线性退化分数阶微分系统的稳定性结果

摘要

本文给出了常系数线性退化分数微分系统的稳定性结果。首先，基于代数方法建立了系统解的显式表示。然后给出了系统的稳定性判据，这些判据简单易行，适合于应用。最后，给出了一些例子来说明结果的应用。

1介绍

近年来，分数阶微分方程由于其在应用科学和工程的各个领域中的不同应用，如非晶半导体中的电荷传输、地下水中污染物的扩散、大气中污染的扩散、网络流量等，变得越来越重要。有关详细信息，请参阅[1–9]以及其中的参考。

与经典微积分一样，稳定性分析在控制理论中起着关键作用。线性分数阶微分方程的稳定性分析已由多个研究人员进行[10–20]. 在[10]，Matignon为具有常系数矩阵A的有限维线性分数阶微分系统提供了著名的稳定性结果。主要的定性结果是，当系统的特征函数的根位于闭角扇区之外时，稳定性结果是得到保证的\（|\operatorname{arg}（\lambda（A））|\leq\frac{\pi\alpha}{2}\），它推广了整数情况下的结果\（阿尔法=1）.陈[11]利用Lambert函数研究了一维时滞分数阶系统的稳定性。

多年后，马蒂农的稳定性结果得到了邓等许多学者的推广[12]利用拉普拉斯变换，邓将系统推广到一个多阶多时滞的线性分数阶微分系统，并发现如果特征方程的所有根都是负的，则线性系统是Lyapunov全局渐近稳定的。2010年，Odibat[13]描述了两类具有Caputo导数的线性分数阶微分系统解的存在性、唯一性和稳定性问题。在[14]，Qian建立了具有Riemann-Liouville导数的分数阶微分系统的稳定性定理。在[15]，研究了具有Riemann-Liouville导数的线性分数阶微分系统的基本稳定性，并导出了所研究分数阶微分方程组特殊离散化的稳定域，包括其渐近性的精确描述。

与此同时，李[21，22]首次应用李亚普诺夫直接法，引入Mittag-Lefler稳定性，研究分数阶非线性系统的稳定性。对于非线性分数阶微分系统的稳定性，得到了一些有价值的结果；参见[23–28]以及其中的参考。分数阶微分系统的稳定性已经得到了充分的研究。毫无疑问，李亚普诺夫直接法为分析非线性系统的稳定性提供了一种非常有效的方法。然而，要找到这样一个合适的李亚普诺夫函数并不容易。还有许多工作需要改进。

众所周知，许多系统最自然地由简并微分方程建模，如多体力学、电路、规定路径控制、化学工程等。；参见[29–33]以及其中的参考文献。与状态空间系统相比，退化微分方程可以描述更复杂的动力学模型，因为退化微分系统模型不仅包括动力学方程，还包括静态方程。近年来，越来越多的研究致力于退化分数阶系统的研究。例如，在[34]给出了退化时滞分数阶微分系统的常变分公式。在[35]得到了退化时滞分数阶微分系统的指数估计和系统有限时间稳定性的充分条件。2010年，通过使用线性矩阵不等式，N'Doye[36]分数阶不确定退化分数阶系统鲁棒渐近镇定的充分条件α，令人满意\（0<α<2）。

然而，对于具有Riemann-Liouville导数的退化分数阶线性微分系统的稳定性，目前的研究非常有限。动机[34–37]在本文中，我们给出了具有Riemann-Liouville导数的退化分数阶线性系统解的显式表示，并导出了该系统的稳定性判据。结果表明，该稳定性判据易于验证。

论文组织如下。在节中2，我们回顾了分数阶微积分和退化微分系统理论的基本概念和结果。在节中三讨论了线性退化分数微分系统解的存在性和唯一性，给出了系统解的显式表示。此外，我们分析了线性退化分数阶微分系统的稳定性，并获得了系统渐近稳定的充分条件。在节中4，给出了一些例子来说明主要结果。最后，给出了结束语。

2前期工作

在这一节中，我们将介绍一些相关定义和一些基本理论，如下所示。

定义2.1

Riemann-Liouville分数阶积分算子\（阿尔法>0）属于\（f（t）\）定义为

$$I_{a，t}^{alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{a}^{t}（t-s）^{\alpha-1}f（s）\，ds，\quad\alpha>0，t>a$$

(1)

Riemann-Liouville分数导数定义为

$$D_{a，t}^{\alpha}f（t）=\frac{1}{\Gamma（n-\alpha）}\biggl（\frac{D}{dt}\bigr）^{n}\int_{a}^{t}$$

(2)

哪里\（\Gamma（\cdot）\）是伽马函数。初始时间一通常设置为0。

Riemann-Liouville分数导数的拉普拉斯变换\（D_{0，t}^{\alpha}x（t）\）是

$$\int_{0}^{\infty}e^{-st}D_｛0，t｝^｛\alpha｝x（t）\，dt=s^｛\alpha｝x（s）-\sum_｛k=o｝^{n-1}秒^{k} \bigl[D_{0，t}^{\alpha-k-1}x（t）\bigr]_{t=0}\quad（n-1\leq\alpha<n）$$

定义2.2

单参数Mittag-Lefler函数\（E_{\alpha}（z）\）和双参数Mittag-Lefler函数\（E_{\α，\β}（z）\）定义为

$$\开始{aligned}&E_{alpha}（z）=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{j}}{\Gamma（\alpha j+1）}，\quad\alpha>0，z\在C中，\end{aligned}$$

（3）

$$\begin{aligned}和E_{alpha，\beta}（z）=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{j}}{\Gamma（\alpha j+\beta）}，\quad\alpha、\beta>0，z\in C$$

(4)

他们的k个th导数，用于\（k=0，1，2，3，\ldots\） , 由提供

$$\开始{对齐}（&E）^{k}_{\alpha}（z）=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{（j+k）！z^{j}}{j！\Gamma（\alpha j+\alpha-k+1）}，\end{aligned}$$

(5)

$$\开始{对齐}（&E）^｛k｝_{\alpha，\beta}（z）=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{（j+k）！z^{j}}{j！\Gamma（\alpha-j+\alphak+\beta）}。\结束{对齐}$$

(6)

可以注意到\（E_{\alpha，1}（z）=E_{\alpha}（z））和\（E_{1,1}（z）=E^{z}\）.Mittag-Lefler函数\（E_{\alpha}（z）\）和\（E_{\α，\β}（z）\）是的完整函数\（阿尔法，贝塔>0）.根据\（E_{1,1}（z）=E^{z}\），Mittag-Lefler函数\（E_{\α，\β}（z）\）是指数函数的推广\（e^{z}\）指数函数是Mittag-Lefler函数的特例。Mittag-Lefler函数在分数阶微分方程理论中起着非常重要的作用，它类似于整数阶系统解中常用的指数函数。Mittag-Lefler函数的属性可以在[4，13]以及其中的参考文献。此外，Mittag-Lefler函数的拉普拉斯变换由下式给出

$$L\bigl\{t^{\alpha k+\beta-1}E_{alpha，\beta}^{（k）}\bigl$$

哪里\（C中的\lambda\），\（E_{\alpha，\beta}^{k}（z）=\frac{d_{k}}{dz^{k{}E_{\alpha，\ beta}（z）\），\（资源\）表示的实际部分秒。t吨和秒分别是时域和拉普拉斯域中的变量。

引理2.1

([三])

如果 \（0<α<2），β 是任意复数，并且 μ 是任意实数，令人满意的

$$\frac｛\pi\alpha｝｛2｝<\mu<\min[\pi，\pi\alpha]$$

然后，对于任意整数 \（编号1），以下扩展适用:

• (1)
  $$E_{alpha，\beta}（z）=\frac{1}{\alpha}z^{\frac}1-\beta{\alha}}\exp\bigl+1}}\biggr）$$

  具有 \（|z|\rightarrow\infty，|\operatorname{arg}（z）|\leq\mu\），和

• (2)
  $$E_{\alpha，\beta}（z）=-\sum_{k=1}^{N}\frac{1}{\Gamma（\beta-\alpha-k）}\frac{1}{z^{k}}+O\biggl（\frac}{|z|^{N+1}}\biggr）$$

  具有 \（|z|\rightarrow\infty，\mu\leq|\operatorname{arg}（z）|\leq\pi\）。

备注2.1

在引理中2.1，如果\（α=β）和\（编号2），则以下扩展保持不变：

$$E_{\alpha，\alpha}（z）=\frac{1}{\alfa}z^{\frac}1-\alpha{\alba}}\exp\bigl N+1}}\biggr）$$

具有\（|z|\rightarrow\infty，|\operatorname{arg}（z）|\leq\mu\）;

$$E_{alpha，\alpha}（z）=-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{\Gamma（\alpha（1-k））}\frac{1}{z^{k}}+O\biggl（\frac}1}{|z|^{N+1}}\biggr）$$

具有\（|z|\rightarrow\infty，\mu\leq|\operatorname｛arg｝（z）|\leq\pi\）。

考虑以下线性分数阶微分系统：

$$\left\{\textstyle\开始{array}{@{}l}ED_{0，t}^{\alpha}x（t）=Ax（t$$

(7)

哪里\（x（t）\在R^{n}\中）是状态向量，\（E，A\在R^{n\times n}，\operatorname中{等级}E<n，x_{0}\在R^{n}，D_{0，t}^{\alpha}\）表示α的三阶Riemann-Liouville导数\（x（t）\）、和\（0<α<1）。

定义2.3

系统(7)据说是：

• （a） 稳定iff\（x{0}\），存在一个\（\varepsilon>0\）这样的话\（\|x（t）\|\leq\varepsilon\）对于\（t \geq0）;

• （b） 渐近稳定的iff\（\lim_{t\rightarrow+\infty}\|x（t）\|=0\）。

定义2.4

对于任意给定的两个矩阵\（R^{n\times n}中的E，A），矩阵对\（（E，A）\）称为常规，如果\（\operatorname{det}（\lambda E-A）不等于0），其中\（\lambda\in\mathcal{C}\）.如果\（（E，A）\）是常规的，我们呼叫系统(7)是常规的。

定义2.5

让问是一个方阵问是最小非负整数k个这样的话\（\operatorname{rank}（Q^{k+1}）=\operator name{rank}（Q^{k}）\）。的Drazin逆问是唯一的矩阵\（问题{d}\）这满足了

$$Q美元^{d} QQ^{d} =Q^{d}，\qquad QQ^{d}=Q^{d} 问，\qquad Q^{k+1}Q^{d}=Q^{k}$$

引理2.2

[31]

假设 \（R^{n\times n}中的E，A） 是否存在 λ 以便 \（（λE-A）^{-1}\） 存在。让 \（\帽子{电子}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}东，\帽子{答}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}甲\)。对于所有人 \（\lambda{1}\neq\lambda{2}\） 为此 \（\λ_{i} E-A公司)^{-1}，i=1，2\），存在，以下陈述是正确的:

$$\开始{aligned}&\lambda\hat{电子}_{\lambda}=I+\hat{答}_{\lambda}，\qquad\hat{电子}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}=\hat{答}_{\lambda}\hat{电子}_{\lambda}，\\&\hat{电子}_{\lambda_{1}}^{d}\hat{答}_{\lambda_{1}}=\hat{电子}_{\lambda_{2}}^{d}\hat{答}_{\lambda_{2}}，\qquad\hat{电子}_｛\lambda_｛1｝｝^｛d｝\帽子{电子}_{\lambda_{1}}=\hat{电子}_{\lambda_{2}}^{d}\hat{电子}_{\lambda_{2}}，\qquad\hat{电子}_｛\lambda_｛1｝｝帽子{电子}_{\lambda_{1}}^{d}=\hat{电子}_{\lambda_{2}}\hat{电子}_{\lambda_{2}}^{d}，\end{aligned}$$

哪里 \（\帽子{电子}_{\lambda}^{d}\） 是的Drazin逆 \（\帽子{电子}_{\lambda}\） 和 我 是 \（n次n次） 单位矩阵。

三主要成果

3.1线性退化分数阶微分系统解的存在唯一性

在本节中，我们考虑以下系统的可解性：

$$\left\{\textstyle\开始{array}{@{}l}ED_{0，t}^{\alpha}x（t）=Ax（t$$

(8)

哪里\（x（t）\在R^{n}\中）是状态向量，\（A，E在R^{n\times n}，\operatorname中｛等级｝E<n，x_{0}\在R^{n}，D_{0，t}^{\alpha}\）表示α四阶黎曼-卢维尔导数，和\（0<α<1）。

定理3.1

如果系统(8)是常规的，然后是系统(8)有独特的解决方案 \（[0，+\infty）\） 解由下式给出

$$x（t）=e_{\alpha}^{\hat{电子}_{\lambda}^{d}\hat{答}_{\lambda}t}\hat{电子}_{\lambda}\hat{电子}_{\lambda}^{d} x(0), $$

哪里 \（e_{\alpha}^{\hat{电子}_{\lambda}^{d}\hat{答}_｛\lambda｝t｝\）=\（t^{\alpha-1}\sum_{k=0}^{\infty}（{电子}_{\lambda}^{d}\hat{答}_{\lambda}）^{k}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma[（k+1）\alpha]}{电子}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}东，\帽子{答}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}甲\)，\（x（0）\） 满足 \（x（0）={电子}_{\lambda}\hat{电子}_{\lambda}^{d} x个(0)\)。E类 和 A类 是系统的系数矩阵(8),和 λ 是常量。

证明

由于系统是常规的，因此存在λ以便\（（λE-A）^{-1}\）存在。让\（\帽子{电子}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}东，\帽子{答}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}甲\).来自引理2.2和[31]，存在可逆矩阵T型这样的话

$$\帽子{电子}_{\lambda}=T^{-1}\开始{pmatrix}C&0\\0&N\结束{pmatricx}T$$

(9)

哪里\（C\在R^｛p\乘以p｝\中）是可逆矩阵，\（N\在R^{q\次q}\中）是幂零的，并且\（q+p=n\）。

然后

$$\帽子{答}_{\lambda}=\lambda \hat{电子}_{\lambda}-I=T^{-1}\begin{pmatrix}\lambda C-I&0\\0&lambda N-I\end{pmatricx}T$$

(10)

预乘\（（λE-A）^｛-1｝\）公式的两面\（ED^{\alpha}x（t）=轴（t）\），然后

$$\帽子{电子}_{\lambda}D^{\alpha}x（t）=\hat{答}_{\lambda}x（t）$$

(11)

发件人(9)以及(10)，我们得到

$$T^{-1}\begin{pmatrix}C&0\\0&N\end{pmatricx}TD^{alpha}x（T）=T^{-1-}\being{pmattrix}\lambda C-I&0\\0&\lambda-N-I\end{PMatrixneneneep Tx（T$$

(12)

将转换视为\（\xi（t）=\bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}\xi{1}（t、和\（\xi（0）=\bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}\xi{1}（0这样的话(12)是r.s.e.到

$$\开始{对齐}和CD^{\alpha}\xi_{1}（t）=（\lambda C-I）\xi_}1}$$

(13)

$$\开始{aligned}&ND^{\alpha}\xi_{2}（t）=（\lambda N-I）\xi_2}（t）。\结束{对齐}$$

(14)

首先我们讨论第一个子系统(13). 自C类是可逆矩阵(13)可以重写为

$$D^{\alpha}\xi_{1}（t）=C^{-1}（\lambda C-I）\xi_}（t）$$

（15）

从分数微积分理论[37]，一个独特的子系统解决方案(13)存在，可以表示为

$$\xi_{1}（t）=e_{\alpha}^{C^{-1}（\lambda C-I）t}\xi_}（0）$$

(16)

接下来，我们研究第二个子系统(14)如下所示。

让\（\operatorname{ind}（N）=k\），也就是说，\（N^{k-1}\neq0，N^{k}=0\），k个是矩阵对的索引\（（E，A）\）.预乘\（N^{k-1}\）在等式的两边(14)，然后

$$D^{\alpha}N^{k}\xi_{2}（t）=\lambda N^{k}\xi_2}（t）-N^{k-1}\xi_2}（c）$$

自\（N^{k}=0\），我们得到\（N^｛k-1｝\ xi_｛2｝（t）=0\）。

预乘\（N^{k-2}\）在方程的两边(14)，然后\（N^{k-2}\xi_{2}（t）=0\）.以同样的方式，我们可以

$$N^{k-3}\xi_{2}（t）=0，\qquad N^{k_4}\xi_2}（t）=0$$

然后我们可以\（\xi_{2}（t）\equiv0\）。

通过以上讨论，系统的独特解决方案(13)以及(14)由提供

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l}\xi_{1}（t）=e_{\alpha}^{C^{-1}（\lambda C-I）t}\xi_1}（0），\\xi_2}（t）=0。\结束{array}\displaystyle\right$$

(17)

应用\（x（t）=t^{-1}\xi（t）\），解决方案(8)由提供

$$\beargin｛aligned｝x（t）=&t^｛-1｝\xi（t）=t^｛-1｝\beargin｛pmatrix｝e_｛\alpha｝^｛C^｛-1｝（λC-I）t｝\xi_｛1｝（0）\\0\end｛pmatrix｝\\=&t^｛-1｝\beargin｛pmatrix｝e_｛\alpha｝^｛C^｛-1｝（λC-I）t｝\0\\0&0\end end｛pmatrix｝TT^｛-1｝\ begin｛pmatrix｝\si_｛1｝（0）\\\\si_｛2｝（0）\end｛pmatrix｝。\结束{对齐}$$

(18)

发件人[34]，引理2.1，可以得到

$$\hat{E}^{d}_{\lambda}=T^{-1}\开始{pmatrix}C^{-1{&0\\0&0\结束{pmatricx}T$$

（19）

然后

$$\开始{aligned}&\hat{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}=T^{-1}\begin{pmatrix}C&0\\0&N\end{pmatricx}TT^{-1{\begin{pmatriax}C:{-1}&0\\0&0\end{pmatrix{T=T^}\being{pmatriex}I&0\\0-0\end{pmmatrix}T，\\&\begin}对齐}[b]e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}t}&=e_{\alpha}^{\bigl\{t^{-1}\bigl alpha}^{\bigl\{t^{-1}\bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}C^{-1{（\lambda C-I）&0\cr 0&0\end{matrix.}}\bigr）Tt\bigr\}}\\&=T^{-1}\begin{pmatrix}e_{\alpha}^{C^{-1{（\lambda C-I）T}&0\\0&0\end{pmatriax}T，\end{aligned}\\&x（0）=\begin{pmatricx}x{1}（0）\\x{2}0）\\xi_{2}（0）结束{pmatrix}。\结束{对齐}$$

然后

$$x（t）=e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}_{\lambda}\hat{答}_｛\lambda｝t｝\t帽子{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}x（0）$$

哪里\（x（0）\）满足\（x（0）=\帽子{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}x（0）\）.根据引理2.2，我们知道\（{E}^{d}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}，\hat{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}\）独立于λ因此，系统(8)有独特的解决方案\（x（t）=e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}t}\hat{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}x（0）\）。证明已完成。 □

备注3.1

从引理2.2，其中一个显示\（{E}^{d}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}，\hat{电子}_{\lambda}\hat{E}^{d}_{\lambda}\）独立于λ。因此，我们可以删除下标λ无论何时\（{E}^{d}_{\lambda}\hat{答}_{\lambda}\）和\（\帽子{电子}_｛\lambda｝\hat｛E｝^{d}_{\lambda}\）出现。因此，系统的解决方案(8)可以通过以下方式给出

$$x（t）=e_｛\alpha｝^｛\hat｛e｝^｛d｝\hat{A} t吨}\帽子{E}\hat{E}^{d} x个(0), $$

哪里\（e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}\hat{A} t吨}\)=\（t^{\alpha-1}\sum_{k=0}^{\infty}（{E}^{d}\hat{A}）^{k}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma[（k+1）\alpha]}，{E}=hat{电子}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}东，\hat{A}=\hat{答}_{\lambda}=（\lambda E-A）^{-1}甲\)、和\（x（0）\）满足\（x（0）=^{d} x个(0)\)。E类和A类是系统的系数矩阵(8)、和λ是常量。

3.2线性退化分数阶微分系统的稳定性结果

在本节中，我们导出了系统渐近稳定的条件(8)。

定理3.2

如果系统(8)是常规的，以下零特征值的代数重数和几何重数相同 \（{E}^{d}\{A}\） 和所有的非-零特征值满足

$$\bigl|\operatorname{arg}\bigl（\lambda\bigle（\hat{E}^{d}\hat}\bigr）\bigr|>\frac{\alpha\pi}{2}$$

然后系统(8)是渐近稳定的。

证明

来自定理3.1和备注3.1，我们知道系统的解决方案(8)由给定

$$x（t）=e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}\hat{A} t吨}\帽子{E}\hat{E}^{d} x（0）=t^{\alpha-1}E_{\alfa，\alpha}\bigl（\hat{E}^{d}\hat{A} t吨^{\alpha}\biger）\hat{E}\hat}^{d} x个(0). $$

正在应用(10)以及(19)，一个得到

$$\hat{E}^{d}\hat}=T^{-1}\begin{pmatrix}C^{-1{（\lambda C-I）&0\\0&0\end{pmatricx}T$$

(20)

哪里λ是常量，\（（λE-A））是可逆的，并且\（R^{p\乘以p}中的C^{-1}（\lambda C-I）\）。

那么存在一个可逆矩阵H（H）这样的话

$$H^{-1}\hat{E}^{d}\hat{A} H（H）=\operatorname{diag}（J{1}，J{2}，\ldots，J{r}，\ mathbf{0}）$$

(21)

哪里\（J_{i}，1\leq-i\leqr），是Jordan规范形式0是具有相应维数的零矩阵。

在不损失通用性的情况下，假设非零特征值和零特征值的数量为第页和q个对于\（{E}^{d}\{A}\），单独进行。对于非零特征值的情况，我们分两种情况讨论这个问题。

案例（i）：假设矩阵\（{E}^{d}\{A}\）是可对角化的，并且\（\lambda{1}、\lambda{2}、\ ldot、\lampda{p}），是它的非零特征值，那么(21)可以显示出服从

$$\wedge=H^{-1}\hat{E}^{d}\hat{A} H（H）=\operatorname{diag}\Bigl（\lambda_{1}，\lambda_{2}，\ ldots，\lampda_{p}，\sunderbrace{0，\ldots、0}_{q}\Bigr）$$

因此，

$$\begin{aligned}E_{alpha，\alpha}\bigl（\hat{E}^{d}\hat}t^{alpha}\bigr）=&HE_{alpha.，\ alpha}\ bigl \alpha}\bigl（\lambda_{p}t^{\alpha{\bigr），\下大括号{\frac{1}{\Gamma（\alpha）}}_{q}\biggr]H^{-1}。\结束｛对齐｝$$

从引理2.1和定理的条件3.2，我们得到

$$E_｛\alpha，\alpha｝\bigl（\lambda_｛i｝t^｛\alpha｝\bigr）=-\sum_｛k=2｝^｛N｝\frac｛1｝｛\Gamma（\alpha（1-k））｝\frac｛1｝｛（\lambda_｛i｝t^｛\alpha｝）^｛k｝｝+O\biggl（\frac｛1｝| \lambda_｛i｝t^｛\alpha｝| ^｛N+1｝｝\biggr）\rightarrow0，\quad t\rightarrow+\infty$$

哪里\（1）。

因此，

$$\开始{aligned}\bigl\|t^{alpha-1}E_{alpha，\alpha}\bigle（\hat{E}^{d}\hat{A} t吨^{\alpha}\bigr）\bigr\|=&\biggl\|\operatorname{diag}\biggl[t^{\alba-1}E_{\alfa，\alpha}\bigl（\lambda_{1}t^{\ alpha}\ bigr{\Gamma（\alpha）}，\ldots，t^{\alpha-1}\frac{1}{\Garma（\阿尔法）}}_{q}\biggr]\biggr\|\rightarrow0，\四元菜单t\rightarrow+\infty。\结束{对齐}$$

因此，结论得到了证明。

案例（ii）：假设\（E^{d}\hat{A}\）类似于Jordan规范形式(21)。

让\（J_{i}，1\leq-i\leqr），有表格

$$J{i}=\begin{pmatrix}\lambda{i}&1&&\\lambda_{i}＆\ddots&\\&&\ddots&1\&&\lambda{i}\end{pmatriax}{n{i}\ times n{i{}}，\quad 1\leq i\leq r，\sum_{i=1}^{r} n个_{i} =p$$

然后

$$E_｛\alpha，\alpha｝\bigl（\hat｛E｝^｛d｝\hat{A} t吨^{\alpha}\bigr）=H\operatorname{diag}\biggl[E_{\alfa，\alpha}\bigl（J_{1} t吨^{\alpha}\bigr），\ldot，E_{\alfa，\alpha}\bigl（J_{r} t吨^{\alpha}\bigr），\下大括号{\frac{1}{\Gamma（\alpha）}，\ldot，\frac}{\Gamma（\ alpha）}}_{q}\biggr]H^{-1}$$

通过计算，我们可以得到以下结果：

$$\开始{aligned}&E_{alpha，\alpha}\bigl（J_{i} t吨^{\alpha}\biger）\\&\quad=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k\alpha{J_{i}^{k}}{\Gamma（\alpha（k+1 ^{1}\lambda_{i}^{k-1}&&C_{k}^{n_{i} -1个}\λ{i}^{k-n_{i}+1}\\&\lambda_{i{^{k}&\ddots&\\&\ddot和C_{k}^{1}\lambda{i}\\&&\lampda_{i}^k}\end{pmatrix}\\&\ quad=\begin{pmatricx}\sum_{k=0}^{infty}\frac{t^{k\alpha}{Gamma（阿尔法（k+1））}\lambda_{i}^{k}&\sum_{k=1}^{infty}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma（alpha（k+1_{i} -1个}^{\infty}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma（\alpha（k+1））}C_{k}^{n_{i} -1个}\lambda{i}^{k-n{i}+1}\\&\sum_{k=0}^{infty}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma（\alpha（k+1 lambda{i}^{k-1}\\&&\sum_{k=0}^{infty}\frac{t^{k\alpha}}{\Gamma（\alpha（k+1））}\lambda_{i}^{k}\end{pmatrix}，\end{aligned}$$

(22)

$$\开始{aligned}&E_{alpha，\alpha}\bigl（J_{i} t吨^{\alpha}\bigr）\\&\quad=\begin{pmatrix}E_{\alfa，\alpha}（\lambda_{i} 吨^{\alpha}）&\frac{1}{1！}\frac}\partial}{\partial \lambda{i}}E_{\ alpha，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\alpha}）&&\frac{1}{（n_{i} -1个)！｝（分数{\部分}{\部分\lambda{i}}）^{n_{i} -1个}E_{\alpha，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\α}）\\&E_{\α，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\alpha}）&\ddots&\\&\ddotes&\frac{1}{1！}\frac}\partial}{\partial \lambda_{i}}E_{\alfa，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\α}）\\&&E_{\α，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\alpha}）\end{pmatrix}{n{i}\乘以n{i{}。\结束{对齐}$$

(23)

在定理的条件下3.2，我们可以

$$开始{对齐}和E_{阿尔法，阿尔法}\bigl（\lambda_{i}t^{\alpha}\bigr）\\&\quad=-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{\Gamma（\alpha（1-k）^{N+1}}\biggr）\rightarrow0，\quad t\rightarror+\infty，\end{aligned}$$

同样，在以下条件下\（|\operatorname{arg}（\lambda{i}）|>\frac{\alpha\pi}{2}\）以及从中的定理4[10]，我们有\（分数{1}{（l-1）！}（分数{部分}{部分\lambda{i}}）^{l-1}东_{\alpha，\alpha}（\lambda_{i} t吨^{\alpha}）\rightarrow0\）作为\（t\rightarrow+\infty\），它派生自

$$\开始{aligned}&\frac{1}{（l-1）！}\biggl（\frac}\partial}{\partial/lambda{i}}\bigr）^{l-1}东_{\alpha，\alpha}\bigl（\lambda_{i} t吨^{\alpha}\biger）\\&\quad=t^{1-\alpha{\Biggl（t^{l\alpha-1}\sum_{k=0}^{\infty}C_{l-1+k}^{l-1}\frac{（\lambda_{i}t^{\alfa}）^{k}}{\Gamma（\alpha（k+l））}\Biggr^{-1-l}t^｛-2\alpha｝｝｛\Gamma（1-\alpha）｝，\end｛对齐｝$$

哪里\（1）和\（1 \leq i \leq r）。

因此，

$$\beggin｛aligned｝\bigl\|t^｛\alpha-1｝E_｛\alpha｝\bigl（hat｛E｝^｛d｝hat{A} t吨^{\alpha}\bigr）\bigr\|=&\biggl\|\operatorname{diag}\biggl[t^{\alfa-1}E_{\alpha，\alpha}\bigl（J_{1} t吨^{\alpha}\bigr），\ldots，t^{\alfa-1}E_{\alpha，\alpha{\bigl（J_{r} t吨^{\alpha}\bigr），\\&{}\下大括号{\frac{1}{\Gamma（\alpha）}t^{\alfa-1}，\ldots，\frac}{\Gamma（\ alpha）}t^{\ alpha-1}}_{q}\biggr]\biggr\|\rightarrow0，\quad t\rightarror+\infty。\结束{对齐}$$

通过对上述两个案例的讨论，我们得出

$$开始{对齐}\lim_{t\rightarrow+\infty}\bigl\|x（t）\bigr\|=&\lim_{t\riftarrow+/infty{\bigl |e_{\alpha}^{\hat{e}^{d}\hat{A} t吨}\帽子{E}\hat{E}^{d} x个（0）\bigr\|\\=&\lim_{t\rightarrow+\infty}\bigl\|t^{\alpha-1}E_{\alfa，\alpha}\bigle（\hat{E}^{d}\hat{A} t吨^{\alpha}\biger）\hat{E}\hat}^{d} x个（0）\bigr\|=0。\结束{对齐}$$

证明已完成。 □

定理3.3

如果系统(8)是常规的，的零特征值 \（{E}^{d}\{A}\） 它们的代数重数大于几何重数，\（\breve{n}\alpha<1\），其中，n̆ 是零特征值的Jordan标准块的最大维数，和所有的非-零特征值满足

$$\bigl|\operatorname{arg}\bigl（\lambda\bigle（\hat{E}^{d}\hat}\bigr）\bigr|>\frac{\alpha\pi}{2}$$

然后是系统(8)是渐近稳定的。

证明

根据定理3.2，存在可逆矩阵H（H），因此

$$J=H^{-1}\hat{E}^{d}\hat{A} 小时=\operatorname{diag}（J{1}，J{2}，\ldots，J{r}，\ mathbf{0}）$$

(24)

哪里\（J_{i}\）是Jordan规范形式，\（1 \leq i \leq r）、和0是具有相应维数的零矩阵。

让\（J_{\短{n}}\）是的零特征值\（{E}^{d}\{A}\）对应于以下Jordan规范形式n̆:

$$J_{\breve{n}}=\begin{pmatrix}0&1&\\&0&\ddots&\\&\ddos&1\\&&0\end{pmatricx}_{\brive{n}\times\breve}}$$

正在应用(22)，我们得到

$$\begin{aligned}&E_{alpha，\alpha}\bigl{n} -1个)\alpha}}{\Gamma（\breve{n}\alpha）}\\&\frac{1}{\Gamma（\ alpha$$

(25)

$$\beargin｛aligned｝&t^｛\alpha-1｝E_｛\alpha，\alpha｝\bigl（J_｛\breve｛n｝t ^｛\alpha｝\bigr）_｛\lambda_｛\breve｛n｝｝=0｝=\beargin｛pmatrix｝\frac｛t^｛\alpha-1｝｝｛\Gamma（\alpha）｝&\frac｛t^｛2\alpha-1｝｝｛\Gamma（\breve｛n｝\alpha-1）｝）｝\\\\frac｛t^｛\alpha-1｝｝｛\Gamma（\alpha-1）｝&&\dodots&&\dodots&&\frac｛t^｛2\alpha-1｝}{\Gamma（2\alpha）}\\&&\frac{t^{\alpha-1}}{\Gamma（\alpha，}\end{pmatrix}，\end{aligned}$$

(26)

来自(26)和条件\（\breve{n}\alpha<1\），我们得到

$$t^{\alpha-1}E_{alpha，\alpha}\bigl（J_{\breve{n}}t^{alpha}\ bigr）_{\lambda_{\breve{n{}=0}\rightarrow0，\quad t\rightarror+\infty$$

对于零特征值的Jordan标准块，结果也令人满意，其维数低于\（J_{\短{n}}\）.其他约旦规范形式(24)，对应于\（{E}^{d}\{A}\），可以视为与定理中的方法相同3.2。证明已完成。 □

定理3.4

如果系统(8)是常规的，以下零特征值的代数重数和几何重数相同 \（{E}^{d}\{A}\） 和所有的非-零特征值满足

$$\bigl|\operatorname{arg}\bigl（\lambda\bigle（\hat{E}^{d}\hat}A}\bigr）\biger）\bigr|\geq\frac{\alpha\pi}{2}$$

此外，临界特征值的代数重数和几何重数相同，令人满意的 \（|\operatorname{arg}（\lambda（\hat{E}^{d}\hat}A}））|=\frac{\alpha\pi}{2}\），然后是系统(8)是稳定的。

证明

根据定理3.2，存在可逆矩阵H（H），因此

$$J=H^{-1}\hat{E}^{d}\hat{A} H（H）=\operatorname{diag}（J{1}，J{2}，\ldots，J{r}，\ mathbf{0}）$$

(27)

哪里\（J_{i}\）是Jordan规范形式，\（1 \leq i \leq r）、和0是具有相应维数的零矩阵。

从定理的条件3.4在不失一般性的情况下，我们假设特征值\（\lambda{s}\）满足\（|\operatorname{arg}（\lambda（\hat{E}^{d}\hat}A}））|=\frac{\alpha\pi}{2}\）代数和几何重数均等于1，以及\（\lambda{s}=J{s}，1\leq-s\leqr），\（\lambda{s}=r{0}（\cos（\frac{\alpha\pi}{2}）+i{0}\sin（\frac{\alfa\pi}}））=r_{0}e^{\frac{\alpha\pi}{2} 我_{0}}，（i{0}）^{2}=-1\）。

然后

$$\开始{aligned}E_{alpha，\alpha}\bigl（\hat{E}^{d}\hat{A} t吨^{\alpha}\bigr）=&H\operatorname{diag}\biggl[E_{\alfa，\alpha}\bigl（J_{1} t吨^{\alpha}\bigr），\ldot，E_{\alfa，\alpha}\bigl（J_{s-1}吨^｛\alpha｝\bigr）、E_｛\alpha、\alpha｝\bigl（\lambda_{s} t吨^{\alpha}\bigr），\\&{}E_{\alpha，\alpha}\bigl（J_{s+1}t^{\alba}\biger），\ldots，E_{\alfa，\alpha}\bigl（J_{r} t吨^｛\alpha｝\bigr）、\frac｛1｝｛\Gamma（\alpha）｝、\ldots、\frac｛1｝｛\Gamma（\alpha）｝\biggr]H^｛-1｝。\结束{对齐}$$

(28)

应用引理2.1，我们得到

$$\开始{aligned}E_{alpha，\alpha}\bigl（\lambda_{s} t吨^{\alpha}\bigr）=&\frac{1}{\alfa}\bigl（\lambda_{s} t吨^{\alpha}\bigr）^{\frac{1-\alpha}{\alfa}}\exp\bigl（\lambda_{s} t吨^{\alpha}\bigr）^{\frac{1}{\alfa}}\biger）\\&{}-\sum_{k=2}^{N}\frac}{\Gamma（\alpha（1-k））}\frac{1}}{（\lambda_{s} t吨^{\alpha}）^{k}}+O\biggl（\frac{1}{|\lambda_{s} t吨^{\alpha}|^{N+1}\biggr）\\=&\frac{1}{\alfa}\bigl{2} 我_{0}}\bigr）\exp\bigl（r{0}^{\frac{1}{\alpha}}e^{\frac{\pi}{2} 我_{0}}t较大）\\&{}-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{\Gamma（\alpha（1-k））}\frac{1}{r_{0}^{k} e（电子）^{\frac{（k\alpha）\pi}{2} 我_{0}}t^{k\alpha}}+O\biggl（\frac{1}{|r_{0}吨^{\alpha}|^{N+1}\biggr）\\=&\frac{1}{\alfa}\bigl{2} 我_{0}\bigr）\exp\bigl（r{0}^{\frac{1}{\alpha}}ti_{0}\ bigr^{k} e（电子）^{\frac{（k\alpha）\pi}{2} 我_{0}}t^{k\alpha}}+O\biggl（\frac{1}{|r_{0}吨^{\alpha}|^{N+1}}\biggr）。\结束{对齐}$$

然后

$$\begin｛aligned｝t^｛\alpha-1｝E_｛\alpha，\alpha｝\bigl（\lambda_{s} t吨^{\alpha}\bigr）=&\frac{1}{\alfa}\bigl{2} 我_｛0｝｝\bigr）\exp\bigl（r_｛0｝^｛\frac｛1｝｛\alpha｝｝ti_｛0｝\bigr）\\&｛｝-\sum_｛k=2｝^｛N｝\frac｛1｝｛\Gamma（\alpha（1-k））｝\frac｛1｝｛r_｛0｝^{k} e（电子）^{\frac{（k\alpha）\pi}{2} 我_{0}}t^{（k-1）\alpha+1}}+O\biggl（\frac{1}{|r_{0}|^{N+1}|t^{\alpha N+1}|}\biggr），\end{aligned}$$

什么时候\（t\rightarrow+\infty\），我们得到

$$开始{aligned}&\biggl|\frac{1}{\alpha}\bigl{2} 我_{0}\bigr）\exp\bigl（r{0}^{\frac{1}{\alpha}}ti_{0}\ bigr^{k} e（电子）^{\frac{（k\alpha）\pi}{2} 我_{0}}t^{（k-1）\alpha+1}}+O\biggl（\frac{1}{|r_{0}|^{N+1}|t^{\alpha N+1}|}\biggr）\rightarrow0。\结束{对齐}$$

从上面的讨论中，我们可以看到\（t^{\alpha-1}E_{\alfa，\alpha}（\lambda_{s} t吨^{\字母}）\）稳定为\（t\rightarrow+\infty\）.其他约旦规范形式(28)可以用与定理中相同的方法来处理3.2因此，系统(8)是稳定的。证明已完成。 □

定理3.5

如果系统(8)是常规的，的零特征值 \（{E}^{d}\{A}\） 它们的代数重数大于几何重数，\（\breve{n}\alpha<1\），其中 n̆ 是零特征值的Jordan正则块的最大维数，和所有的非-零特征值满足

$$\bigl|\operatorname{arg}\bigl（\lambda\bigle（\hat{E}^{d}\hat}A}\bigr）\biger）\bigr|\geq\frac{\alpha\pi}{2}$$

此外，临界特征值的代数重数和几何重数相同，令人满意的 \（|\operatorname{arg}（\lambda（\hat{E}^{d}\hat}A}））|=\frac{\alpha\pi}{2}\），然后是系统(8)是稳定的。

证明

根据引理2.1和定理的条件3.5，以下证明与定理类似3.3，3.4和将被省略。 □

定理3.6

对于系统(8),如果特征方程的所有根 \（|s^{\alpha}E-A|=0\） 具有负实部，那么系统是渐近稳定的。

证明

在系统两侧进行拉普拉斯变换(8)，我们得到了系统的特征方程(8)如下：

$$\bigl|s^{\alpha}E-A\bigr|=0$$

(29)

让\（\lambda=s^{\alpha}\），然后

$$|\lambda E-A|=0$$

(30)

接下来，我们证明了特征方程，\（|\lambda E-A|=0\）和\（|\lambda I-\hat{E}^{d}\hat}A}|=0\），具有相同的非零特征值。

事实上，来自(20)在定理中3.2，存在一个ρ和可逆矩阵T型这样的话

$$\hat{E}^{d}\hat}=T^{-1}\begin{pmatrix}C^{-1{（\rho C-I）&0\\0&0\end{pmatricx}T$$

（31）

哪里ρ是常量，\（（E-A））是可逆的，并且\（C^｛-1｝（\rho C-I）\在R^｛p\乘以p｝\中）。

然后

$$\开始{aligned}\bigl|\lambda I-\hat{E}^{d}\hat}A}\bigr|&=\bigl| T^{-1}\biger|\begin{vmatrix}\lambdaI-C^{-1{（\rho C-I）&0\\lambda I\end{vmatricx}|T|\\&=\bigl|\lambda I-C^{-1}（\r C-I）\bigr| |\lampda-I|。\结束{对齐}$$

(32)

预乘\（|（\rho E-A）^{-1}|\）在的两侧\（|\lambda E-A|=0\）并应用(9), (10)，我们有

$$\begin{aligned}0=&|\lambda E-A|=\bigl|（\rho E-A）^{-1}\bigr||\lampda E-A| \\=&\bigl|（\rho-E-A）|{-1}（\lambda-E-A）\bigr |\\=&|\ lambda\hat{电子}-\帽子{A}|\\=&\开始{vmatrix}\lambda C-（\rho C-I）&0\\0&（\lambda-\rho）N+I\结束{vmatricx}\\=&\bigl|C^{-1}\bigr|\bigl| \lambda I-C^{-1-}。\结束{对齐}$$

(33)

自N个是幂零的，我们得到

$$\bigl|（\lambda-\rho）N+I\bigr|=1$$

因此，

$$0=|\lambda E-A|=\bigl|C^{-1}\bigr|\bigl| \lambdaI-C^{-1}（\rho-C-I）\bigr|$$

(34)

发件人(32)以及(34)，我们可以看到特征方程，\（|\lambda E-A|=0\）和\（|\lambda I-\hat{E}^{d}\hat}A}|=0\），具有相同的非零特征值。

根据定理的条件3.6，假设\（\lambda{1}、\lambda{2}、\ ldots、\lampda{m}）都是的非零根\（|\lambda E-A|=0\）。\（n_{i}\）是的多重性\（\lambda{i}，1\leqi\leqm\）、和\（n{1}+n{2}+\cdots+n{m}<n\）从上述讨论中，我们知道\（\lambda{1}、\lambda{2}、\ ldots、\lampda{m}）都是的非零根\（|\lambda I-\hat{E}^{d}\hat}A}|=0\）它们也是的非零根\（|\lambda I-C^{-1}（\rho C-I）|=0\）。

两种情况下\（\lambda{1}、\lambda{2}、\ ldots、\lampda{m}）是否如此，将进行讨论。

首先，假设矩阵\（C^｛-1｝（\rho C-I）\）可对角化，即。，存在可逆矩阵P（P）这样的话

$$C^{-1}（\rho C-I）=P^{-1{\begin{pmatrix}\lambda_{1}&&0\\ddots&\\0&&\lambda{m}\end{pmatricx}P$$

发件人(31)，让\（H=T\bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}P&0\cr0&I\end{matrix2}}\bigr），然后

$$\hat{E}^{d}\hat}A}=H^{-1}\begin{pmatrix}\left（{\scriptsize\begin}matrix}{}\lambda_{1}&&0\cr&\ddots&\cr0&&\lambda_{m}\end{matrix{}\right）&&\mathbf{0}\\ddots&\\mathbf}0}&\mat血红蛋白{0}\end pmatrix}H$$

因此，

$$E_{\alpha，\alpha}\bigl（\hat{E}^{d}\hat}A}t^{\alfa}\bigr）=H\operatorname{diag}\biggl[E_{\alpha，\ alpha}\ bigl，\lambda_{1}t^}\alpha{\bigr.α）}，\ldot，\frac{1}{\Gamma（\alpha）}}_{n-m}\biggr]H^{-1}$$

由于\（\lambda=s^{\alpha}\），\（|\operatorname{arg}（\lambda）|=|\operatorname{arg{（s^{alpha}）|>\frac{\pi\alpha}{2}\）什么时候\（|\operatorname{arg}（s）|>\frac{\pi}{2}\）.从定理证明3.2，我们看到了该系统(8)是渐近稳定的。

其次，假设矩阵\（C^{-1}（\rho C-I）\）类似于Jordan规范形式，即。，存在可逆矩阵P（P）这样的话

$$C^{-1}（\rho C-I）=P^{-1{\operatorname{diag}（J{1}，J{2}，\ldots，J{m}）P$$

(35)

让\（J_{i}，1\leq-i\leq-m\），有表格

$$J{i}=\begin{pmatrix}\lambda{i}&1&&\\lambda_{i}＆\ddots&\\&&\ddots&1\&&\lambda{i}\end{pmatricx}{n{i}\ times n_{i{}}，\quad 1\leq i\leq m$$

以下证明与定理中的情况（ii）类似3.2和将被省略。证明已完成。 □

4举例说明

在本节中，我们将提供一些示例来说明我们的结果的应用。

示例1

考虑以下系统：

$$E D^{\压裂{1}{3}}x（t）=轴（t）$$

(36)

哪里\（E=\Bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}1&0&-2\cr-1&0&2\cr2&2\end{matrix2}}\Bigr），A=\Bigle（t）\crx_{3}（t）\结束{矩阵}}\较大）\）。

自\（E-A\）是可逆的，我们有

$$\hat{E}=（E-A）^{-1}东=\begin｛pmatrix｝-1&&-\frac｛5｝｛3｝&&-\frac｛4｝｛3｝\\2&&\frac｛5｝｛3｝\\-1&&\frac｛2｝｛3｝&&\frac｛10｝｛3｝\end｛pmatrix｝，\qquad\hat｛A｝=（E-A）^{-1}甲=\begin{pmatrix}-2&-\frac{5}{3}&-\frac{4}{3{2&\frac}2}{3｝&-\brac{2}{3}\\-1&\frac{2}{3}&\frac:7}{3neneneep \end{pmatricx}$$

\（{E}^{d}=\Bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}-1&-\frac{41}{27}&-\frac{28}{27{2}\cr2&\frac}27}&\frac{46}{27}\cr-1&-\ frac{34}{27}&-\fracc{14}{27neneneep \end{matric}}}}\Bigr），和初始条件\（x（0）\）满足

$$\bigl（I-\hat{E}\hat[E}^{d}\bigr）x（0）=0，\quad\mbox{即}，9x_{1}（0）+7x_{2}（1）+5x_{3}（2）=0$$

因此，我们得到了该示例解的显式表示：

$$x（t）=t^{-\压裂{2}{3}}E_{\压裂{1}{3{，压裂{1{3}{bigl（\hat{E}^{d}{A} t吨^{\frac{1}{3}\bigr）x（0）$$

示例2

考虑以下系统：

$$E D^{\压裂{1}{3}}x（t）=轴（t）$$

(37)

哪里\（E=\bigl（{\scriptsize\begin{matrix}{}1&0\cr0&0\end{matrix2}}\bigr），A=\bigle。

自\（E-A\）是可逆的，我们有

$$\开始{aligned}&\hat{E}=（E-A）^｛-1｝E=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&0\\frac{1'{6}&0\end{pmatricx}，\qquad\hat{A}=（E-A）^{-1}甲=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&0\\frac{1\{6}&-1\end{pmatriax}，\\&\hat{E}^{d}=\being{pmatric}2&0\\frac{2}{3}&0\end{pmatrix{，\qquad\hat{E}^{d\hat{A}=\begin{pmartrix}-1&0\\-frac{1}{3}&0\end{pmatrix}，\qquad\hat{E}\hat{E}^{d}=\begin{pmatriax}1&0\\frac{1}{3}&0\end{pmatricx}、\end{aligned}$$

和初始条件\（x（0）\）满足

$$\bigl（I-\hat{E}\hat}^{d}\bigr）x（0）=0，\quad\mbox{即}，x_{1}（0）-3x_{2}（O）=0$$

矩阵的特征值\（{E}^{d}\{A}\）是\（λ{1}=-1，λ{2}=0\）因此系统是渐近稳定的。

通过另一种方式验证，系统的解决方案是

$$x{1}（t）=t^{-\压裂{2}{3}}E_{\压裂{1}{3{，压裂{1{3}{\bigl（-t^{\frac{1}}\bigr）x{1{（0），四元x{2}（t）=压裂{1neneneep{3} x个_{1} （t）$$

发件人[16]，何时\（t\rightarrow+\infty\），存在一个常量\（M>1\），因此

$$\bigl|E_{\frac{1}{3}，\frac{1}}\bigl（-t^{\frac}{3{}\bigr）\bigr|\leq M\bigl| E^{-t}\biger|$$

什么时候？\（t\rightarrow+\infty\），我们可以\（x_{1}（t）\右箭头0 \）和\（x_{2}（t）\右箭头0 \）因此，系统(37)是渐近稳定的。

5结论

本文获得了线性退化分数阶微分系统初值问题的存在唯一性定理，并导出了该系统解的显式表示。研究了线性退化分数阶微分系统在Riemann-Liouville导数下的稳定性，给出了该系统的一些稳定性判据，这些判据易于验证。我们导出了系统的稳定性与零特征值分布以及特征值分布之间的关系\（\lambda（E^{d}\hat{A}）\）令人满意的\（|\operatorname{arg}（\lambda（\hat{E}^{d}\hat}A}））|=\frac{\alpha\pi}{2}\）由于所考虑的系统是退化的分数阶系统，本文得到的定理也可以广泛应用于许多实际系统，并推广了在[13，37].