二维自相似非线性波动系统的退化边值问题

摘要

本文主要研究非线性波动系统的二维黎曼问题引起的退化边值问题。为了处理抛物型简并，我们引入了部分速矢变换，将非线性波系统转化为一个新的系统，该系统表现出明显的正则性-奇异性结构。在加权度量空间中建立了新系统经典解的局部存在性。将解返回到原变量，得到了非线性波动系统退化边值问题经典解的存在性。

1介绍

我们对非线性波系二维四常数黎曼问题研究中产生的退化边值问题感兴趣

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}\rho_{t}+（\rhou）{x}+（\ rhov）{y}=0，\\（\rhour）{t}+p_{x}=0$$

(1.1)

哪里ρ,\（（u，v）\）分别是密度和速度，以及\（p=p（\rho）\）是的给定函数ρ该系统可通过忽略速度中的二次项获得\（（u，v）\）或者将非线性波动方程写成一阶系统。我们让读者参考参考文献[三,4]了解背景信息。

拟线性双曲守恒律的多维Riemann问题是数学流体力学中的一个重要问题，尤其包括斜激波反射问题和溃坝问题。最重要的是，黎曼问题在理论、数值和应用的所有领域都扮演着“积木”的角色，见综述[18]以及其中的参考文献。对欧拉方程的二维黎曼问题的研究是由Zhang和Zheng发起的[32]. 作者利用广义特征分析方法和数值实验，对解的结构提出了一组猜想。然而，由于跨音速结构的存在，到目前为止，还没有一种结构得到完全证实[7,19,36]. 在理解欧拉方程及其相关系统的这些跨声速结构方面，已经做出了许多工作。我们向读者介绍[17,20,21,22,23,25,26,27,30]以及引用的参考文献，尤其是专著[19,36]用于Euler和压力-颗粒系统的结果。特别是，对于非线性波系统的二维黎曼问题的相关结果(1.1)，可以咨询[6,10,11,12,13,14,15,16]以及其中的参考。

我们在本文中考虑系统(1.1)以及平滑状态函数\（p=p（\rho）\）令人满意的

$$\begin{aligned}\forall\rho>0，\quad p（\rho）\gtrless 0，\quid\quad p'（\rho）>0，\ quad\text{和}\quad p''（\rho\gtrless0。\结束{对齐}$$

(1.2)

显然，众所周知的多方气体状态方程\（p=A\rho^{\gamma}\）(\（伽马>1）)查普利金毒气\（p=-1/\rho\）满足(1.2). 查普利金提出了查普利金气体的状态方程[5]Tsien将其作为计算空气动力学中飞机机翼升力的合适数学近似值[28]和von Karman[29]. 此外，这个状态方程已经被宣传为暗能量的可能模型；参见例如[2,8]. 我们正在寻找以下方面的自相似解决方案(1.1)也就是说，解只依赖于自相似变量\（（xi，eta）=（x/t，y/t）.变量方面\（（\xi，\eta）\），系统(1.1)可以转换为

$$\begin{aligned}\textstyle\begin{cases}-\xi\rho_{xi}-\eta\rho_{eta}+（\rho u）{xi}+（\ rho v）{\eta}=0，\-\xi（\rhou）{\xi}-\ eta（\rho-u）{\ eta}+p_{xi}=0}+p{\eta}=0。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.3)

的特征值(1.3)是

$$\begin{aligned}\varLambda_{0}=\frac{\eta}{\xi}，\quad\quad\varLambda _{\pm}=\frac{\xi\eta\pm\sqrt{p'（\rho）（\xi^{2}+\eta^{2} -p个'（\rho））}}{\xi^{2} -p个'（\rho）}。\结束{对齐}$$

(1.4)

我们从中看到(1.2)以及(1.4)那个系统(1.3)在无穷远处为双曲线（即。，\（\vert\xi\vert+\vert\eta\vert=\infty\）)并在原点附近将类型更改为椭圆。双曲区域和椭圆区域可以由一条由退化曲线和激波组成的边界曲线分开，这是与解一起确定的自由边界[1]. 为了构造非线性混合型系统的全局解，迭代方法似乎是最可能的选择。

本文的目的是建立二维自相似非线性波动系统经典解的局部存在性(1.3)使用退化边界数据，这是使用迭代过程构造混合型方程整体解的关键步骤。摘要研究了具有多方气体的可压缩Euler方程在声场中经典声-超声解的局部存在性[9,33,35]对于压力梯度系统[34]. 我们考虑(1.1)满足凸状态方程(1.2)并将在下一步工作中对一般非凸状态方程的这一问题进行探讨。

本文的其余部分组织如下。在教派。 2，我们详细描述了这个问题，然后陈述了我们的主要结果。章节三致力于在新的因变量和自变量中重新表述问题。在教派。 4通过求解新问题，然后将解转换为原始坐标，完成了主要结果的证明。

2问题和主要结果

我们首先解耦第页从\（（\rho u）\）和\（（\rho v）\）为了得到二阶拟线性方程，

$$\begin{aligned}\bigl（a（p）-\xi^{2}\bigr）p_{xi\xi}-2\xi\eta p_{xi\eta}+\ bigl^{2}-2（\xip_{\xi}+\etap_{\eta}）=0，\end{aligned}$$

(2.1)

哪里

$$\begin{aligned}a（p）=\frac{1}{\rho'（p）}>0，\quad\quad b（p）=-\frac}\rho''（p）{\rho'（p$$

(2.2)

为所有人\（p>0）由(1.2). 的两个特征值(2.1)是

$$\开始{aligned}\tilde{\varLambda}_{\pm}=\frac{\xi\eta\pm\sqrt{a（p）（\xi^{2}+\eta^{2} -a个（p） ）}}{\xi^{2} -a个（p） }。\结束{对齐}$$

（2.3）

为了方便处理我们的问题，我们重写了(2.1)根据极坐标\（（r，θ）作为

$$\开始{对齐}P_{\theta\theta}-\frac{r^{2}（r^{2} -a个（P） ）}{a（P）}P_{rr}+rP_{r}+\压裂{b（P）r^{3}}{a^{2}-\裂缝{2r^{2}}{a（P）}P_{r}=0，\结束{对齐}$$

(2.4)

哪里\（r=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2{}\）,\（\theta=\arctan（\eta/\xi）\）和\（P（r，\θ）=P（r \ cos \θ，r \ sin \θ）\）。这两个特征族定义为

$$\begin{aligned}\varGamma_{\pm}:\frac{dr}{d\theta}=\pm\lambda，\quad\quad\lambda=\sqrt{\frac}r^{2}（r^{2} -a个（P） ）}{a（P）}}。\结束{对齐}$$

（2.5）

很明显，等式(2.4)为混合类型：双曲线\（r^{2}>a（P）\），椭圆用于\（r^{2}<a（P）\）和抛物线退化\（r^{2}=a（P）\）.

让\（r{a}<r{b}\）为两个正常数，且\（\varGamma:\theta=\varphi（r）\）是定义在上的平滑曲线\（[r{a}，r{b}]\）令人满意的\（\vert\varphi'（r）\vert\leq\varphi_{0}\）对于相同的正常数\（\varphi_{0}\）这意味着曲线Γ不能是圆弧。我们在Γ如下：

$$\begin{aligned}P\bigl（\varphi（r），r\bigr）=P_{0}（r。\结束{对齐}$$

(2.6)

本文的目的是寻找边值问题的经典解(2.4) (2.6). 由于波速\（λ=0）在Γ双曲线问题(2.4) (2.6)是抛物线退化的。

在双曲线区域，公式(2.4)具有有趣的特征分解[10]

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\partial_{+}\parial_{-}P=Q（部分_{+}P-部分_{-}P)\部分_｛-｝P，\\\\部分_｛-｝\部分_｛+｝P=Q（\部分_｛-｝P-\部分{+}P）\partial{+}P，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

（2.7）

哪里

$$\begin{aligned}\partial_{\pm}:=\partiale_{\theta}\pm\lambda\partial _{r}，\quad\text{和}\quad Q=\frac{a'（P）r^{2}}{4a（P）（r^{2} -a个（P） ）}。\结束{对齐}$$

介绍

$$R=\partial_{+}P，\quad\quad S=\ partial_{-}P, $$

从这个和(2.5)我们有

$$\begin{aligned}P_{theta}=\frac{R+S}{2}，\quad\quad P_{R}=\frac{R-S}{2\lambda}=\frac{\sqrt{a（P）}}{2r}\cdot\frac}{R-S{\sqrt{R^{2} -a个（P） }}。\结束{对齐}$$

(2.8)

此外，来自(2.7)，我们获得系统\（（P、R、S）\）

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}P_{theta}=\frac{R+S}{2}，\\R_{theta}-\lambda R_{R}=\frac{a'（P）R^{2} R（右）}{4a（P）}\cdot\frac{S-R}{R^{2} -a个（P） }，\\S_{theta}+\lambda S_{r}=\frac{a'（P）r^{2} S公司}{4a（P）}\cdot\frac{R-S}{R^{2} -a个（P） }，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(2.9)

哪里λ定义于(2.5). 然后我们寻找系统的局部经典解(2.9)使用边界数据

$$\begin{aligned}（P，R，S）\bigl（\varphi（R），R\bigr）=\ bigl。\结束{对齐}$$

(2.10)

我们指出退化边值问题的局部存在性(2.9) (2.10)不能通过非线性双曲方程的经典局部存在理论直接获得（参见，例如[24,31]). 这是因为系统(2.9)不是一个通过简并性连续可微的系统。我们在这里采用的想法受到了张和郑的工作的启发[33]用于研究定常欧拉方程。主要技术是通过引入部分速度图变换来隔离可能的奇点。利用不动点方法，在适当的函数类下建立了一个新系统经典解的局部存在唯一性。将解转换为原始坐标，从而得到问题的局部经典解(2.9)以及(2.10). 本文的结果如下。

定理1

假设状态方程 \（p=p（\cdot）\在C^{4}\中） 满足(1.2).此外,我们假设函数 \（（\varphi，P_{0}，P_{1}）（r）\） 满足

在C^{4}\bigl（[r_{a}，r_{b}]\bigr）\quad\textit{中，$$\begin{aligned}\begin{collected}\varphi（r）\bigr\vert\leq\varphi_{0}，\\P_{0{（r{3}\bigl（[r_{a}，r_{b}]\bigr）\quad\textit{with}\bigle\vertP_{1}（r）\bigr\vert\geq-k{0}，\end{collected}\结束{对齐}$$

(2.11)

哪里 \（\varphi_{0}\） 和 \（k{0}\） 是两个正常数.然后是退化边值问题(2.9) (2.10)在Γ附近的双曲区域有一个经典解.

来自定理1，我们有以下内容。

定理2

让定理中的假设1 持有.然后是退化边值问题的经典解(2.4)和(2.6)Γ附近的双曲区域.

三新坐标系中的问题

在本节中，我们引入新的因变量和自变量来重新描述问题。为了处理退化引起的奇异性，我们首先引入部分速度图变换，如下所示：

$$\begin{aligned}t=\sqrt{r^{2} -a个\bigl（P（r，\theta）\bigr）}，\quad\quad\tilde{r}=r.\end{aligned}$$

(3.1)

注意，声波曲线Γ转换为上的线段\（t=0\）具有\（在[r{a}，r{b}]\中用波浪号{r}\）.来自(3.1)一个有

$$\begin{aligned}\partial_{theta}=-\frac{a'（P）（R+S）}{4t}\paratil_{t}，\quad\quad\partial{R}=\partial _{tilde{R}}+\frac{4r^{2} t-a公司'（P）\sqrt{a（P）}（R-S）}{4rt^{2}}\partial_{t}。\结束{对齐}$$

(3.2)

依据\（（t，\颚化符{r}）\），系统(2.9)可以重写为

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}R{t}+\frac{2rt^{2}}{a'（P）\sqrt{a（P）}S+2r^{2} t吨}R_{R}=\压裂{a'（P）R^{2} R（右）}{2\sqrt{a（P）}[a'（P）\sqrt{a（P）{S+2r^{2} t吨]}\cdot\frac{R-S}{t}，\\S_{t}（t）-\裂缝{2rt^{2}}{a'（P）\sqrt{a（P）}R-2r^{2} t吨}S_{r}=\压裂{a'（P）r^{2} S公司}{2\sqrt{a（P）}[a'（P）\sqrt{a（P）{R-2r^{2} t吨]}\cdot\frac{S-R}{t}，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.3)

以及一个解耦的平凡方程

$$\开始{aligned}\部分_{t} P（P）=-\压裂{2t}{a'（P）}。\结束{对齐}$$

（3.4）

这里和下面我们仍在使用第页代表r̃并表示\（P（t，r）=P（r，θ））,\（R（t，R）=R（R，θ）,\（S（t，r）=S（r，θ）不会造成理解上的混乱。此外，我们发现(1.2)那个

$$\begin{aligned}a\bigl（P_{0}（r）\bigr）\geq k_{1}>0，\quad\quad\bigl \vert a'\bigle（P_{0}（r）\ bigr \vert\geq k_{2}>0，\quid\forall r\in[r_{a}，r_{b}]，\end{alinged}$$

(3.5)

对于一些正常数\（k{1}\）,\（k{2}\）.因此我们可以解决\（P（t，r）\）根据方程式(3.4)带有初始数据\（P（0，r）=P_｛0｝（r）\）。这意味着系统(3.3)在坐标中闭合\（（t，r）\）.

与边界数据相对应(2.10)，初始数据(3.3)是

$$\begin{aligned}（R，S）（0，R）=\bigl（P_{1}（R），P_{1'（R）\bigr），\quad\对于[R_{a}，R_{b}]中的所有R。\结束{对齐}$$

(3.6)

此外，通过(2.6)我们看到了

$$P_{r}\bigl（\varphi（r），r\bigr）=P_{0}'（r）-\varphi'（r$$

其中包括(3.3)收益率

$$\开始{对齐}（R_{t}，S_{t}）（0，R）=\bigl（P_{2}（R），-P_{2neneneep（R）\bigr），\quad\对于[R_{a}，R_{b}]中的所有R$$

(3.7)

以获得平滑的解决方案。因此，我们寻找系统的经典解决方案(3.3)使用初始数据(3.6)以及(3.7).

接下来我们引入两个新的因变量来均匀化初始数据，

$$\开始{对齐}U（t，r）=r（t，r）-P_{1}（r）-P_}2}$$

(3.8)

因此(3.6)以及(3.7)我们得到了齐次初始条件

$$\begin{aligned}U（0，r）=V（0，r）=U_{t}（0，t）=V_{t{（0、r）=0，\quad\对于[r_{a}，r_{b}]中的所有r。\结束{对齐}$$

（3.9）

此外，系统(3.3)被转化为

$$\开始{aligned}\textstyle\开始{cases}U_{t}+\frac{2rt^{2}}{a'\sqrt{a} V（V）+f} U_{r}=\压裂{U-V}{2t}+b_{1}（U，V，t，r），\\V_{t}（t）-\压裂{2rt^{2}}{a'\sqrt{a} U型+g} V_{r}=\frac{V-U}{2t}+b_{2}（U，V，t，r），\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.10)

哪里\（f=f（t，r）=a'\sqrt{a}（P_{1}（r）-P_{2}（r）t）+2r^{2} t吨\),\（g=g（t，r）=a'\sqrt{a}（P_{1}（r）+P_{2}（r）t）-2r^{2} t吨\)、和

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}b_{1}（U，V，t，r）={}&\biggl（\frac{a'r^{2}[U+P_{1{（r）+P_}2}（r，t）]}{2\sqrt{a}[a'\sqrt{a} V（V）+f] }-\压裂{1}{2}\biggr）\biggl（\压裂{U-V}{t}+2P{2}（r）\biggr）\\&{}-\frac{2t^{2} 第页}{a'\sqrt{a} 五+f} \ bigl（P’_｛1｝（r）+P’_｛2｝（r）t\ bigr），\ end｛aligned｝\\&\ begin｛aligned｝b_｛2｝（U，V，t，r）=｛｝&\ bigl（\ frac｛a'r^｛2｝[V-P_｛1｝（r）+P_｛2｝（r）t）]｝{a} 单位+g] }-\压裂{1}{2}\biggr）\biggl（\压裂{V-U}{t} -2P型_{2} （r）\biggr）\\&{}-\frac{2t^{2} 第页}{a'\sqrt{a} U型+g} \bigl（P'{1}（r）-P'{2}（r）t\bigr）。\end{aligned}\end{alinged}$$

然后将前面的问题重新表述如下。

问题3.1

在定理中的假设下1，我们寻求初始数据问题的经典解(3.9) (3.10)在该地区\（t>0）.

解决问题(3.1)，我们首先定义一个合适的函数空间。让δ是一个小的正常数。设置

$$\begin{aligned}D（\delta）：=\bigl\{（t，r）\vert 0\leq t\leq\delta，r_{1}（t）\leq r_{2}（t）\bigr\}，\end{alinged}$$

哪里\（r{1}（t）\）,\（r{2}（t）\）在上连续可微\（0\leq t\leq\delta\）,\（r{1}（0）=r{a}\）,\（r{2}（0）=r{b}\）和\（r{1}（t）<r{2}（t）\）对于\（0\leq t\leq\delta\）.

定义3.1

域\（D（δ））被称为系统的强确定性域(3.10)如果有\（（\xi，\eta）\in D（\delta）\）和任何平滑函数\（（U，V）\）满足齐次初始条件(3.9)、曲线\（r_{\pm}（t；\xi，\eta）\）由定义

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} 吨}r_｛+｝=\varLambda _｛+｝（V（t，r_｛+｝）），\\r_｛+｝\vert _｛t=\xi｝=\eta，\end｛cases｝\displaystyle\quad\textstyle\ begin｛cases｝\frac｛\mathrm｛d｝｝｝｛\mathrm{d} 吨}r_{-}=\varLambda{-}（U（t，r_{-o}）），\\r_{-}\vert_{t=\xi}=\eta，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.11)

也在里面\（D（δ））对于\（0<t\leq\xi\）.在这里

$$\开始{aligned}\varLambda_{+}（V）=\frac{2rt^{2}}{a'\sqrt{a} V（V）+f} ，\quad\quad\varLambda_{-}（U）=-\frac{2rt^{2}}{a'\sqrt{a} U型+g} ●●●●。\结束{对齐}$$

(3.12)

接下来，我们定义一个合适的函数类。让\（S=S（M，δ））是由所有连续可微函数组成的函数类\（F=（F_{1}，F_{2}）^{T}:D（\delta）\rightarrow\mathbb{R}^{2}\）满足以下属性

\（（S_{1}）\）:

\（f{1}（0，r）=f{2}（0,r）=\部分_{t} （f）_{1} （0，r）=\部分_{t} （f）{2}（0，r）=0\）,

\（（S_{2}）\）:

\（垂直压裂{f_{1}}{t^{2}}\Vert_{L^{infty}}+\Vert\frac{f_2}}{t ^{2{}}\Vert_{L_{infty}}\leq M\）,

\（（S_{3}）\）:

\（垂直裂缝部分_{r} （f）_{1} }{t^{2}}\Vert_{L^{infty}}+\Vert\frac{\部分_{r} （f）_{2} }{t^{2}}\Vert_{L^{infty}}\leq M\）,

\（（S_{4}）\）:

\（\部分_{r} F类\)Lipschitz关于第页具有\（垂直裂缝部分^{2}_{rr}f_{1} ｝｛t^｛2｝｝\Vert_｛L^｛infty｝｝+\Vert\frac｛\partial^{2}_｛rr｝f_{2} ｝｛t^｛2｝｝\Vert_｛L^｛\infty｝｝\leq M\）,

哪里δ和M（M）是两个正常数。表示方式\（\mathcal{W}\）仅包含上连续函数的函数类\（D（δ））令人满意的\（（S_{1}）\）和\（（S_{2}）\）很容易看出\（\mathcal{S}\）和\（\mathcal{W}\）是的子集\（C^{0}（D（\delta））；\mathbb{R}^{2}）\）此外，我们定义了一个加权度量\（\mathcal{S}\）和\（\mathcal{W}\）如下：

$$d（\mathbf{F}，\mathbf{G}）：=\biggl\Vert\frac{F_{1} -克_{1} }{t^{2}}\biggr\Vert_{L^{infty}}+\biggl\Vert\frac{f_{2} -克_{2} }{t^{2}}\biggr\Vert_{L^{infty}}$$

检查这一点并不难\（（\mathcal{W}，d）\）是一个完整的度量空间，而\（（\mathcal{S}，d）\）不是中的闭合子集\（（\mathcal{W}，d）\）.

定理1直接遵循以下定理。

定理3

假设定理中列出的条件1 等等 \（D（\delta_{0}）\） 是系统的强确定性域(3.10)对于某些正常数 \（\增量{0}\）.然后是退出常数 \（\增量\ in（0，\增量_{0}）\） 和 M（M） 使得退化双曲问题(3.10)和(3.9)在函数类中有一个经典解 \（\mathcal｛S｝（M，\delta）\）.

4主要定理的证明

在本节中，我们使用不动点方法来证明定理三然后完成定理的证明1.证明分为五个步骤。在步骤1中，我们在函数类中构造一个集成迭代映射\（\mathcal{S}（M，\delta）\）通过差动系统(3.10). 在步骤2中，我们建立了一系列先验估计\（b{1}\）,\（b{2}\）和\（\varLambda_{\pm}\）我们在第3步中证明了上述迭代映射是一个收缩。在步骤4中，我们表明该极限向量函数也属于\（\mathcal{S}（M，\delta）\）最后，在步骤5中，我们将解返回到原始坐标\（（r，θ）.

步骤1.迭代映射。表示

$$\开始{aligned}\frac{d}{d_{+}（V）}:=\partial_{t}+\varLambda_{+}（V）\partial _{r}，\quad\quad\frac{d}{d_{-}（U）}:=\partial。\结束{对齐}$$

(4.1)

然后是系统(3.10)可以重写为

$$开始{aligned}\frac{d}{d_{+}（V）}U=\frac}U-V}{2t}+b_{1}（U，V，r，t），\quad\quad\frac{d}{d_（U）}V=\frac{V-U}{2t}+b_{2}（U，V，r，t）。\结束{对齐}$$

(4.2)

假设向量函数\（（u，v）^{T}（T，r）\）都在片场\（\mathcal{S}\），我们考虑(3.11)

$$开始{对齐}\frac{d}{d_{+}（v）}U=\frac}U-v}{2t}+b{1}（U，v，r，t），\quad\quad\frac{d}{d_（U）}v=\frac{v-U}{2t}+b_{2}（U，v，r，t）和\end对齐}$$

(4.3)

与该地产相结合\（S_{1}\）给予

$$\begin{aligned}&U（\xi，\eta）=\int^{\xi}_{0}\biggl\{\frac{U-v}{2t}+b_{1}\bigl（t，r_{+}（t；\ xi，\ eta）\bigr \}\，\mathrm{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.4)

$$\begin{aligned}&V（\xi，\eta）=\int^{\xi}_{0}\biggl\{\frac{V-u}{2t}+b_{2}\bigl（t，r_{-}（t；\ xi，\ eta）\bigr \}，\mathrm{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.5)

哪里\（r_{\pm}\）定义为(3.11)和

$$\begin｛aligned｝&b_｛1｝\bigl（t，r_｛+｝（t；\xi，\eta）\bigr）=b_｛1｝\bigl（u\bigl（t，r_｛+｝（t；\xi，\eta）\bigr），v\bigl（t，r_｛+｝（t；\xi，\eta）\bigr），t，r_｛+｝（t；\xi，\eta），\\&b_｛2｝\bigl（t，r_｛-｝（t；\xi，\eta）\ bigr）=b_｛2｝\bigl（u\bigl（t，r_｛-｝（t；\xi，\eta）\bigr），v\bigl（t，r_｛-｝（t；\xi，\eta）\bigr），t，r_｛-｝（t；\xi，\eta）\bigr）。\结束{对齐}$$

很明显，方程(4.4)以及(4.5)定义映射

$$\mathcal{<trans\; data-src="T">T型</trans>}<trans\; data-src="(">(</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="u">u个</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="v">v（v）</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src="=">=</trans><trans\; data-src="(">(</trans>\begin{array}{c}\mathrm{<trans\; data-src="U">U型</trans>}\\ \mathrm{<trans\; data-src="V">V（V）</trans>}\end{array}<trans\; data-src=")">)</trans><trans\; data-src=".">.</trans>$$

因此，我们的问题改为寻找映射的不动点\（\mathcal{T}\）在集合中\（\mathcal{S}（M，\delta）\）对于一些合适的常数M（M）以及δ.

步骤2.先验估计。我们得出了一系列关于\（b{1}\）,\（b{2}\）和\（\varLambda_{\pm}\）供以后使用。我们将使用\（K>1）表示仅取决于\（C ^｛3｝\）的规范一,\（P_{1}\）,\（P_{2}\）,\（\varphi'）和\（k{0}\）,\（k{1}\）,\（k{2}\）,\（r{a}\）,\（r{b}\）.自\（（u，v）^{T}\ in \mathcal{S}\），我们通过查看(2.11)以及(3.5)存在一个小常数\（\增量{0}\）这样，对于\（t\leq\delta_{0}\）

$$\开始{aligned}\bigl\vert a'\sqrt{a} v（v）+f\bigr\vert\geq\frac{k_{0}k_{1} k个_{2} }{2}\geq\frac{1}{K}，\quad\quad\bigl\verta'\sqrt{a} u个+g\bigr\vert\geq\frac{k_{0}k_{1} k_{2} ｛2｝\geq\frac｛1｝｛K｝。\结束{对齐}$$

(4.6)

此外，我们

$$\开始{aligned}\vert u-v\vert\leq Mt^{2}，\quad\quad\vert u_{r} -v型_{r} \vert\leq Mt^{2}，\quad\quad\vert u_{rr}-v_{rr}\vert\leq Mt^{2}。\结束{对齐}$$

(4.7)

估计\（b{1}\），我们首先注意到

$$\开始{aligned}&\frac{a'r^{2}[u+P_{1}（r）+P_}2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }-\frac{1}{2}\\&\quad=\frac{\sqrt{a} 第页^{2} （a'\sqrt{a} u个+克+2r^{2} t吨)-\sqrt{a}（一个\sqrt{a} v（v）+f） }{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }\\&\quad=t\cdot\frac{t\cdot\frac{aa'（u-v）}{t^{2}}+2aa'P_{2}（r）+a’t[u+P_{1}（r）+P_2}（r-）t]-2\sqrt{a} 第页^{2} t吨}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }，\结束{对齐}$$

(4.8)

其中一个

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{a'r^{2}[u+P_{1}（r）+P_2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }-\frac{1}{2}\biggr\vert\leq-tK\cdot（1+Mt）。\结束{对齐}$$

(4.9)

此外，差异化(4.8)关于第页获得

$$开始{对齐}和\biggl\vert\partial_{r}\biggl（\frac{a'r^{2}[u+P_{1}（r）+P_}2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }-\frac{1}{2}\biggr）\biggr\vert\leq-tK\cdot（1+Mt），\end{aligned}$$

(4.10)

$$开始{对齐}和\biggl\vert\partial_{rr}\biggl（\frac{a'r^{2}[u+P_{1}（r）+P_}2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }-\frac{1}{2}\biggr）\biggr\vert\leq-tK\cdot（1+Mt）。\结束{对齐}$$

(4.11)

此外，我们表示中的最后一项\（b{1}\）通过\（\varPhi=\frac｛2rt ^｛2｝｝｝｛a’\sqrt{a} 五+f} （P’_｛1｝（r）+P’_｛2｝（r）t）\）然后获得

$$\开始{aligned}\vert\varPhi\vert+\vert\valPhi_{r}\vert+/vert\varPhi_{rr}\vert_leq Kt^{2}（1+Mt）^{2{。\结束{对齐}$$

（4.12）

组合(4.9)–(4.12)并使用表达式\（b{1}\）产量

$$\开始{aligned}\vertb_{1}\vert+\vertb2{1r}\vert\vertb_1rr}\vert_leq Kt（1+Mt）^{2}。\结束{对齐}$$

(4.13)

通过类似的论据\（b{2}\）得到

$$\开始{aligned}\vert b_{2}\vert+\vert b2r}\vert\vert b_2rr}\vert_leq Kt（1+Mt）^{2}。\结束{对齐}$$

(4.14)

对于\（\varLambda_{+}\），我们使用事实

$$\bigl\vert a'\sqrt{a} v（v）+f\bigr\vert+\bigl\vert\partial_{r}\bigl（a'\sqrt{a} v（v）+f\bigr）\bigr\vert+\bigl\vert\partial_{rr}\bigl（a'\sqrt{a} v（v）+f\bigr）\bigr\vert\leq K（1+Mt）$$

以获得

$$\开始{aligned}\vert\varLambda_{+}\vert+\vert\partial_{r}\varLambda _{+{vert+\ vert\paratil_{rr}\varLambda _{+}\ vert\leq Kt^{2}（1+Mt）^{2{。\结束{对齐}$$

(4.15)

类似地，一个人有

$$\开始{aligned}\vert\varLambda_{-}\vert+\vert\partial_{r}\varLambda _{-{vert+\ vert\paratil_{rr}\varLambda _{-}\ vert\leq Kt^{2}（1+Mt）^{2{。\结束{对齐}$$

(4.16)

步骤3.缩小映射。我们有以下引理。

引理4.1

在定理的假设下三,存在正常数 δ,M（M） 和 \（0<β<1） 这样的话

• （1） \（\mathcal{T}\） 地图 \（\mathcal{S}\） 进入之内 \（\mathcal{S}\）;

• (2) 对于任何一对 \（\mathbf{F}，\hat{\mathbf{F}}\） 在里面 \（\mathcal{S}\）,

  $$\begin{aligned}d\bigl（\mathcal{T}（\mathbf{F}），\mathcal{T}（\ hat{\mathbf{F}}）\bigr）\leq\beta d（\mathbf{F}，\hat{\ mathbf}F}}，）。\结束{对齐}$$

  (4.17)

这里是常数 M（M）,δ,β 仅取决于 \（C^{3}\） 的规范 一,\（P_｛1｝（r）\）,\（P_｛2｝（r）\）,\（\varphi'） 和 \（k{0}\）,\（k{1}\）,\（k{2}\）,\（r{a}\）,\（r{b}\）.

证明

让\（\mathbf{F}=（u，v）\）,\（\hat{\mathbf{F}}=（\hat{u}，\hat}）成套\（\mathcal{S}\）和\（\mathbf{G}=\mathcal{T}（\mathbf{F}）=（U，V）\）和\（\hat{G}=\mathcal{T}（\hap{mathbf{F}}）=（\hat{U}，\hat}）很明显\（U（0，\eta）=V（0，\ eta）=0\）.

此外，我们使用(4.7)以及(4.13)–(4.14)以获得

$$\begin{aligned}&\vert U\vert\leq\int_{0}^{\xi}\biggl\{\biggl \vert\frac{U-v}{2t}\bigr\vert+\vert b_{1}\vert\biggr\}\，\mathrm{d} t吨\leq\int_{0}^{xi}\frac{Mt}{2}+Kt（1+M\delta）^{2}\，\mathrm{d} t吨\leq\frac{M}{4}\xi^{2}+K\xi^2}（1+M\delta）^{2{，\\&vert V\vert\leq\int_{0}^{xi}\biggl\vert\frac{V-u}{2t}\bigr\vert+vert b_{2}\vert\biggr\}\，\mathrm{d} t吨\leq\int_{0}^{xi}\frac{Mt}{2}+Kt（1+M\delta）^{2}\，\mathrm{d} t吨\leq\frac{M}{4}\xi^{2}+K\xi^}}（1+M\delta）^{2{，\end{aligned}$$

我们从中

$$\begin{aligned}\biggl\vert\frac{U（\xi，\eta）}{\xi^{2}}\bigr\vert+\biggl \vert\frac{V（\ xi，\ eta）{\xi{2}{\biggr\vert\leq\frac{M}{2}+K（1+M\delta）^{2{。\结束{对齐}$$

（4.18）

为了确定\（U_{r}/t^{2}\），我们区分(4.4)关于η找到那个

$$\begin{aligned}\frac{\partialU}{\parial\eta}（\xi，\eta）=\int_{0}^{\xi}\biggl（\frac}U_{r} -v型_{r} }{2t}+\frac{\partialb{1}}{\particalr}\biggr）\cdot\frac}\partial r{+}}{\ partial\eta}\，\mathrm{d} 吨，\结束｛对齐｝$$

(4.19)

哪里

$$\boot｛aligned｝\frac｛\partial r_｛+｝｝｛\partial \eta｝（t；\xi，\eta）=\exp\biggl｛\int _｛\xi｝^｛t｝\frac｛\partial \varLambda _｛+｝（v）｝｛\partial｛r｝｝\bigl（\tau，r _｛+｝（\tau；\xi，\eta）\bigr）\，\mathrm｛d｝\tau\biggr\｝。\结束{对齐}$$

(4.20)

正在应用(4.7), (4.13)以及(4.15)，我们推导

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial U}{\partical\eta}\bigr\vert&\leq\int_{0}^{\xi}\bigl（\biggl \vert\frac{U_{r} -v型_{r} }{2t}\biggr\vert+\biggl\vert\frac{\partial b_{1}}{\partical r}\bigr\vert\biggr）\cdot\biggl vert\frac{\partital r_{+}}{\ partial\eta}\bighr\vert\，\mathrm{d} t吨\\&\leq\int_{0}^{\xi}\biggl（\frac{M}{2} t吨+Kt（1+M\delta）^{2}\biggr）\exp\bigl\{Kt^{3}（1+M \delta{d} t吨\\&\leq\xi^{2}\biggl（\frac{M}{4}+K（1+M\delta）^{2{\biggr）\exp\bigl\{K\delta^{3}（1+M/delta）|{2}\ bigr\}。\结束{对齐}$$

类似的估计适用于V（V）。因此，我们到达

$$开始{aligned}\biggl\vert\frac{U_{\eta}}{\xi^{2}}\bigr\vert+\biggl \vert\frac{V_{\eta}}{\xi{2}{\biggr\vert\leq\biggal（\frac{M}{2}+K（1+M\delta）^{2{\bigr）\exp\bigl\{K\delta^3}（1+M \delta r \}。\结束{对齐}$$

(4.21)

估计\（U_{r}/t^{2}\）和\（V_{r}/t^{2}\），我们区分(4.19)关于η以获得

$$\开始{aligned}\frac{\partial^{2} U型}{\partial\eta^{2}}（\xi，\eta）=\int_{0}^{\xi}\biggl\{\biggl（\frac{u_{rr}-v_{rr}}{2t}+\frac{部分^{2} b条_{1} }{\partialr^{2}}\biggr）\biggl（\frac{\particlr{+}}{\protial\eta}\bigr）^{2{+\biggl（\frac{u_{r} -v型_{r} }{2t}+\分数{\部分b{1}}{\部分r}\biggr）\分数{\分数^{2} 第页_{+}}{\部分\eta^{2}}\biggr\}\，\mathrm{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.22)

哪里

$$\frac{\partial^{2}r_{+}}{\parial\eta^{2{}}=\frac}\partial r_{+/}}{\ partial\eta}\cdot\int_{\xi}^{t}\frac\\partial_{2}\varLambda_{+{}{\protialr^{2｝\cdot\frac{\particlr_{++}{\patial\eta}，\mathrm{d}\tau$$

接下来是(4.15)以及(4.20)那个

$$\biggl\vert\frac{\partial^{2}r_{+}}{\paratil\eta^{2{}\biggr\vert\leqK\delta^{3}（1+M\delta）^{2neneneep \exp\bigl\{K\delta ^{3{$$

因此，我们有

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial^{2} 单位}｛\partial\eta^｛2｝｝\biggr\vert&\leq\int _｛0｝^｛xi｝\biggl\｛\biggl（\biggl\vert\frac｛u_｛rr｝-v_{rr}}{2t}\biggr\vert+\biggl\vert\frac{\partial（部分）^{2} b条_{1} }{\partialr^{2}}\biggr\vert\biggr）\biggl\vert\frac{\particalr_{+}}{\protial\eta}\bigr\vert^{2{+\biggl（\biggl/vert\frac{u_{r} -v型_{r} }{2t}\biggr\vert+\biggl\vert\frac{\partial b_{1}}{\partical r}\bigr\vert\biggr）\biggl \vert\frac{\protial^{2} 第页_{+}}{\部分\eta^{2}}\biggr\vert\biggr\}\，\mathrm{d} t吨\\&\leq\int_{0}^{\xi}\{\biggl（\frac{M}{2} t吨+Kt（1+M\delta）^{2}\biggr）\bigl[1+K\delta^{3}{d} t吨\\&\leq\xi^{2}\biggl（\frac{M}{4}+K（1+M\delta）^{2{\biggr）\bigl[1+K\delta^{3}（1+M/delta）|{2}\ bigr]\exp\bigl\{K\ delta^3}。\结束{对齐}$$

(4.23)

以同样的方式，我们有\（V_{\eta\eta}\）

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial^{2} V（V）}{\partial\eta^{2}}\biggr\vert\leq\xi^{2{3}\bigl（\frac{M}{4}+K（1+M\delta）^{2neneneep \biggr）\bigl[1+K\delta^{3}（1+M \delta$$

其中包括(4.23)收益率

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{U{\eta\eta}}{\xi^{2}}\bigr\vert+\biggl \vert\frac{V{\eta \eta{}{\xi^{2{}\bighr\vert\leq\biggal（\frac{M}{2}+K（1+M\delta）^2}\bigcr）\bigl[1+K\delta^{3}（1+M \delta}\bigr]\exp\bigl\{K\delta^{3}（1+M\delta）^{2}\biger\}。\结束{对齐}$$

(4.24)

我们选择\（M\geq 16K>16\）然后设置\（\delta\leq\min\{\delta_{0}，1/M\}\）去看看

$$\开始{对齐}和\biggl（\frac{M}{2}+K（1+M\delta）^{2}\biggr）\bigl[1+K\delta^{3}（1+M \delta \biggl（1+\frac{1}{64}\biggr）\exp\biggl（\frac}{64{\bigger）<\frac{5}{6} M（M）<M.\结束{对齐}$$

(4.25)

因此，我们结合(4.18), (4.21)以及(4.24)得出结论\（（S_{2}）\）–\（（S_{4}）\）被映射保存\（\mathcal{T}\）.

为了证明\（\mathcal｛T｝（\mathbf｛F｝）\in\mathcal｛S｝\），这足以证明\（U_｛\xi｝（0，\eta）=V_｛\xi｝（0，\eta）=0\）。我们区分(4.4)关于ξ到达

$$\开始{aligned}\frac{\partialU}{\parial\xi}（\xi，\eta）=\frac{U-v}{2\xi}+b_{1}+\int_{0}^{\xi}\biggl（\frac{U_{r} -v型_{r} }{2t}+\分形{\部分b{1}}{\部分r}\biggr）\分形{部分r{+}}{\partial\xi}\，\mathrm{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.26)

哪里

$$\begin{aligned}\frac{\partialr_{+}}{\parial\xi}（t；\xi，\eta）=-\varLambda_{+{\bigl（\xi、\eta、V（\xi，\eta）\bigr）\cdot\frac}\partial r_{+/}}{\ partial\eta}（t:\xi）。\结束{对齐}$$

(4.27)

它很容易被看到(4.7), (4.13), (4.15)以及(4.20)那个\（U_{\xi}（0，\eta）=0\）同样，我们有\（V_{\xi}（0，\eta）=0\），这意味着\（\mathcal{T}\）地图\（\mathcal{S}\）融入自身。

接下来我们证明不等式(4.17)保持某个正常数\（β<1）根据映射的定义\（\mathcal{T}\），我们有

$$\开始{aligned}\frac{d}{d_{+}（v）}U=\frac}U-v}{2t}+b{1}（U，v，t，r），\quad\quad\frac{d_+}{u}-\帽{v}}{2t}+b{1}（帽{u}，帽{v{，t，r），帽{对齐}$$

从这个和(4.1)一个人得到

$$开始{对齐}和\frac{d}{d_{+}（v）}{+}（\hat{v}）\bigr）\partial_{r}\hat}。\结束{对齐}$$

(4.28)

回顾\（b{1}\）暗示

$$开始{对齐}和b_{1}（u，v，t，r）-b_{1{（\hat{u}，\hat}v}，t，r）\\&\quad=\biggl（\frac{a'r^{2}[u+P_1}（r）+P_2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a} v（v）+f） }-\frac{1}{2}\biggr）\biggl（\frac{u-\hat{u}}{t}（t）-\frac{v-\hat{v}}{t}\biggr）\\&\quad\quad{}+\biggl（\frac{\hat｛u｝-\hat｛v｝｝｛t｝+2P_｛2｝（r）\biggr）\biggl｛\frac｛a'r^｛2｝[u+P_｛1｝（r）+P_｛2｝（r）t]｝｛2 \sqrt｛a｝（a'\sqrt{a} 五+f） }-\frac{a'r^{2}[\hat{u}+P_{1}（r）+P_2}（r）t]}{2\sqrt{a}（a'\sqrt{a}\hat}v}+f）}\biggr\}\\&\quad\quad{}-\bigl（\varPhi（v）-\varPhi（\hat{v}）\bigr）：=I+\mathit{II}+\mathat{III}。\结束{对齐}$$

(4.29)

对于我，我们通过(4.9)那个

$$开始{aligned}\vert I\vert\leq Kt（1+M\delta）\biggl（\biggl\vert\frac{u-\hat{u}{t}\biggr\vert-\bigglovert\frac{v-\hat}{t{\biggr\vert\biggr）\leq Kt^{2}（1+M \ delta）d（\mathbf{F}，\hat{mathbf{F}}）。\结束{对齐}$$

(4.30)

对于二，一个有

$$\开始{对齐}\vert\mathit{II}\vert&\leq K（1+M\delta）\biggl\vert\frac{u+P_{1}（r）+P_}2}（r）t}{a'\sqrt{a} v（v）+f} -\frac{\hat{u}+P_{1}（r）+P_2}_{2} t吨)+\帽子{u}]（v-\hat{v}）}{（a'\sqrt{a} v（v）+f） （a'\sqrt{a}\hat{v}+f）}\biggr\vert\\&\leqKt^{2}（1+M\delta）d（\mathbf{f}，\hat}\mathbf{f}}）。\结束{对齐}$$

(4.31)

根据的定义Φ英寸(4.12)，很容易获得

$$\begin{aligned}\vert\mathit{III}\vert=\bigl\vert\varPhi（v）-\varPhi（\hat{v}）\bigr\vert\leq Kt^{4} d日（\mathbf{F}，\hat{\mathbf{F}}）。\结束{对齐}$$

(4.32)

放置(4.30)–(4.32)到(4.29)收益率

$$开始{aligned}\bigl\vertb_{1}（u，v，t，r）-b_{1{（\hat{u}，\hat}v}，t，r）\bigr\vert\leq-Kt^{2}（1+M\delta）d（\mathbf{F}，\ hat{mathbf}F}}）。\结束{对齐}$$

(4.33)

此外，我们使用\（\varLambda_{+}\）以获得

$$开始{aligned}\bigl\vert\varLambda_{+}（v）-\varLambda _{+{（hat{v}）\bigr\vert=\biggl\vert\frac{2rt^{2}}{a'\sqrt{a} v（v）+f} -\frac{2rt^{2}}{a'\sqrt{a}\hat{v}+f}\biggr\vert\leq-Kt^{4} d日（\mathbf{F}，\hat{\mathbf{F}}）。\结束{对齐}$$

(4.34)

组合(4.28)以及(4.33)–(4.34)，我们有

$$开始{aligned}\vert U-\hat{U}\vert&\leq\int_{0}^{t}\biggl（\frac{t}{2}+Kt^{2}（1+M\delta）+KMt^{6}\bigr）d（\mathbf{F}，\hat}\mathbf{F}}）\，\mathrm{d} 吨\\&&\leq t^｛2｝\biggl\｛\frac｛1｝｛4｝+K\delta（1+M\delta）\biggr\｝d（\mathbf｛F｝，hat｛\mathbf｛F｝），\end｛aligned｝$$

从中得到

$$开始{aligned}\biggl\vert\frac{U-\hat{U}{t^{2}}\bigr\vert\leq\biggl \{\frac{1}{4}+K\delta（1+M\delta）\biggr}d（\mathbf{F}，\hat}\mathbf{F}}）。\结束{对齐}$$

根据与上述相同的论点，我们得出了估算值\（\vert V-\hat{V}\vert/t^{2}\）,

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{U-\hat{U}}{t^{2}}\bigr\vert+\biggl \vert\frac{V-\hat}}{t ^{2{}\bigbr\vert\leq\biggl/{\frac{1}{2}+2K\delta（1+M\delta）\biggr \}d（\mathbf{F}，\hat\mathbf{F}}）=：\beta d（\mathbf{F}，\hat{\mathbf{F}}）。\结束{对齐}$$

用于选择δ和以前一样，我们看到了\（β<1），它总结了(4.17). 引理的证明4.1已完成。 □

步骤4.极限函数的属性。我们声称迭代序列的极限\（\mathbf{F}^{（n）}=\mathcal{T}\mathbf{F}（n-1）}\）在空间中\（\mathcal{S}\）该断言直接来自引理。

引理4.2

在定理的假设下1,对于迭代序列 \（{\mathbf{F^{（n）}}\）,\（\partial_{t}\mathbf{F^{（n）}}（t，r）\） 和 \（\partial_{r}\mathbf{F^{（n）}}（t，r）\） 均为Lipschitz连续 \（D（δ））.

证明

假设\（（u，v）^{T}\ in \mathcal{S}\），我们通过引理知道4.1那个\（（U，V）^{T}=\mathcal{T}（U，V）^{T}\）也在\（\mathcal{S}\）.证明分为三个步骤。

首先，我们证明\（\vert U_{t}\vert+\vert V_{tneneneep \vert\leq 2Mt\）。这直接源于(4.4)以及(4.5). 事实上，我们记得\（U_{\xi}\）在中给出(4.26)和使用(4.7), (4.13)以及(4.15)以获得

$$\beign｛aligned｝\biggl\vert\frac｛\partial U｝｛\partial \xi｝\biggr\vert\leq｛｝&\biggl\vert\frac｛U-v｝｛2\xi｝\biggr\vert+\vert b_｛1｝\vert+\int _｛0｝^｛\xi｝\biggl（\biggl\vert\frac｛U_{r} -伏_{r} }{2t}\biggr\vert+\biggl\vert\frac{\partial b_{1}}{\partical r}\bigr\vert\biggr）\biggl vert\frac{\partital r_{+}}{\ partial \xi}\bigbr\vert\，\mathrm{d} t吨\\leq{}&\frac{M\xi}{2}+K\xi（1+M\delta）^{2}\\&{}+\int_{0}^{\xi}\biggl（\frac{Mt}{2{+Kt（1+M \ delta）\}\，\mathrm{d} t吨\leq M\end{对齐}$$

供选择M（M）和δ如中所示(4.25).

其次，我们证明了这一点\（\vert U_{tr}\vert+\vert V_{trneneneep \vert\leq 2Mt\）。为了证明这一点，我们区分(4.19)关于ξ以获得

$$\开始{aligned}\frac{\partial^{2} U型}{\partial\xi\partial/eta}={}&\biggl（\frac{u_{r} -v型{r}}{2\xi}+\frac{\partialb{1}}{\particalr}\biggr_{rr}-v_{rr}}{2t}+\frac{部分^{2} b条_{1} }{\partialr^{2}}\biggr）\frac{\particlr{+}}{\pertial\eta}\frac}\partial r{+{}{\protial\xi}+\biggl（\frac[u_{r} -v型_{r} }{2t}+\分数{\部分b{1}}{\部分r}\biggr）\分数{\分数^{2} 第页_{+}}{\部分\xi\部分\eta}\biggr\}\，\mathrm{d} t吨，\结束{对齐}$$

(4.35)

哪里

$$\压裂{\部分^{2} 第页_{+}}{\部分\xi\部分\eta}=\frac{\部分r{+}{\partial\eta{\biggl\{\int_{\xi}^{t}\frac}\部分^{2}\varLambda_{+}（v）}{\protialr^{2{}\cdot\frac[\partial r{+{}}{\platial\xi}，\mathrm{d}\tau-\frac_2}\partial/varLambda{+}（v）}{\partial r}\biggr}$$

通过雇佣(4.7), (4.13), (4.15), (4.20)以及(4.27)，我们发现

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial^{2} U型}{\partial\xi\partial \eta}\biggr\vert&\leq\biggl（\frac{M\xi}{2}+K\xi（1+M\delta）^{2}\bigr）\exp\bigl\{K\delta^{3}（1+M\del塔）\biggr）\exp\bigl\{2K\delta^{3}（1+M\delta）^{2}\bigr\}\bigl{d} 吨\\&&\leq M\xi，\end｛对齐｝$$

如果M（M）和δ被选择为(4.25)，其中和相应的估计\（V_{xi\eta}\）我们有\（\vert U_{xi\eta}\vert+\vert V_{xi\ eta}\ vert\leq 2M\xi\）.

最后，我们声称\（\vert U_{tt}\vert+\vert V_{ttneneneep \vert\leq 10M\）.差异化(4.26)关于ξ导致

$$\开始{aligned}\开始{arigned}[b]\frac{\partial^{2} U型}{\partial\xi^{2}}={}&\frac{u{xi}-v{xi}}{2\xi}-\frac{uv}{2_xi^{2]}+\frac{\particb{1}}{\paratil\xi}+\biggl（\frac{u_{r} -v型_{r} }{2\xi}+\frac{\partialb{1}}{\particlr}\biggr）\frac}\partial r{+}}{\ partial\xi}\\&{}+\int_{0}^{\xi}\bigl\{\biggl（\frac{u_{rr}-v_{rr}}{2t}+\frac{部分^{2} b条_{1} }{\partialr^{2}}\biggr）\biggl（\frac{\particlr{+}}{\protial\xi}\bigr）^{2{+\biggl（\frac{u_{r} -v型_{r} }{2t}+\分数{\部分b{1}}{\部分r}\biggr）\分数{\分数^{2} 第页_{+}}{\部分\xi^{2}}\biggr\}\，\mathrm{d} t吨，\end{对齐}\end}对齐}$$

(4.36)

哪里

$$\压裂{\部分^{2} 第页_{+}}{\partial\xi^{2}}=-\frac{\paratil\varLambda_{+}{\pertial\xi}\frac}\partial r_{+{}{\protial\eta}-\varLampda_{++}\frac{\partic^{2} 第页_{+}}{\部分\xi\部分\eta}$$

通过直接计算

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial^{2} 第页_{+}}{\partial\xi^{2}}\biggr\vert&\leq K\xi（1+M\delta）\exp\bigl\{K\delta^{3}（1+M\delta）^{2{\bigr\}+K\xi^4}bigl\{K\delta^{3}（1+M\delta）^{2}\bigr\}。\结束{对齐}$$

(4.37)

此外，根据\（b{1}\）到达

$$\begon｛aligned｝\frac｛\partial b_｛1｝｝｛\partial t｝=｛｝&&biggl（\frac｛a'r^｛2｝（u+P_｛1｝+P_{2} t吨)}｛2 \sqrt｛a｝[a’\sqrt{a} 五+f] }-\压裂{1}{2}\biggr）\biggl（\压裂{u_{t} -v型_{t} }{t}-\frac{u-v}{t^{2}}\biggr）\\&{}+\frac}\partial}{\partialt}\bigl（\frac_a'r^{2{（u+P_{1}+P_{2} t吨)}{2\sqrt{a}[a'\sqrt{a} v（v）+f] }\biggr）\biggl（\frac{u-v}{t}+2P{2}\bigr）\\&{}-\frac}2t^{2} 注册会计师'_{2}}{a'\sqrt{a} v（v）+f} -\压裂{4{tr}（P'_{1}+P'_{2} t吨)}{a'\sqrt{a} v（v）+f} +\压裂{2t^{2} 第页（P'_{1}+P'_{2} t吨)}{（a'\sqrt{a} v（v）+f） ^{2}}\部分_{t}\bigl（a'\sqrt{a} v（v）+f\bigr），\end{对齐}$$

以及(4.7), (4.9)和事实\（\vert u{t}\vert+\vert v{t}\ vert\leq 2Mt\）我们得到了\（b{1t}\）通过直接计算

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial b_{1}}{\partitle t}\bigr\vert\leq K（1+M\delta）^{3}。\结束{对齐}$$

插入上面的和(4.37)到(4.36)，我们看到了

$$\开始{aligned}\biggl\vert\frac{\partial^{2} U型}{\partial\xi^{2}}\biggr\vert\leq{}&M+M+K（1+M\delta）^{3}+K\delta^{2{bigl（M\delta+K\delta（1+M/delta）\bigr）\exp\bigl 3}（1+M\delta）^{2}\bigr\}\leq 5M\end{对齐}$$

(4.38)

供选择M（M）和δ如中所示(4.25)即。，\（百万英镑）和\（δ\leq 1/M\）.重复相同的参数V（V）获得\（\vert V_{\xi\xi}\vert\leq 5M\），其中包括(4.38)得到\（\vert U_{xi\xi}\vert+\vert V_{xi\si}\vert\leq 10M\）.

引理的证明4.2由引理完成4.1以及上述估计。 □

借助引理4.1和引理4.2，我们得出定理三.

步骤5.将解决方案转换回原始变量。现在返回坐标平面中的解\（（t，\颚化符{r}）\）到原始坐标平面\（（r，θ）根据的定义U型和V（V）英寸(3.8)，我们首先知道函数\（R（t，\颚化符{R}）\）和\（S（t，\波浪线{r}）\）此外，我们看到坐标变换\（（r，\ttheta）\mapsto（t，\tilde｛r｝）\）是一对一映射。事实上，雅可比是

$$J=\frac{\partial（t，\tilde{r}）}{\paratil（r，\theta）}=\frac{a'（P）[U+V+2P_{1}（r）]}{4t}$$

这是严格肯定的或严格否定的。因此，我们可以获得R（右）和S公司作为的功能第页以及θ.我们积分了(2.9)获取函数\（P（r，θ））因此，定理的证明1已完成。为了得出定理2，只需检查\（P_{r}=（r-S）/（2\lambda）\）坚持住\（D（\增量）\）通过直接计算，我们发现

$$\begin{aligned}\partial_{theta}（R-S-2\lambda P_{R}）=-\frac{a'（P）R^{2}（R+S）}{4a（P）[R^{2} -a个（P） ]}（R-S-2\lambda P_{R}）。\结束{对齐}$$

(4.39)

自\（P_{r}=P_{2}（r）\）一致有界且\（R=S=P_{1}（R）\）在Γ,\（G:=R-S-2\lambda P_{R}=0\）上的Γ。我们注意到，就\（（t，\颚化符{r}）\），等式(4.39)可以重写为

$$\开始{aligned}\部分_{t} G公司=\frac{r^{2}}{a}\cdot\frac{G}{t}。\结束{对齐}$$

(4.40)

此外，我们还有

$$\压裂{G}{t}\bigg\vert_{t=0}=\压裂{U-V+2P{2}（r）t-\压裂{2rt}{\sqrt{r^{2} -吨^{2}}}P_{r}}{t}\bigg\vert_{t=0}=\frac{U-V}{tneneneep \bigg\ vert_{t=0}=0$$

其中包括(4.40)导致\（G\等于0\）在\（D（δ）），完成了定理的证明2.