二维对流主导输运问题特征混合有限元方法的一致估计

摘要

本文证明了二维对流占优扩散方程特征混合有限元方法的一致最优阶误差估计。误差估计中的通用常数并不明确依赖于标度扩散参数ε，但线性依赖于真实解的某些Sobolev范数。结合真解的估计和稳定性估计，我们证明了这些常数仅依赖于初始数据和右侧数据。数值实验证实了我们的理论发现。

1介绍

特征混合有限元法是一种常用于求解二维对流主导输运问题的高效数值格式，如果使用较大的时间步长，则可以生成浓度和通量的精确数值解。在线性对流扩散方程的背景下，人们对特征混合有限元方法的误差估计进行了大量研究[1——三]或多孔介质中流动和传输的耦合系统[4——6]. 数值算例表明，这种方法是有效的。特别是[1,4,5]是质量守恒的，这在实际应用中至关重要。然而，由于使用了混合椭圆投影，其估计值与扩散系数成反比ε，这些方法得出的相应误差估计值也应取决于ε并且可能在ε接近零。

为了克服这些困难，在本文中[7——10]对于欧拉-拉格朗日局部化伴随方法和修正特征线方法，我们使用插值算子和Raviart-Tomas投影替换混合椭圆投影，并证明了具有周期边界条件的含时对流扩散方程特征混合有限元格式的一致误差估计。在这些估计中，一般常数线性依赖于真实解的某些索波列夫范数，但不明确依赖于ε此外，我们利用真解的稳定性估计，证明了这些估计中的常数仅依赖于初始数据和右侧数据的某些Sobolev范数。

本文的组织结构如下。在节中2，我们重新讨论了特征-混合有限元格式。在节中三，我们导出了最低Raviart-Tomas矩形混合有限元的一致误差估计。在节中4结合真解的稳定性估计，我们证明了常数仅依赖于初始数据和右侧数据。在节中5，我们进行了数值实验来验证我们的理论结果。在节中6，我们总结了我们的主要结果并提出了未来的工作。

2特征-混合有限元格式

我们考虑以下二维对流扩散方程：

$$\begin{聚集}\text{（a）}\quad\frac{\partial c}{\partical t}+\mathbf{u}（\mathbf{x}，t）\cdot\nabla c-\varepsilon\nabla\cdot\ bigl（D（\mathbf{x{，t}\quad c（\mathbf{x}，0）=c_{0}（\mathbf{x{），\quad\mathbf}x}\in\Omega，\end{collected}$$

(2.1)

具有周期性边界条件[8,9,11]. 在这里\（\mathbf{x}=（x，y）\）和\（\Omega=[a{1}，a{2}]\次[b{1}，b{2}]）是矩形域，∂Ω表示Ω的边界。\（\mathbf{u}（\mathbf{x}，t）=（u{1}（\tathbf{x{，t说明了流速，其中\（（，\ldots，）'\）表示向量的转置。参数\（0<\varepsilon\ll1）表征问题的平流优势(2.1).（f）表示源项，\（c_{0}\）是初始浓度c（c）是ε-依赖未知函数。天表示扩散系数张量，并满足\（\alpha\boldsymbol{\chi}'\boldsymbol{\ chi}\leq\boldsembol{chi}'D\boldsimbol{\thi}\leq \beta\boldssimbol{\t chi}'\ boldsympol{\ch}\）和\（\alpha_{0}\boldsymbol{\chi}'\boldsymbol{\ chi}\leq\boldsimbol{\\chi}'D^{-1}\bolsymbol{\chi{0}\ boldsympol{\ch}'\bold symbol}\chi}\）对于任何\（粗体符号{\chi}=（\chi_{1}，\chi_}2}）'\在R^{2}\中），其中α,\（\alpha_{0}\）,β和\（\beta_{0}>0\）是四个正常数。

让\（H^{s}（\Omega）\）表示通常的Sobolev空间，前提是规范\（\ | \ cdot \ | _{s}\），用于\（s\geq0\）.何时\（s=0），我们使用\（\|\cdot\|\）表示相应的\（L^{2}\）-规范。此外，对于任何\（黑体符号{chi}\ in（L^{2}（\Omega））^{2{），我们定义空间\（\mathbf{L}^{2}_{\varepsilon}（\Omega）=\{\boldsymbol{\chi}:\varepsilon^{-\frac{1}{2}}\boldsymbol{\ chi}\ in（L^{2}（\ Omega，符合标准\（\|\boldsymbol{\chi}\|_{\mathbf{L}^{2}_{\varepsilon}（\Omega）}=\varepsilon^{-\frac{1}{2}}\|\boldsymbol{\chi}\|\）对于任何Banach空间X，我们引入了以下包含时间依赖性的空间[12]:

$$开始{聚集}W_{p}^{k}（t_{1}，t_{2}；X）=\biggl\{v:\bigg\|\frac{\partial^{l}v}{\particalt^{l{}}（\cdot，t）\bigg\ |_{X}在l^{p}（t_{1}，t_{2]）中，0\leq l\leq k，1\leq p\leq\infty\biggr\}，\\| v\|{W{p}^{k}（t_{1}，t_{2}；X）}=\left\{textstyle\begin{array}{l@{quad}l}\sum_{l=0}^{k}（int_{t{1}}^{t{2}}\|frac{\partial^{l} v（v）}｛\partial t^｛l｝｝｝（\cdot，t）\ | _｛X｝^｛p｝\，dt）^｛\frac｛1｝｛p｝｝，&1\leq p｛infty，\\\max_｛0\leq l \ leq k｝\ operator name｛ess｝\sup_｛t\in（t_｛1｝，t_｛2｝）｝\ | \frac｛\partial^{l} v（v）}{\部分t^{l}}（\cdot，t）\|_{X}，&p=\infty。\结束｛array｝\displaystyle\right。\结束{聚集}$$

导出问题的特征混合变分公式(2.1)，我们让\（\psi（\mathbf{x}，t）=（1+|\mathbf{u}（\mathbf{xneneneep，t）|^{2}），并将特征方向与运算符关联\（c{t}+\mathbf{u}（\mathbf{x}，t）\cdot\nabla c\）用表示\（\tau（\mathbf{x}，t）\），所以总导数τ是

$$开始{aligned}\frac{\partial}{\parial\tau（\mathbf{x}，t）}&=\frac{1}{\psi（\mathbf{x{，t，t）}\压裂{\部分}{\部分t}+\压裂{u{1}（\mathbf{x}，t）}{\psi（\mathbf{x{，t，）}\frac{\partial}{\parialy}，\end{aligned}$$

因此(2.1a） 可以用以下形式书写：

$$\psi\frac{\partial c}{\partical\tau}-\varepsilon\nabla\cdot（D\nabla c）=f，\quad（\mathbf{x}，t）\in\Omega\times[0，t]$$

我们定义空间\（\mathbf{H}=\{\boldsymbol{\chi}：（L^{2}（\Omega））中的{\bolsymbol{\chi{}，L^{2]（\欧米茄）中的nabla\cdot\boldsymbol{\ chi}）然后让\（\mathbf{z}（\mathbf{x}，t）=-{\varepsilon}D（\mathpf{xneneneep，t）\nabla c\）然后，对应于(2.1)就是要找到\（（\mathbf{z}，c）：（0，T]\rightarrow\mathbf{H}\乘以L^{2}（\Omega）\）这样的话

$$\begin{collected}\text{（a）}\quad\biggl（\psi\frac{\partial c}{\parial\boldsymbol{\tau}}，v\biggr）+（\nabla\cdot\mathbf{z}，v）=（f，v），L^{2}（\Omega）中的\quad v\，\\text{（b）}\quad\bigl（D^{-1}\mathbf{z}，\boldsymbol{\chi}\bigr）-{\varepsilo n}（c，nabla\cdot\boldsymbol{\chi}）=0，\quad\boldsympol{\ch}\in\mathbf{H}，\\text{（c）}\quad c（\mathbf{x}，0）=c_{0}（\mathbf{x{），\quad\mathbf}x}\in\Omega。\结束{聚集}$$

(2.2)

注意到\（D^{-1}\）.我们利用Brezzi定理获得了系统解的存在唯一性(2.2).

现在我们定义了Ω的均匀矩形分区，表示为\（\mathcal{T}（T）_{h} \）:\（x{i}=a{1}+i\增量x\）,\（i=0,1，\ldot，i）,\（y_{j}=b_{1}+j\增量y\）,\（j=0.1，\ldots，j\）.在这里\（增量x=（a_{2} -a个_{1} ）/I\）,\（δy=（b_{2} -b个_{1} ）/J\）。对于任何\（\Omega_{ij}\in\mathcal{T}（T）_{h} \），让\（\Omega{ij}=（x{i-1}，x{i}）\次（y{j-1}，y{j}）和\（h=\sqrt{（\增量x）^{2}+（\增量y）^{2]}\）,\（x{i-\压裂{1}{2}}=（x{i-1}+x{i}）/2\）,\（y{j-\压裂{1}{2}}=（y{j-1}+y{j}）/2\）.

在本文中，我们使用以下最低Raviart-Tomas矩形混合有限元空间[13]:

$$\开始{聚集}\mathbf{高}_{h} =\bigl\{\boldsymbol{\chi}=（\chi_{1}，\chi_}2）'\in\mathbf{h}:\chi__1}|_{\Omega_{ij}}=c^{1}_{ij}+c^{2}_{ij}x\text{和}\chi_{2}|_{\Omega_{ij}}=c^{3}_{ij}+c^{4}_{ij}年，\Omega_{ij}\in\mathcal{T}（T）_{h} L^{2}（\Omega）中的\bigr\}，\\V_{h}=\bigl\{V\：V|_{\Omega_{ij}}=c^{0}_{ij}\in\mathcal{问}_{0}（\Omega_{ij}），\Omega _{ij}\in\mathcal{T}（T）_{h} \bigr\}，\end{聚集}$$

哪里\（\mathcal{问}_{k} （\欧米茄{ij}）\）(\（k\geq0\）)表示次数小于或等于的多项式空间k个在每个空间方向上\（c）^{l}_{ij}\）(\（l=0、1、2、3、4 \）)是常量。

定义问题的离散方案(2.2)首先，我们使用均匀分区来划分区间\（[0，T]\）:\（t^{n}=n\增量t\）,\（0\leq n \ leq n \），其中\（增量t=t/N）基于此划分，我们定义了如下离散范数：

$$ |\!|\!|\粗体符号{\chi}|\！|\|_{L^{2}（0，T；\mathbf{左}_{\varepsilon}^{2}（\Omega））}=\Biggl（\sum_{n=1}^{n}\Delta t\big\|\boldsymbol{\chi}\bigl（t^{n}\biger）\big\|^{2}_{\mathbf{L}^{2}_{\varepsilon}}\Biggr）^{\frac{1}{2}}$$

(2.3)

接下来，我们考虑一个时间步长\（增量t>0）并有时近似求解\（t^{n}=n\增量t\）特征导数由沿近似特征的反向差商近似τ在时间步进过程中[11].

让

$$\开始{aligned}\bar{\mathbf{x}}&=（\bar{x}，\bar{y}）=\mathbf{x}-\mathbf{u}\bigl$$

并注意到

$$开始{对齐}\psi^{n}\frac{\部分c^{n{}{\部分\tau}&\approx\psi${n}\frac{c（\mathbf{x}，t^{nneneneep）-c（\bar{\mathbf{x}}，t ^{n-1}）}{\sqrt{|（\mathbf{x}-\条{\mathbf{x}}）|^{2}+（t^{n} -吨^{n-1}）^{2}}\\&=\frac{c（\mathbf{x}，t^{n}）-c（\bar{\mathbf{x}}，t ^{n-1{）}{\Delta t}。\结束{对齐}$$

为了简单起见，我们使用\（c^{n}\）和\（\bar{c}^{n-1}\）更换\（c（\mathbf{x}，t^{n}）\）和\（c（\bar{\mathbf{x}}，t^{n-1}）\）分别是。

因此，特征混合有限元格式是映射的确定\（（\mathbf）{z}（z）_{h} ，c_{h}）：\{t^{0}，t^{1}，\ldots，t^}N}\}\rightarrow\mathbf{高}_{h} \次V_｛h｝\）令人满意的

$$\begin{collected}\text{（a）}\quad\biggl（\frac{c{h}^{无}-{\bar｛c｝_{h} ^{n-1}}}{{\Delta}t}，v_{h}\biggr）+\bigl（\nabla\cdot\mathbf{z}（z）_{h} ^{n}，v_{h}\bigr）=\bigl（f^{n{，v_{h}\ bigr{z}（z）_{h} ^{n}，黑体符号{\chi}_{h}\bigr）-{\varepsilon}\bigl（c{h}^{n{，nabla\cdot\boldsymbol{\chi{h}）=0，\quad\boldsympol{\ch}_{h}\in\mathbf{高}_{h} ，0\leqn\leqN，\\text{（c）}\quad c_{h}（\mathbf{x}，0）=c_{0h}。\结束{聚集}$$

(2.4)

以下定理给出了离散格式解的存在唯一性(2.4).

定理2.1

参见的定理2.1[2]

如果系数 \（D（\mathbf{x}，t）\） 一致正定,那么就有一个独特的解决方案(2.4).

三离散格式的一致误差估计

在本节中，我们推导了问题的最低Raviart-Tomas矩形混合有限元的一致误差估计(2.1)用周期边界条件封闭。为了实现这一目标，我们首先介绍以下预测：

我们定义\（右_{h} v（v）\在\mathcal中{问}_{0}（\Omega_{ij}）是任意函数的分段常数插值\（v在C中（上划线{\Omega}_{ij}）,即

$$卢比_{h} v（v）（x，y）=v（x{i-\压裂{1}{2}}，y{j-\压裂{1'{2}）$$

(3.1)

让\（\Pi_{h}\）是拉维亚特·托马斯投影（参见[13])令人满意的

$$\bigl（\nabla\cdot（\boldsymbol{\chi}-\Pi_{h}\boldsymbol{\ chi}），v_{h{\bigr）=0，v_{hneneneep中的\quad v_{h}$$

(3.2)

和

$$\|\boldsymbol｛\chi｝-\Pi_｛h｝\boldsymbol｛\chi｝\|\leq Qh\|\boldsymbol｛\chi｝\|_｛1｝$$

(3.3)

让\（\boldsymbol{\eta}=\mathbf{z}（z）-\Pi_{h}\mathbf{z}\）,\（\boldsymbol{\xi}_{h}=\Pi_{hneneneep \mathbf{z}（z）-\马特布夫{z}（z）_{h} \）,\（\rho=c-R_{h} c（c）\)和\（e_{h}=R_{h} c至c_{h} \）然后，以下估计是众所周知的\（k=0,1）（请参见[14,15]):

$$\开始{对齐}&\|\rho\|_{L^{infty}（H^{k}（\Omega）$$

(3.4)

$$\开始{aligned}&\|v_{h}\|_{1}\leqQh^{-1}\|v{h}\ |，\quadv_{h2}\in\mathcal{P}（P）_{1} ，\结束{对齐}$$

(3.5)

其中所有常量问独立于小时和ε此外，我们表示为\（\mathcal{P}（P）_{k} \）次数小于或等于的多项式空间k个(\（k\geq0\）).

组合(3.3)带着这个假设\（\mathbf{z}=-\varepsilon\nabla c\），我们有

$$\|\boldsymbol{\eta}\|_{L^{\infty}（L^{2}（\Omega））}\leq\varepsilon Qh\|c\|_}L^{\infty}（H^{2{（\欧米茄））}$$

(3.6)

借助这些初步结果，我们能够证明\（\|c-c_{h}\|_{L^{infty}（L^{2}）}\）和\（|\！|\！| \ mathbf｛z｝-\马特布夫{z}（z）_{h} | \！| \|_{L^{2}（\mathbf{左}_{\varepsilon}^{2}）}\）.签署人(2.2)(2.4)和(3.2)，我们得到以下形式的误差方程：

$$开始{聚集}\text{（a）}\quad\bigl（D_{n}^{-1}\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}，\boldsymbol{\ chi}_{h}\bigr）-{\varepsilon}\bigl \boldsymbol{\chi}_{h}\bigr）-\bigl（D_{n}^{-1}\boldsymbol{\ta}^{n}，\boldsimbol{\ chi}_{h}\ bigr，\quad\boldsymbol{\chi}_{h}\in\mathbf{高}_{h} ，\\text{（b）}\quad\biggl（\frac{e_{h}^{无}-{\bar{电子}_{h} ^{n-1}}{{Delta}t}，v_{h}\biggr）+\bigl^{无}-{\bar{c}^{n-1}}{{\Delta}t}-\psi^{n}\frac{\partial c^{n{}}{\ partial tau}，v_{h}\biggr）-\biggl（\frac}{\rho}^{无}-{\bar{{\rho}}^{n-1}}{{\Delta}t}，v{h}\biggr），v{h}中的四v{h{}。\结束{聚集}$$

(3.7)

我们选择\（黑体符号{\chi}_{h}=\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}\）和\（v{h}=e_{h}^{n}\）英寸(3.7a） 和(3.7b） 分别为。我们乘法(3.7b） 由ε并添加(3.7a） 和(3.7b） 共同屈服

$$开始{对齐}[b]&\bigl^{无}-{\bar{电子}_{h} ^{n-1}}}{{\Delta}t}\biggr）\\&\quad={\varepsilon}\bigl（e_{h}^{n}，\frac{c^{无}-{\bar{c}^{n-1}}{{\Delta}t}-\psi^{n}\frac{\partial c^{n{}{\parial\tau}\biggr）-{\varepsilon}\bigl（e_{h}^{nneneneep，\frac}{\rho}^{无}-{\bar{\rho}}^{n-1}}{{\Delta}t}\biggr）\\&\quad\quadra{}+{\varepsilon}\bigl \更大）。\结束{对齐}$$

(3.8)

根据的结果[2]，我们得到

$$\大\|\bar{电子}_{h} ^{n-1}\big\|^{2}\leq（1+Q\Delta t）\big\ |e_{h}^{n-1}\big \ |^{2}$$

(3.9)

组合(3.9)，的左侧(3.8)以为界

$$开始{对齐}[b]&\bigl^{无}-｛\bar｝{电子}_{h} ^{n-1}}{{\Delta}t}\biggr）\\&\quad\geq\frac{\varepsilon}{2\Delta-t}\bigl{电子}_{h} ^{n-1}，\bar{电子}_{h} ^｛n-1｝\bigr）\bigr）+\alpha_｛0｝\big\|\boldsymbol｛xi｝_｛h｝^｛n｝\big\|^｛2｝\&&\quad\geq\frac｛\varepsilon｝｛2｛\Delta｝t｝\bigl（\big\|e_｛h｝^｛n｝\big\|^{2}-（1+Q{\Delta t}）\big\|e_{h}^{n-1}\big\ |^{2}\biger）+{\alpha_{0}\big \|\boldsymbol{\xi}_h}^}n}\big-\ |^}2}}，\end{aligned}$$

(3.10)

其中，我们在第一步中使用了以下不等式：

$$\压裂{1}{2}\bigl（x^{2} -年^{2} \biger）\leq\frac{1}{2}\bigl（x^{2} -年^{2} \biger）+\frac{1}{2}（x-y）^{2}=（x-y）x，\quad\text{表示R中的任意}x，y\$$

我们插上插头(3.10)到(3.8)并使用三角形不等式获得

$$开始{aligned}[b]&\frac{\varepsilon}{2{\Delta}t}\bigl（\big\|e_{h}^{n}\big\ |^{2}-（1+Q{\Delta t}）\big\|e_{h}^{n-1}\big\ |^{2}\biger）+{\alpha_{0}\big \ |\boldsymbol{\xi}_h}^}n}\big-\ |^}}\\&\quad\leq\bigg|{\varepsilon}\biggl（e_{h2}^{n}，\frac{c^{无}-{\bar{c}^{n-1}}{{\Delta}t}-\psi^{n}\frac{\partial c^{n{}{\parial\tau}\biggr）\bigg|+\big|{\varepsilon}\bigl（e_{h}^{n}，压裂{{rho}^{无}-{\bar{{\rho}}^{n-1}}{{\Delta}t}\biggr）\bigg|+\big|\bigl（D_{n}^{-1}\boldsymbol{\eta}^{n}，\boldsymbol{\\xi}_{h}^{n\bigr）\big|。\结束{对齐}$$

(3.11)

接下来，我们开始估算(3.11)逐个术语。中的第一个和第四个术语(3.11)直接受Hölder不等式和[11]:

$$\开始{aligned}和\开始{arigned}[b]&\bigg|{\varepsilon}\biggl（e_{h}^{n}，\frac{c^{无}-{上划线{c}^{n-1}}{{\Delta}t}-\psi^{n}\frac{\partial c^{n{}}{\partical\tau}\biggr）\bigg|\\&\quad\leq\varepsilon Q\bigg\|\frac}\partial^{2}c}{\protial\tau^{2{}\big\|_{L^{2neneneep（\Omega\times[t^{n-1}，t^{n}]）}^{2}{\Delta}t+\frac{\varepsilon}{2}\big\|e_{h}^{n}\big \|^{2{，\end{aligned}\end{aligned}$$

(3.12)

$$开始{对齐}和\big|\bigl}。\结束｛对齐｝$$

(3.13)

由于\（e_{h}^{n}\）以及ε在右边的第三学期(3.11)，我们无法使用\（H ^｛-1｝\）-二重性[11]或中的方法[2]约束这一条款。幸运的是，陈等。提出了克服这些困难的有效方法。在的引理3.5中[16]，一个\（H^{1}\）-功能\（泽塔{h}^{n}\）发现近似值\（e_{h}^{n}\）和误差估计\（\泽塔{h}^{n} -电子_{h} ^{n}\）在中\（L^{2}（\Omega）\）-导出了范数。我们现在通过以下引理引入这个结果。

引理3.1

参见[16]

如果 \（e_{h}^{n}\） 满足

$$\bigl（D_{n}^{-1}\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}，\boldsymbol{\ chi}_{h}\bigr）-{\varepsilon}\bigl（e_{h}^{n{，\nabla\cdot\boldsimbol{chi}_}h}\biger）={\varebsilon}\ bigl）-\bigl（D_{n}^{-1}\boldsymbol{\ta}^{n}，\boldsymbol{\chi}_{h}\bigr）$$

(3.14)

然后存在一个函数 \（h^{1}（\Omega）中的\zeta_{h}^{n}） 和一些常量 问 独立于 小时,n个 和 ε,这样的话

$$\开始{aligned}&\big\|\zeta^{无}_{h} 大{1}\leq Q\big\|e^{无}_{h} \大\ |，\结束{对齐}$$

（3.15）

$$\开始{aligned}&\big\|\zeta^{无}_{h} -e个^{无}_{h} \big\|\leq Qh\bigl（\big\|e^{无}_{h} 大\|+h\|c\|_{L^{infty}（h^{2}）}\biger）。\结束｛对齐｝$$

(3.16)

基于引理3.1，我们开始估算第三项。我们重写了\（\rho^{无}-\条{\rho}^{n-1}\）作为总和\（（\rho^{无}-\ρ^{n-1}）+（\rho^{n-1}-\条{\rho}^{n-1}）并应用三角形不等式得到

$$\开始{对齐}[b]\varepsilon\bigg|\biggl（e_{h}^{n}，\frac{\rho^{无}-\条{\rho}^{n-1}}{\Delta t}\biggr）\bigg|\leq{}&\varepsilon\bigg |\biggl（\frac{\rho^{无}-\rho^{n-1}}{\增量t}，e_{h}^{n}\biggr）\bigg|+\varepsilon\bigg |\biggl（\frac{\rho^{n-1}-\上划线{\rho}^{n-1}}{\Delta t}，e_{h}^{n}\biggr）\bigg|\\leq{}&\frac{\varepsilon}{2}\bigm\|\frac}\rho^{无}-\ρ^{n-1}}{δt}\bigg \|^{2}+\frac{\varepsilon}{2}\big\|e_{h}^{n}\big \|^}2}\&+\varepsilon\bigg|\biggl（\frac}\rho^{n-1}-\上划线{\rho}^{n-1}}{\Delta t}，\zeta{h}^{n}\biggr）\bigg|+\varepsilon\bigg| \biggl（\frac{\rho^{n-1}-\上划线{\rho}^{n-1}}{\Delta t}，\zeta{h}^{n} -e个_{h} ^{n}\biggr）\bigg|\\leq{}&\frac{Q\varepsilon h^{2}}{\Delta t}\int_{t^{n-1}}^{t^}}\|^{2}_{1} \，dt+Q\varepsilon\big\|e_{h}^{n}\big\ |^{2}\\&+\frac{Q}{\Delta t}\big \ |\rho^{n-1}-\条{\rho}^{n-1}\big\|_{-1}\big \|e_{h}^{n}\big/|\\&+\frac{Qh}{\Delta t}\bigl（\big\\|e_}h}^}n}\big\|+h\|c\|{L^{\infty}（h^{2}）}\bigr）\big\ |\rho^{n-1}-\条{\rho}^{n-1}\big\|。\结束{对齐}$$

(3.17)

以下[2]，我们有

$$\大\|\rho^{n-1}-\条{\rho}^{n-1}\big\|_{-1}\leq Q\big\ |\rho^{n-1}\big \ |\Delta t\quad\text{和}\quad\big\^{n-1}-\条{\rho}^{n-1}\big\|\leq Q\big\ |\rho^{n-1}\big$$

(3.18)

我们考虑了这两个估计(3.17)然后假设\（h=O（增量t））屈服

$$\开始{对齐}[b]\varepsilon\bigg|\biggl（e_{h}^{n}，\frac{\rho^{无}-\条{\rho}^{n-1}}{\Delta t}\biggr）\bigg|\leq{}&Q\biggl\{\frac{\varepsilon h^{2}}{\ Delta t{\int_{t^{n-1}}^{t^}}\c_{t}\|^{2}_{1} \，dt+\varepsilon\big\|\rho^｛n-1｝\big\|\big\|e_｛h｝^｛n｝\big\|+\varepsilon\frac｛h｝｛\Delta t｝\big\|\rho^｛n-1｝\big\|bigl（\big\|e_｛h｝^｛n｝\big\|+h\|c\|_｛L^｛infty｝（h^｛2｝）｝\bigr）+\varepsilon\|e_｛h｝^｛n｝\big\|^｛2｝\ biggr \｝\ \ \ leq｛｝&Q \ biggl \｛\frac｛\varepsilon h^｛2｝｝｛\Delta t｝\ int_｛t^｛n-1｝｝｝^｛t^｛n｝｝｝\ big \ | c｛t｝\ big \ |^{2}_{1} \，dt+\varepsilon\big\|e_{h}^{n}\big\\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}\biggr\}\\leq{}&Q\varepsilon H^{2{\biggl（\frac{1}{\Delta t}\int_{t^{n-1}}^{t^}}\|c_{t}\|^{2}_{1} \，dt+\|c\|^{2}_{L^{\infty}{（H^{2}）}\biggr）+Q\varepsilon\big\|e_{H}^{n}\big\ |^{2neneneep。\结束{对齐}$$

(3.19)

第二学期(3.11)由插值算子代替混合椭圆投影而得到，不能用Hölder不等式直接估计(3.4)或逆不等式(3.5). 然而，由于出现了\（nabla\cdot\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}\）因此，这一术语需要通过一些新技术重新估算。

为了约束第二项，我们使用泰勒展开来证明引理3.2这对提高收敛速度起到了重要作用。

引理3.2

让 \（R_{h}\） 是的分段常数插值 \（v\在H^{2}（\Omega）中\）.那么以下估计成立:

$（v-R）_{h} v（v），w）\leq Qh^{2}\v\|{2}\w\|，\quad w\ in v{h}$$

(3.20)

在这里 问 是独立于 小时.

证明

我们对的左侧求和(3.20)按部件划分

$（v-R）_{h} v（v），w）=-\sum_{i，j}\int_{\Omega_{ij}}（R_{h} -我)v（x，y）w\，dx\，dy$$

(3.21)

根据泰勒展开式，我们得到以下表达式\（v\在H^｛2｝中（\ Omega_｛ij｝）\）:

$$\开始{对齐}[b]（R_{h} -我)v（x，y）|_｛\overline｛\Omega｝_｛ij｝｝＝｛｝&｛int_｛x｝^｛x_｛i-\frac｛1｝｛2｝｝｝｝\frac｛\partial v｝｛\partial \ gamma_｛1｝｝（\ gamma_｛1｝，y）\，d\ gamma_｛1｝+\ int_｛y｝^｛y_｛j-\frac｛1｝｛2｝｝｝｝｝\ frac｛\partial \ gamma_｛2｝｝｝｝（x，\ gamma_｛2｝）\，gamma_｛2｝\\&&qquad｛｝+\int_｛x｝^｛x_｛i-\frac｛1｝｛2｝｝｝\int_｛y｝^｛y_｛j-\frac｛1｝｛2｝｝｝｝\ frac｛\partial^{2} v（v）}{\partial\gamma{1}\partial/gamma{2}}（\gamma_{1}，\gamma_2}）\，d\gamma_2{}\，d\\gamma_1}。\结束{对齐}$$

(3.22)

我们使用(3.22)更换\（（右_{h} -我)v（x，y）\）英寸(3.21)，我们可以

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega_{ij}}（R_{h} -我)v（x，y）w\，dx\，dy\&\quad=\int_{\Omega_{ij}}w\int_}x}^{x{i-\frac{1}{2}}}\frac}\partialv}{\partial \gamma{1}}}（\gamma_{1}，y）{y_{j-\frac{1}{2}}}（x，\gamma{2}）\，d\gamma{1}\，dx\，dy\\&\qquad{}+\int_{\Omega{ij}}w\int_x}^{x{i-\frac{1}}}\nint_{y}^{y{j-\frac{1}{2}}\frac{\partial^{2} v（v）}{\partial\gamma{1}\partial/gamma{2}}（\gamma_1}，\gamma_2}）$$

(3.23)

我们首先估计第三项，并使用Hölder不等式得到

$$\int_{\Omega_{ij}}w\int__{x}^{x_{i-\frac{1}{2}}}\int_}y}^{y_{j-\frac{1}}\frac}\部分^{2} v（v）}{\partial\gamma{1}\partial/gamma{2}}（\gamma_{1}，\gamma_2}）\，d\gamma_2{2}\，d\\gamma_1}\，dx\，dy\leqQh^{2}\w\|_{\Omega_{ij}}\v\|{2，\Omega _{ij}$$

(3.24)

我们只需要在右手边限定第一项，因为第二项可以通过对称来限定。请注意\（\int_{x{i-1}}^{x{i}}（x-x{i-\frac{1}{2}}）\，dx=0\）.我们有

$$开始{对齐}[b]&\bigg|\int_{\Omega_{ij}}w\int__{x}^{x_{i-\frac{1}{2}}}\frac}\partial_gamma{1}}（\gamma_{1}，y）\，d\gamma_}1\，dx\，dy\bigg |\\&\quad=\bigg| g^{x{i-\frac{1}{2}}}整型}\|v\|_{2，\Omega_{ij}}。\结束{对齐}$$

(3.25)

结合这些估计，我们得到了引理。 □

现在我们使用引理3.2和逆不等式(3.5)将第二项绑定在(3.11)由

$$开始{对齐}[b]\big|\varepsilon\bigl{\infty}（h^{2}）}\big\|\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}\big \|\\&\quad\leq Q\varepsilon^{2{h^{2neneneep \|c\|_{L^{\inffy})}^{2} +\frac{\alpha_{0}}{4}\big\|\boldsymbol{\xi}_{h}^{n}\big \|^{2}\&\quad\leq Q\varepsilon h^{2{\|c\|{L^{\infty}\结束{对齐}$$

（3.26）

关系在哪里\（0<\varepsilon^{2}<\varebsilon\ll1\）已使用。

放置(3.12)(3.13)(3.19)和(3.26)到(3.11)重新安排，我们有

$$开始{aligned}[b]&\frac{\varepsilon}{2{\Delta}t}\bigl（\big\|e_{h}^{n}\big\ |^{2}-\大\|e_{h}^{n-1}\big\|^{2}\biger\|^{2}_{L^{infty}（H^{2}）}+\varepsilon\Delta t\int_{t^{n-1}}^{t^}}\bigg\|\frac{\partial^{2{c}{\parial\tau^{2neneneep}\big\|^{2]，dt\\&\qquad{}+\verepsilon H^{2｝\biggl{t^{n}}\|^{2}_{1} \，dt+\|c\|^{2}_{L^{\infty}{（H^{2}）}}\biggr）\biggr\}+\varepsilon Q\big\|e_{H}^{n}\big\ |^{2{+\varesilon Q\big \|e_{H}^{n-1}\big \ |^}2}。\结束{对齐}$$

乘法\（压裂{2{\Delta}t}{\varepsilon}\）用上述不等式求和\（n=1）到\（n=否）并选择首字母作为\（c_{h}（0）=R_{h} c（c）(0)\)，我们获得

$$开始{对齐}和\big\|e_{h}^{N}\big\ |^{2}+\varepsilon^{-1}\alpha_{0}\Delta t\sum_{N=1}^{N}\big \ |\boldsymbol{\xi}_{h}^{N}\big-\ |^}2}\\&\qquad{}+\verepsilon h^{2{\biggl（\int_{0{^{t}\|c_{t}\|^{2}_{1} \，dt+\|c\|^{2}_{L^{\infty}{（H^{2}）}}\biggr）+Q\varepsilon{\Delta}t\sum_{n=0}^{n}\big\|e_{H}^{n}\big \|^{2{\\&\ quad\leq Q\Biggl \{\varepsilon^{-1}\Delta t\sum_{n=1}^{n}\big\|\boldsymbol{\eta}^{n}\big-|^{2}+H^{2}\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}+（\Delta t）^{2{\int_{0}^{t}\bigg\|\frac{\partial^{2} c（c）}{\partial\tau^{2}}\bigg\|^{2{\，dt\\&\quad\quad{}+h^{2neneneep \biggl（\int_{0}^{T}\|c_{T}\|^{2}_{1} \，dt+\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}\biggr）\biggr \}+Q\Delta t\sum_{n=0}^{n}\big\|e_{H}^{n}\big \|^{2neneneep \\&\quad\leq Q\biggl \{H^{2{\bigl（\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}+\|c_{t}\|^{2}_{L^{2}（H^{1}）}\biger）+（\Delta t）^{2{\bigg\|\frac{\partial^{2} c（c）}{\partial\tau^{2}}\bigg\|_{L^{2{（L^{2]）}^{2neneneep \biggr\}。\结束｛对齐｝$$

根据Gronwall引理，对于足够小的Δt吨，我们有

$$\开始{对齐}[b]&\|e_{h}\|_{L^{\infty}（L^{2}）}+|\！|\|\粗体符号{\xi}_{h}|\！|\|_｛L^｛2｝（\mathbf{左}_{\varepsilon}^{2}）}\\&\quad\leq Q\biggl\{{\Delta}t\bigg |\frac{\partial^{2} c（c）}｛\partial \tau ^｛2｝｝｝\bigg\|_{L^｛2｝（L^｛2｝）｝+h\bigl（\|c\|_{L^｛infty｝（h^｛2｝）｝+\|c_｛t｝\|_{L^｛2｝（h^｛1｝）｝\bigr）\biggr\}。\结束{对齐}$$

(3.27)

合并对ρ和η英寸(3.4)和(3.6)带有(3.27)，假设\（h=O（增量t））应用三角不等式，我们得到了以下定理。

定理3.3

让 \（（\mathbf{z}，c）\） 和 \（（\mathbf{z}（z）_{h} ，c_{h}）\） 是的解决方案(2.2)和(2.4),分别地.然后是以下内容 ε-统一估计适用于 \（h=O（增量t）） 和 \（c\在L^{\infty}（0，T；H^{2}（\Omega））中:

$$\开始{对齐}[b]&\|c-c_{h}\|_{L^{\infty}（L^{2}）}+|\！|\|\数学BF{z}（z）-\马特布夫{z}（z）_{h} |\！|\|_{L^{2}（\mathbf{左}_{\varepsilon}^{2}）}\\&\quad\leq Q\biggl\{{\Delta}t\bigg |\frac{\partial^{2} c（c）}{\partial\tau^{2}}\bigg（L^{2{）}+h\bigl（\|c\|{L^{\infty}（h^{2neneneep）}+\|c_{t}\|_{L^}2}（h^{1}）}\bigr）\biggr。\结束{对齐}$$

(3.28)

这里是常数 问 独立于 ε,小时 和Δt吨.

4基于数据的误差估计

我们证明了最低Raivart-Thomas矩形混合有限元的一致最优阶误差估计。在本节中，我们将通过初始\（c_{0}\）和右侧数据（f）.

定理4.1

如果 \（D\in（W^{1，\infty}（0，T；W^{3，\infty}（\Omega）））^{4}\）,\（\mathbf｛u｝\in（W^｛1，\infty｝（0，T；W^｛2，\infty｝（\Omega））^｛2｝\）,\（f在H^{1}（0，T；H^{3}（\Omega））中） 和 \（c_{0}\在H^{3}（\Omega）中\）,那么下面的误差估计成立:

$$\开始{对齐}[b]&\|c-c_{h}\|_{L^{\infty}（L^{2}）}+|\！|\|\马特布夫｛z｝-\马特布夫{z}（z）_{h} |\！|\|_{L^{2}（\mathbf{左}_{\varepsilon}^{2}）}\\&\quad\leq Q\bigl\{h\bigl（\|c_{0}\|{2}+\|f\|_{L^{2{（h^{2neneneep）}\bigr）+\Delta t\bigl。\结束{对齐}$$

(4.1)

这里是常数 问 独立于 ε,小时 和Δt吨.

证明

我们需要限制\（c\|_{L^{infty}（H^{2}）}\）,\（c\|_{L^{2}（H^{1}）}\）和\（部分^{2} c（c）}{\partial\tau^{2}}\|_{L^{2{（L^{2]）}\）通过\（c_{0}\）和（f）首先，我们\（｛L ^｛infty｝（H ^｛2｝）｝）.我们积分方程(2.1a） 乘以c（c）关于Ω，并将格林公式与周期边界条件结合，得出

$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|c\|^{2}+\varepsilon（d\nablac，\nabla c）=（f，c）+\frac{1}}\bigl（\nabla\cdot\mathbf{u}，c^{2{\bigr）$$

(4.2)

我们注意到天，乘法(4.2)乘以2，并将所得方程从0积分到t吨以获得

$$\开始{对齐}[b]\|c\|^{2}+2\alpha\varepsilon\int^{t}（t）_{0}\big\|\nabla c（s）\big\ |^{2}\，ds\leq{}&\|c{0}\ |^}2}+\int^{t}（t）_{0}\big\|f（s）\big\ |^{2}\，ds\\&+\bigl（1+\|\mathbf{u}\|_{L^{\infty}（W^{1，\infty}）}\bigr）\int^{t}（t）_{0}\big\|c（s）\big\ |^{2}\，ds.\end{aligned}$$

（4.3）

根据Gronwall引理，我们有

$$\|c\|_{L^{\infty}（L^{2}）}^{2{+\varepsilon\|\nabla c\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}\leq Q_{1}\bigl（\|c\|{0}^{2{+\|f\|^{2}_｛L^｛2｝（L^｛2｝）｝\bigr）$$

（4.4）

哪里\（Q_{1}=\压裂{1}{\最大{1,2\α}}\）.

我们微分方程(2.1a） 关于x个和年，我们有

$$c_{tx}+\mathbf{u}_{x} \cdot\nabla c+\mathbf{u}\cdot\nabla c_{x}-\varepsilon\nabla\cdot（D_{x}\nabla c）-\varepsillon\nabla\cdot$$

(4.5)

和

$$c_{ty}+\mathbf{u}_{y} \cdot\nabla c+\mathbf{u}\cdot\nabla c_{y}（y）-\varepsilon\nabla\cdot（D_{y}\nabla c）-\varepsillon\nabla\ cdot（D\nabla c{y}）=f_{yneneneep$$

(4.6)

乘法(4.4)由\（c_{x}\）和(4.6)由\（c{y}\），将所得方程积分到Ω上并求和，我们得出

$$开始{对齐}[b]和\frac{1}{2}\frac}{d}{dt}\|nabla c\|^{2}+\varepsilon（d\nabla c_{x}，\nablac_{x{）+\varebsilon}{2}\bigl（nabla\cdot\mathbf{u}，（nabla c）^{2}\ bigr）-\varepsilon\nabla c，\nabla c{y}），\end{aligned}$$

（4.7）

其中我们再次使用格林公式和周期边界条件。根据柯西不等式，我们有

$$开始{对齐}[b]&\frac{1}{2}\frac}{d}{dt}\|\nabla c\|^{2}+\alpha\varepsilon\bigl+\|\nabla\mathbf{u}\|_{L^{infty}（L^{\infty}）}+\|D_{y}\|_{L^{\finfty{（L^}\infty）}}{2\alpha}\biggr）\|nabla c\|^{2}\\&\quad\leq\frac{1}{2}\|nabra f\|^}+Q_{2}。\结束{对齐}$$

(4.8)

在这里\（Q{2}=\压裂{1}{2}+\压裂{5}{2{2}\|\mathbf{u}\|{L^{infty}（W^{1，\infty{）}+\裂缝{1}{alpha}\|D\|^{2}_{L^{\infty}（W^{1，\infty}）}\）.

我们将上述不等式乘以2，将其从0积分到t吨并使用Gronwall引理得出

$$\|\nabla c美元\|^{2}_{L^{\infty}（L^{2}）}+\alpha\varepsilon\bigl（\|\nabla c_{x}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+\|\nabla c_{y}\|^{2}_{L^{2}（L^{2}）}\biger）\leq\|c_{0}\|_{1}^{2{+\|f\|^{2}_{L^{2}（H^{1}）}$$

(4.9)

我们使用相同的方法推导出以下边界：

$$\begin｛aligned｝&&\ begin｛aligned｝[b]&&\alpha\varepsilon\bigl（\|\nabla c｛xx｝\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+2\|nabla c_{xy}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+\|\nabla c_{yy}\|^{2}_｛L^｛2｝（L^｛2｝）｝\bigr）\\&&\quad｛｝+\big\|\nabla（\bala c）\big\|^{2}_{L^{\infty}（L^{2}）}\leq Q_{3}\bigl（\|c_{0}\|_{2}^{2{+\|f\|^{2}_{L^{2}（H^{2{）}\biger），\end{对齐}\end}对齐}$$

(4.10)

$$\开始{aligned}和\开始{arigned}[b]&\alpha\varepsilon\bigl（\|\nabla c_{xxx}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+\|\nabla c_{xxy}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+\|\nabla c_{xyy}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]）}+\|\nabla c_{yyy}\|^{2}_{L^{2}（L^{2]}\大）\\&\四{}+|c|^{2}_{L^{\infty}（H^{3}）}\leq Q_{3}\bigl（\|c_{0}\|{3}^{2}+\|f\|^{2}_{L^{2}（H^{3}）}\更大）。\end{aligned}\end{alinged}$$

(4.11)

在这里\（Q_｛3｝=1+2\|\mathbf｛u｝\|_｛L^｛\infty｝（W^｛2，\infty｝）｝+\frac｛5\|D\|^{2}_{L^{\infty}（W^{2，\infty}）}}{2\alpha}\）和\（Q_{4}=1+（4+2Q_{3}）\|^{2}_{L^{\infty}（W^{3，\infty}）}）.

根据估计(4.4)(4.9)(4.10)以及\（H^{2}\）-规范和\（H^{3}\）-范数，我们导出了两个不等式

$$\开始{对齐}[b]\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}&=\|c\|^{2}_{L^{\infty}（L^{2}）}+\|\nabla c\|^{2}_{L^{\infty}（L^{2}）}+\big\|\nabla（\nabla c）\big\ |^{2}_{L^{\infty}（L^{2}）}\\&\leq（1+Q_{1}+Q_}3}）\bigl（\|c_{0}\|_{2}^{2{+\|f\|^{2}_{L^{2}（H^{2{）}\biger）\end{对齐}$$

(4.12)

和

$$\开始{对齐}[b]\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{3}）}&=\|c\|^{2}_{L^{\infty}（H^{2}）}+|c|_{L^}\infty}（H^{3}）{^{2{\\&\leq（1+Q{1}+Q{3}+Q_{4}）\bigl（\|c_{0}\|_{3}^{2neneneep+\|f\|^{2}_{L^{2}（H^{3}）}\更大）。\结束{对齐}$$

（4.13）

因此，我们有

$$\|c\|{L^{\infty}（H^{2}）}\leq Q_{5}\bigl$$

（4.14）

和

$$\|c\|{L^{\infty}（H^{3}）}\leq Q_{6}\bigl（\|c_{0}\|{3}+\|f\|{L^{2}（H^{3{）}\ bigr）$$

(4.15)

哪里\（Q_｛5｝=\sqrt｛1+Q_｛1｝+Q_｛3｝｝\）和\（Q_{6}=\sqrt{1+Q_{1}+Q_}3}+Q_{4}}）.

为了装订\（\|c_{t}\|_{L^{2}（H^{1}）}\），我们使用等式(2.1a） 表达\（c{t}\）并应用估计值(4.10)和(4.14)获得

$$开始{对齐}[b]\|c_{t}\|_{L^{2}（H^{1}）}={}&\big\|f-\mathbf{u}\cdot\nabla c+\varepsilon\nabla\cdot（D\nablac）\big\ |_{L^{2]（H_2}）{L^{infty}}\\&+\varepsilon\|D\|_{L^{\infty}（W^{1，\infty}{L^{2}（H^{1}）}+\bigl{\infty}（W^{1，\infty}）}\bigl（\|c_{0}\|_{2}+\|f\|{L^{2}（H^{2{）}\bigr）\\leq{}&Q_{7}\bigl$$

(4.16)

哪里\（Q_{7}=1+Q_{5}\|\mathbf{u}\|_{L^{infty}（W^{1，\infty{）}+（5Q_{5}+\frac{4Q_{3}}{\alpha}）\|D\|{L^}\infty}（W^{2，\inffy}）}\）。同样，我们有

$$\|c_{t}\|_{L^{2}（H^{2{）}\leq Q_{8}\bigl（\|c_c_{0}\|{3}+\|f\|{L^}（H^{3}）}\ bigr）$$

(4.17)

在这里\（Q{8}=1+（Q{6}+\frac{4（1+\alpha）}{\alpha}\sqrt{Q{3}+\frac{8\sqrt{Q{4}}{\alpha}）\|D\|{L^{\infty}.

证明…的界限\（部分^{2} c（c）}{\partial\tau^{2}}\|_{L^{2{（L^{2]）}\），我们将控制方程微分为(2.1)关于t吨和快递\（c{tt}\）就空间导数和组合而言(4.16)带有(4.17)以获得

$$\开始{对齐}[b]\|c_{tt}\|_{L^{2}（L^{2]）}&=\big\|f_{t}（t）-（\mathbf｛u｝\nabla c）_{t}（t）-\varepsilon\bigl（\nabla\cdot（D\nabla c）\biger）_{t}\big\|_{L^{2}\|D\|_{W^{1，\infty}（W^{1，\infty}）}\|c\|__{H^{1}（H^{2}）{\\&\leq Q_{9}\bigl（\|c_{0}\|{3}+\|f\|{H^}（H^{3}）。\结束｛对齐｝$$

(4.18)

在这里\（Q_{9}=1+2Q_{7}\|\mathbf{u}\|_{W^{1，\infty}（L^{\infty}）}+4Q_{8}\|D\|{W^}1，\infty}\.

请注意\（部分^{2} c（c）}{偏\τ^{2}}（L^{2{）}，所以组合(4.14)带有(4.16)和(4.18)，我们获得(4.1). □

5数值实验

在本节中，我们进行了数值实验来验证我们的理论结果。初始数据选择为

$$\Omega=[-0.5,0.5]\次[-0.5,1.5]，\qquad T=\frac{\pi}{2}，\qquid\mathbf{u}=（-4y，4x）'，\qqquad D=1$$

精确解由下式给出

$$\开始{对齐}[b]c（x，y，t）={}&\frac{0.004}{0.004+4\varepsilont}\\&\times\exp\biggl\{-\frac}（x\cos（4t）+y\sin（4t。\结束｛对齐｝$$

(5.1)

让\（t=0）然后我们得到初始值

$$c_{0}（x，y）=\exp\biggl\{-\frac{（x+0.25）^{2}+y^{2{}{0.004}\biggr\}$$

(5.2)

通过插入(5.1)转化为等式(2.1a） ，我们导出源项\（f=0）.

在我们的数值收敛分析中，我们使用最低的Raviart-Tomas矩形混合有限元空间来拟合收敛速度

$$\begin{collected}\big\|c（\mathbf{x}，T）-c_{h}（\mathbf{xneneneep，T）\big\ |\leq\bar{问}_{1} （h+\Delta t），\\\big|\！\大|\！\大|\mathbf{z}（\mathbf{x}，T）-\mathbv{z}（z）_{h} （\mathbf{x}，T）\big|\！\大|\！\大|_{mathbf{左}_｛\varepsilon｝^｛2｝｝\leq\bar{问}_{2} （h+\增量t）。\结束{聚集}$$

我们在这里选择\（h=增量t）和\（瓦雷普西隆=0.001、0.0005、0.0001、0.00005）。结果如表所示1-2这表明，对于不同的ε这表明我们得出的误差估计值并不明确取决于ε正如定理所预测的那样3.3此外，这些结果表明，如第节中的定理所预测的，特征混合有限元格式在空间和时间上具有一阶精度三.

表1的收敛速度 \（\pmb{\|c-c{h}\|}\） 在二维情况下

表2的收敛速度 \（\pmb{\|\mathbf{z}（z）-\马特布夫{z}（z）_{h} \|_{\mathbf{L}^{2}_{\varepsilon}}}\） 在二维情况下

6结束语

在本文中，我们使用最低Raviart-Tomas矩形混合有限元来近似问题(2.1)并推导了特征混合有限元格式的一致误差估计。此外，结合真解的稳定性估计，我们证明了泛型常数仅依赖于初始数据和右侧数据。最后，我们进行了数值实验来验证我们的理论结果。然而，我们看到，本文的分析是在具有均匀矩形分区的矩形域上进行的，对具有三角剖分的不规则区域的扩展是开放的，可供以后的工作使用。