\frac}1}{1-xe_{\lambda}^{-\ frac{1}{2}}^{k} e（电子）_{\lambda}^{-\frac{k}{2}}（t）\bigl（e_{\lampda}（t）-1\bigr）^{k}\\=&\sum_{k=0}^{\infty}x^{k} k个!e_{\lambda}^{-\frac{k}{2}}（t）\ frac{（e_{\ lambdaneneneep（t）-1）^{k}}{k！}\\=&\sum_{k=0}^{\infty}x^{k} k个!\和{n=k}^{infty}S_{2，\lambda}^{（\frac{-k}{2}）}^{n} x个^{k} k个!S_{2，\lambda}^{（\frac{-k}{2}）}（n，k）\Biggr）\ frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(17)

因此，我们提出以下定理。

定理2.2

让 n个 是非负整数.那么以下关系成立:

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（x）=\sum_{k=0}^{n} x个^{k} k个!S_{2，\lambda}^{（\frac{-k}{2}）}（n，k）$$

由(9)，我们有

$$\开始{对齐}\sum_{n=0}^{\infty}E_{n，\lambda}^{\st}\frac{t^{n}}{n！}=&\ frac{2}{E_{\lambda}（t）+E_{\ lambda{^{-1}{-\frac{1}{2}}（t））^{2}{\\=&\sum_{k=0}^{\infty}\biggl（-\frac{1}{2}\bigr）^{k}\bigl\biger）^{2k}\\=&\sum_{k=0}^{\infty}\biggl（-\frac{1}{2}\bigr）^{k}（2k）！\sum_｛n=2k｝^｛\infty｝T_｛\lambda｝（n，2k）\frac｛T^｛n｝｝｛n！｝\\=&&sum_｛n=0｝^｛\infty｝\Biggl（\sum_｛k=0｝^｛[\frac｛n｝｛2｝]｝\Biggl（-\frac｛1｝｛2｝\biggr）^｛k｝（2k）！T_{\lambda}（n，2k）\Biggr）\frac{T^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

因此，我们得出以下定理。

定理2.3

让 n个 为非负整数.那么以下关系 \（E_{n，\lambda}^{\ast}\） 和 \（T_{\lambda}（n，2k）\） 保持正确:

$$E_{n，\lambda}^{\ast}=\sum_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}\biggl（-\frac{1}{2{biggr）^{k}（2k）！T_{\lambda}（n，2k）$$

以下计算基于(14)向大家展示

$$开始{对齐}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C}x^{k}\bigl（e_{lambda}^{\frac{1}{2}}（t）-e_{\lambda{^{-\frac}1}{2]}（t）\bigr^{k-l}电子_{\lambda}^{（l-\frac{k}{2}）}（t）\\=&\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}\sum_{l=0}^{k{\binom{k}}{l}（-1）{n！}\\=&\sum_{n=0}^{\infty}\biggl（\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}\sum_{l=0}}^{k{\binom{k}{l}（-1）^{k-l}\biggl（l-\frac{k}}{2}\bigr）_{n，\lambda}\Bigr）\frac}{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

因此，我们得到以下定理。

定理2.4

让 n个 为非负整数.那么下面的显式求和公式成立:

$$F{n，\lambda}^{（C）}（x）=\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}\sum_{l=0}^{k{\binom{k}{l}（-1）^{k-l}\biggl（l-\frac{k}}{2}\bigr）_{n，\ lambda{$$

三费米子关于2型退化中心Fubini多项式第页-上的adic积分\（\mathbb｛Z｝_{p} \）

在本节中，让我们假设\（\lambda\in\mathbb{C}_{p}\）和\（t \ in \ mathbb{C}（C）_{p} \）根据条件\（\vert\lambda t\vert_{p}<p^{-\frac{1}{p-1}}\）.签署人(三)和(14)，它变成

$$\开始{aligned}\int_{mathbb｛Z｝_{p} }\bigl{2}}（t））}\\=&2\sum_{n=0}^{infty}F{n，\lambda}^{（C）}（x）\frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(18)

发件人(18)，我们有

$$\begin｛aligned｝2\sum_｛n=0｝^｛\fty｝F_｛n，\lambda｝^｛（C）｝（x）\frac｛t^｛n｝｝｛n！｝=&&int _｛\mathbb｛Z｝_{p} }\bigl（x\bigl-（e_{\lambda}^{\frac{-1}{2}}（t）-e{\lampda}^}\frac}1}{2{}（t）\bigr）\biger）^{y}\，d\mu_{-1}（y）\\=&\int_{\mathbb｛Z｝_{p} }\bigl（-x\bigle（e_{-\lambda}^{\frac{-1}{2}}（-t）-e_{-\lambda}^{n} F类_{n，-\lambda}^{（C）}（-x）\frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

因此，我们得到以下定理。

定理3.1

让 n个 为非负整数.以下对称关系成立:

$$F_｛n，\lambda｝^｛（C）｝（x）=（-1）^{n} F类_{n，-\lambda}^{（C）}（-x）$$

由(2)和(14)，我们有

$$\int_{\mathbb｛Z｝_{p} }\bigl（x\bigl-（e_{\lambda}^{-\frac{1}{2}}｛Z｝_{p} }\bigl（x\bigl-（e_{\lambda}^{-\frac{1}{2}}（t）-e{\lampda}^}\frac}1}{2]}（t）\bigr）\biger）^{y}\，d\mu{-1}（y）=2$$

(19)

由(19)，我们得到

$$x\bigl（e_{\lambda}^{-\frac{1}{2}}（t）-e_{\lampda}^}{\frac}1}{2\lambda{（tλ}^{\frac{1}{2}}（t）-e{\lambda}^{-\frac}1}{2]}（t）}=2$$

(20)

它源自(20)那个

$$\begin{aligned}1=&x\Biggl（\sum_{n=0}^{\infty}\Biggl（\biggal（-\frac{1}{2}\bigr）_{n，\lambda}-\Biggl（\frac}{1}{2}\ biggr）_{n，\lambda}\bigbgr）\ frac{t^{n}{n！}\biggr）\ Biggl{n，\lambda}^{（C）}（x）\frac{t^{n}}{n！}\biggr）+\sum_{n=0}^{\infty}F{n，\ lambda{^{\Biggl[x\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl{\infty}\biggl[F_{n，\lambda}^{（C）}（x）+x\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl。\结束{对齐}$$

因此，我们提出以下定理。

定理3.2

对于 \（n>0），我们有

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（x）=-x\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m} 如果_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl$$

(21)

对于\（n\in\mathbb{n}\），由(21)，我们得到

$$开始{对齐}F_{n，\lambda}^{（C）}（x）=&x\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl。\结束{对齐}$$

因此，我们得到了以下推论。

推论3.1

让 n个 是满足以下条件的正整数 \（第2页）.那么下面的等式成立:

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（x）-xnF_{n-1{m} F类_{m，\lambda}^{（C）}（x）\biggl$$

4关于二元2型退化中心Fubini多项式

在本节中，我们假设\（\lambda\neq 0\）是任何实数。我们现在可以将两个变量的2型退化中心Fubini多项式表述如下：

$$\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}（x；y）\frac{t^{n}{n！}=\frac}{1-y（e_{\lambda}^{\ frac{1}{2}}（t）-e_{\lamma}^{-\frac{1}{2}（t）$$

(22)

什么时候？\（x=0），\（F_{n，\lambda}^{（C）}（0；y）=F_{n，\lambda}^{，\（F_{n，\lambda}^{（C）}（0；1）=F_{n，\lambda}^{分别称为中心Fubini多项式和中心Fubini-数。

自

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}e_{\lampda}^{x}（t）=e^{xt}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n} t吨^{n} }{n！}$$

不难证明

$$\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C$$

它是两个变量的中心Fubini多项式的生成函数；参见[18].

发件人(22)，我们有

$$开始{对齐}\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}（x；y）\frac{t^{n}}{n！}=&\frac}1}{1-y（e_{\lambda}^{\ frac{1}{2}}（t）-e_{\lampda}^}{-\frac[1}{2{}}\\=&\Biggl（\sum_{k=0}^{\infty}F_{k，\lambda}^{（C）}（y）\frac{t^{k}{k！}\Biggr）\Biggl（\sum_{n=0}^{\infty}^{\infty}\Biggl（\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} F类_｛k，\lambda｝^｛（C）｝（y）（x）_｛n-k，\lambda｝\Biggr）\frac｛t^｛n｝｝｛n！｝。\结束{对齐}$$

因此，我们得到以下定理。

定理4.1

让 n个 为非负整数.那么以下身份成立:

$$F_{n，\lambda}^{（C）}（x；y）=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} F类_{k，\lambda}^{（C）}（y）（x）_{n-k，\lambda}$$

改变t吨到\（\frac{e^{\lambdat}-1}{\lampda}\）英寸(22)给予

$$开始{aligned}\frac{1}{1-y（e^{\frac}t}{2}}-e^{-\frac{t}{2]}）}e^{xt}=&\sum_{k=0}^{infty}F{k，\lambda}^{（C）}=0}^{\infty}\Biggl（\sum_{k=0}^{n} F类_{k，\lambda}^{（C）}（x；y）\lambda^{n-k}S_{2} （n，k）\Biggr）\frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(23)

由(5)和(23)，我们有以下定理。

定理4.2

让 n个 为非负整数.那么以下身份成立:

$$F_{n}^{（C）}（x；y）=\sum_{k=0}^{n}\lambda^{n-k}F_{k，\lambda}^{（C）}（x；y）S_{2}（n，k）$$

由(22)，我们看到了

$$开始{对齐}e_{\lambda}^{x}（t）&=\bigl（1-y\bigle（e_{\ lambda{^{\frac{1}{2}}（t）-e_{\lampda}^{-\frac}1}{2\lambdaneneneep（t）\bigr）\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}（C）}（x；y）\frac{t^{n}}}{n！}\\&=\Biggl（\sum_{n=0}^{\infty}F_{n，\lambda}^{（C）}（x；y）-\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\Biggl\biggr）_{k，\lambda}-\biggl（-\frac{1}{2}\bigger）_{k，\lampda}\bigr）\biggr）\ frac{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(24)

由(8)和(24)，我们得到以下定理。

定理4.3

让 n个 是非负整数.以下公式适用:

$$（x）_{n，\lambda}=F_{n、\lambda}^{（C）}（x；y）-y\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} F类_{n-k，\lambda}^{（C）}（x；y）\biggl$$

让我们观察一下

$$开始{对齐}和\frac{e_{lambda}^{x{1}}（t）}{1-y_{1}（e_{\lambda{1}{2}（t）-e_{\lampda}^}-\frac}1}{2]}（c）}\frac[e_{lambda}^{x}2}压裂{1}{2}}（t）-e{\lambda}^{-\frac{1}}{2{（t_{1} -年_{2} }\frac{e\lambda}^{x{1}+x{2}}（t）}{1-y{1}_{1} -年_{2} }\frac{e_{lambda}^{x{1}+x{2}}（t）}{1-y{2}。\结束{对齐}$$

（25）

由(22)和(25)，我们有

$$\开始{对齐}&\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n}{k} F类_{n-k，\lambda}^{（C）}_{1} F类_{n，\lambda}^{（C）}（x{1}+x{2}；y{1}）-y_{2} F类_｛n，\lambda｝^｛（C）｝（x_｛1｝+x_｛2｝；y_｛2｝）｝｛y_{1} -年_{2} }\biggr）\压裂{t^{n}}{n！}。\结束{对齐}$$

(26)

因此，通过(26)，我们得到以下定理。

定理4.4

让 n个 为非负整数 \（y{1}\neqy{2}）.以下公式适用:

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} F类_{n-k，\lambda}^{（C）}（x_{1}；y_{1{）F_{k，\lambda}^{_{1} F类_{n，\lambda}^{（C）}（x{1}+x{2}；y{1}）-y_{2} F类_{n，\lambda}^{（C）}（x_{1}+x_{2}；y_{2{）}{y_{1} -年_{2}} . $$

备注4.1

拿\（x{1}=x{2}=0\）在定理中4.4减少到

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} F类_{n-k，\lambda}^{（C）}_{1} 如果_{n，\lambda}^{（C）}（y_{1}）-y_{2} F类_{n，\lambda}^{（C）}（y_{2}）}{y_{1} -年_{2}} . $$

5结论

在本文中，我们考虑了两个变量的2型退化中心Fubini多项式和2型退化中央Fubini多项。我们利用生成函数和第页-上的adic费米积分\（\mathbb｛Z｝_{p} \）此外，我们还得到了关于第二类退化中心阶乘数和第二类简并Euler数的一些结果。