改进的分数阶复值神经网络部分控制同步准则

摘要

本文在不将复值神经网络划分为两个实值子系统的情况下，采用Lyapunov直接法而非实数分解法研究了分数阶复值神经网（FOCVNN）的全局同步。值得一提的是，引入了部分自适应控制和部分线性反馈控制方案，通过构造合适的Lyapunov函数，借助分数阶微分不等式和L'Hospital法则以及一些复杂的分析技术，导出了一些改进的同步准则。最后，给出了仿真结果，验证了理论分析的有效性和可行性。

1介绍

在过去的几年中，由于联想记忆、模式识别、图像处理和模型识别等广泛应用的背景，实值神经网络（RVNN）受到了广泛的关注[1–6]. 自从Pecora和Carroll介绍了一种方法来实现具有不同初始条件的两个相同混沌系统的同步[7]同步已成为一个广泛研究的课题。到目前为止，有很多种同步，例如完全同步[8]，投影同步[9]和准同步[10]. 相应地，已经使用了几种不同的方法来实现同步，例如线性反馈控制[11]，部分控制[12]和自适应控制[13]. 众所周知，自适应控制的优点是控制参数可以根据更新规律自行调整，更新规律是根据所考虑系统的特性设计的。众所周知，神经网络的许多应用都涉及到复值信号，而RVNN无法很好地处理这些复值信号。复值神经网络（CVNN）是指其状态、连接权值和活动函数都是复值的神经网络[14,15]. 与RVNN相比，CVNN具有更复杂的特性，能够更好地处理复杂信号。近年来，CVNNs的研究引起了一些关注，并取得了一些重要而有趣的结果[16–18]. 在[18]Song等人基于Lyapunov直接方法研究了寻址CVNN的全局指数稳定性。

与整数阶导数相比，分数阶导数能够更好地描述具有遗传和记忆特性的过程和材料[19–21]，这些特征使得分数阶系统成为描述一些真实世界现象的候选系统[22,23]. 关于分数阶系统的同步控制和最优控制的一些最新研究可以在[24–26]. 最近，许多研究人员考虑了分数阶复值神经网络（FOCVNNs），以及关于分岔的一些显著结果[27]和稳定性[28]以及同步[29–31]已报告。我们注意到[27–31]将所考虑的FOCVNN转化为两个等价的实值子系统，然后利用分数阶实值神经网络（FORVNNs）的处理方法，即实数分解方法，研究其动力学。在[32]，Li等人设计了一个线性反馈控制器和自适应控制器，并分别用Lyapunov直接方法推导了FOCVNN的完全同步和准投影同步准则。

据我们所知，一个神经网络可能包含大量神经元，在这样的大规模网络中，不可能也没有必要对所有神经元施加控制器。为了减少受控神经元的数量，应该考虑部分控制。到目前为止，对神经网络的部分控制研究很少[33,34]. 在[34]，Wu等人利用部分线性反馈控制策略讨论了FORVNN的稳定性控制。然而，据作者所知，使用部分控制方案还没有关于FOCVNN同步问题的结果。基于上述讨论，本文通过部分控制研究了寻址FOCVNN的全局同步。本文的主要贡献在于以下三个方面：（1）首次提出了部分自适应控制和部分线性反馈控制方案来实现FOCVNN的同步。（2） 用李亚普诺夫直接法而不是实分解法研究FOCVNN，可以降低计算复杂度。（3） 导出了FOCVNN的几个简洁同步准则。

本文的结构如下。在Sect。 2，给出了模型公式和初步结果。在Sect。 三，提出了部分自适应控制和部分线性反馈控制方案来实现所寻址的FOCVNN的同步。在Sect。 4，数值模拟表明了我们理论结果的有效性。最后，第节给出了结论。 5.

2准备工作和型号说明

在本节中，我们将回顾一些定义和引理，稍后将需要用到它们。

定义1

([35,36])

函数的Riemann–Liouville分数次积分\（w（t）\）由定义

$$_｛t_｛0｝｝I_｛t｝^{q} w个（t） =\frac{1}{\varGamma（q）}\int_{t_{0}}^{t}\frac{w（\zeta）}{（t-\zeta，^{1-q}}\，d\zeta，\quad q>0$$

定义2

([35,36])

函数的Caputo分数导数\（w（t）\）由定义

$$_{t_{0}^{c} D类_{t}（t）^{q} w个（t） =\frac{1}{\varGamma（1-q）}\int_{t_{0}}^{t}\frac{w'（\zeta）}{（t-\zeta，^{q}}\，d\zeta，\quad0<q<1$$

接下来，我们考虑由以下描述的FOCVNN

$${}_{t_{0}}^{c} 天_{t}（t）^{q} w个_{j} （t）=-c_{j} w个_{j} （t）+sum{p=1}^{n} 一个_{jp}格式_{p} \bigl（w_{p}（t）\bigr）+I_{j}（t），\quad j=\varLambda$$

(1)

或以紧凑的形式

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} 周（t） =-Cw（t）+Af\bigl（w（t”\bigr）+I（t）$$

(2)

哪里\（0<q<1）,\（w（t）=（w{1}（t），w{2}（t），\ldots，w{n}（C））^{t}\in\mathbb{C}^{n}\）是状态向量，\（C=\operatorname{diag}（C{1}，C{2}，\ldots，C{n}）\in\mathbb{R}^{n\timesn}\）是具有的自反馈连接权重矩阵\（c{j}>0\）,\（j\in\varLambda\）,\（A=（A{jp}）{n\timesn}\in\mathbb{C}^{n\temesn}\）是连接权重矩阵，\（I（t）=（I_｛1｝（t），I_｛2｝（t），\ldots，I_｛n｝（t））^｛t｝\in\mathbb｛C｝^｛n｝\）是外部输入向量，\（f（w（t））=（f_{1}（w_{1{（t）表示向量值激活函数，以及激活\（f{p}（\cdot）\）满足以下假设。

假设1

对于任何\（w，u\in\mathbb｛C｝\），存在一个正常数\（l{p}\）令人满意的

$$\bigl\vert f_{p}（z）-f_{p{（w）\bigr\vert\leq l_{pneneneep \vert z-w\vert$$

为了简单起见，我们参考FOCVNN(2)作为驱动系统，受控响应系统如下所示

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} z_{j} （t）=-c_{j} z（z）_{j} （t）+sum{p=1}^{n} 一个_{jp}格式_{p} \bigl（z_{p}（t）\bigr）+I_{j}（t）+u_{jneneneep（t），\quad 1 \leq j \leq l$$

(3)

或者，以紧凑的形式，

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} z（z）（t） =-Cz（t）+Af\bigl（z（t”\bigr）+I（t）+u（t）$$

(4)

哪里\（z（t）=（z_｛1｝（t），z_｛2｝（t），\ldots，z_｛n｝（t））^｛t｝\in\mathbb｛C｝^｛n｝\）是状态向量，\（u（t）=（u{1}（t），u{2}（t），\ldots，u{n}（C））^{t}\in\mathbb{C}^{n}\）是控制输入矢量。

现在，我们介绍一些引理，它们将用于证明我们的主要结果。

引理1

([35,36])

如果\（w（t）\in \mathbb{C}^{n}（[t_{0}，+\infty），\mathbb{R}）\）,然后

$$_{t_{0}}I_{t}^{q}{}{{t{0}^{c} D类_｛t｝^{q} w个（t） =w（t）-\sum_{m=0}^{n-1}\frac{w^{（m）}（t{0}）}{m！}（t-t{0{）^{m}$$

特别地,如果\（0＜q＜1\）,

$$_{t_{0}}I_{t}^{q}{}{{t{0}^{c} D类_{t}（t）^{q} w个（t） =w（t）-w（t{0}）$$

引理2

([37])

让\（z（t）\在\mathbb{C}^{n}\中）是一个可微复数-有值向量,那么下面的不等式成立:

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\bigl（z^{H}（t）Pz（t）\bigr）\leqz^{H}（t）P{}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} z（z）（t） +\bigl（{}_{t{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} z（z）^{H} （t）\更大）Pz（t）$$

哪里\（q\in（0,1]\）,\（t\geq t_{0}\）,\（P\in\mathbb{C}^{n\次n}>0\）.

引理3

([38])

假设函数\（σ（t））在上不递减且可微分\（位于[t_{0}，\infty）\）,然后,对于任何常数μ和\（位于[t_{0}，\infty]\）,

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\bigl（\sigma（t）-\mu\bigr）^{2}\leq2\bigl^{c} D类_{t} ^{q}\西格玛（t）$$

哪里\（0<q<1）.

引理4

([39])

假设B类和G公司是\（n次n次）厄米矩阵.让\（p{1}\geq p{2}\geq\cdots\geq p_{n}\）,\（h{1}\geqh{2}\geq\cdots\geqh_{n}\）,\（r{1}\geqr{2}\geq \cdots\geq r{n}\）是的特征值B类,G公司,和\（B+G\）,分别地.然后有一个\（p{i}+h{n}\leqr{i}\leq p{i{+h{1}\）,\（i=1,2，\ldot，n）.

引理5

([39])

对于对称矩阵\（W\in\mathbb{R}^{n\times n}\）和对角矩阵\（K=\operatorname{diag}（K{1}，K{2}，\dots，K{l}，\下大括号{0,0，\ldots，0}_{n-l}）\）具有\（k{i}>0\）,\（i=1,2，\ldot，l）(\（1\leq l＜n\）),让$\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\mathrm{<trans\; data-src="K">K（K）</trans>}<trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{cc}\mathrm{<trans\; data-src="B">B类</trans>}<trans\; data-src="-">-</trans>\stackrel{<trans\; data-src="˜">˜</trans>}{\mathrm{<trans\; data-src="K">K（K）</trans>}}& \mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}\\ {\mathrm{<trans\; data-src="G">G公司</trans>}}^{\mathrm{<trans\; data-src="T">T型</trans>}}& {\mathrm{<trans\; data-src="W">W公司</trans>}}_{\mathrm{<trans\; data-src="l">我</trans>}}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans>$,哪里\（W_{l}\）是的次矩阵W公司通过删除第一个我行-列对,B类和G公司是具有适当维数的矩阵,\（\tilde{K}=\operatorname{diag}（K{1}，K{2}，\ldots，K{l}）\）.如果\（k_{i}>\lambda_{max}（B-GW_{l}^{-1}G^{T} ）\）,\（i=1,2，\ldots，l\）,\（W-K<0）等于\（W_{l}<0\）.

引理6

([40])

让\（V（t）\）是上的连续函数\（[t{0}，+\infty）\）令人满意的

$$_{t_{0}^{c} D类_{t}（t）^{q} V（V）（t） \leq\zeta V（t）$$

哪里\（0<q<1）,\（\zeta\in\mathbb｛R｝\）和\（t_{0}\）是初始时间.然后

$$V（t）\leq V（t_{0}）E_{q}\bigl[\zeta（t-t_{0{）^{q}\ bigr]$$

三主要成果

在这一节中，采用了部分自适应控制和部分线性控制策略来降低控制成本，并推导了一些新的准则来确保FOCVNN的全局同步(2)和(4).

定义错误\（e_{j}（t）=u{jneneneep（t）-w{j}（t）\）对于\（j\in\varLambda\），并设计了部分自适应控制器\（u{j}（t）\）如下所示：

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{\quad}l}u_{j}（t）=-\xi_{jneneneep（t）e_{j}（t），&1\leqj\leql，1\leq l\leqn-1，\\{}_{t{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\xi{j}（t）=\eta{j}\上横线{e_{j}（t）}e_{j}（t），&\\u{j{}（t=0，&l+1\leqj\leqn，\end{array}\displaystyle\right$$

(5)

哪里\（\eta_｛j｝>0\）,\（\xi_{j}（t）\in\mathbb{R}\）.

备注1

让\（\xi_{j}（t_{0}）\geq0\）,\（j\in\varLambda\）显然，它是从第二个等式(5)那个\（xi{j}（t）=xi{j{}（t{0}）+{t{0{}}I{t}^q}，因此我们可以很容易地推导\（\xi_{j}（t）\geq0）.

备注2

当FOCVNN(1)和受控的FOCVNN(三)实现全局同步，自适应控制增益\（xi{j}（t））趋向于某个正常数，这是因为常数的卡普托导数等于零

根据(2)和(4)以及(5)，我们推导出误差系统

$$｛｝_｛t_｛0｝｝^{c} D类_{t}（t）^{q} e（电子）（t） =-Ce（t）+A\bigl[f\bigl（z（t）\bigr）-f\bigle（w（t）\ bigr$$

(6)

\（D_{\xi}（t）=\operatorname{diag}（\xi_{1}（c），\xi_}2}（b），\ldots，\xi_{l}（D），\下大括号{0,0，\ldot，0}_{n-l}）\）.

定理1

假设中1和部分自适应控制器(5),FOCVNN(2)和(4)如果满足以下条件，则可以实现全局同步

$$\最大_｛l+1\leq j\leq n｝\bigl\｛l_｛j｝^{2} -2c个_{j} \bigr\}+\lambda_{\max}\bigl（AA^{H}\bigr）<0$$

(7)

哪里\（（（AA^{H}）{l}\）是矩阵的次矩阵\（AA^{H}\）通过删除第一个我(\（1）)行-列对.

证明

按以下形式构造Lyapunov函数：

$$V{1}（t）=e^{H}$$

（8）

哪里\（\xi_{j}^{star}\）是一个待确定的正常数。

计算的导数(8)沿着…的轨迹(6)，我们获得

$$\开始{对齐}[b]{}_{t_{0}}^{c} 天_{t}（t）^{q} V（V）_{1} （t）&\leq e ^{H}（t）{}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} e（电子）（t） +\bigl（｛｝_｛t_｛0｝）^{c} D类_{t}（t）^{q} e（电子）^{H} （t）e（t）+\sum_{j=1}^{l}\frac{2}{\ta_{j}}\bigl（t）-\xi_{j{}^{star}\bigr）{}{t{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\xi_{j}（t）\\&=e^{H}（t）\bigl{\xi}（t）e（t）\biger）^{H} e（电子）（t） \\&\quad+2\sum_{j-1}^{l}\bigl（\xi_{j}（t）-\xi_}^{star}\bigr t）\bigr）-f\bigl（u（t）\bigr）\biger）^{H} A类^{H} e（电子）（t） -2e^{H}（t）D_{\xi}^{\star}e（t）\\&\leq-2e^}H}）-f\bigl（u（t）\bigr）\biger）-2e^{H}（t）D_{xi}^{star}e（t），\end{aligned}$$

(9)

哪里\（D_{\xi}^{\star}=\operatorname{diag}（\xi_{1}^{\star}，\xi_}2}^{star}，\ ldots，\ xi_{l}^{星}，\n下大括号{0,0，\ ldot，0}_{n-l}）\）.根据假设1，我们可以获得

$$\bigl（f\bigl（z（t）\bigr）-f\bigl（u（t）\bigr）\bigr）^｛H｝\bigl（f\bigl（z（t）\bigr）-f\bigl（u（t）\bigr）\bigr）\leq e ^｛H｝（t）LL e（t）$$

(10)

哪里\（L=\operatorname{diag}（L_{1}，L_{2}，\ldots，L_}n}）\）是实值正对角矩阵。根据(9)和(10)，我们有

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} V（V）_{1} （t）\leq e^{H}（t）\ bigl（W-2D_{xi}^{star}\ bigr）e（t）$$

(11)

哪里\（W=\lambda_{max}（AA^{H}）I_{n\times n}+LL-2C\）。使用矩阵分解，我们有

$$W-2D_{\xi}^{\star}=\left（\textstyle\begin{array}{c@{quad}c}B-2\tilde{D}&G\\G^{H}&W_{l}\end{arrary}\displaystyle\right）$$

哪里\（B=（B_{ij}）{l\乘以l}\）,\（b{ij}=w{ij{）,\（i，j=1，2，\ldots，l\）,\（tilde{D}=\operatorname{diag}（\xi_{1}^{\star}，\xi_2}^{star}，\ ldots，\xi_}l}^{\star}）\）,\（G=（G{ij}）{l\次（n-l）}\）,\（g{ij}=w{ij{）,\（i=1,2，\ldot，l）,\（j=l+1，l+2，\ldot，n）、和\（W_{l}\）是的次矩阵W公司通过删除第一个我(\（1 \leq l \leq n-1）)行-列对。它来自引理4和条件(7)那个\（\lambda_{max}（（\lampda_{max}（AA^{H}）I_{n次n}+LL-2C）{l}，这意味着\（W_{l}<0\）.如果我们选择正常数\（\xi_{j}^{star}>0\）,\（i=1,2，\ldot，l），因此\（\xi_{j}^{star}>\frac{1}{2}\lambda{max}（B-GW{l}^{-1}G^{H} ）\），根据引理5和\（W_{l}<0\），我们推导\（W-2D_{xi}^{star}<0\），然后从(11)那个

$${}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} V（V）_{1} （t）\leq-\lambda^{\star}e^{H}（t）e（t）$$

(12)

哪里\（-\lambda^{\star}=\lambda{max}（W-2D_{xi}^{star}）和\（\lambda^{\star}>0\）.根据(12)，存在一个非负函数\（r（t）\）这样的帽子

$${}_{t_{0}}^{c} 天_{t}（t）^{q} V（V）_{1} （t）+r（t）=-\lambda^{\star}e^{H}（t）e（t）$$

(13)

整合(13)来自\（t_{0}\）到t吨，我们获得

$$\开始{对齐}[b]-\lambda^{\star}\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{H} （\泽塔）e（\泽达）\，d\zeta&=\int_{t{0}}^{t}{}{t{0}}^{c} 天_{\泽塔}^{q} V（V）_{1} （\tau）\，d\zeta+\int_{t{0}}^{t} 第页（泽塔）\，d\zeta\\&=\frac{1}{\varGamma（1-q）}\int_{t_{0}}^{t}\ int_{t_{0}{^{\zeta}\ frac{V{1}'（\tau）}{（\zeta-\tau^{t} 第页（泽塔）^{t} 第页（泽塔）\，d\zeta\&=\frac{1}{（1-q）\varGamma（1-q）}\int_{t_{0}}^{t} V（V）_{1} '（τ）（t-\tau）^{1-q}，d\tau+int_{t_0}}^{t} 第页（泽塔），d\zeta\&=-\frac{V{1}（t_{0}）（t-t_{0{）^{1-q}}{varGamma（2-q）}+\frac}1}{var伽马（1-q）}\int{t{0}}^{t} V（V）_{1} （\tau）（t-\tau）^｛-q｝\，d\tau\\&&quad+\int_｛t_｛0｝｝^{t} 第页（zeta）\，d\zeta \&\geq-\frac{V{1}（t_{0}）（t-t_{0{）^{1-q}}{varGamma（2-q）}，\end{aligned}$$

(14)

很容易从中获得(14)那个

$$\int_{t_{0}}^{t} e（电子）^{H} （泽塔）e（泽塔语），d\zeta\leq\frac{V{1}（t_{0}）（t-t_{0{）^{1-q}}{lambda^{star}\varGamma（2-q）}$$

(15)

因此

$$\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\int_{t_0}}^{t} e（电子）^{H} （泽塔）e（泽塔族），d\zeta}{（t-t_{0}）^{1-q}}\leq\frac{V（t_{0{）}{lambda^{star}\varGamma（2-q）}$$

(16)

通过采用L'Hospital规则，我们得到

$$\lim_{t\rightarrow+\infty}e^{H}（t）e（t）（t t_{0}）^{q}\leq\frac{V{1}（t_{0{）}{lambda^{star}\varGamma（2-q）}$$

（17）

取的分数次积分(13)来自\（t_｛0｝\）到t吨一个派生

$$开始{对齐}[b]V_{1}（t）-V_{1{（t_{0}）&=-\frac{1}{\varGamma（q）}\int_{t_{0}}^{t}\frac}r（\zeta）}{（t-\ zeta）^{1-q}}\分形{e^{H}（\泽塔）e（\泽塔尔）}{（t-\泽塔尔）^{1-q}}\，d\zeta\\&=0。\结束{对齐}$$

(18)

组合(8)和(18)收益率

$$e^{H}（t）e（t）\leq V_{1}（t）\leqV_{1}（t_{0}）$$

(19)

也就是说，\（e^{H}（t）e（t）\）必须是有界的。与一起(17)和(19)，我们知道存在\（t{1}>0\）令人满意的

$$e^{H}（t）e（t）\leq\frac{V{1}（t_{0}）}{lambda^{star}\varGamma（2-q）（t-t_{0{）^{q}}$$

为所有人\（t\geq t_{1}），这意味着

$$\lim_｛t\rightarrow+\infty｝e^｛H｝（t）e（t）=0$$

这表明受控响应FOCVNN(4)与FOCVNN同步(2)部分自适应控制器下(5). □

如果我们采取\（\eta_｛j｝=0\）控制器中(5)，然后是部分自适应控制器(5)退化为部分线性反馈控制器

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{\quad}l}u{j}（t）=-\xi_{j} e（电子）_{j} （t），&1\leqj\leql，1\leq l\leqn-1，\\u{j}（t）=0，&l+1\leqj\ leqn，\end{array}\displaystyle\right$$

(20)

哪里\（\xi_{j}\in\mathbb{R}\）在这种情况下，我们可以得出以下推论。

推论1

假设中1和条件(7),如果代数不等式

$$\min_{1\leqj\leql}\{\xi_{j}\}>\frac{1}{2}\lambda{max}\bigl（B-GW_{l}^{-1}G^{H} \更大）$$

(21)

感到满意,然后是FOCVNN(2)和(4)可以实现全球Mittag-部分线性反馈控制器下的Leffler同步(20).

证明

按以下形式构造Lyapunov函数：

$$V_{2}（t）=e^{H}（t）e（t）$$

(22)

在以下方面使用类似的过程(9)–(12)，我们推导

$${}_{t_{0}}^{c} 天_{t}（t）^{q} V（V）_{2} （t）\leq-\hat｛\lambda｝_{1} V（V）_{2} （t）$$

哪里\（-\hat{\lambda}{1}=\lambda{\max}（W-2D_{xi}）,\（W=\lambda_{max}（AA^{H}）I_{n\times n}+LL-2C\）,\（D_{\xi}=\operatorname{diag}（\xi_{1}，\xi_2}，\ ldots，\ xi_{l}，\n下大括号{0,0，\ ldot，0}_{n-l}）\）.根据引理6，我们有\（V（t）\leq V（t_｛0｝）E_｛q｝（-\hat｛\lambda｝_｛1｝（t-_｛0｝）^｛q｝）\），推论的证明1已完成。 □

备注3

我们观察到，现有的神经网络控制方案几乎控制所有神经元，本文采用部分线性控制和部分自适应控制方案实现了所述FOCVNN的同步。

如果我们采取\（l=n）也就是说，所有神经元都被控制，然后部分自适应控制器(5)成为自适应控制器

$$\left\{\textstyle\begin{array}{l@{quad}l}u_{j}（t）=-\xi_{jneneneep（t）e_{j}（t），&1\leqj\leqn，\\{}_{t{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\xi{j}（t）=\eta{j}\上划线{e_{j}（t）}e_{j}（t），&\end{array}\displaystyle\right$$

(23)

哪里\（\eta_{j}>0\）,\（\xi_{j}（t）\in\mathbb{R}\）在这种情况下，我们可以得出以下推论。

推论2

假设中1,FOCVNN(2)和(4)可以在自适应控制器下实现全局同步(23).

证明

按以下形式构造Lyapunov函数：

$$V{3}（t）=e^{H}$$

(24)

哪里\（\xi_{j}^{star}\）是一个待确定的正常数。

计算的导数(24)沿着…的轨迹(6)，我们获得

$$\开始{对齐}[b]{}_{t_{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} V（V）（t） &\leq e ^{H}（t）{}_{t_{0}}^{c} D类_｛t｝^{q} e（电子）（t） +\bigl（{}_{t{0}}^{c} D类_{t}（t）^{q} e（电子）^{H} （t）大e（t）+sum{j=1}^{n}\frac{2}{eta{j}}\bigl（t）-\xi{j}^{star}\bigr）{}{t{0}}^{c} D类_{t} ^{q}\xi_{j}（t）\\&=-e^{H}^{H} A类^{H} 电子（t） -2e^{H}（t）\widetilde{D}（D）_{xi}^{star}e（t）\\&\leq e^{H}（t）\bigl（AA^{H{+LL-2C-2\widetilde{D}（D）_{\xi}^{\star}\biger）e（t）\\&\leq\hat{\lambda}_{2} e（电子）^{H} （t）e（t），结束{对齐}$$

(25)

哪里\（\widetilde{D}（D）_{xi}^{\star}=\operatorname{diag}（\xi{1}^{star}，\xi{2}^{星}，\ ldots，\xi_{n}^{星}）。我们选择\（\xi_{j}^{star}>\frac{1}{2}\lambda{max}（AA^{H}+LL-2C）\）,\（j\in\varLambda\），这意味着\（AA^{H}+LL-2C-2\widetilde{D}（D）_{\xi}^{\star}<0\），让\（-\hat{\lambda}{2}=\lambda{max}（AA^{H}+LL-2C-2\widetilde{D}（D）_{\xi}^{\star}）.使用类似的证据(13)–(19)，我们得出\（\lim_{t\rightarrow+\infty}e^{H}（t）e（t）=0\），推论的证明2已完成。 □

备注4

显然，定理1，推论1和2仍然保持\（q=1）.

备注5

在[23,29–31]通过实分解方法得到了同步判据。与中的实际分解方法相比[23,29–31]本文采用的李亚普诺夫直接法更自然、更紧凑。在[23]采用自适应反馈控制策略，实现了所考虑的FOCVNN的同步。在[32]，作者采用线性反馈控制策略，实现了所考虑的FOCVNN的同步。与中的控制策略相比[23,32]从实际应用的角度来看，我们的部分自适应控制策略更简单，成本更低。

4数值模拟

在本节中，将提供一些数值模拟，以说明我们在前一节中获得的结果的有效性。

考虑由四个神经元组成的FOCVNN，其描述如下

$$ {}_{0}^{c} D类_{t}（t）^{q} w个_{j} （t）=-c_{j} w个_{j} （t）+sum{p=1}^{4} 一个_{jp}格式_{p} \bigl（w_｛p｝（t）\bigr）+I_｛j｝（t），\quad j=1,2,3,4$$

(26)

哪里\（q=0.98）,\（w_{j}（t）=w_{j}^{R}（t）+iw_{j}^{I}（t\）具有\（w_{j}^{R}（t），w_{j}^{I}（t）\in\mathbb{R}\），初始状态\（w{1}（0）=0.5+0.1i\）,\（w{2}（0）=-0.6-0.3i\）,\（w{3}（0）=0.4+0.2i\）、和\（w{4}（0）=0.1+0.2i\）此外，\（f _{p}（w _{p}（t））=\运算符名称{tanh},\（I_｛1｝（t）=I_｛2｝（t）=I_｛3｝（t）=I_｛4｝（t）=0\）,\（C=\运算符名称{diag}（1,1,12.5,12.5）\）、和

$$A=\left（\textstyle\begin{array}{ccccc}2-2i&-1.2+1.2i&0&-0.6-0.4\\1.8+1.8i&1.71+1.71i&1.15+1.15i&0.4+0.1i\\-1.75-1.75i&0＆0.1+0.1i&0.5+i\\1+0.2i&-1+0.1i&0.1+0.2i&0.2+0.2i＆0.2+0.1i\ end{arrary}\displaystyle\right）$$

通过简单计算，我们得出假设1对…感到满意\（l{p}=1\）,\（j=1,2,3,4\）.数字1和2描述实部和虚部相对于FOCVNN状态变量的相轨迹(26)分别是。

图1

FOCVNN状态变量的实部(26)

图2

FOCVNN状态变量的虚部(26)

响应系统如下所示

$$ {}_{0}^{c} D类_{t}（t）^{q} z_{j} （t）=-c_{j} z（z）_{j} （t）+sum{p=1}^{4} 一个_{jp}格式_{p} \bigl（z_{p}（t）\bigr）+I_{j}（t）+u_{jneneneep（t），\quad j=1,2,3,4$$

(27)

其中初始状态选择为\（z{1}（0）=-0.3+0.7i）,\（z{2}（0）=-1-0.7i\）,\（z{3}（0）=1.2+0.6i）,\（z{4}（0）=-0.5-0.8i\），以及FOCVNN的其他参数(27)与FOCVNN相同(26). 在仿真中，我们只控制FOCVNN的前两个神经元(27).

如果我们采取\（q=0.98）,\（eta{1}=eta{2}=0.36\）,\（\xi_{1}（0）=0.4\）,\（xi{2}（0）=0.6）在部分自适应控制器中(5). 通过简单计算，我们得到

$$\max_{3\leqj\leq4}\bigl\{l_{j}^{2}-2\运算符名称｛Re｝（c｛j｝）\bigr\｝+\lambda_｛\max｝\bigl（AA^｛H｝\bigr）=-0.8270＜0$$

then条件(7)感到满意。基于定理1、FOCVNN(26)和受控的FOCVNN(27)可以在部分自适应控制器下实现全局同步(5)，如图所示三如图所示三错误的状态轨迹\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）收敛到零。时间响应轨迹\（\ xi_{1}（t）\）和\（\ xi_｛2｝（t）\）如图所示4，我们可以从图中看到4自适应控制增益\（\ xi_{1}（t）\）和\（\ xi_{2}（t）\）收敛到一些正常数，这与备注一致2.

图3

误差的时间响应曲线\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）在部分自适应控制器下(5)

图4

时间响应曲线\（\ xi_{1}（t）\）和\（\ xi_｛2｝（t）\）

如果我们设置\（{1}={2}=11.3）在部分线性控制器中(20)，通过简单计算，

$11.3=最小{1\leqj\leql}\{xi{j}\}>\frac{1}{2}\lambda{max}\bigl（B-GW{l}^{-1}G^{H} \biger）=11.0865$$

根据推论1、FOCVNN(26)以及受控的FOCVNN(27)可以在部分线性控制器下实现全局同步(20)，如图所示5，我们可以从图中观察到5错误的状态轨迹\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）收敛到零。

图5

误差的时间响应曲线\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）部分线性控制器下（20）

如果我们设置\（q=0.98）,\（eta{1}=eta{2}=eta{3}=eta-{4}=0.36\）,\（｛1｝（0）=0.4）,\（{2}（0）=0.6）,\（\xi_{1}（0）=0.5\）,\（{2}（0）=0.3\）在自适应控制器中(23). 同步错误的演变\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）如图所示6，我们可以从图中观察到6受控的FOCVNN(27)可以与FOCVNN同步(26)在自适应控制器下(23). 图7显示了的时间响应轨迹\（\ xi_{1}（t）\）,\（\ xi_{2}（t）\）,\（\ xi_{3}（t）\）和\（\xi_{4}（t）\）.

图6

误差的时间响应曲线\（e_{j}^{R}（t）\）和\（e_{j}^{I}（t）\）在自适应控制器下(23)

图7

时间响应曲线\（\ xi_｛j｝（t）\）,\（j=1,2,3,4）

5结论

本文研究FOCVNN的全局同步。为了实现同步目标，分别设计了部分自适应控制器和部分线性反馈控制器。基于Lyapunov方法、L'Hospital规则和一些复杂的分析技术，导出了一些简洁的准则，以确保所考虑的FOCVNN的全局同步。数值仿真表明了该方法的有效性和可行性。关于FOCVNN动力学分析的主题很重要，我们将在FOCVNNs的有限时间同步方面做出一些努力。