分数阶微分方程耦合系统的迭代解计算及稳定性分析

摘要

在本文中，我们研究了具有高阶边界条件的非线性分数阶微分方程耦合系统迭代解的存在性、唯一性和稳定性分析的充分结果。这些充分技巧的基础是上下解方案与单调迭代技巧方法的结合。借助于所提出的方法，顺利地实现了极值解的收敛准则。此外，一个主要方面致力于研究乌拉姆-海尔斯型稳定性分析，该分析也已建立。为了验证我们的工作，我们提供了一些合适的示例及其图形表示和误差估计。

1介绍

FDE及其系统是大多数研究人员的核心目的，因为它们在先进技术和科学的各个领域有许多重要应用。有许多关于这个主题的书籍和文章，请参阅梅纳迪和波德鲁布尼的著作。使用FDE的一些应用如下：

• 对依赖于过去历史（记忆）的材料或系统进行建模，例如非局部弹性、生物组织、复杂介质中的传播、地球沉积物、聚合物和宇宙膨胀。

• 与分形几何的紧密联系。

• 甚至可以从概率方法中得出。

此外，经典DE只是DE整个光谱的离散方面，而FDE给出了整个光谱。

虽然有些现象是以积分阶微分方程的形式产生的，但总的来说，每一种现象都不能以积分阶差动方程的形式准确地产生，如电化学、流变学、多孔介质、地质、电磁学、光学、医学、生物科学、生物工程、，概率和统计。在这方面，大多数研究人员更喜欢非线性有限差分方程，这是一种强大的工具，而不是用积分阶微分方程对上述现象进行数学建模。所以，关于非线性FDE的研究项目很多，见[1,2,三,4,5,6,7,8]为了建模目的，探索它们的更多功能。在生态学、控制理论、多孔介质中的渗流和地震引起的非线性振荡等几乎所有科学技术领域，许多作者都建立了FDE数学模型的许多特性和有用特征（有关详细信息，请参阅[9,10,11,12,13,14,15])。此外，许多研究人员致力于FDE解的唯一性和存在性；有关阅读，请参阅[16,17,18,19,20]. 据我们所知，上述分数阶微积分领域已经得到了很大的发展。分数阶微分方程耦合系统领域是大多数作者的主要研究领域。它是单个分数阶微分方程的级联形式。与单个分数阶微分方程相比，FDE耦合系统的处理是一项困难的任务。关注建立FDE耦合系统的各个方面是科学和技术的需要，因为一些现象描述了要找到的不止一个所需任务（解决方案）。这些现象可以表示为FDE系统，而不是DE/FDE系统。在这方面，一些作者将他们宝贵的工作奉献给了FDE耦合系统的基本特征和特性；有关阅读，请参阅[21,22,23,24].

许多工作都考虑了含有分数阶导数的微分方程的存在唯一性。有关这些作品的详细信息，请读者参阅[25,26,27,28,29,30,31]以及其中引用的作品。近年来，FDE上下解的存在性和唯一性引起了大多数研究人员的关注。虽然一些作者已经使用迭代技术很好地研究了积分阶偏微分方程和常微分方程的上下解（参见[32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42])对于FDE的上下解以及耦合系统，迭代技术的研究很少。对于任意阶积分方程和微分方程的许多应用问题的解的存在逼近，它是一个有用的工具。一些作者针对FDE研究了上述方案。最近，阿里[43]考虑了以下分数阶微分方程的这种方案（技术）：

$$\textstyle\begin{cases}\mathbb{D}^{\alpha}\theta（\xi）+f（\xi，\theta$$

哪里\（（0，1）中的\xi，\varrho\）.

据我们所知，上述FDE耦合系统的方案尚处于初始阶段。

另一方面，稳定性是大多数研究者讨论的最热门话题。它在经典微分方程的主要研究文章中得到了很好的研究。对经典微分方程和FDE进行了一些类型的稳定性分析，如Lyapunov稳定性、指数稳定性和Ulam-Hyers稳定性等。其中，乌拉姆-海尔斯型稳定性是基础性的、非常重要的稳定性分析。它已经在许多经典微分方程和分数阶微分方程的文章中得到了验证。分数阶微分方程初值问题的Ulam–Hyers稳定性分析已经得到了很好的研究。就我们所知，分数阶微分方程边值问题的研究很少；有关阅读，请参阅[44,45,46,47,48].

我们手稿的目的是扩展阿里的计划[43]FDE耦合系统。我们考虑以下一类具有高阶边界条件的非线性分数阶耦合系统：

$$\textstyle\begin{cases}\mathbb{D}^{p}\theta（\xi）+\varPhi\bigl“”（0）=\cdots=\θ^{（n-2）}（0）=θ^}（n-1）}=\vartheta“”（0）=\cdots=\varheta ^{（n-2）}（0）=\vartheta^{$$

(1)

哪里\（n=2,3,4，\ldots），\（n-1<q，p\leq n）,\（C[0,1]\中的θ，y）.

\（\mathbb{D}\）是在卡普托导数的意义上考虑的，假设\（\varPhi，\varPsi:I\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）.

这份手稿有以下主要贡献：

• 推广和发展迭代格式，同时结合高阶边界条件非线性分数阶耦合系统的上下解方法。

• 高阶边界条件非线性分数阶耦合系统上下解的存在性。

• 研究高阶边界条件非线性FDE耦合系统的Ulam–Hyers稳定性。

• 非线性分数阶耦合系统高阶边界条件极值解的逼近。

• 提供高阶边界条件非线性分数阶耦合系统极值解的最大误差估计。

• 利用Matlab软件通过绘图给出了高阶边界条件非线性分数阶耦合系统的上下解。

提供了三个示例来演示所获得的结果。此外，我们注意到，在本文中始终考虑了Caputo型分数阶导数。

2背景材料

在我们工作的当前部分中，我们提到了支持性的基本定义，以及来自分数微积分、测度理论和函数分析的有用引理；有关阅读，请参阅[2,三,4,5,19,20,37].

定义2.1

让\（L（[0,1]，\mathbb{R}）中的θ（\xi）是一个函数。然后是分数阶Riemann–Liouville积分\（\delta\in\mathbb{R_{+}}\）函数的\（θ（xi））由提供

$$I^{\delta}\theta（\xi）=\frac{1}{\varGamma（\delta）}\int_{0}^{\xi}（\xi-\sigma）^{\delta-1}\theta\（\sigma-）\，d\sigma$$

假设积分是在右手边逐点定义的。

定义2.2

([三])

分数阶卡普托导数第页函数的\（θ（xi））由定义

$$\mathbb{D}^{p}\theta（\xi）=\frac{1}{\varGamma（n-p）}\int_{0}^{xi}（\xi-\sigma）^{n-p-1}\theta^{（n）}（\sigma）\，D\sigma$$

假设右边的积分是在\（（0，\infty）\），其中\（n=【p】+1）和\（[p]\）表示实数的整数部分第页.

定义2.3

如中所示[21,43]，“让\（\mathcal{U}=C[0,1]\）被赋予巴纳赫空间\（θ=max_{xi\in[0,1]}|\theta（xi）|\）其满足偏序，并且设\（W=[θ{1}，θ{2}]\）具有\（θ{1}是这样一套\（W\子集\数学{U}\），然后是操作员\（\mathbb{T}:W\rightarrow\mathcal{U}\）称为递增函数\（W中的θ{1}，θ{2}）和\（θ{1}给予\（\mathbb{T}\theta_{1}\leq\mathbb{T}\theta_{2}\）.操作员\（\mathbb{T}\）称为递减函数\（W中的θ{1}，θ{2}）给予\（\mathbb{T}\theta_{1}\geq\mathbb{T}\theta_{2}\）.”

定义2.4

如中所示[21,43]，“让我成为身份操作员。如果\（（（I-\mathbb{T}）\theta_{1}\leq0\），然后是函数\（W中的θ{1}）被称为\（（（I-\mathbb{T}）θ=0\）如果\（（（I-\mathbb{T}）\theta_{2}\geq0\），然后是函数\（θ_｛2｝\在W\中）被称为的最大解\（（（I-\mathbb{T}）θ=0\）.”

引理2.5

([20])

对于巴纳赫空间 \（\mathcal{U}\） 其部分满足订单 \（W\子集\数学{U}\） 和 \（W中的θ_{n}，θ^{*}_{n}） 使得 \（θ{n},\（在Z^{+}中为n\）.如果 \（θ{n}向右箭头θ） 和 \（\theta^{*}_{n}\rightarrow\theta${*}\）,然后 \（\theta\leq\theta^{*}\）.

引理2.6

([三,49])

让 \（p>0）,然后是FDE

$${\mathbb{D}^{p}}\theta（\xi）=0$$

解决方案的形式为

$$\ttheta（\xi）=\sum_｛i=0｝^｛[p]｝｛\frac｛｛｛\ttheta^｛（i）｝｝（0）｝｝｛｛i！｝｛t^｛i｝｝｝｝｝$$

引理2.7

([三,49])

让 \（p>0）,然后

$${I^{p}}\bigl[{\mathbb{D}^{p{}\theta（\xi）\bigr]=\theta（\xi）-\sum_{I=0}^{[p]}{\frac{{\\theta^{（I）}}（0）}}{{I！}}{t^{I}}}}$$

三迭代解决方案

本节致力于系统极值解的存在性理论、逼近和误差估计(1). 在第一次尝试中，我们转移了系统(1)到积分方程的等价系统。需要注意的是，耦合系统的积分表示对于后续计算非常有用。积分表示中的格林函数也需要进行迭代求解。积分表示之后的下一步是建立系统极值解存在的充分条件(1). 我们还通过单调迭代格式和上下解方法相结合，提供了系统极值解的迭代逼近。此外，通过单调序列的收敛性，我们因此计算了系统极值解的迭代解的误差估计(1). 对于上述关注点和计算，考虑了以下假设：

\（（C_{1}）\）:

实值函数\（\varPhi，\varPsi:[0,1]\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\）满足Carathéodory引理（有关阅读，请参阅[20]).

\（（C_{2}）\）:

功能\（\varPhi（\xi，\theta）\）和\（\varPsi（\xi，\vartheta）\）正在增加θ和ϑ对于每个\（[0,1]\中的xi\）分别是。

\（（C_{3}）\）:

常数的存在\（\mathbb{A}，\mathbb{B}>0\）使得\（0\leq\varPhi_{1}-\θ{2}）和\（0\leq\varPsi_{1}-\vartheta{2}）\）.

引理3.1

鉴于 \（C｛1｝\） 具有 \（h\在C（[0，1]，\mathbb{R}）中\）,然后是分数阶微分方程

$$\begin{aligned}&\mathbb{D}^{p}\theta（\xi）+h（\fi）=0，\quad\xi in[0，1]，（n-1）<p\leqn，\\&\theta$$

(2)

解决方案定义为

$$\theta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （xi，σ）h（σ），dσ$$

(3)

哪里 \（\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\） 由提供

$${\mathbb{希腊}_{1} }（{xi，\sigma}）=\frac{1}{\varGamma（p）}\textstyle\begin{cases}（}1-\sigma}）^{p-1}-（{xi-\sigma-}），^{p-1}，&0\le\sigma\le\xi\le1，\\（{1-\simma}）#{p-1，&0\ le\xi\\sigma\le1。\结束{cases}$$

（4）

\（\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\） 称为格林函数.

证明

鉴于引理2.7和Caputo导数意义上的导数，即线性BVP(2)产生这样的结果

$$\theta（\xi）=C_{1}+C_{2}\xi+\cdots+C__{n}\xi^{n-1}-{I^{p}}h（\ xi）$$

(5)

我们通过使用条件来面对奇点\（θ'（0）=θ''（0因此，为了避免奇点，我们有\（C_{2}=C_{3}=C_3}=\cdots=C_}n}=0\）此外，作为\（θ（1）=0），那么我们有\（C_{1}=I^{p} 小时(1)\)因此，我们从(5)那个

$$θ（\xi）=\int_{0}^{1}{\frac{{{{（{1-\sigma}）}^{p-1}}}{{\varGamma（p）}}h}（{\sigma}）（{\sigma}）\，d\sigma$$

(6)

因此，我们从(6)那就是

$$\theta（\xi）=\int_{0}^{1}{{\mathbb{希腊}_{1} }（{\xi，\sigma}）h}（}\sigma}）\，d\sigma$$

这是证明的结尾。 □

引理3.2

让 \（W=C[0,1]\） 成为巴纳赫空间 \（\|\theta\|=\max_｛\xi\in[0,1]｝|\theta（\xi）|\）.然后是耦合系统(1)具有积分表示

$$\textstyle\begin{cases}\theta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （xi，\sigma）\varPhi（\sigma，\vartheta（\sigma））\，d\sigma，\quad\xi\ in[0,1]，\vartheta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （xi，\sigma）\varPsi（\sigma，\theta（\sigga））\，d\sigma，\quad\xi\ in[0,1]，\end{cases}$$

(7)

哪里 \（\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\） 在中给出(4)和

$${\mathbb{希腊}_{2} }（{xi，\sigma}）=\textstyle\begin{cases}\frac{{{{（{1-\sigma}）}^{q-1}}-{{{（{xi-\sigma-}）{^{q-1}}}{\varGamma（q）}}，&0\le\xi\le\sigma\le1。\结束{cases}$$

显然，\（\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\geq 0）,\（\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\geq 0\text{代表所有}\xi\）,\（[0,1]\中的σ）.

引理3.3

功能 \（\mathbb{希腊}_{1} \）,\（\mathbb{希腊}_{2}\) 满足以下属性:

$$\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\bigr\vert\，d\sigma\leq\frac{1}{\varGamma（p+1）}，\qquad\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\bigr\vert\，d\sigma\leq\frac{1}{\varGamma（q+1）}\quad\textit{代表[0,1]中的所有}\xi\$$

证明

作为

$$\frac{{{{（{1-\sigma}）}^{p-1}}-{{$$

暗示着

$$\mathbb美元{希腊}_{1} （xi，\sigma）\le\frac{{{{（{1-\sigma}）}^{p-1}}}}{{varGamma（p）}}$$

因此

$$\bigl\vert\mathbb{希腊}_{1} （xi，\sigma）\bigr\vert\leq\frac{（1-\sigma-）^{p-1}}{varGamma（p）}$$

我们从中

$$\int_{0}^{1}\bigl\vert\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\bigr\vert\，d\sigma\leq\frac{1}{\varGamma（p+1）}$$

同样，我们可以证明\（\int_{0}^{1}|\mathbb{希腊}_{2} （xi，\sigma）|\，d\sigma\leq\frac{1}{\varGamma（q+1）}\）.

因此，证明已完成。 □

我们编写耦合系统(7)积分方程的

$$\开始{对齐}[b]\theta（\xi）&=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\bigl（\sigma，\vartheta（\sigma）\bigr）\，d\sigma\&=\int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varhro）\bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma。\结束{对齐}$$

(8)

此外，我们定义\（\mathbb{T}:W\rightarrow\mathcal{U}\）是操作员

$$\mathbb{T}\bigl（\theta（\xi）\bigr）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varhro）\bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma$$

(9)

多亏了等式(8)和方程式(9)，我们得到方程

$$\bigl[I-\mathbb{T}\bigl（\theta（\xi）\biger）\bigr]=0，\quad\xi\in[0,1]$$

(10)

需要注意的是，方程式(8)和(10)具有与的不动点相同的解决方案\（\mathbb{T}\）.如中所示\（C_{2}\），我们有这个，因为\（W中的θ、θ^{*}）具有\（\theta\leq\theta^{*}\），我们获得

$$\boot｛aligned｝[b]\mathbb｛T｝\bigl（\theta（\xi）\bigr）&=\int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varhro）\bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma\\&\leq\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta^{*}（\warrho）\ bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma=\mathbb{T}\ bigl$$

(11)

意味着

$$\mathbb{T}\bigl（\theta（\xi）\bigr）\leq\mathbb{T}\ bigl$$

因此\（\mathbb｛T｝\）是递增运算符。

\（（C_{4}）\）:

假设(10)是α和β ∈W公司然后是不等式\（alpha\leq\beta\）在$[0,1]$持有。

引理3.4

考虑所有假设 \（（C_{1}）\） 到 \（（C_{4}）\）.那么线性问题的解是一个迭代收敛序列，它收敛于积分方程的解(8)。

证明

在假设条件下\（（C_{1}）\）,\（（C_{2}）\）,\（\text{和}（C_{4}）\），让\（W\subset\mathcal{U}中的θ{i}，θ{j}），其中\（i，j=1,2,3，\ldot，n）

$$\开始{对齐}[b]&\bigl\vert\mathbb{T}\bigl（\theta_{i}（\xi）\biger）-\mathbb}\bigle（\ttheta_{j}（\txi）\ biger）\bigr\vert\&\quad=\biggl\vert\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta_{i}（\warrho）\ bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma\\&\qquad{}-\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta_{j}（\valrho）\ bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma\biggr\vert\&\quad\leq\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\ xi，\ sigma）\ biggl \ vert \ varPhi \ biggl（\ sigma，\ int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrha，\theta_{i}（\warrho）\ bigr）\，d\varrho\biggr）\\&\qquad{}-\varPhi\biggl（\simma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta_{j}（\valrho）\ bigr）\ biggr\vert\，d\sigma\\&\quad\leq\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\mathbb{A}\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\bigl\vert\varPsi\bigl（\varrho，\theta\｛i｝（\varrho）\bigr）-\varPsi\bigl（\varrho，\theta\｛j｝（\varrho）\bigr）\bigr\vert\，d\varrho\，d\sigma\\&&\quad\leq\frac｛\mathbb｛A｝\mathbb｛B｝｝｛\varGamma（q+1）｝\varGamma（p+1）\vert\theta_{我}-\θ{j}\Vert=\nabla\Vert\theta_｛i｝-\θ{j}\Vert，\quad\text{其中}\nabla=\frac{\mathbb{A}\mathbb2{B}}{\varGamma（q+1）}\varGamma（p+1）。\结束{对齐}$$

（12）

因此，操作员\（\mathbb｛T｝\）是连续的。此外，很明显\（\mathbb{T}\）也是等距且一致有界的。Arzelá–Ascoli定理，其中规定“如果M（M）是等容一致有界实值函数族（有限或无限）θ在间隔上$[0, 1]$，然后M（M）包含一致收敛的函数序列\（θ{n}），收敛到函数θ在里面W公司作为\（n\rightarrow\infty\），其中W公司表示上所有连续有界函数的空间$[0,1]$因此M（M）包含上的一致有界收敛子序列$[0, 1]$因此M（M）有一个紧凑的封口W公司“因此，根据Arzelá–Ascoli定理，\（\mathbb{T}\）也是一个紧凑运算符。让积分方程的下解(10)是\（θ{0}=\alpha\）然后，考虑到条件\（（C_{4}）\），我们获得

$$\theta_{0}\leq\beta$$

作为\（\mathbb｛T｝\）是一个递增算子，则我们得到

$$\theta_{0}\leq\mathbb{T}\theta_0}\leq \mathbb{T}\beta\leq \ beta，\quad\text{即间隔}[0,1]上的}\theta _{0}\ leq \ theta _{1}\ leq\beta\text{$$

哪里\（θ{1}=mathbb{T}θ{0}）是积分方程的迭代解(10). 通过应用\（\mathbb{T}\），我们获得

$$\mathbb｛T｝\theta\{0｝\leq\mathbb｛T｝\theta\{1｝\leq\mathbb｛T｝\beta\leq\beta，quad\text｛即｝\theta\{1｝\leq\ttheta\{2｝\leq\beta\text｛on｝[0,1]$$

哪里\（θ{2}=mathbb{T}θ{1}）因此，我们得到了一个有界单调序列\（θn}）哪个是

$$θ{0}\leq\θ{1}\leqθ{2}\lequeq\cdots\leq\ theta{n-1}\leq\theta{n}\leq\beta\quad\text{on}[0,1]$$

(13)

哪里\（θ{n}=mathbb{T}θ{n-1}）是方程的解(10). 因此，考虑到有界单调序列\（θn}），存在\（W中的θ）以便\（θ{n}向右箭头θ）作为\（n\rightarrow\infty\）.因此\（\theta=\tathbb{T}\theta\），这是积分方程的解(8)由定义

$$\theta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\ xi，\ sigma）\ varPhi \ biggl（\ sigma，\ int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{2} [0,1]中的（\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varrrho）\bigr）\，d\sigma、\quad\xi\$$

因此，鉴于(13)和(12)，我们得到

$$\开始{对齐}和\Vert\theta_{2}-\θ{1}\Vert=\Vert\mathbb{T}\theta_{1}-\mathbb{T}\theta_{0}\Vert\leq\nablae_{1}，\\&\Vert\theta_{3}-\θ{2}\Vert=\Vert\mathbb{T}\theta_{2}-\mathbb{T}\theta_{1}\Vert\leq\nabla^{2} e（电子）_{1} ，\\&\垂直\theta_{4}-\θ{3}\Vert=\Vert\mathbb{T}\theta_｛3｝-\mathbb{T}\theta_{2}\Vert\leq\nabla^{3} e（电子）_{1} ，\\&\vdots\\\&\Vert\theta_{n+1}-\theta_{n}\Vert=\Vert\mathbb{T}\theta_{无}-\mathbb{T}\theta_{n-1}\Vert\leq\nabla^{n} e（电子）_{1} 。\结束{对齐}$$

因此，对于正整数\（m\text{和}n\），我们有

$$开始{aligned}\Vert\theta_{m+n}-\theta_{n}\Vert&\leq\Vert\theta_{n+m}-\ttheta_}n+m-1}\Vert+\Vert\the ta_{n+m1}-\teta_{n+m-2}\Vert_cdots+\Vert\theta_{m}}{1-\nabla}e{1}。\结束{对齐}$$

(14)

很明显\（纳布拉<1），这意味着\（θ{m+n}-θ{n}右箭头0）什么时候\（n\rightarrow\infty\）.因此\（{\theta_{n}}\）是中的Cauchy序列W公司.让\（θ^{*}（\xi）=\lim_{n\rightarrow\infty}\θ{n}（\ xi）\），因此\（\mathbb{T}\theta^{*}=\theta^{**}\）因此，如果\（m\right arrow\infty\）英寸(14)，则下解的误差估计为

$$e_{n}=\bigl\Vert\theta^{*}-\theta_{n}\bigr\Vert\leq\frac{nabla^{n}}{1-\nabla}e_{1}，\quad\text{where}e_{1}=\Vert\theta_{1}-\θ{0}\垂直$$

 □

备注

让我们选择\（θ{0}=β），我们有一个序列\（θn}）以便

$$θ{0}\geq\θ{1}\geqθ{2}\geq\cdots\geq\ theta{n-1}\geθ{n}\ge qα\quad\text{on}[0,1]$$

它收敛于积分方程的解(8). 因此，我们可以得到由下式给出的最大解的估计误差\（e^{*}_{n}=\|\theta^{*{_{无}-\条形图,\（\text{where}\e^{*}_{1}=\|\theta^{*{_{0}-\θ^{*}{1}）进一步，我们使用引理3.4系统上下解的迭代序列(1)是：

$$\begin｛aligned｝&θ_｛n｝（\xi）=\int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta_{n-1}（\varrho）\bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\sigma，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta^{*}_{n-1}（\varrho）\bigr）\，d\varrho\biggr）\，2\sigma、\quad n\geq 1。\结束{对齐}$$

因此，我们有

$$\开始{对齐}&\θ^{*}（\xi）=\lim_{n\rightarrow\infty}\θ_{n}（\ xi），\\vartheta^{*{（\ xi）=\ int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\varPsi\bigl（\sigma，\teta^{*}（\sigma{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\varPsi\bigl（\sigma，\bar{\theta}^{*}（\sigma）\bigr）\，d\sigma。\结束{对齐}$$

定理3.5

考虑条件 \（（C_{1}）\）,\（（C_{2}）\）,和 \（（C_{3}）\） 和 \（纳布拉<1\）.然后是BVP的耦合系统(1)分别具有唯一的最小和最大解.

证明

我们证明了这一点\（（\theta^{*}，\vartheta^{**}）和\（（（\bar{\theta^{*}}，\bar{\vartheta^{**}}）\）是的最小和最大解(7). 让任何人\（u（\xi）\在W中\）具有\（\mathbb{T} u个=u）和\（θ{n}，由于\（\mathbb{T}\）并使用引理3.4，我们有\（θ^{*}（\xi）\lequ（\xi）\leq \bar{\theta ^{*{（\xi）}\）那个\（θ^｛*｝（\xi）\）和\（\bar{\theta^{*}（\xi）}\）是的最小和最大不动点\（\mathbb{T}\）分别是。因此\（（\theta^{*}，\vartheta^{**}）和\（（（\bar{\theta^{*}}，\bar{\vartheta^{**}}）\）是的最小和最大解(7)分别。

其次，关于系统最小解和最大解的唯一性(7)，让\（W中的α、β）是的上下解\（\mathbb{T}\theta=\theta\）分别是。然后\（\alpha\leq\mathbb{T}\alpha\）,\（\beta\geq\mathbb{T}\beta\）,\（[0,1]\中的xi\）。我们使用\（\alpha\text{和}\beta\）分别作为初始迭代，以便\（\alpha_{n}\rightarrow\alpha^{*}\）和\（\beta_{n}\rightarrow\beta^{*}\）,\（n\rightarrow\infty\）。我们也有\（\mathbb{T}\alpha^{*}=\alpha#{*}\）,\（\mathbb{T}\beta^{*}=\beta|{*}\）.为了证明\（\alpha^{*}=\theta^{*{），观察到\（\theta_{0}\leq\alpha^{*}\）和\（\mathbb{T}\）正在增加，所以我们有\（θ{n}=\mathbb{T}^{n}\θ{0}\leq\mathbb{T}^{n{alpha^{*}\）对于每个\（1，2，3，点）。那么\（θ{0}\leq\theta{1}\leq \ theta{2}\lequ\cdots\leq\theta{n}\lequeq\cdott\leq\alpha^{*}）因此，从(12)和数学归纳法，很明显\（\|\alpha^{*}-\theta_{n}\|=\|\mathbb{T}^{n}\ alpha^}-\mathbb{T}^{n{\theta_{0}\|\leq\nabla^{nneneneep \|\阿尔法^{*{-\theta{0}\ |\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow\infty\）.因此\（\|\alpha^{*}-\theta^{*{|\rightarrow0\）作为\（n\rightarrow\infty\），它给出\（\theta^{*}=\alpha^{*{）以同样的方式，我们得到了\（\bar{\theta^{*}}=\beta^{**}\）因此，耦合系统的最小和最大解(7)都是独一无二的。 □

4BVP解的广义Ulam–Hyers稳定性(1)

本节致力于研究分数阶微分方程组的更一般的稳定性分析。分数阶常微分方程和分数阶偏微分方程的稳定性分析是分数阶微积分的一个重要方面。据我们所知，耦合系统尚处于初始阶段。因此，本节的目的是研究分数阶微分方程组的一些充分条件。在这个问题中，我们研究了BVP耦合系统的Ulam–Hyers和广义Ulam-Hyers稳定性(1)非线性FDE。为此，我们需要以下辅助定义。

定义4.1

考虑的问题(1)如果我们能找到一个实数，乌勒姆-海尔斯稳定吗\（\帽子｛C｝_{\varPhi，\varPsi}>0\）拥有这样的财产\（\varepsilon=\max\{\varepsilon_{1}，\varepsylon_{2}>0\）具有\（\varepsilon_{1}>0\）和\（\varepsilon_｛2｝>0\）以及每个解决方案\C（[0,1]，\mathbf{R}）中的（（θ，\vartheta）\乘以C（[0.1]，\mathbf{R}）\）关于不平等

$$\begin{aligned}\bigl\vert\mathbb{D}^{p}\theta（\xi）-\varPhi\bigl（\si，\vartheta（\si）\biger）\bigr\vert\leq\varepsilon_{1}，\quad\xi in[0,1]，\\bigl\vert\mathbb{D}^{q}\vartheta\bigl-\varPsi\bigl.（\sii，\theta silon{2}，[0,1]中的\quad\xi，\end{aligned}$$

(15)

有一个独特的解决方案\（（tilde{\theta}，tilde{vartheta}）在C（[0，1]，\mathbf{R}）中\乘以C（[0,1]，\mathbf{R}）\）拟议的BVP(1)与

$$\bigl\Vert（\theta，\vartheta）-（\tile{\theta}，\tile{\vartheta}）\bigr\Vert\leq\hat｛C｝_[0，1]中的{\varPhi，\varPsi}\varepsilon，\quad\xi\$$

定义4.2

拟议的BVP(1)被称为广义Ulam–Hyers稳定，如果我们能找到\（\varTheta_{\varPhi，\varPsi}：（0，\infty）\rightarrow\mathbf{R}^{+}\\text{with}\\varTheta_{\varPhi，\varPsi}（0）=0\）拥有的财产\（\varepsilon=\max\｛\varepsilon _｛1｝，\varepsilon _｛2｝\｝>0\）具有\（\varepsilon_{1}>0\）和\（\varepsilon_{2}>0\）以及每个解决方案\C（[0,1]，\mathbf{R}）中的（（θ，\vartheta）\乘以C（[0.1]，\mathbf{R}）\）关于不平等

$$\begin{aligned}\bigl\vert\mathbb{D}^{p}\theta（\xi）-\varPhi\bigl（\si，\vartheta（\si）\biger）\bigr\vert\leq\varepsilon_{1}，\quad\xi in[0,1]，\\bigl\vert\mathbb{D}^{q}\vartheta\bigl-\varPsi\bigl.（\sii，\theta silon{2}，[0,1]中的\quad\xi，\end{aligned}$$

有一个独特的解决方案\（（tilde{\theta}，tilde{vartheta}）在C（[0，1]，\mathbf{R}）中\乘以C（[0,1]，\mathbf{R}）\）拟议的BVP(1)与

$$\bigl\Vert（\theta，\vartheta）-（\tile{\theta}，\tile{\vartheta}）\bigr\Vert\leq\hat｛C｝_[0，1]中的{\varPhi，\varPsi}\varTheta_{\varPsi，\varPsi}（\xi），\quad\xi$$

备注4.3

这个\C（[0,1]，\mathbb{R}）中的（（θ，\vartheta）据说是BVP的解决方案(1)并满足(15)当且仅当我们能找到一个函数\（C（[0,1]，\mathbb{R}）中的\alpha，\beta\）仅取决于\（（\θ，\ vartheta）\）分别，然后

• （i） \（|\alpha（\xi）|\leq\varepsilon_{1}\）,\（|\beta（\xi）|\leq\varepsilon{2}），对于所有人\（[0，1]\中的\xi\）;

• （ii） \（{\mathbb{D}}^{p}\theta（\xi）+\varPhi（\xi，对于所有人\（[0，1]\中的\xi\）,\（{\mathbb{D}}^{q}\vartheta（\xi）+\varPsi（\xi，\theta（\ xi））=\beta（\xi）\），对于所有人\（[0，1]\中的\xi\）.

感谢备注4.3和假设\（（C_{3}）\）对于\（在（[0,1]）中为xi\），经过深思熟虑的解决方案\（（\θ，\ vartheta）\）问题的关键

$$\textstyle\bbegin｛cases｝\mathbb｛D｝^｛p｝\ttheta（\xi）+\varPhi（\xi，\vartheta（\xi））=\alpha（\xi），\quad\xi\in[0,1]，\\mathbb｛D｝^｛q｝\vartheta（\xi）+\varPsi（\xi，\theta（\xi））=\beta（\xi），\quad\xi\in[0,1]，\\theta（1）=\ttheta'（0）=\ttheta'（0）=\cdots=\ttheta^｛（n-2）}（0）=\theta^｛（n-1）｝（0）=0，\\\\vartheta（1）=\vartheta'（0）=\vartheta“”（0）=\cdots=\varheta ^{（n-2）}（0）=\vartheta^{$$

由提供

$$\begin{aligned}&\begin{aligned}&\theta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varrro）\bigr）{希腊}_{1} （xi，\sigma）\alpha（\sigma-）\，d\sigma，\quad\xi\ in[0,1]，\\&\vartheta（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\varPsi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\varrho）\varPhi\bigl（\varrho，\vartheta（\varrho）\bigr）\，d\varrho+\int _｛0｝^｛1｝K_｛1｝（\xi，\varrho）\alpha（\varrho）\，d\varrho\biggr）\，d\sigma\\&&\hphantom｛\vartheta（\xi）=｝｛｝+\int _｛0｝^｛1｝\mathbb{希腊}_{2} （xi，\sigma）\beta（\sigma-）\，d\sigma，\quad\xi\ in[0,1]，\end{aligned}\ end{aligned}$$

(16)

满足以下不等式：

$$\开始{对齐}[b]&\biggl\vert\theta（\xi）-\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho\，\theta（\varhro）\bigr）\，d\varrho+\int_{0}^{1}K_{2}（\xi.]，\结束{对齐}$$

(17)

和

$$\开始{对齐}[b]&\biggl\vert\vartheta（\xi）-\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\varPsi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\varrho）\varPhi\bigl（\varrho\，\vartheta（\varhro）\bigr）\，d\varrho+\int_{0}^{1}K_{1}.（\xi.，\varrro）\alpha（\valrho）\，e\varrho \biggr）\，2\sigma\biggr\vert\&\quad\leq\frac{\varepsilon_{1{}{\varGamma（q+1）}。\结束{对齐}$$

(18)

定理4.4

让 \（纳布拉<1） 和假设 \（（C_{3}）\） 持有.然后考虑耦合系统的解(1)乌拉姆-海尔斯稳定吗，因此广义乌拉姆–海尔斯稳定.

证明

让\（（\θ，\ vartheta）\）是BVP的任何解决方案(1)满足不等式(15)，并让\（（\bar{\theta}，\bar{\vartheta}）\）是所考虑的BVP问题的唯一解决方案，然后考虑

$$\开始{aligned}&\vert\theta-\bar{\theta}\vert\&\quad=\biggl\vert\theta-\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\bar{\theta}（\barrho）\ bigr）\，d\varrho+\int_{0}^{1}K_{2}{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varrro）\bigr）{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\theta（\varrro）\bigr）{希腊}_{1} （\xi，\sigma）\varPhi\biggl（\sigma，\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\varrho）\varPsi\bigl（\varrho，\bar{\theta}（\barrho）\ bigr）\，d\varrho+\int_{0}^{1}K_{2}（\ xi，\ varrho，\varρ）\ beta（\varhro）\，1\varrho \biggr）\，2\sigma\biggr\vert。\结束{对齐}$$

(19)

因此，从不等式(19)

$$开始{aligned}开始{alinged}和垂直θ-垂直θ｛C｝_{\varPhi，\varPsi}，\quad\hat｛C｝_{\varPhi，\varPsi}=\frac{1}{（1-\nabla）\varGamma（p+1）}>0。\end{aligned}\end{alinged}$$

(20)

同样，很容易证明

$$\开始{aligned}\Vert\vartheta-\bar{vartheta}\Vert_leq&\varepsilon_{1}\hat｛C｝_｛\varPsi｝，quad\hat｛C｝_{\varPsi}=\frac{1}{（1-\nabla）\varGamma（q+1）}>0。\结束{对齐}$$

(21)

因此，从不平等中(20)和(21)，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\Vert（\theta，\vartheta）-（\tar{\theta}，\tar{vartheta}）\bigr\Vert\leq&max\{varepsilon_{1}｛C｝_{\varPhi}，\varepsilon_{2}\hat｛C｝_{\varPsi}\}=\varepsilon\hat｛C｝_{\varPhi，\varPsi}。\结束{对齐}$$

(22)

因此，BVP耦合系统的解(1)乌拉姆-海尔斯稳定。此外，如果\（\varTheta_{\varPhi，\varPsi}（\varepsilon）=\varepsilon），因此(22)可以表示为

$$\开始{aligned}\bigl\Vert（\theta，\vartheta）-（\bar{theta}，\bar{vartheta}）\bigr\Vert\leq&\hat｛C｝_｛\varPhi，\varPsi｝\varTheta_｛\varPhi，\varPsi｝（\varepsilon）。\结束{对齐}$$

(23)

因此，\（\varTheta_{\varPhi，\varPsi}（0）=0\）英寸(23)持有。因此，BVP系统的解决方案(1)广义Ulam–Hyers稳定。因此，我们研究了Ulam–Hyers稳定性的充分条件广义Ulam-Hyers稳定，即：，\（纳布拉<1）. □

5示例

在本节中，我们提供了耦合系统的一些示例(1). 我们计算了相应示例的极值解的迭代逼近。我们还提供了极值解的误差估计。此外，还对系统实例进行了充分条件下的稳定性分析(1)也是本节关注的问题。我们还提供了每个系统示例的图(1)在框架图中。

例5.1

考虑以下FDE的BVP耦合系统：

$$开始{聚集}{\mathbb{D}^{\frac{5}{2}}θ\\{\mathbb{D}^{\frac{{27}}{{10}}}\vartheta471{e^{（{-\theta（\xi）}）}+120}）{{2+\theta$$

(24)

在以下给定的边界条件下

$$\begin{aligned}\theta（1）=\theta'（0）=\ttheta''（0）=0，\qquad\vartheta（1。\结束｛对齐｝$$

(25)

至于\（\mathbb{A}=\mathbb{B}=0.0001），我们有\（纳布拉=7.2147e^{-10}<1）.何时\（n=3）是足够大的迭代序列，用于近似的最小和最大解\（θ{n}）和\（\bar{\theta}^{*}_{n}\）分别为：

$$\开始{对齐}&\θ^{*}（\xi）=\θ_{3}（\ xi），\\&\vartheta^{*{（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\frac{{{\sigma^{\frac}9}{2}}\theta{2}（\sigma）（{theta{2{（\signa）+1}）a}^{*}（\xi）=θ{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\frac{{{\sigma^{\frac}9}{2}}\theta^{*}{2{（\sigma）（{\theta^{}{2neneneep（\sigma-）+1}）（{23\mbox{，}471{e^{-\theta_{2}（\simma）}}+120}）}{{1+theta^}{*}（\signa））}}\，d\sigma。\结束{对齐}$$

(26)

让\（（θ{0}，变量θ{0}）=（-0.01，-0.01）,\（（θ^{*}_{0}，变θ^}_{0}）=（0.01,0.01）是示例的最小和最大解5.1然后我们得到了相应的最大误差估计：

$$\开始{对齐}e_{3} &=\Vert\theta-\theta_{3}\Vert\leq\frac{\nabla^{3}}{1-\nabla}\times e_{1}\leq 3.7554292227e^{-28}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\Vert\theta_{1}（\xi）+0.01\bigr\Vert\&\simeq 5.66292592845e^{24}，\e^{*}_{3{&=\bigl\ Vertθ-\θ^{*}_{3}\bigr\Vert\leq\frac{nabla^{3}{1-\nabla}\乘以e^{*{{1}\leq 3.7554292227e^{-28}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\vert 0.01-\theta^{*}_{1}（\xi）\bigr\vert\&\simeq 5.60233983913e^{24}。\结束{对齐}$$

示例的极小和极大迭代解5.1如图所示1–2其中，为了简单地执行Matlab代码，我们替换了\（（\θ，\ vartheta）\）通过\（（w，z）\）和\（（\theta^{*}，\vartheta^{**}）通过\（（w^{*}，z^{*{）\）图中的每个图都演示了近似解的物理行为。

图1

示例解的线图5.1

图2

示例解的线图5.1，何时\（p=\压裂{11}{5}\）和\（q=\压裂{15}{7}\）

此外，作为\（纳布拉<1）因此，Ulam–Hyers稳定性和广义Ulam-Hyers稳定是显而易见的。迭代解的稳定性也可以从图中观察到1–2.

例5.2

为了巩固我们的成果，我们提供了另一个例子，如下所示：

$$开始{聚集}{\mathbb{D}^{\frac{19}{5}}\theta（\xi）+\sqrt{1+{\vartheta^{2}}2}}}}\vartheta（\xi）+\sqrt{\theta（\xi）}\bigl（{\theta^{2.3}}（\xi）+{\theda^{1.1}}，\quad 0\le\xi\le 1，\end{聚集}$$

(27)

根据以下给出的边界条件

$$\begin{aligned}&\theta（1）=\theta'（0）=\tea''（0）=\tea''“（0）=0.，\qquad\vartheta（1。\结束{对齐}$$

(28)

至于\（\mathbb{A}=\mathbb{B}=\frac{1}{64}\），我们有\（纳布拉=1.1767e^{-6}<1）.何时\（n=3）是足够大的迭代序列，用于近似的最小和最大解\（θ{n}）和\（\bar{\theta}^{*}_{n}\）分别为：

$$\开始{对齐}&\θ^{*}（\xi）=\θ_{3}（\ xi），\qquad\vartheta^{*{（\xi）=\int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\sqrt{θ{2}\nint_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\ xi，\ sigma）\ sqrt｛\ theta ^｛*｝_｛2｝（\ sigma）｝\bigl（｛\ bigl（\ theta _｛2｝^｛*｝（\ sigma）\ bigr）^｛2.3｝｝+｛\ bigl（\ theta _｛2｝^｛*｝（\ sigma）\ bigr）^｛1.1｝｝｝\ bigr）\，d \ sigma。\结束{对齐}$$

(29)

让\（（θ{0}，变量θ{0}）=（-3，-3）\）,\（（（θ^{*}{0}，变θ^}{0{）=（3,3）\）是示例的最大和最小解5.2分别，则误差估计为：

$$\begin{aligned}e_{3}&=\Vert\theta-\theta_{3}\Vert\leq\frac{\nabla^{3}{1-\nabla}\times e_{1}\leq 1.62914414119e^{-18}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\Vert\theta{1}（\xi）+3\bigr\Vert\&\simeq 5.03862710112e^{18}，\\e^{*}{3}&=\bigl\Vert\theta-\theta^{*}_{3}\bigr\Vert\leq\frac{nabla^{3}{1-\nabla}\乘以e^{*{1}\leq 1.62914414119e^{-18}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\vert 3-\theta^{*}_{1}（\xi）\bigr\vert\&\simeq 4.88743242358e^{-18}。\结束{对齐}$$

示例的极小和极大迭代解5.2如图所示三–4，其中为了简单地执行Matlab代码，我们替换了\（（\θ，\ vartheta）\）通过\（（w，z）\）和\（（\theta^{*}，\vartheta^{**}）通过\（（w ^｛*｝，z ^｛*｝）\）图中的每个图都演示了近似解的物理行为。

图3

示例解的线图5.2

图4

示例解的线图5.2，何时\（p=\压裂{17}{5}\）和\（q＝\frac｛10｝｛3｝\）

此外，作为\（纳布拉<1）因此，Ulam–Hyers稳定性和广义Ulam-Hyers稳定是显而易见的。迭代解的稳定性也可以从图中观察到三–4.

示例5.3

考虑以下FDE的BVP耦合系统：

$$开始{聚集}{\mathbb{D}^{\frac{{21}}{5}}θ，\quad 0\le\xi\le1，\\{mathbb{D}^{\frac{9}{2}}\vartheta（\xi）+\frac{{t^{\frac{19}}{4}}\theta（\ xi）（{\theta（\xi）+1}）（{θ（\xi）+9}）（{{e^{-2\θ（\ xi）}}+120}）}{{{{（{2+\θ$$

(30)

具有给定的边界条件

$$\begin{aligned}&\teta（1）=\teta'（0）=\testa''（0）=\testa'''（0。\结束{对齐}$$

(31)

显然，\（\mathbb{A}=\mathbb{B}=\frac{1}{64}\）很容易看出\（纳布拉=1.4317e^{-7}<1）.用于服用\（n=3\）足够大，我们有近似最小和最大解的迭代序列\（θ{n}）和\（\bar{\theta}^{*}_{n}\）由提供

$$开始{对齐}\theta^{*}（\xi）&=\theta_{3}（\ xi），\\vartheta^{**}（\sxi）&=int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\frac{{{\sigma^{\frac}{19}}{4}}\θ{2}^{2}}}\，d\sigma，\\bar{\theta}^{*}（\xi）&=\theta^{*{3}（\sxi），\\bar}\vartheta}^}（\ xi）&=int_{0}^{1}\mathbb{希腊}_{2} （\xi，\sigma）\frac{{t^{\frac}{19}}{4}}\theta^{*}{2}（\sigma]）+\θ^{*}_{2}（\sigma）}）}^{2}}}\，d\sigma，\end{aligned}$$

(32)

分别是。让\（（θ{0}，变量θ{0}）=（-0.1，-0.1）,\（（（θ^{*}{0}，变量^{*{0}）=（0.1,0.1）\）分别是示例的最大解和最小解5.3，然后

$$\begin{aligned}e_{3}&=\Vert\theta-\theta_{3}\Vert\leq\frac{\nabla^{3}}{1-\nabla}\times e_{1}\leq 2.93476154975e^{-21}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\Vert\theta_}（\xi）+0.1\bigr\Vert\&\simeq 2.934176154975e ^{-22}，\\e^{{3}&=\bigl\Vert\theta-\theta^{*}{3}\bigr\Vert\leq\frac{nabla^{3}{1-\nabla}\乘以e^{*{1}\leq 2.93476154975e^{-21}\times\max_{xi\in[0,1]}\bigl\vert 0.1-\theta^{*}_{1}（\xi）\bigr\vert\&\simeq 2.93476 154975e ^{-22}。\结束{对齐}$$

近似最大和最小解的物理行为也已通过提供图得到证明5–6，其中，为了简单地执行Matlab代码，我们替换了\（（\θ，\ vartheta）\）通过\（（w，z）\）和\（（\theta^{*}，\vartheta^{**}）通过\（（w^{*}，z^{*{）\）.

图5

示例解的折线图5.3

图6

示例解的线图5.3，何时\（p=\压裂{23}{5}\）和\（q=\压裂{13}{3}\）

很容易获得溶液的各种类型Ulam–Hyers稳定性的条件。迭代解的稳定性在图中也很明显5–6.

数字讨论：我们已经绘制了三个考虑过的系统示例的迭代解(1). 这些图如图所示1–6对于绘图的草图，我们使用了Matlab软件中的subplot命令。每个数值结果图都显示了耦合分数阶微分方程组的极值解的一个有意义的行为。每个上下解决方案的不同可视化非常清晰。

6结论

我们给出了具有高阶边界条件的FDE耦合系统存在极值解的充分条件。我们将上下解方法与单调迭代技术相结合，成功地给出了这些充分条件。我们构造了两个对应于上下解的单调序列，使得单调递增序列收敛于最大解，单调递减序列收敛于所考虑系统的最小解。最后，建立了误差估计，从而证明了该方法的有效性。