我们进一步假设Ω是\（d=2）或平行六面体矩形\（d=3）.
让\（\mathbb{P}（P）_{N} （\欧米茄）\）次多项式的空间≤N个(\（编号2）)对于每个变量，让\（\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）=\mathbb{P}（P）_{N} （\Omega）\cap H^{1}_{0}（\Omega）\）。我们定义\（泽塔{i}）,\（0\lei\leN\）、节点集、多项式根\（（1-x^{2}）L_{N}'），其中\（L_{N}\）是勒让德多项式，并且\（\varrho{i}\）,\（0\lei\leN\），是以下高斯-洛巴托求积公式在区间上的权重集\(]{-}1,1[\):
$$\用于所有\eta_{N}\in\mathbb{P}（P）_{2N-1}\bigl（]{-}1，1[\bigr），\quad\int_{-1}^{1}\eta_{N}（x）\，dx=\sum_{i=0}^{N}\eta _{N{（\zeta_{i}）\varrho_{i{$$
(20)
我们调用以下属性（请参见[10,13]):
$$\用于所有\eta_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} \bigl（]{-}1，1[\bigr），\quad\Vert\eta_｛N｝\Vert_｛L^｛2｝（]{-}1，1[）｝^｛2｝\le \sum_｛i=0｝^｛N｝\eta_｛N｝^｛2｝（\zeta _｛i｝）\varrho _｛i｝\le 3\Vert\eta _｛N｝\Vert _｛L ^｛2｝]{-}1，1[｝^｛2｝$$
(21)
参考域\(]{-}1，1[^{d}\）(\（d=2，3）)使用仿射映射将其转换为域ΩT型，标量积定义在连续函数上u个和v（v）通过
$$\开始{对齐}&（u，v）{N}\\&\quad=\textstyle\begin{cases}\frac{\operatorname{meas}（\Omega）}{4}\sum_{i=0}^{N}\sum_{j=0}^{N{（u\circ T）varrho_{j}&\text{if}d=2，\\frac{\operatorname{meas}（\Omega）}{8}\sum_{i=0}^{N}\sum_{j=0}（u\circ T）（泽塔{i}，泽塔{j}，泽塔{k}）（v\circ T）。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$
(22)
备注3
为了简化分析，我们假设谱离散化随时间而固定。
我们认为\（u{0}\）和\（v{0}\）在Ω̄上连续。离散问题由以下公式推导得出(5)通过应用Galerkin方法与数值积分相结合：
$$\text{For}u_{N}^{0}=\mathfrak{我}_{N} （u_{0}）\quad\text{和}\quad u_{N}^{1}=\mathfrak{我}_{N} （u{0}）+\delta t_{0}\mathfrak{我}_{N} （v_{0}）\quad\text{in}\Omega$$
(23)
哪里\（\mathfrak{我}_{N} \）是来自的插值运算符\（L^{2}（\Omega）\）进入之内\（\mathbb{P}（P）_{N} （\欧米茄）\），查找\（u_{N}^{k}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\times\mathbb{P}（P）_{N} （\Omega）\次（\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega））^{K-1}\）,\（1\le-k\le-k\），这样对所有人来说\（v_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\）,
$$\biggl（\frac{u_{N}^{k+1}-u_{N}^{k}}{delta t_{k}}-\frac}u_{N}^{k} -u个_{N} ^｛k-1｝｝｛\delta t_｛k-1｝｝，v_｛N｝\biggr）_｛N｝+\ delta t_｛k｝\bigl（\nabla u_｛N｝^｛k+1｝，\nabla v_｛N｝\bigr）_｛N｝=0$$
(24)
如中所示(6),\（u_{N}^{k+1}\）,\（1\le-k\le-k\），是离散弱问题的解
$$\bigl（u_{N}^{k+1}，v_{Nneneneep \bigr）_{N{+\delta t_{k}^{2}\bigle（\nabla u_{N}^{k+1}，\nabla-v_{N{}\biger）_{N}=\biggl^{k} -u个_{N} ^{k-1}\bigr），v_{N}\biggr）_{Nneneneep$$
(25)
提案3
让数据 \H中的（（u_{0}，v_{0{）^{1}_{0}（\欧米茄）\乘以L^{2}（\Omega）\）.如果 \（u_{N}^{0}\） 和 \（v_{N}^{0}\） 已知的,然后是问题(25)有独特的解决方案 \（u_｛N｝^｛k+1｝\）,\（k\geq 1）,在里面 \（H）^{1}_{0}（\Omega）\）.此外,解决方案 \（{（u_{N}^{k}）}_{0\leqk\leqK}\） 问题的(23)——(24)满足 \（0\leq k\leq k\） 以下稳定性条件:
$$开始{aligned}和\biggl\Vert\frac{u_{N}^{k+1}-u_{N}^{k}}{delta t_{k}}\biggr\Vert^{2}+\bigl\Vert\nabla u_{N}^}k+1}\bigr\Vert\Vert^{2}\\&\quad\leq{\bigl（3^{d}\biger）}{我}_{N} （v_{0}）\bigr\Vert^{2}+2\bigl\Vert\nabla\mathfrak{我}_{N} （u_{0}）\bigr\Vert^{2}+2\delta t_{0}^{2{\bigl\Vert\nabla\mathfrak{我}_{N} （v_{0}）\bigr\Vert^{2}\bigr）。\结束{对齐}$$
（26）
证据4
我们展示了这个问题(25)使用Lax–Milgram定理和属性有唯一的解决方案(21).
证明稳定性条件(26)，我们定义\（\ | \ cdot \ | _{d}\）从离散标量乘积推导出的离散范数\（（\cdot，\cdot）_｛N｝\）。现在让\（v{N}=\压裂{u{N}^{k+1}-u{N{k}}{delta t_{k}{）英寸(24)导致
$$\biggl\Vert\frac{u{N}^{k+1}-u_{N}^{k}}{\delta t_{k}{\biggr\Vert_{d}^{2}+\bigl\Vert\nabla u{N{^{k+1}\bigr\Vert_ d}^}2}=\biggl{k}}，\压裂{u_{N}^{k} -u个_{N} ^{k-1}}{δt_{k-1{}}\biggr）_{N}+\bigl$$
使用Cauchy–Schwarz不等式和(21)，我们有
$$\biggl\Vert\frac{u_{N}^{k+1}-u_{N}^{k}}{delta t_{k}}\biggr\Vert^{2}+\bigl\Vert\nabla u_{N}^ k+1}\bigr\ Vert^ 2}\leq{3^{d}}\biggl（\biggl \Vert\frac{u{N}^{k} -u个_{N} ^{k-1}}{\delta t_{k-1{}}\biggr\Vert^{2}+\bigl\Vert\nabla u^{k}\bigr\Vert^}\bigbr）$$
然后迭代k个，我们获得
$$\biggl\Vert\frac{u^{k+1}-u^{k}}{delta t_{k}}\biggr\Vert^{2}+\bigl\Vert\nabla u^{k+1}\bigr\Vertqu{2}\leq{\bigl（3^{d}\biger）}^{k}\bigbl（\biggl \Vert\frac{u^{1} -u个^{0}}{\delta t_{0}{\biggr\Vert^{2}+\bigl\Vert\nabla u^{1}\bigr\Vert^}\biggr）$$
最后，估计(26)是根据(23).
提案4
让 \（u{0}\）,\（v{0}\） 连续打开Ω̅,然后让 \（u_{N}^{0}\）,\（v_{N}^{0}\） 为人所知.解决方案之间的误差估计 \（u^{k+1}，k\geq1\）,和 \（u_{N}^{k+1}\）,\（k\geq 1）,共个问题(6)和(25),分别地,是
$$开始{aligned}\bigl\Vertu^{k+1}-u_{N}^{k+1}\bigr\Vert&\leC\Biggl（\inf_{chi_{N{^{k+1}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）}\bigl\Vert u^{k+1}-\chi_{N}^{k+1}\bigr\Vert+\Biggl[\bigl\ Vert u_{0}-u_{N} ^{0}\bigr\Vert+\bigl\Vert v_{0}-v_{N} ^{0}\bigr\Vert\\&\quad{}+\sum_{j=1}^{k}\bigl（T^{1，j}+T^{2，j}+T^{3，j}\biger）\Biggr]\Biggr），\end{aligned}$$
(27)
哪里
$$\开始{aligned}&T^{1，j}={\frac{1}{\delta T^{2}_{j} ｝\sup_｛v_｛N｝\in\mathbb{P}（P）_{N} ^｛0｝（\Omega）｝\frac｛\int _｛\Omega｝（u^｛j+1｝-u^｛j｝）v_｛N｝\，d｛\mathbf｛x｝｝-（\chi _｛N｝^｛j+1｝-\chi _｛N｝^｛j｝，v_｛N｝）_｛N｝｝｝｛\Vert v_｛N｝\Vert｝，\\&T^｛2，j｝=\sup_｛v_｛N｝\in\mathbb{P}（P）_{N} ^｛0｝（\Omega）｝\frac｛\int _｛\Omega｝\nabla u ^｛j+1｝\nabla v_｛N｝\，d｛\mathbf｛x｝｝-（\nabla\chi _｛N｝^｛j+1｝，\nabla v_｛N｝）_｛N｝｝｛\Vert v_｛N｝\Vert｝，\\&T^｛3，j｝=\sup_｛v_｛N｝\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）}\frac{\int_{\Omega}（u^{j} -u个^{j-1}）v_{N}\，d{\mathbf{x}}-（\mathfrak{我}_{N} （u）^{j} -u个^{j-1}），v_{N}）{N}}{\Vert v_{N}\Vert}，\end{aligned}$$
和 C类 是独立于 N个.
证据5
考虑\（\chi_{N}^{k+1}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\）.根据三角形不等式，我们得到
$$\bigl\垂直u^{k+1}-u_{N}^{k+1}\bigr\Vert\le\bigl\Vert u^{k+1}-\chi_{N}^{k+1}\biger\Vert+\bigl\\Vert\chi_{N{}^{k+1}-u_{N}^{k+1}-u_k+1}^{k+1}\bigr\垂直$$
估计\（u{N}^{k+1}-\chi{N}^{k+1}），我们从写问题开始(5)和(25)对于\（v_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\）.然后我们考虑\（τ{k}=frac{deltat_k}}{delta_t{k-1}}）逐项进行差分，我们得到
$$\bigl（u_{N}^{k+1}-\chi_{Nneneneep ^{k+1}，v_{Nneneneei \bigr）_{N{+\delta t_{k}^{2}\bigle（\nabla\bigl^{k}-\chi _{N}^{k}，v_{N}$$
哪里
$$\开始{aligned}\mathcalligra{K}^{K}（v_{N}）={}&\frac{1}{\delta t^{2}_{k} }\biggl（\int_{\Omega}\bigl（u^{k+1}-u^{k}\bigr）v_{N}\，d{\mathbf{x}}-\bigle（\chi_{N{k+1}-\chi_}N}^{k}，v{N}\biger）\，d{\mathbf{x}}-\bigl（\nabla\chi_{N}^{k+1}，\nabla v_{Nneneneep \bigr）{N}\\&{}+\int_{Omega}\ bigl^{k} -u个^{k-1}\bigr）v_{N}\，d{\mathbf{x}}-\bigl（\mathfrak{我}_{N} \bigl（u^{k} -u个^｛k-1｝\bigr）、v_｛N｝\bigr）_｛N｝。\结束{对齐}$$
自\（\mathcalligra{K}^{K}\）在上是线性和连续的\（\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\），根据Riesz定理\（\vartheta）^｛k｝_{N} \）在里面\（\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\）这样的话
$$\mathcalligra{K}^{K}（v_{N}）=\bigl（\vartheta^{k}_{N} ，v_{N}\biger）_{Nneneneep$$
应用中证明的结果[14，道具。4.1]和[15]，我们得到
$$\bigl\Vert u_{N}^{k+1}-\chi_{N{^{k+1}\bigr\Vert \le C\Biggl（\bigl\ Vert u_{0}-u_{N} ^{0}\bigr\Vert+\bigl\Vert v_{0}-v_{N} ^{0}\bigr\Vert+\sum_{j=1}^{k}\bigl\Vert\vartheta^{j}_{N} \bigr\Vert^{2}\Biggr）^{1/2}$$
哪里C类是独立于N个.
所以我们得出结论(27)，自
$$\bigl\垂直\vartheta^{j}_{N} \bigr\Vert\leq C\sup_{v_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）}\frac{（\vartheta）^{j}_{N} ，v_{N}）{N}}{\垂直v_{N}\垂直}$$
哪里C类是独立于N个.
求作为函数的收敛阶N个，有必要估计不等式第二个成员的每个项(27).
我们认为\（\varpi^{j+1}=u^{j+1}-u^{j}\）和\（chi_{N}^{j+1}-\chi_{N}^{j}=\Pi^{1,0}_{N-1}（\varpi^{j+1}）通过的高斯-洛巴托求积公式的精确性(20),\（int _｛\Omega｝\Pi^｛1,0｝_{N-1}（\varpi^{j+1}）v_{N}\，d{\mathbf{x}}\）和\（\Pi^{1,0}_{N-1}（\varpi^{j+1}），v_{N}）是平等的，因此
$$T^{1，j}\leq\bigl\Vert\varpi^{j}-\Pi^{1,0}_{N-1}\bigl（\varpi^{j}\bigr）\bigr\Vert$$
(28)
哪里\（\Pi_{N}^{1,0}\）是来自的正交投影运算符\（H）^{1}_{0}（\Omega）\）进入之内\（\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）\）与半范数定义的内积有关\（|\cdot|_{1，\Omega}\）（请参见([13]，引理VI.2.5）和[10]用于此运算符的所有属性。）
因为高斯-洛巴托求积公式对于次数多项式是精确的\（\leq 2N-1），我们有
$$\begin{aligned}&\int_{\Omega}\nabla u^{j+1}\nabra v_{N}\，d{\mathbf{x}}-\bigl（\nabla\chi_{N{j+1}，\nabla-v_{N}\bigr）_{N}\\&\quad=\int_}\Omega}\nablo\bigle（u^{j+1}-\Pi_{N-1}^{1,0}u^{j+1}\biger）\nabla v_{N}\，d{\mathbf{x}}-\bigl。\结束{对齐}$$
(29)
由于三角形和Cauchy–Schwarz不等式，我们得到了
$$\开始{aligned}&\sup_{v_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）}\frac{\int_{\Omega}\nabla u^{j+1}\nabra v_{N}\，d{\mathbf{x}}-^{1,0}u^｛j+1｝\bigr\vert_｛1，\Omega｝+\bigl\vert\chi_{N｝^｛j+1｝-\Pi_{N-1｝^｛1,0｝\chi_{N｝^｛j+1｝\bigr\vert_｛1，\Omega｝\bigr）。\结束{对齐}$$
(30)
因此，我们使用\（π_｛N-1｝^｛1,0｝\）.
让\（θ^{j}=u^{j} -u个^{j-1}\）。我们使用此估算\（\Pi_{N-1}\）正交投影\（L^{2}（\Omega）\）进入之内\（\mathbb{P}（P）_{N-1}（欧米茄）通过上述高斯-洛巴托公式的相同论证，我们得出
$$开始{aligned}&\int_{\Omega}\theta^{j}（{\mathbf{x}}）v_{N}{我}_{N} \theta^{j}，v_{N}\bigr）_{N{\\&\quad=\int_{\Omega}\bigl（\theta^{j}-\Pi_{N-1}\theta^{j}\bigr）（{\mathbf{x}}）v_{N}{我}_{N} \θ^{j}-\Pi_{N-1}\θ_{j}，v_{N}\biger）_{Nneneneep。\结束{对齐}$$
使用不等式(21)在每个方向都通向
$$\int_{\Omega}\theta^{j}（{\mathbf{x}}）v_{N}{我}_{N} \theta^{j}，v_{N}\bigr）_{N{le\bigl[\bigl\Vert\theta^{j}-\Pi_{N-1}\θ^{j}\ bigr\垂直^{2}+9\ bigl\垂直^{j}-\马特拉克{我}_{N} \theta^{j}\bigr\Vert^{2}\biger]\Vertv_{N}\Vert$$
由于算子的近似性质\（\Pi_{N-1}\）（请参见[10，厚度。7.1]）和\（\mathfrak{我}_{N} \）（请参见[10，厚度。14.2]），适用于\（H^{s}（Omega）中的θ；\（s>1\），我们获得
$$\sup_{v_{N}\in\mathbb{P}（P）_{N} （\Omega）}\frac{\int_{\Omega}\theta^{j}（{\mathbf{x}}）v_{N}^{2}_{s，\Omega}$$
(31)
最后，为了估算
$$\inf_{\chi_{N}^{k+1}\in\mathbb{P}（P）_{N} ^{0}（\Omega）}\bigl\Vert u^{k+1}-\chi_{N}^{k+1}\bigr\Vert，\qquad\bigl\Vert u_{0}-u_{N} ^{0}\bigr\Vert\quad\text{和}\quad\bigl\Vert v_{0}-v_{N} ^{0}\bigr\Vert$$
(32)
我们分别选择，\（\chi_{N}^{k+1}=\Pi_{Nneneneep^{1,0}u^{k+1}\）,\（u{N}^{0}=\Pi_{N}^{1,0}u_{0}\)、和\（v_{N}^{0}=\Pi_{N{v_{0}\）。然后我们得出使用运算符属性的结论\（\Pi_{N}^{1,0}\）和\（\Pi_{N}\）.
所以，根据估计(28)(30)(31)、和(32)我们得到以下主要定理。
定理2
对于 \（（u{0}，v{0}）\） 连续打开Ω̄,解决方案 \（（u^{k}）_{0\leqk\leqK}\） 问题的(5)属于 \（H^{s}（\Omega）\）；\（s>1\）.解决方案之间的错误 \（u^{k+1}\） 和 \（（u_｛N｝^｛k+1｝）\） 个问题(6)和(25),分别地,满足
$$\begin｛aligned｝\bigl\Vert u^｛k+1｝-u_｛N｝^｛k+1｝\bigr\Vert\le｛｝＆C\Biggl[N^｛-s｝\Biggl（\bigl\Vert u^｛k+1｝\bigr\Vert _｛s，\Omega｝+\sum_｛j=1｝^｛k｝\bigl（\delta t^{-2}_{j} \bigl\Vert u^{j+1}-u^{j}\bigr\Vert_{s，\Omega}+\bigl\ Vert u^{j} -u个^{j-1}\bigr\Vert_{s，\Omega}\biger）\Biggr）\\&{}+N^{1-s}\sum_{j=1}^{k}\bigl\Vert-u^{j+1}\biger\Vert_}s，\欧米茄}\Biggr]，\end{aligned}$$
(33)
哪里 C类 是独立于 N个.
