数学物理中两个非线性发展方程的孤子解和周期波解的双线性方法

摘要

在本文中，潜在的Kadomtsev–Petviashvili方程和($3+1$)-研究了维势-YTSF方程，该方程可用于描述流体动力学和通信等许多数学和物理背景。基于Hirota双线性方法($3+1$)-通过适当的因变量变换，得到了维电势-YTSF方程。然后利用微扰技术导出了非线性发展方程的N孤子解，以及势Kadomtsev–Petviashvili方程和($3+1$)-利用黎曼θ函数构造了维势YTSF方程。此外，周期波解的渐近性质表明，孤子解可以从周期波解中导出。

1介绍

非线性发展方程解析解的构造是非线性现象研究中的一个重要课题[1,2,3,4,5,6,7]. 解析解可以帮助人们更好地理解由非线性演化方程模拟的物理现象的机理。随着孤子理论和计算机代数系统（如Maple）的发展，人们越来越重视寻找非线性发展方程的解析解，包括孤子解、周期波解、激波解等，人们提出并发展了许多搜索非线性方程精确解的强大方法。例如，Biswas和Bhrawy[8]采用扩展的Jacobi椭圆函数展开法研究了Zakharov方程和Davey–Stewartson方程，得到了椭圆和snoid波解。Ma和Lee等人[9]调查了一个$3+1$通过变换有理函数方法得到了一维Jimbo–Miwa方程的精确解。其他方法，如Bäcklund变换[10,11]，达布变换[12,13]，Hirota双线性方法[14]、逆散射变换、变量分离方法[15]，正弦-余弦方法，tanh函数方法[16]，辅助方程法[17]，试函数法[18]等，也被聘用。基于这些方法，对各种非线性方程进行了研究和求解。

其中，Hirota方法是构造NLEE多孤子解的最有效方法之一。它可以通过因变量变换将给定的非线性演化方程转换为相应的双线性形式。然后利用摄动展开法，导出了具有指数函数的多立方体解。通过双线性Bäcklund变换，得到了Lax对。近年来，发展了Hirota方法，利用Riemann theta函数构造Wronskian解、Pfaffian解和周期波解[19,20,21,22,23,24]. 通过这种方法，Tian等人研究了浅水波的HS方程和BLMP方程[19]. Ma，Zhang等人构建了($2+1$)-维Hirota双线性方程和Ito方程[20,21]. 这种方法的优点在于，我们不用代数几何理论，直接得到了周期波解。此外，通过渐近分析，可以从周期波解中导出孤子解。

为了进一步扩大这种方法的应用领域，在本文中，我们研究了潜在的Kadomtsev–Petviashvili方程($3+1$)-维势-YTSF方程，以说明使用Hirota方法和Riemannθ函数组合的效率。据我们所知，这些结果是最新的，尚未报告。

论文的其余部分组织如下。在Sect。 2，双线性形式($3+1$)-应用Hirota双线性方法给出了维电势-YTSF方程。在Sect。 3利用微扰方法给出了N孤子解。在Sect。 4利用黎曼θ函数，成功地导出了周期波解，周期波解的渐近性质表明周期波解退化为孤子解。最后，在第节中给出了结束语。 5.

2双线性形式($3+1$)-维电势-YTSF方程

在本节中，我们将给出($3+1$)-应用Hirota直接法和因变量变换，得到了维势-YTSF方程。

一个新的($3+1$)-维非线性演化方程，称为潜在的YTSF方程，首先由Yu、Toda、Sasa和Fukuyama（YTSF）介绍[25]. ($3+1$)-维电势-YTSF方程可以写成

$$-4u{xt}+u{xxxz}+3u_{x} u个_{xz}+3u_{xx}u_{z} +3u_{yy}=0$$

（2.1）

设置\（u=压裂{3}{4} w个_{x} \），将其代入等式(2.1)并在以下方面进行整合x个产量

$$-4w{xt}+w{xxxz}+3w_{xx}周_{xz}+3w_{yy}+\lambda=0$$

(2.2)

它被转换为双线性表示

$$\bigl[-4D_{x} D类_{t} +D_{x}^{3} D类_{z} +3D_{y}^{2}\bigr]F\cdot F+\lambda F^{2{=0$$

(2.3)

在因变量变换下\（w=2\ln F），其中\（λ=λ（y，z，t））是积分常数；\（D_｛x｝\）,\（D_{y}\）和\（D_｛t｝\）著名的Hirota运算符的定义是[21]

$$D_{x}^{m} D类_{t}（t）^{n} （f）\cdot g=（\partial{x}-\partial{x'}）^{m}^{n} （f）（x，t）\times g\bigl（x'，t'\bigr）|{x'=x，t'=t}$$

这个D类-运算符在作用于指数函数时具有以下优良特性：

$$D_｛x｝^{m} D类_{y}（y）^{s} D类_{t} ^{n}\exp\xi_{1}\cdot\exp\xi_{2}=（P_{1{-P_2}）^{m}（Q_1}-Q_2}$$

(2.4)

哪里\（\xi_{i}=P_{i} x个+Q_{i} 年+\varOmega型_{i} t吨+\ xi_｛i｝^｛0｝\）(\（i=1,2）).

更一般地说，我们得到

$$G（D_{x}，D_{y}，D _{t}）\exp\xi_{1}\cdot\exp\xi_{2}=G$$

(2.5)

备注1

D类操作两个函数的乘积，比如莱布尼茨规则，除了一个关键的符号差异。例如，

$$\开始{对齐}（&D）_{x} 克\cdot F=G_{x} F类-GF_{x}，\\&D_{x} D类_{t} G公司\cdot F=G_{xt}法语-G_{x} F类_{t} +GF_{xt}-G_{t} F类_{x} 、\\&D_{xx}G\cdot F=G_{xx}传真-2G个_{x} F类_{x} +GF_{xx}。\结束{对齐}$$

3N孤子解($3+1$)-维电势-YTSF方程

在下面，我们将给出N孤子解(\（3+1\）)-借助Hirota方法和摄动展开和截断技术的维势-YTSF方程及其性质(2.5).

扩大F类关于小参数的幂级数ε给予

$$F=1+\varepsilon F_{1}+\varebsilon^{2} （f）_{2} +\varepsilon（瓦雷普西隆）^{3} （f）_{3} +\cd点$$

（3.1）

替换(3.1)转化为双线性方程(2.3)并设置相同幂的系数ε到零，我们得到了\（f{i}\）.

单固溶体溶液

对于\（n=1），等式(3.1)成为

$$f_{1}=\exp（\eta_{1{），\quad\eta_}=k_{1} x个+升_{1} 年+米_{1} z（z）+\欧米茄_{1} t吨+\eta_{1}^{0}$$

(3.2)

哪里\（k{1}\）,\（l{1}\）,\（m{1}\）,\（\欧米茄{1}\）是任意常数，以及\（-4k{1}\omega{1}+k{1{）^{3} 米_{1} +3l_{1}^{2}=0\）是色散关系。

替换(3.2)转化为双线性方程(2.3)，方程的单孤子解(2.1)由提供

$$u（x，y，z，t）=\frac{3}{2}\bigl[\ln\bigl（1+e^{\eta_{1}}\bigr）\bigr]_{x}$$

(3.3)

双孤子解

双孤子解由下式给出

$$u（x，y，z，t）=\frac{3}{2}\bigl[\ln\bigl（1+e^{\eta_{1}}+e^}\ta_{2}}+e ^{\ta_}1}+eta_}2}+A{12}}\bigr）\bigr]_{x}$$

(3.4)

哪里\（-4k{i}\omega{i}+k{i{）^{3} 米_{i} +3l_{i}^{2}=0\）(\（i=1,2）)色散关系和相移项是

$$e^{A{12}}=-\frac{4（k{1}-k{2}）（ω{1}-\omega{2}）-（k{1'-k{2]）^{3}）-（k{1}+k{2}）^{3}$$

N孤子解

现在我们导出N孤子解为

$$u（x，y，z，t）=\frac{3}{2}\biggl[\ln\sum_{\mu=0,1}e^{\sum_i=1}^{N}\mu_i}\eta_{i}+\sum_{i<j}^{（N）}\mu_ i}\mu_{j} A类_{ij}}\biggr]_{x}，\quad 1\le i，j\le N$$

(3.5)

其中相移项为

$$e^{A{ij}}=-\压裂{4（k{i}-k{j}）（k{i}+k{j}）^{3}$$

在这里\（\sum_{\mu=0,1}\）指所有可能组合的总和\（\mu_{j}=0,1\）(\（j=1,2，\ldot，N）)和\（\sum_{i<j}^{N}\）是所有可能对的总和\（（i，j）\）(\（i=1，\ldot，N）,\（j=1，\ldot，N）)条件是\（i<j）.

4两个方程的周期波解

在本节中，我们将为潜在的Kadomtsev–Petviashvili方程和($3+1$)-采用Hirota方法和Riemannθ函数的维势-YTSF方程及其性质(2.5).

4.1潜在的Kadomtsev–Petviashvili方程

以下内容($2+1$)-维势Kadomtsev–Petviashvili方程[26]被认为：

$$u{t}+\压裂{3}{4} 单位_{x} ^{2}+\压裂{1}{4} u个_{xxx}+\压裂{3}{4}\部分{x}^{-1}u{yy}=0$$

(4.1)

它被转换成双线性形式

$$\bigl[4D_{x} D类_{t} +D_{x}^{4}+3D_{y}^{2}\bigr]F\cdot F=0$$

(4.2)

在因变量变换下\（u=2（在F中）{x}）.

我们引入了方程的黎曼θ函数解(4.1)作为

$$F=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi in \zeta+\pi in ^{2}\tau}$$

(4.3)

哪里\（n\in\mathcal{Z}\）,\（\tau\in\mathcal{C}\）,\（\operatorname{Im}\tau>0\）和\（zeta=kx+ly+ωt）.

替换(4.3)到(4.2)，我们得到

$$开始{对齐}&G（D_{x}，D_{y}，D _{t}）F\cdot F\\&\quad=G}\\&\quad=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}G（D_{x}，D_{y}，D _{t}）e^{2\pi in \zeta+\pi in ^{2}\tau｝e ^｛2 \pi im \ zeta+\ pi im ^｛2｝\ tau｝\&&\ quad=\sum_｛n=-\ infty｝^｛infty｝\sum_｛m=-\ infty｝^｛infty｝G\ bigl[2\pi（n-m）k，2 \pi（n-m）l，2 \pi（n-m）\ omega \ bigr]e ^｛2 \pi（n+m）\ zeta+\ pi i（n ^｛2｝+m ^｛2｝）\ tau｝\&&\ quad=\sum_｛p=-\infty｝^｛\infty｝\sum_｛n=-\infty｝^｛\infty｝G\bigl[2\pi（2n-p）k，2\pi i（2n-p）l，2\pi i（2n-p）\omega\bigr]e^{\pii（n^{2}+（p-n）^{2{）\tau}e^{2\piip\zeta}\\&\quad=\sum_{p=-\infty}^{\infty}\bar{G}（p）e^{2\piip\zeta}，\end{aligned}$$

哪里\（n+m=p）.注意到

$$开始{对齐}\bar{G}（p）=&\sum_{n=-\infty}^{\infty}G\bigl（2\pi i（2n-p）k，2\pii（2n-p）l，2\πi（2-p）\omega\bigr]e^{\pii（n^{2}+（p-n）（2n-（p-2）\大）k，2\pi i \大\乘以e^{\pi i（（N+1）^{2}+（p-N-1）^{2}）\tau}\\=&\sum_{N=-\infty}^{\infty}G\bigl[2\pi i\bigl（2N-（p-2）\bigr）k，2\pi i\ biglπi（N^{2}+（p-N-2）^{2{）\tau}e^{2\pii（p-1）\tau}\\=&\bar{G}（p-2）e^{2\pii（p-1）\tao}，\end{aligned}$$

这表明如果\（\bar{G}（0）=\bar{G}（1）=0\），然后

$$\bar{G}（p）=0，\quad p\in\mathcal{Z}$$

(4.4)

因此，我们可以让

$$\开始{对齐}&\bar{G}（0）=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[-64\pi^{2} n个^{2} k个\ω+256\pi^{4} n个^{4} k个^{4} -48\pi^{2} n个^{2} 我^{2} +\mu\bigr]e^{2\pi在^{2}\tau}=0，\end{aligned}中$$

(4.5)

$$\开始{对齐}&\bar{G}（1）=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[-16\pi^{2}（2n-1）^{2} k个\ω+16\pi^{4}（2n-1）^{4} k个^{4} -12\pi^{2}（2n-1）^{2} 我^{2} +\mu\bigr]\\&\hphantom{\bar{G}（1）=}{}\乘以e^{\pii（n^{2}+（n-1）^{2{）\tau}=0。\结束{对齐}$$

(4.6)

表示

$$开始{对齐}和\Delta_{1}（n）=^{2}\tau}中的e^{2\pi，\qquad\Delta_2}^{2} n个^{2} k个\Delta{1}（n），\qquad A{12}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta{1\n（n）^{2} k个\Delta_｛2｝（n），_quad A_｛22｝=\sum_｛n=-\infty｝^｛\infty｝\Delta_｛2｝（n），\\&B_｛1｝=-\sum_｛n=-\infty｝^｛\infty｝\bigl（256\pi^{4} n个^{4} k个^{4} -48\pi^{2} n个^{2} 我^{2} \biger）\Delta_{1}（n），\\&B_{2}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[16\pi^{4}（2n-1）^{4} k个^{4} -12\pi^{2}（2n-1）^{2} 我^{2} \bigr]\Delta_{2}（n）。\结束{对齐}$$

然后是等式(4.5)和(4.6)可以写为

$$A{11}\omega+A{12}\mu=B_{1}，\qquad A{21}\omega+A{22}\mu=B_{2}$$

通过解决这个系统，我们得到

$$\omega=\压裂{B_{1} A类_{22}-A_{12} B类_{2} }{A_{11} A类_｛22｝-A_{12} A类_{21}}，\qquad\mu=\frac{A_{11} B类_{2} -A类_{21}乙_{1} }{A_{11} A类_{22}-A_{12} A类_{21}}. $$

(4.7)

因此，周期波解由下式给出

$$u=2（\ln F）_{x}$$

(4.8)

哪里ω和F类由等式确定(4.7)和(4.3)分别是。

接下来，我们将证明孤子解可以作为周期波解的极限获得。根据方程式(4.3)，我们重写F类作为

$$F=1+\alpha\bigl（e^{2\pii\zeta}+e^{-2\pii\zeta}\bigr）+\alfa^{4}\bigl-（e^}4\pii\ zeta}+e^}-4\pii\fzeta}\bigr）+\cdots$$

（4.9）

哪里\（\alpha=e^{\pii\tau}\）.

设置

$$K=2\pi-ik，\qquad L=2\pi il，\qquad\varOmega=2\pii\omega，\qquid\zeta'=Kx+Ly+\varOmega t+\pi i\tau$$

我们得到

$$\begin{aligned}F=&1+\alpha\bigl（e^{2\pii\zeta}+e^{-2\pii\zeta}\bigr）+\alfa^{4}\ bigl alpha^{6}\bigl（e^{-2\zeta'}+e^{3\zeta`}\bigr）+\cdots\\\to&1+e^}\zeta'}，\quad\mbox{as}\alpha\到0。\结束{对齐}$$

（4.10）

因此，周期波解(4.8)转向孤子解

$$u=2（ln F）_{x}，\qquad F=1+e^{zeta'}，\ qquad\zeta'=Kx+Ly+\varOmega t+\pi i\tau$$

(4.11)

如果我们能证明

$$\varOmega\to-\frac{K^{3}}{4}-\frac{3L^{2}}{4K}$$

(4.12)

事实上，很容易知道

$$\开始｛对齐｝&A_｛11｝=-128\pi^{2} k个\bigl（\alpha^{2}+4\alpha ^{8}+\cdots\biger），\qquad A_{12}=1+2\alpha_{2}+2\ alpha^}8}+\ cdots，\\&A_{21}=-32\pi^{2} k个\bigl（\alpha+9\alpha^{5}+\cdots\bigr），\qquad A_{22}=2\alpha+2\alpha ^{5{+\cdot，\\&B_{1}=2\bigl^{4} k个^{4} -48\pi^{2} 我^{2} \bigr）\alpha^{2}+2\bigl（256\pi^{4}2^{4} k个^{4} -48π^{2}2^{2} 我^{2} \biger）\alpha^{8}+\cdots，\\&B_{2}=-2\bigl（16\pi^{4} k个^{4} -12\pi^{2} 我^{2} \bigr）\alpha+2\bigl（16\pi^{4}3^{4} k个^{4} -12\pi^{2}3^{2} 我^{2} \biger）\alpha^{5}+\cdot，\end{aligned}$$

这导致

$$\开始{aligned}\开始{arigned}&B_{1} A类_{22}-A_{12} B类_{2} =2\bigl（16\pi^{4} k个^{4} -12\pi^{2} 我^{2} \biger）\alpha+o（\alpha），\\&A_{11} A类_{22}-A_{12} 一个_{21}=32\pi^{2} k个\alpha+o（\alpha），\end{aligned}\end{aligned}$$

(4.13)

根据(4.7)，我们得到

$$\omega\to\pi^{2} k个^{3} -\frac{3l^{2}}{4k}，\quad\mbox{as}\alpha\到0$$

(4.14)

相当于

$$\varOmega\到-\frac｛K^｛3｝｝｛4｝-\frac｛3L^｛2｝｝｛4K｝，\quad\mbox｛as｝\alpha\到0$$

4.2($3+1$)-维电势-YTSF方程

通过第节中的类似分析过程。 4.1，我们有

$$\开始{对齐}&\bar{G}（0）=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[64\pi^{2} n个^{2} k个\ω+256\pi^{4} n个^{4} k个^{3} 米-48π^{2} n个^{2} 我^{2} +\lambda\bigr]e^{2\pi在^{2}\tau}=0，\end{aligned}中$$

(4.15)

$$\开始{对齐}&\bar{G}（1）=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[16\pi^{2}（2n-1）^{2} k个\ω+16\pi^{4}（2n-1）^{4} k个^{3} 米-12\pi^{2}（2n-1）^{2} 我^{2} +\lambda\bigr]\\&\hphantom{\bar{G}（1）=}{}\乘以e^{\pii（n^{2}+（n-1）^{2{）\tau}=0。\结束{对齐}$$

(4.16)

表示

$$开始{对齐}和\Delta_{1}（n）=^{2}\tau}中的e^{2\pi，\qquad\Delta_2}^{2} n个^{2} k个\Delta{1}（n），\qquad A{12}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta{1\n（n）^{2} k个\增量{2}（n），平方A{22}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\Delta{2}（n）^{4} n个^{4} k个^{3} 米-48\pi^{2} n个^{2} 我^{2} \biger）\Delta_{1}（n），\\&B_{2}=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}\bigl[16\pi^{4}（2n-1）^{4} k个^{3} 米-12\pi^{2}（2n-1）^{2} 我^{2} \bigr]\Delta_{2}（n）。\结束{对齐}$$

然后方程(4.15)和(4.16)可以写为

$$A{11}\omega+A{12}\lambda=B_{1}，\qquad A{21}\omega+A{22}\lampda=B_2}$$

通过求解系统，我们得到

$$\omega=\压裂{B_{1} A类_{22}-A_{12} B类_{2} }{A_{11} A类_｛22｝-A_{12} A类_{21}}，\qquad\lambda=\frac{A_{11} B类_{2} -A类_{21}乙_{1} }{A_{11} 一个_{22}-A_{12} A类_{21}}. $$

(4.17)

因此，周期波解由下式给出

$$u=\压裂{3}{2}（\ln F）_{x}$$

(4.18)

哪里ω和F类由等式确定(4.17)和(4.3)分别是。

根据方程式(4.3)，我们重写F类作为

$$F=1+\delta\bigl（e^{2\pii\zeta}+e^{-2\pii\zeta}\bigr）+\delta ^{4}\bigl$$

(4.19)

哪里\（δ=e^{\pii\tau}\）.

设置

$$\begin{aligned}&K=2\pi-ik，\qquad L=2\pi il，\qquad M=2\pi-im，\qquid\varOmega=2\pii\omega，\\&\zeta'=Kx+Ly+Mz+\varOmega t+\pii\tau，\end{alinged}$$

产量

$$开始{对齐}F=&1+\delta\bigl（e^{2\pii\zeta}+e^{-2\pii\zeta}\bigr）+\delta（e^}4\pii\ zeta}+e^{-4\pii\fzeta}\bigr增量^{6}\bigl（e^{-2\zeta'}+e^{3\zeta'}\bigr）+\cdots\\\到&1+e^}\zeta''}，\quad\mbox{as}\增量\到0。\结束{对齐}$$

(4.20)

因此，如果我们能证明

$$\varOmega\to\压裂{K^{2} M（M）}{4} +\frac{3L^{2}}{4K}，\quad\mbox{as}\delta\到0$$

（4.21）

周期波解(4.18)转向孤子解

$$u=\frac{3}{2}（\ln F）_{x}，\qquad F=1+e^{zeta'}，\ qquad\zeta'=Kx+Ly+Mz+\varOmega t+\pi i\tau$$

(4.22)

事实上，很容易知道

$$\开始{aligned}&A_{11}=128\pi^{2} k个\bigl（δ^{2}+4δ^{8}+\cdots\biger），\\&A_{12}=1+2\delta^{2{+2\δ^{8}+\cdots，\qquad A_{21}=32\pi^{2} k个\bigl（\delta+9\delta^{5}+\cdots\bigr），\qquad A_{22}=2\delta+2\delta^{5%+\cdot，\\&B_{1}=2\bigl^{4} k个^{3} 米-48\pi^{2} 我^{2} \bigr）\delta^{2}+2\bigl（256\pi^{4}2^{4} k个^{3} 米-48\pi^{2}2^{2} 我^{2} \biger）\delta^{8}+\cdots，\\&B_{2}=-2\bigl（16\pi^{4} k个^{3} 米-12\pi^{2} 我^{2} \bigr）\delta+2\bigl（16\pi^{4}3^{4} k个^{3} 米-12\pi^{2}3^{2} 我^{2} \biger）\delta^{5}+\cdot，\end{aligned}$$

这导致

$$\开始{对齐}（&B）_{1} A类_{22}-A_{12} B类_{2} =2\bigl（16\pi^{4} k个^{3} 米-12\pi^{2} 我^{2} \biger）\delta+o（\delta），\\&A_{11} 一个_{22}-A_{12} A类_{21}=-32\pi^{2} k个\增量+o（\增量）。\结束{对齐}$$

根据(4.17)，我们得到

$$\omega\到-\pi^{2} k个^{2} 米+\frac{3l^{2}}{4k}，\quad\mbox{as}\delta\到0$$

相当于

$$\varOmega\to\压裂{K^{2} M（M）}{4} +\frac{3L^{2}}{4K}，\quad\mbox{as}\delta\到0$$

5讨论和结论

在本文中，我们研究了($2+1$)-维势KP方程和(\（3+1\）)-基于Hirota方法和Riemannθ函数的维势-YTSF方程。结果，我们得到了该方程的双线性形式和N孤子解($3+1$)-约束条件下的维势-YTSF方程。借助Hirota方法和Riemannθ函数，给出了周期波解。通过渐近分析，从周期波解导出了经典孤子解。最后，值得注意的是，Hirota直接法可以应用于数学物理中的其他变系数NLEE。