具有分数阶多点边界条件的非线性奇异高阶分数阶微分方程组的正解

摘要

研究了一类具有分数阶多点边界条件的非线性奇异高阶分数阶微分方程组正解的存在性和多重性。证明中使用的主要工具是不动点指数理论。给出了保证正解存在的一些极限型条件，我们的条件适用于更一般的函数。

1介绍

我们讨论非线性奇异高阶分数阶微分方程系统的以下多点边界问题：

$$\left\{\textstyle\开始{数组}{@{}l}D_{0+}^{\alpha}u（x）+h_{1}（x）f_{1{（x，u（x i）}（0）=0，\quad 0\leq i\leq n-2，\qquad D_{0+}^{mu}u（1）=\sum^{p}_{k=1}a_{k} D类_｛0+｝^｛\mu｝u（\si_｛k｝），\\v^｛（j）｝（0）=0，\quad 0\leq j\leq m-2，\qquad D_｛0+｝^｛\nu｝v（1）=\sum^{q}_{k=1}个_{k} D类_{0+}^{nu}v（\eta{k}），\end{array}\displaystyle\right$$

(1)

哪里\（D^{\alpha}_{0+}\），\（D^{\beta}_{0+}\）是标准Riemann-Liouville分数阶导数\（αin（n-1，n]\），\（β\in（m-1，m]\），\（[1，n-2]中的\mu\），\（[1，m-2]中的）对于\（n，m\in\mathbb{n}^{+}\）和\（n，m\geq3），\（a_{i}，b_{j}\in\mathbb{R}^{+}\），\（i=1,2，\ldot，p\），\（j=1,2，\ldot，q）对于\（p，q\in\mathbb{N}^{+}\），\（f_｛k｝\在C中（[0,1]\times\mathbb｛R｝^｛+｝\times\mathbb｛R｝^｛+｝，\mathbb｛R｝^｛+｝）\），\（h_{k}\在C（（0,1），\mathbb{R}^{+}）中\），\（\mathbb{R}^{+}=[0，+\infty）\），\（h{k}（x）\）(\（k=1,2）)允许为单数\（x=0）和/或\（x=1）和

$$0<\xi_{1}<\xi_2}<\cdots<\xi_p}<1，\qquad 0<\eta_1}<\eta{2}<\cdots<\ta_{q}<1$$

分数微分方程作为物理、化学、空气动力学、复杂介质电动力学、聚合物流变学、反馈放大器的Bode分析、电容理论、电路、，电分析化学、生物学、控制理论、实验数据拟合等。因此，分数阶微分方程近年来引起了极大的研究兴趣，有关更多详细信息，请参阅[1–7]以及其中引用的参考文献。最近，人们研究了非线性分数阶微分方程正解的存在性和多重性，参见[8–16]以及其中的参考文献。例如，张等。[17]研究了以下两个正的奇异分数边值问题的存在性：

$$\left\{\textstyle\开始{数组}{@{}l}D_{0+}^{\alpha}u（t）+f（t，u（t u（\eta{i}），\end{array}\displaystyle\right$$

哪里\（D^{\alpha}_{0+}\）是标准Riemann-Liouville分数阶导数\（（2,3]\中的α），\（[1,2]中的β，（0,1）中的xi{i}，α-β具有\（\sum_{i=0}^{\infty}\xi_{i}\eta_{i{^{\alpha-\beta-1}<1\）.

在[18–21]，作者研究了两类非线性分数阶微分方程组正解的存在性

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l}D_{0+}^{alpha}u（t）+\lambda f（t，u（t，v（t））=0，\quad t\in（0,1），\\D_{0+}^{beta}v（t$$

(2)

具有边界条件：

$$\begin{aligned}&\left\{textstyle\begin}array}{@{}l}u（0）=u'（0）=\cdots=u^{（n-2）}（0）=0.，\qquad u（1）=\int_{0}^{1} v（v）（t） \，dH（t），\\v（0）=v'（0）=\cdots=v^{（n-2）}（0）=0.，\qquad v（1）=\int_{0}^{1} u个（t） \，dK（t），\结束{数组}\显示样式\右。\ \&\左\{\textstyle\begin{array}{@{}l}u^{（i）}（0）=0，\quad 0\leqi\leqn-2，\qquad u（1）=\sum^{p}_{k=1}a_{k} u个（xi_{k}），（j）}（0）=0，四元0\leqj\leqm-2，四元v（1）=\sum^{q}_｛k=1｝b_{k} v（v）（\eta{k}），\end{array}\displaystyle\right。\结束{对齐}$$

(3)

和

$$\left\｛\textstyle\ begin｛array｝｛@｛｝l｝u ^｛（i）｝（0）=v ^｛（i）｝（0）=0，\ quad 0\leq i\leq n-2，\\D_｛0+｝^｛\gamma｝u（1）=\ phi_｛1｝（u），\ qquad D_｛0+｝^｛\gamma｝v（1）=\ phi_｛2｝（v），\ end｛array｝\displaystyle\ right$$

哪里\（D^{\alpha}_{0+}，D^{\ beta}_{0+}）、和\（D_{0+}^{\gamma}\）是标准Riemann-Liouville分数导数，\（α，β，in（n-1，n]，γ，in[1，n-2]）对于\（n\geq3，\lambda，\mu>0\）.方程式(2)带有\（λf（t，u，v））和\（μg（t，u，v）\）替换为\（\widetilde{f}（t，v）\）和\（\widetilde{g}（t，u）\）分别讨论了系统正解的存在性和多重性(2), (三)于年接受调查[22]. 极限值

$$\开始{对齐}&f^{s}_{delta}=：\limsup{u+v\rightarrow\delta}\max{t\in[0,1]}\frac{f（t，u，v）}{u+v}，\qquad g^{s}_{delta}=：\limsup_{u+v\rightarrow\delta}\max_{t\in[0,1]}\frac{g（t，u，v）}{u+v}，\\&f^{我}_{delta}=：\liminf_{u+v\rightarrow\delta}\min_{t\in[\theta，1-\theta]}\frac{f（t，u，v）}{u+v}，\qquad g^{我}_{delta}=：\liminf_{u+v\rightarrow\delta}\min{t\in[\theta，1-\theta]}\frac{g（t，u，v）}{u+v}，\end{aligned}$$

用于[19，20]，其中\（θ\ in（0，\frac｛1｝｛2｝），δ=0^｛+｝\）或+∞。一些类似的极限值用于[18，21，23–25]. 然而，对于方程组[18–21，23–25]和使用极限的单个方程，没有本质区别。

受上述工作的启发，本文给出了奇异分数阶多点边界问题的一些极限类型条件，并讨论了正解的存在性和多重性(1)利用锥上的不动点指数理论。此处获得的结果与[18–21，23–25]，并且一些示例解释了我们的条件适用于更一般的函数。

2前期工作

定义2.1

[26]

Riemann-Liouville分数阶积分\（阿尔法>0）函数的\（u：（0，+\infty）\rightarrow\mathbb｛R｝\）由提供

$$I^{\alpha}_{0+}u（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}u（s）\，ds，\四元t>0$$

如果右侧是在上逐点定义的\（（0，+\infty）\），其中\（\Gamma（\alpha）\）是Euler伽马函数。Riemann-Liouville分数阶导数\（阿尔法>0）连续函数的\（u:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）由提供

$$D^{\alpha}_{0+}u（t）=\frac{1}{\Gamma（n-\alpha）}\frac{D^{n}}{dt^{n{}}\int_{0}^{t}（t-s）^{n-\alfa-1}u（s）\，ds，\quad t>0$$

哪里\（n=[α]+1，[α]\）表示数字的整数部分α，前提是右侧在上逐点定义\（（0，+\输入）\）.

引理2.2

[27]

让 \（x\在L^{p}（0,1）中\）(\（1）),\（\rho>\sigma>0\）.

• （i） \（D^{\sigma}_{0+}I^{\rho}_{0+}x（t）=I^{\rho-\sigma}_{0+}x（t）\） 几乎每一点都要坚持 \（t\in（0,1）\）.如果 \（\rho+\sigma>1\），那么上述第三个方程在 $[0,1]$;

• （ii） \（D^{\sigma}_{0+}t^{\rho-1}=\Gamma（\rho）t^{\rho-\sigma-1}/\Gamma-（\rho-\ sigma），t>0\）.

引理2.3

[27]

让 \（阿尔法>0，n=[\alpha]+1） 对于 \（\alpha\notin\mathbb{N}\） 和 \（n=阿尔法） 对于 \（\alpha\in\mathbb{N}\），n个 是大于或等于的最小整数 α.然后，对于任何 \（L^{1}（0,1）中的y_{1}\），分数阶微分方程的解 \（D^{\alpha}_{0+}u（t）+y_{1}（t）=0\）(\（0<t<1）)是

$$u（t）+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}y_{1}\，ds=c_{1} t吨^{\alpha-1}+c_{2} t吨^｛\alpha-2｝+\cdots+c_{n} t吨^{\alpha-n}，\quad 0<t<1$$

哪里 \（c{1}，c{2}，\ldots，c{n}） 是任意实数常数.

引理2.4

让 \（\sum^{p}_[0,1）中的{j=1}a{j}\xi{j}^{alpha-\mu-1}，（n-1，n]，[1，n-2]中的\mu）(\（第3页）)和 \（C[0,1]\中的y_{1}\）.然后是分数次边值问题的解

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l}D_{0+}^{\alpha}u（t）+y_{1}（t）=0，\quad 0<t<1，\\u^{（i）}（0）=0^{p}_{j=1}a_{j} 天_{0+}^{\mu}u（\xi{j}），\end{array}\displaystyle\right$$

(4)

由提供

$$\开始{aligned}&u（t）=\int_{0}^{1} G公司_{1} （t，s）y{1}（s）\，ds，\结束{对齐}$$

(5)

$$开始{对齐}&G{1}（t，s）=G{1}（t，s）+\frac{t^{\alpha-1}}{d_{1}}\sum^{p}_{j=1}a_{j} 小时_{1} （\ xi_｛j｝，s），\结束｛对齐｝$$

(6)

哪里 \（d_{1}=1-\总和^{p}_{j=1}a{j}\xi{j}^{alpha-\mu-1}\），

$$\begin{aligned}&g_{1}（t，s）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}t^{\alpha-1}（1-s）^{\alpha-\mu-1}-（t-s）^}，&0\leqs\leq-t\leq1，\\t^{\ alpha-1{（1-s）^{\ alpha-\ mu-1}，&0\leq t\lee qs\leq1，\end{array}\displaystyle\right。\结束{对齐}$$

(7)

$$\begin{aligned}&h{1}（t，s）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}t^{\alpha-\mu-1}（1-s）^{\alpha-\mu-1}-（t-s）^}\alpha-fu-1}，&0\leq-s\leq-t\leq1，\\t^{alpha-\ mu-1}（1-s）^，&0\leq t\leq s\leq1。\结束{array}\displaystyle\right。\结束{对齐}$$

(8)

证明

通过使用引理2.3，上述方程的解为

$$u（t）=\frac{-1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}y{1}（s）\，ds+c_{1} t吨^{\alpha-1}+c_{2} t吨^{\alpha-2}+\cdots+c_{n} t吨^{\alpha-n}$$

哪里\（c{1}，c{2}，\ldots，c{n}）是任意的实数常数。由\（u（0）=0），我们有\（c{n}=0\）。那么

$$u（t）=\frac{-1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}y{1}（s）\，ds+c_{1} t吨^{\alpha-1}+c_{2} t吨^{\alpha-2}+\cdots+c_{n-1}吨^{\alpha-n+1}$$

(9)

差异化(9)，我们有

$$u’（t）=\frac{1-\alpha}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-2}y_{1}（s）\，ds+c_{1{（\α-1）t^{\α-2}+\cdots+c_}n-1}$$

由\（u’（0）=0），我们有\（c{n-1}=0\）类似地，我们得到\（c{2}=c{3}=\cdots=c{n-2}=0\）.因此

$$u（t）=\frac｛-1｝｛\Gamma（\alpha）｝\int_｛0｝^｛t｝（t-s）^｛\alpha-1｝y_｛1｝（s）\，ds+c_{1} t吨^{\alpha-1}$$

(10)

由\（D_{0+}^{\mu}u（1）=\sum^{p}_{j=1}a_{j} D类_{0+}^{\mu}u（\xi_{j}）和引理2.2，我们得到

$$开始{对齐}和D^{\mu}_{0+}u（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha-\mu \alpha）}\biggl[\int_{0}^{1}（1-s）^{\alpha-\mu-1}y_{1}\，ds-\sum^{p}_｛j=1｝a_｛j｝\int_｛0｝^｛\si_｛j｝｝（\xi_{j} -秒)^{\alpha-\mu-1}y_{1}，ds\Biggr]。\结束{对齐}$$

替换\（c{1}\）到(10)，我们看到问题的独特解决方案(4)是

$$\开始{对齐}u（t）=&\frac{t^{\alpha-1}}{d_{1}\Gamma（\alpha）}\Biggl[\int_{0}^{1}（1-s）^{alpha-\mu-1}y{1}\，ds-\sum^{p}_{j=1}a{j}\int{0}^{xi{j}}（\xi_{j} -秒)^{α-\mu-1}y_{1}（s）\，ds\Biggr]\\&{}-\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{0}^{t}（t-s）^{\alpha-1}y_{1'（s）-（t-s）^{\alpha-1}\bigr]y{1}\，ds\\&{}+\int{t}^{1} t吨^{α-1}（1-s）^{α-\mu-1}y{1}（s）\，ds-\frac{1-d{1}}{d_{1}{int_{0}^{1} t吨^{\α-1}（1-s）^{\α-\mu-1}y{1}（s）\，ds\\&{}+\和^{p}_{j=1}a{j}\int{0}^{xi{j}}（\xi_{j} -秒)^{\alpha-\mu-1}y_{1}，ds\Biggr]\\=&\int_{0}^{1} 克_{1} （t，s）y{1}（s）\，ds+\分数{t^{\alpha-1}}{d_{1}}\和^{p}_{j=1}a{j}\biggl[\int_{\xi_{j}}^{1}\xi_j}^{alpha-\mu-1}（1-s）_{j} -秒)^{\alpha-\mu-1}\bigr]y{1}\，ds\biggr]\\=&\int_{0}^{1} 克_{1} （t，s）y{1}（s）\，ds+\分数{t^{\alpha-1}}{d_{1}}\和^{p}_{j=1}a{j}\int{0}^{1} 小时_{1} （xi{j}，s）y{1}，ds\\=&\int{0}^{1} G公司_{1} （t，s）y{1}（s）\，ds，\结束{对齐}$$

即。(5)持有。

相反，如果\（u\在C[0,1]\中）是积分方程的解(5)，来自引理2.2我们很容易看到u个满足方程和边界条件(4). □

引理2.5

在引理的假设下 2.4，功能 \（g{1}（t，s）\） 和 \（h{1}（xi{j}，s） 由定义(7)和(8)具有以下属性:

• （i） \（g_｛1｝（t，s）\geq0\） 持续打开 \（[0,1]\次[0,1]/） 和 \（g{1}（t，s）>0\） 为所有人 \（t，s在（0,1）中）.

• （ii） \（[0,1]}g{1}（t，s）=g{1{（1，s）中的最大值 为所有人 \（[0,1]\中的秒），哪里

  $$g_{1}（1，s）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\bigl[（1-s）^{\alpha-\mu-1}-（1-s$$

• （iii） \（g{1}（t，s）\geqt^{\alpha-1}g{1{（1，s）\） 为所有人 \（t，s在[0,1]\中），而且有 \（（0，frac{1}{2}中的θ，（0,1）中的γ{alpha}） 使得 \（在J{theta}}g{1}（t，s）中为最小值 对于每个 \（[0,1]\中的秒），哪里 \（J{θ}=[\θ，1-\θ]，\gamma{α}=\θ{α-1}）.

• （iv） \（h{1}（t，s）\geq0） 持续打开 \（[0,1]\次[0,1]\） 和 \（h{1}（t，s）>0\） 为所有人 \（t，s在（0,1）中）.

证明

关于（i）、（ii）和（iv）的证明，分别参见[28]和引理2.6英寸[19]. 还有待证明（iii）。我们已经过了(7)

$$开始{对齐}&g_{1}（t，s）\geq\frac{1}{\Gamma（\alpha（t，s）\geq\frac{1}{\Gamma（\alpha）}t^{\alpha-1}（1-s）^{\alpha-\mu-1}\geqt^{\ alpha-1{g{1}（1，s），\quad 0\leqt\leqs\leq1。\结束{对齐}$$

因此\（g{1}（t，s）\geqt^{\alpha-1}g{1{（1，s）\）为所有人\（t，s\in[0,1]\）等等\（在J{theta}}g{1}（t，s）中为最小值为所有人\（[0,1]\中的秒）. □

从引理2.5很容易得到以下结果。

引理2.6

在引理的假设下 2.4，格林函数 \（G_｛1｝（t，s）\） 由定义(6)具有以下属性:

• （i） \（G_{1}（t，s）\geq0\） 持续打开 \（[0,1]\次[0,1]/） 和 \（G_｛1｝（t，s）>0\） 为所有人 \（t，s在（0,1）中）.

• （ii） \（[0,1]}G{1}（t，s）=G{1{（1，s）中的最大值 对于每个 \（[0,1]\中的秒），哪里

  $$G{1}（1，s）=G{1}（1，s）+\压裂{1}{d_{1}}\总和^{p}_{j=1}a_{j} 小时_{1} （xi{j}，s）\leq\frac{（1-s）^{\alpha-\mu-1}}{d_{1}\Gamma（\alpha）}$$

  (11)

• （iii） \（G_{1}（t，s）\geq t^{\alpha-1}G_{1}（1，s）\） 为所有人 \（t，s在[0,1]\中），有 \（（0，frac{1}{2}中的θ，（0,1）中的γ{alpha}） 使得 \（在J{theta}}G{1}（t，s）中为最小值 对于每个 \（s \在[0,1]\中），哪里 \（J{θ}=[\θ，1-\θ]，\gamma{α}=\θ{α-1}）.

我们还可以将类似的结果表示为引理2.4-2.6上面，对于具有分数阶多点边界条件的分数阶微分方程

$$\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l}D_{0+}^{beta}v（t）+y_{2}（t）=0，\quad 0<t<1，\\v^{（i）}（0）=0^{q}_{j=1}b_{j} D类_{0+}^{nu}v（\eta{j}），\end{array}\displaystyle\right$$

哪里\（m，q\in\mathbb{N}^{+}，m\geq3，0<\eta_{1}<\cdots<\eta _{q}<1，b_{j}\geq0\）为所有人\（j=1,2，\ldot，q）和\（C[0,1]\中的y_{2}\）。我们表示为\（d_{2}=1-\总和^{q}_{j=1}b{j}\eta{j}^{beta-\nu-1}，\gamma{beta}\）和\（g_{2}（t，s），h{2}（\eta_{j}，s），g_{2}（t，s），g_{2}（1，s）\）问题的相应常数和函数(2)定义方式与\（d_{1}，\gamma{\alpha}）和\（g_{1}（t，s），h_{1{（\xi_{j}，s）分别是。从引理2.6我们知道这一点\（G_{1}（t，s）\）和\（G_｛2｝（t，s）\）具有相同的属性，并且存在\（\gamma_{\beta}=\theta^{\beta-1}\）使得\（J{theta}}G{2}（t，s）\geq\gamma{beta}G{2]（1，s）中的最小值.让\（\gamma=\min\{\gamma{\alpha}，\gamma_{\beta}\}），

$$\delta_{k}=\int_{theta}^{1-\theta}G_{k{（1，y）h_{kneneneep（y）\，dy，\qquad\mu_{k｝=\int_{0}^{1} G公司_{k} （1，y）h{k}（y）\，dy\四元（k=1,2）$$

为了方便起见，我们列出了以下假设：

（H）₁)\（在C（（0,1），mathbb{R}^{+}），h{k}（x）不相等）关于的任何子区间$(0,1)$和

$$0<\int^{1}_{0}（1-y）^{\alpha-\mu-1}h{1}（y）\，dy=：l{1}<+\infty，\qquad 0<\int^{1}_{0}（1-y）^{\beta-\nu-1}h{2}（y）\，dy=：l{2}<+\infty$$

（H）₂)存在\（C中的a，b\（\mathbb{R}^{+}，\mathbb{R}^{+{）\）使得

• (1) \（a（\cdot）\）是凹的并且严格地增加\（\mathbb｛R｝^｛+｝\）具有\（a（0）=0）;

• (2) \（f{10}=\liminf{v\rightarrow0+}\frac{f{1}（x，u，v）}{a（v）}>0，f{20}=\liminf{u\right箭头0+}\ frac{f2}（x，u，v）}{b（u）}>0\）一致地关于\（（x，u）\在J_{\theta}\times\mathbb{R}^{+}\中和\（（x，v）在J_{\theta}\times\mathbb{R}^{+}中分别（具体地，\（f{10}=f{20}=+\infty）);

• (3) \（\lim_{u\rightarrow0+}\frac{a（Cb（u））}{u}=+\infty\）对于任何常数\（C>0\）.

（H）_三)存在\（tau\ in（0，+\ infty）\）使得

$$f^{\infty}_{1}=\limsup_{v\rightarrow+\infty}\frac{f{1}（x，u，v）}{v^{tau}}<+\inft，\qquad f^{infty{{2}=\limsup_{u\rightarrow+\finfty{f{2}（x，u，v）}{u^{frac{1}{tau{}}}=0$$

一致地关于\（（x，u）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}\）和\（（x，v）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}\）分别（具体地，\（f^{infty}_{1}=f^{infty}_2}=0\）).

（H）₄)存在\（p，q\在C中（\mathbb{R}^{+}，\mathbb{R}^{+{）\）使得

• (1) 第页是凹的并且严格地增加\（\mathbb{R}^{+}\）;

• (2) \（f_1\infty}=\liminf_{v\rightarrow+\infty}\frac{f_1}（x，u，v）}{p（v）}>0，f_2\infty-}=\liminf_{u\rightarrow+\ infty{f_2}（x，u，v）}{q（u）}>0\）一致地关于\（（x，u）\在J_{\theta}\times\mathbb{R}^{+}\中和\（（x，v）在J_{\theta}\times\mathbb{R}^{+}中分别（具体来说，\（f{1\infty}=f{2\infty}=+infty）);

• (3) \（\lim_{u\rightarrow+\infty}\frac{p（Cq（u））}{u}=+\infcy\）对于任何常数\（C>0\）.

（H）₅)存在\（\varsigma\ in（0，+\infty）\）使得

$$f美元^{0}_{1} =\limsup_{v\rightarrow0+}\frac{f{1}（x，u，v）}{v^{varsigma}}<+\infty，\qquad f^{0}_{2} =\limsup_{u\rightarrow0+}\frac{f{2}（x，u，v）}{u^{frac{1}{\varsigma}}=0$$

一致地关于\（（x，u）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}\）和\（（x，v）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}\）分别（具体来说，\（f）^{0}_{1} =f^{0}_{2}=0\)).

（H）₆)存在\（r>0\）使得\（f{1}（x，u，v）\）和\（f{2}（x，u，v）\）在第二个变量和第三个变量中不递减\（u，v\在[0，r]\中）为所有人\（x\英寸[0,1]\）、和

$$f_{1}（x，\gamma r，\gama r）\geq（\gamma\delta_{1{）^｛-1｝r，\qquad f{2}（x，\gamma r，\gama r）\geq（\gamma\delta{2}）^｛-1｝r，对于所有x，[\theta，1-\theta]$$

（H）₇)存在\（R>R>0\）使得\（f_{1}（x，u，v）\）和\（f{2}（x，u，v）\）第二个变量和第三个变量没有减少\（u，v\在[0，R]\中）为所有人\（x\英寸[0,1]\）、和

$$f_{1}（x，R，R）\leq（2\mu_{1{）^{-1}右，四f_2}（x，R，R）\leq（2\mu_2}）^{-1}右，对于[0,1]中的所有x\$$

让\（E=C[0,1]，\Vertu\Vert=\max_{t\in[0,1]}\vertu\（t）\Vert\）、产品空间\（E次E次）配备规范\（\垂直（u，v）\垂直=\垂直u\垂直+\垂直v\垂直\）对于\（（u，v）\在E\时间E\中）、和

$$P=\Bigl\{u\在E:u（t）\geq0中，t\在[0,1]中，\min_{t\在J_{theta}}中，u（t$$

然后E类是一个实Banach空间，并且P（P）是一个圆锥体E类.通过（H₁)，我们可以定义运算符\（A_{k}:P\次P\右箭头E\）如下：

$$A_{k}（u，v）（x）=\int^{1}_{0}G_{k} （x，y）h{1}（y）f{k}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\quad（k=1,2）$$

(12)

\（A（u，v）=（A{1}（u，v），A{2}（u，v））.很明显\（（u，v）\）是系统的积极解决方案(1)当且仅当\（（u，v）\在P\乘以P\设置减号\{（0,0）\}\中是的固定点A类.让\（B_{r}=\{u\在E:\Vertu\Vert<r}\中）对于\（r>0\）.

引理2.7

假设条件（H）₁)感到满意，然后 \（A:P\次P\右箭头P\次P） 是一个完全连续的运算符.

证明

首先，我们展示了这一点\（A_{1}:P\次P\右箭头P\）是一致有界连续算子。对于任何\（（u，v）\在P\倍P\中），它来自(12)那个\（A_{1}（u，v）（x）\geq0，x\在[0,1]\中），

$$\bigl\Vert A_{1}（u，v）\bigr\Vert\leq\int^{1}_{0}G_{1} （1，y）h{1}（y）f{1}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy$$

和

$$\min_{x\在J_{theta}}A_{1}（u，v）（x）\geq\gamma\int中^{1}_{0}G_{1} （1，y）h_{1}（y）f_1}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\geq\gamma\bigl\Vert A_{1{（u，v）\biger\Vert$$

因此\（A_{1}（P\乘以P）\子集P\）.

让\（Omega\子集P\乘以P\）作为一个有界集合，我们假设\（\Vert（u，v）\Vert\leq d\）对于任何\（（u，v）\ in \ Omega \）.让\（M=max_{x\ in[0,1]，（u，v）\ in \Omega}f_{1}（x，u，v.方程式(11)和（H₁)暗示

$$\bigl\Vert A_{1}（u，v）\bigr\Vert\leq\int^{1}_{0}G_{1} （1，y）h{1}（y）f{1}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\leq M\int^{1}_{0}G_{1} （1，y）h{1}（y）\，dy<+\infty$$

由此我们知道\（A_{1}（\欧米茄）\）是有界集。

我们证明了这一点\（A_{1}:P\次P\右箭头P\）是连续的。让\（（u_{n}，v_{n{），（u_}0}，v_{0}）在P\乘以P\中，\（\垂直（u_{n}，v_{n{）-（u_}0}，v_{0}）\Vert=\垂直（u_{n} -u个_｛0｝，v_{n} -v型_{0}）\垂直\右箭头0\）(\（n\rightarrow\infty\）). 然后\（（u{n}，v{n}）是一个有界集合，我们假设\（\垂直（u_{n}，v_{n{）\垂直\leq d\）(\（n=0,1,2，\ldots\）). 从（H₁),\（在C（[0,1]\times\mathbb{R}^{+}\times\ mathbb}R}^}+}，\mathbb{R}^{+{）中为f_1}\），

$$\bigl\Vert A_{1}（u_{n}，v_{n{）-A_{1{（u_0}，v_{0}）\bigr\Vert\leq\int^{1}_{0}G_{1} （1，y）h{1}$$

和勒贝格控制收敛定理，我们知道\（A_{1}\）是一个连续运算符。

现在我们展示一下\（A_{1}\）在Ω上是等连续的。对于任何给定的\（\varepsilon>0\），采取\（δ\ in（0，\min\{\frac{d_{1}\Gamma（\alpha）\varepsilon}{Ml{1}（\alpha-1）}，1\}）\），每个\（（u，v）在欧米茄中，x{1}，x{2}在[0,1]中，x}1}<x{2{）、和\（x）_{2} -x个_{1} <\增量\），我们已经过了(7)和(8)

$$\开始{aligned}&\bigl\vert A_{1}（u，v）（x_{2}）-A_{1{（u、v）（x_{1neneneep）\bigr\vert\\&\quad=\biggl\vert\int^{1}_{0}\bigl[G_{1}（x_{2}，y）-G_{1{（x_1}，y）\bigr]h_1}（y）f_1}\bigle（y，u（y），v（y）\biger）\，dy\biggr\vert\&\quad=\biggl（\int_{0}^{x_1}}+\int_x_1}{}}}^{x_2}}+\ int_{x_2}}}^{1}\biggr）\bigl[G{1}^{\alpha-1}\bigr）\biggl（\int_{0}^{x_1}}+\int__{x_1{}}}^{x_2}}+\ int_{x_2}{1}\biggr）（1-y）^{alpha-\mu-1}h_1}（y）\，dy\\&\quad=\frac{Ml_1}{d_{1}\Gamma（\alpha）}\bigl（x_2}^{\alpha-1}-x{1}^{\alpha-1}\biger）<\frac{Ml{1}（\alpha-1）}{d_{1}\Gamma（\alpha）}（x_{2} -x个_{1} ）<\frac｛Ml_｛1｝（\alpha-1）｝｛d_｛1｝\Gamma（\alpha-1）｝\delta<\varepsilon。\结束{对齐}$$

通过Arzela-Ascoli定理，\（A_{1}:P\次P\右箭头P\）是完全连续的。同样，我们可以证明\（A_{2}:P\次P\右箭头P\）是完全连续的。因此\（A:P\次P\右箭头P\次P）是一个完全连续的运算符。 □

引理2.8

[29]

假设 \（A:\上一行{乙}_{r} \cap P\右箭头P\） 是一个完全连续的运算符.如果存在 \（P\setminus\{0\}\中的u_{0}\） 使得

$$u\neq Au+\lambda u_{0}，\quad\对于所有\lambda\geq0，u\in\partial B_{r}\cap P$$

然后是不动点指数 \（i（A，B_{r}\cap P，P）=0）.

引理2.9

[29，30]

假设 \（A:\上一行{乙}_{r} \大写P\右箭头P\） 是一个完全连续的运算符.

• (1) 如果 \（u\nleq金） 或 \（\垂直Au\垂直\leq\垂直u\垂直\） 为所有人 \（u\in\partial B_{r}\cap P\），然后是不动点指数 \（i（A，B_{r}\cap P，P）=1）.

• (2) 如果 \（金） 或 \（\Vert Au\Vert\geq\Vert u\Vert\） 为所有人 \（u\in\partial B_{r}\cap P\），然后是不动点指数 \（i（A，B_{r}\cap P，P）=0）.

在下文中，我们通过了以下公约：\（C_｛1｝、C_｛2｝、C_｛3｝、\ldots\）代表不同的正常数。让\（\Omega_{r}=\{（u，v）\在E\时间E:\Vert（u，v）\Vert<r}\中）对于\（r>0\）.

三正解的存在性

定理3.1

假设条件（H）₁)-（H）_三)都很满意，然后系统(1)至少有一个正解.

证明

签字人（H₂)，有\（\xi{1}>0，\eta{1}>0\）和一个足够小的\（\rho>0\）使得

$$开始{对齐}和f_{1}（x，u，v）\geq\xi_{1{a（v），在J_{\theta}\times\mathbb{R^{+}}，0\leqv\leq\rho，\&f_{2}}，0\lequ\leq\rho，\end{aligned}$$

(13)

和

$$a\bigl（K_{1} b条（u） \biger）\geq\frac{2K{1}}{\xi{1}\eta{1}\ delta{1}\delta{2}\gamma^{3}}u，\quad\对于[0，\rho]中的所有u$$

(14)

哪里\（K{1}=\max\{\ta{1}\gamma G{2}（1，y）h{2}（y）：y\in J{\theta}\}\）。我们声称

$$（u，v）\neq A（u，v）+\lambda（\varphi，\varphi），\quad\forall \lambda\geq 0，（u，v\in\partial\Omega_{\rho}\cap（P\times P）$$

哪里\（P\setminus\{0\}\中的\varphi\）。如果没有，则有\（\lambda\geq0\）和\（（u，v）\ in \ partial \ Omega_｛\rho｝\cap（P \ times P）\）使得\（（u，v）=A（u，v）+\lambda（\varphi，\ varphi）\），然后\（u，v），v.通过使用\（a（\cdot）\）、Jensen不等式和引理2.6，我们已经过了(13)和(14)

$$\开始{aligned}u（x）\geq&\int_{0}^{1} G公司_{1} （x，y）h{1}（y）f{1}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）^{1} G公司_{1} （1，y）h{1}（y）a\bigl（v（y）\bigr）\，dy\\geq&\xi{1}\gamma{\alpha}\int{0}^{1} G公司_{1} （1，y）h｛1｝（y）a \ bigl（\ int_｛0｝^｛1｝\ eta _｛1｝G_｛2｝（y，z）h｛2｝（z）b \ bigl（u（z）\ bigr）\，dz \ bigr）\，dy \ \ \ \ geq&\ xi_｛1｝\ gamma \ int_｛θ｝^｛1-\θ｝G_｛1｝（1，y）h｛1｝（y）\ int_｛0｝^{1} 一个\bigl（\eta_{1}\gamma G_{2}（1，z）h_{2{（z）b\ bigl^{1} 一个\bigl（K{1}^{-1}\eta{1}\gamma G{2}（1，z）h{2]（z）K_{1} b条\bigl（u（z）\bigr）\biger）\，dz\，dy\\geq&\xi{1}\eta{1}\γ^{2} K（K）_{1} ^｛-1｝\int_｛θ｝^｛1-\θ｝\int_｛θ｝^｛1-\θ｝G_｛1｝（1，y）h｛1｝（y）G_｛2｝（1，z）h｛2｝（z）a \bigl（K_{1} b条\bigl（u（z）\bigr）\biger）\，dz\，dy\\geq&\xi{1}\eta{1}\γ^{2}\δ_{1} K（K）_{1} ^{-1}\int_{theta}^{1-\theta}G{2}（1，z）h{2}（z）a\bigl（K_{1} b条\bigl（u（z）\bigr）\biger）\，dz\\geq&\frac{2}{\delta_{2}\gamma}\int_{\theta}^{1-\theta{G{2}（1，z）h_{2{（z）u（z。\结束{对齐}$$

(15)

因此，\（\垂直u\垂直=0\）。接下来(13)和(14)产量

$$\开始{aligned}a\bigl（v（x）\bigr）\geq&a\biggl（\int_{0}^{1} G公司_{2} （x，y）h{2}（y）f{2}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\biggr）\\geq&\int_{0}^{1} 一个\bigl（\eta_{1}\gamma G_{2}（1，y）h_{2{（y）b\bigl（u（y）\bigr_{1} b条\bigl（u（y）\bigr）\biger）\，dy\\geq&\frac{2}{\xi{1}\delta{1}\ delta{2}\gamma^{2}}\int_{theta}^{1-\theta}G{2}θ}^{1-\θ}G{2}（1，y）h{2}（y）\，dy\int_{0}^{1} 克_{1} （1，z）h{1}（z）a\bigl（v（z）\bigr）对齐}$$

(16)

这意味着\（a（垂直v垂直）=0）它源自于\（a（v）\）和\（a（0）=0）那个\（\垂直v\垂直=0\）.因此\（\垂直（u，v）\垂直=0\），这是一个矛盾。引理2.8意味着

$$i\bigl（A，\Omega_{\rho}\cap（P\times P），P\ times P\bigr）=0$$

(17)

另一方面，通过（H_三)，存在\（\泽塔>0\）和\（C_{1}>0，C_{2}>0\）使得

$$开始{对齐}和f_{1}（x，u，v）\leq\zeta v^{tau}+C_{1{，对于所有（x，u，v）在[0,1]\times\mathbb{R^{+}}\times\ mathbb}R^{+/}}，\\&f_{2}（x，u，v）\leq \varepsilon_{2} u个^{\frac{1}{\tau}}+C_{2}，对于[0,1]\times\mathbb{R^{+}}中的所有（x，u，v），\quad\$$

(18)

哪里

$$\varepsilon_{2}=\min\biggl\{\frac{1}{\mu{2}（8\zeta\mu{1}）^{\frac{1}}，\frac}{8\mu{2]$$

让

$$W=\bigl\｛（u，v）\在P\次P:（u，v）=\lambda A（u，v），0\leq\lambda \leq1\bigr\｝中$$

我们证明了这一点W公司有界。的确，对于任何人\（W中的（u，v）），存在\（[0,1]\中的\lambda\）使得\（u=λA{1}（u，v），v=λ.然后(18)意味着

$$\开始{对齐}&u（x）\leq A_{1}（u，v）（x）\ leq\zeta\int_{0}^{1} G公司_{1} （1，y）h{1}（y）v^{tau}（y），dy+C{3}，\\&v（x）\leqA{2}（u，v）（x）\ leq\varepsilon_{2}\int_{0}^{1} G公司_{2} （1，y）h{2}（y）u^{frac{1}{tau}}（y），dy+C_{4}。\结束{对齐}$$

因此，

$$\开始{aligned}u（x）\leq&\zeta\int_{0}^{1} G公司_{1} （1，y）h{1}（y）\，dy\biggl（\varepsilon{2}\int_{0}^{1} G公司_{2} （1，z）h{2}（z）u^{frac{1}{\tau}}^{1} G公司_{2} （1，z）h｛2｝（z）\Vert u\Vert ^｛\frac｛1｝｛\tau｝｝｝\，dz+C_｛4｝\biggr）^｛\tau｝+C_｛3｝\\leq&\ zeta \ mu_｛1｝\biggl[\biggl（\ frac｛\Vert（u，v）\Vert｝｛8 \ zeta \ mu_｛1｝｝\biggr）^｛\tau｝+C_｛4｝\biggr]^｛\tau｝+C_｛3｝，\ end｛对齐｝$$

(19)

$$\开始{aligned}v（x）\leq&\varepsilon_{2}\int_{0}^{1} G公司_{2} （1，y）h{2}（y）\，dy\biggl（\zeta\int_{0}^{1} G公司_{1} （1，z）h{1}（z）v^{tau}（z），dz+C_{3}\biggr^{1} G公司_{1} （1，z）h_{1}（z）\Vert v\Vert^{\tau}\，dz+C_{3}\biggr）^{压裂{1}{\tau{}}+C_}4}\\leq&\frac{1}}{8（\ zeta\mu_{1{）^{\frac}1}{\t}+C_{3}\biger）^{\frac{1}{\tau}}+C_3}。\结束{对齐}$$

(20)

自

$$\lim_{w\rightarrow+\infty}\frac{\zeta\mu_{1}[（\frac}w}{8\zeta\fu{1}}）^{压裂{1}{\tau}}+C_{4}]^{\tau{}}{w}=\frac{1}{8}，\qquad\lim_w\rirtarrow+/infty{压裂_{1} w个^{\tau}+C_{3}）^{\frac{1}{\tau{1}}{8（\zeta\mu{1}）$$

存在\（r{1}>r），何时\（\垂直（u，v）\垂直>r_{1}\）, (19)和(20)产量

$$u（x）\leq\frac{1}{4}\bigl\Vert（u，v）\bigr\Vert+C_{3}，v（x）\ leq\frac{1{4}\bigl\ Vert（u，v）\ bigr\Vert+C_3}$$

因此\（\垂直（u，v）\垂直\leq2（C_{3}+C_{4}）\）和W公司有界。

选择\（G>2（C_{3}+C_{4}）\）.我们从不动点指数的同伦不变性质得到

$$i\bigl（A，\Omega_{G}\cap（P\times P），P\timers P\bigr）=i\bigle（\theta，\Omega_{G}\caps（P\times P），P \times P\biger）=1$$

(21)

方程式(17)和(21)产量

$$\begin{aligned}&i\bigl（A，（\Omega_{G}\setminus\overline{\Omega}_{\rho}）\cap（P\times P），P\times-P\bigr）\\&\quad=i\bigle（A、\Omeca_{G{\cap，P\temes-P\bigr）-i\bigl-（A，\Omegan_{\rro}\cap。\结束{对齐}$$

所以A类上至少有一个固定点\（（\Omega_{G}\setminus\上划线{\Omega}_{\rho}）\cap（P\乘以P）\）这意味着系统(1)至少有一个正解。 □

定理3.2

假设条件（H）₁)，（H₄),和（H）₅)都很满意.然后是系统(1)至少有一个正解.

证明

签字人（H₄)，有\（\xi{2}>0，\eta{2}>0，C_{5}>0、C_{6}>0）、和\（C_{7}>0\）使得

$$f_{1}（x，u，v）\geq\xi_{2} 第页（v） -C_{5}，f_{2}（x，u，v）_{2} q个（u） -C_｛6｝，\ quad（x，u，v）\在J_｛θ｝\times\mathbb｛R｝^｛+｝\times\mathbb｛R｝^｛+｝中$$

和

$$p\bigl（K_{2} q个（u） \biger）\geq\frac{2K_2}}{\xi_2}\eta_2}\delta_2}\gamma^{3}}u-C_{7}，\quad u\in\mathbb{R}^{+}$$

(22)

哪里\（K{2}=\max\{\ta{2}\gamma G{2}（1，y）h{2}（y）：y\in J{\theta}\}\）.那么我们有

$$\开始{对齐}&A_{1}（u，v）（x）\geq\xi_{2}\int_{0}^{1} G公司_{1} （x，y）h_{1}（y）p\bigl（v（y）\biger）\，dy-C_{8}，\quad x \ in J_{\theta}，\\&A_{2}（u，v）（x）\geq\eta_{2{0}^{1} G公司_{2} （x，y）h_{2}（y）q\bigl（u（y）\bigr）\，dy-C_{9}，\quad x \ in J_{theta}。\结束{对齐}$$

(23)

我们确认该集合

$$W=\bigl\{（u，v）\in P\ times P:（u，v）=A（u，W）+\lambda（\varphi，\varphi），\lambda\geq0\bigr\}$$

有界，其中\（P\setminus\{0\}\中的\varphi\）的确，\（（u，v）\在W中\）意味着\（u，v），v对一些人来说\（\lambda\geq0\）.我们已经准备好了(23)

$$\开始{aligned}&u（x）\geq\xi_{2}\int_{0}^{1} G公司_{1} （x，y）h_{1}（y）p\bigl（v（y）\bigr）\，dy-C_{8}，\quad x \ in J_{theta}，\ end{aligned}$$

(24)

$$\开始{aligned}&v（x）\geq\eta{2}\int_{0}^{1} 克_{2} （x，y）h_{2}（y）q\bigl（u（y）\bigr）\，dy-C_{9}，\quad x \ in J_{theta}。\结束{对齐}$$

（25）

通过的单调性和凹性\（p（\cdot）\）以及Jensen不等式(25)意味着

$$\开始{对齐}p\bigl（v（x）+C_{9}\bigr）\geq&p\biggl（\int_{0}^{1}\eta_{2} G公司_{2} （x，y）h{2}（y）q\bigl（u（y）\bigr）\，dy\biggr）\\geq&\int_{0}^{1} 第页\bigl（\eta_{2}\gamma G_2}（1，y）h_2}_{2} q个J_{\theta}中的\bigl（u（y）\bigr）\biger）\，dy，\quad x。\结束{对齐}$$

(26)

自\（p（v（x）），我们已经过了(22), (24)、和(26)

$$\开始{aligned}u（x）\geq&\xi_{2}\gamma\int_{0}^{1} 克_{1} （1，y）h_{1}（y）\bigl[p\bigl（v（y）+C_{9}\bigr）-p（C_{9}）\bigr]\，dy-C_{8}\\geq&\xi_{2}\gamma\int_{theta}^{1-\theta}G_{1{（1，y）h_1}\xi_{2}\eta_{2{\gamma^{2} K（K）_{2} ^｛-1｝\int_｛θ｝^｛1-θ｝G_｛1｝（1，y）h｛1｝（y）\int_｛θ｝^｛1-θ｝G_｛2｝（1，z）h｛2｝（z）p \ bigl（K_{2} q个\bigl（u（z）\bigr）\biger）\，dz\，dy-C{10}\\geq&\xi_2}\eta_2}\gamma^{2}\delta_{1} K（K）_{2} ^{-1}\int_{theta}^{1-\theta}G{2}（1，z）h{2}（z）p\bigl（K_{2} q个\bigl（u（z）\bigr）\biger）\，dz-C_{10}\\geq&2（\delta_{2}\gamma）^{-1}\int_{theta}^{1-\theta}G_2}（1，z）h_{2{（z）u（z。\结束{对齐}$$

(27)

因此\（\垂直u\垂直\leq C_{11}\）.

自\（p（v（x））\geq\gamma p（\Vert v\Vert）\）对于\（x\在J_{theta}中，v\在P\中），它来自(26), (22)、和(24)那个

$$\开始{对齐}p\bigl（v（x）\bigr）\geq&p\bigle（v）（x）+C_{9}\biger）-p（C_{9}）\\geq&\eta_2}\gamma K_2}^{-1}\int_{theta}^{1-\theta}G_2}（1，y）h_{2}（y）p\bigl（K_{2} q个\bigl（u（y）\bigr）\biger）\，dy-p（C_{9}）\\geq&\frac{2}{\xi_{2}\delta{1}\delta{2}\ gamma^{2}}\int_{theta}^{1-\theta}G{2}（1，y）h_{2{（y）u（yδ{2}\gamma}\int{theta}^{1-\theta}G{2}（1，y）h{2}（y）\，dy\int{0}^{1} G公司_{1} （1，z）h_{1}（z）p\bigl（v（z）\bigr）J_{theta}中的四个x。\结束{对齐}$$

因此\（p（\Vert v\Vert）\leq C_｛13｝\）根据条件（H）的（1）和（3）₅)，我们知道\（\lim_{v\rightarrow+\infty}p（v）=+\infcy\），因此存在\（C_{14}>0\）使得\（\垂直v\垂直\leq C_{14}\）。这表明W公司有界。然后存在一个足够大的\（K>0\）使得

$$（u，v）\neq A（u，v）+\lambda（\varphi，\varphi），\quad\对于所有（u，f）\in\partial\Omega_{K}\cap（P\times P），\lambda\geq0$$

引理2.8产量

$$i\bigl（A，\Omega_{K}\cap（P\times P），P\ times P\bigr）=0$$

(28)

另一方面，通过（H₅)，有一个\（σ>0）并且足够小\（\rho>0\）使得

$$开始{对齐}和f_{1}（x，u，v）\leq\sigma v^{varsigma}，所有（x，u）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}，v\in[0，\rho]，\\&f_{2}（x，u，v）\leq \varepsilon_{1} u个^{\frac{1}{\varsigma}}，\quad\forall（x，v）\in[0,1]\times\mathbb{R}^{+}，u\in[0，\rho]，\end{aligned}$$

(29)

哪里

$\varepsilon_{1}=\min\bigl\{\bigl（2\sigma\mu_{1{\mu^{\varsigma}{2}\bigr）^{-\frac{1}{\varsigma}}，\mu_2}^{-1}\biger\}$$

我们声称

$$（u，v）\nleq A（u，v），\quad\所有（u，v\）in \partial\Omega_{\rho}\cap（P\ times P）$$

(30)

如果没有，则存在\（（u，v）\ in \ partial \ Omega _{\rho}\ cap（P\ times P）\）使得\（（u，v）\leq A（u，v）\），也就是说，\（u，v），v.然后(29)意味着

$$\开始{aligned}u（x）\leq&\int_{0}^{1} G公司_{1} （x，y）h{1}（y）f{1}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\\leq&\sigma\int_{0}^{1} G公司_{1} （1，y）h{1}（y）v^{varsigma}（y）\，dy\\leq&\sigma\int_{0}^{1} G公司_{1} （1，y）h{1}（y）\biggl（\int_{0}^{1} G公司_{2} （y，z）h{2}（z）f{2}\bigl（z，u（z），v（z）\bigr）^{1} G公司_{1} （1，y）h｛1｝（y）\，dy \ biggl（\ int _｛0｝^{1} G公司_{2} （1，z）h{2}（z）f{2}\bigl（z，u（z），v（z）\bigr）^{1} G公司_{2} （1，z）h{2}（z）f{2}\bigl（z，u（z），v（z）\bigr）^{1} G公司_{2} （1，z）h_{2}（z）u^{\frac{1}{\varsigma}}（z）\，dz\biggr$$

(31)

和

$$\开始{aligned}v（x）\leq&\int_{0}^{1} 克_{2} （x，y）h{2}（y）f{2}\bigl（y，u（y），v（y）\bigr）\，dy\\leq&\varepsilon_{1}\int_{0}^{1} G公司_{2} （1，y）h_{2}（y）u^{\frac{1}{\tau}}（y）\，dy\leq\varepsilon_{1}\mu_{2{\Vertu\Vert^{1\frac{1\{varsigma}}\leq\ Vertu\Vert^{1}}{\frac{1}{\varsigma}}，\quad x\ in[0,1]。\结束{对齐}$$

（32）

方程式(31)和(32)暗示\（\垂直（u，v）\垂直=0\），这与\（\垂直（u，v）\垂直=\rho\）以及不平等(30)持有。引理2.9产量

$$i\bigl（A，\Omega_{\rho}\cap（P\times P），P\ times P\bigr）=1$$

(33)

我们已经过了(28)和(33)

$$\begin{aligned}[b]&i\bigl（A，（\Omega_{K}\setminus\overline{\Omega}{\rho}）\cap（P\times P），P\times P\bigr）\\&\quad=i\bigle（A），\Omeca_{K{\cap。\结束{对齐}$$

因此A类上有一个固定点\（（\Omega_{K}\setminus\上划线{\Omega}_{\rho}）\cap（P\乘以P）\）这意味着系统(1)至少有一个正解。 □

定理3.3

假设条件（H）₁)，（H₆),和（H）₇)都很满意.然后是系统(1)至少有一个正解.

证明

自\（\gamma r \leq u（x），v（x）\leq r）对于\（（u，v）\ in \ partial\Omega_{r}\cap（P\乘以P），x\ in[\θ，1-\θ]\），我们从（H）得知₆)那个

$$开始{对齐}A{1}（u，v）（x）\geq&\int_{theta}^{1-\theta}G{1}（x，y）h{1\（y）f{1}-（y，\gammar，\garmar）\，dy\\geq&\telta_{1}^｛-1｝r（1，y）h_{1}（y），dy=r，\quad x\in[\theta，1-\theta]，\\A_{2}（u，v）（x）\geq&{theta}^{1-\theta}G_{2{（y，γr，γr）\，dy\\geq&\delta_{2}^｛-1｝r\int_{c}^{1-c}G_{2} （1，y）h｛2｝（y）\，dy=r，\ quad x \ in[\theta，1-\ theta]。\结束{对齐}$$

因此\（\垂直A（u，v）\垂直>r=\垂直（u，v）\垂直\）对于任何\（（u，v）\in\partial\Omega_{r}\cap（P\times P）\）.引理2.9产量

$$i\bigl（A，\Omega_{r}\cap（P\times P），P\ times P\bigr）=0$$

(34)

另一方面，对于任何\（x\in[0,1]，0\leq u，v\leq R），（H₇)意味着

$$\开始｛对齐｝&A_｛1｝（u，v）（x）\leq\int_｛0｝^{1} G公司_{1} （1，y）h_{1}（y）f_{1{（y，R，R）\，dy\leq\frac{R}{2}，\\&A_2}（u，v）（x）\leq\ int_{0}^{1} G公司_{2} （1，y）h_{2}（y）f_{2{（y，R，R）\，dy\leq\frac{R}{2}。\结束{对齐}$$

因此\（\垂直A（u，v）\垂直R=\垂直（u，v）\垂直对于\（（u，v）\in\部分\Omega_{R}\cap（P\乘以P）\）.引理2.9产量

$$i\bigl（A，\Omega_{R}\cap（P\times P），P\ times P\bigr）=1$$

(35)

我们已经过了(34)和(35)

$$\begin{aligned}&i\bigl（A，（\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega}_{R}）\cap。\结束{对齐}$$

(36)

所以A类上有一个固定点\（（\Omega_{R}\setminus\overline{\Omega}_{R}）\cap（P\times P）\）这意味着系统(1)至少有一个正解。 □

4多重正解的存在性

定理4.1

假设条件（H）₁)，（H_三)，（H₅),和（H）₆)持有.然后是系统(1)至少有两个积极的解决方案.

证明

我们可以接受\（G>r>\西格玛）这样的话(21), (33)、和(34)保持。然后我们有

$$\begin{aligned}和\begin{aligned}[b]&i\bigl（A，（\Omega_{G}\setminus\overline{\Omega}_{r}）\cap}\\&i\bigl（A，（\Omega_{r}\setminus\overline{\Omega}_{sigma}）\cap（P\times P），P\times P\bigr）\\&\quad=i\bigl（A，\Omega_{r}\cap（P\timers P），P\timesP\biger）-i\bigle。\结束{对齐}$$

(37)

因此A类上有一个固定点\（（\Omega_{G}\setminus\上划线{\Omega}_{r}）\cap（P\乘以P）\）和\（（\ Omega_｛r｝\ setminus \ overline｛\ Omega｝_｛\ sigma｝）\ cap（P\ times P）\）分别是。这意味着系统(1)至少有两个积极的解决方案。 □

定理4.2

假设条件（H）₁)，（H₂)，（H₄),和（H）₇)持有.然后系统(1)至少有两个正解.

证明

我们可以接受\（K>R>\rho\）这样的话(17), (28)、和(35)保持。然后我们有

$$\begin{aligned}&i\bigl（A，（\Omega_{K}\setminus\overline{\Omega}_{R}）\cap（P\times P），P\timesP\bigr）\\&\quad=i\bigle ega_{R}\setminus\上划线{\Omega}_{\rho}）\cap（P\times P），P\times P\bigr）\\&\quad=i\bigl（A，\Omega_{R}\cap（P\timers P），P\timles P\biger）-i\bigle（A、\Omega{\rho}\caps（P\temes P），P \times P \bigr.）=1。\结束{对齐}$$

(38)

因此A类上有一个固定点\（（\Omega_{K}\setminus\上划线{\Omega}_{R}）\cap（P\乘以P）\）和\（（\Omega_{R}\setminus\上划线{\Omega}_{\rho}）\cap（P\乘以P）\）分别是。这意味着系统(1)至少有两个积极的解决方案。 □

定理4.3

假设条件（H）₁)，（H₄)，（H₅)，（H₆),和（H）₇)持有.然后系统(1)至少有三个积极的解决方案.

证明

我们可以接受\（K>R>R>\sigma\）这样的话(28), (33), (34)、和(35)保持。从定理证明3.3，定理4.1、和定理4.2我们知道这一点(36), (37)、和(38)保持。因此A类上有一个固定点\（（\Omega_{K}\setminus\上划线{\Omega}_{R}）\cap和\（（\ Omega_｛r｝\ setminus \ overline｛\ Omega｝_｛\ sigma｝）\ cap（P\ times P）\）分别是。因此，系统(1)至少有三个积极的解决方案。 □

类似于定理证明3.3，我们可以得到以下结果。

定理4.4

假设（H）₁)持有.如果有2我 正数 \（d_｛k｝，d_｛k｝\）(\（k=1,2，\ldot，l）)具有

$$d_{1}<d_{1}<d_{2}<d_2}<\cdots<d_{l}<d_{l}$$

使得 \（f{1}（x，u，v）\） 和 \（f{2}（x，u，v）\） 第二个变量和第三个变量没有减少 \（u，v\在[0，D_{l}]\中） 为所有人 \（x\英寸[0,1]\），和

（H）₈)\（f{1}（x，γd_{k}，γd\k}）^{-1}天_{k} \），\（f{2}（x，γd_{k}，γd\k}）^{-1}天_{k} \） 为所有人 \（x\在J_{theta}\中），\（k=1,2，\ldot，l），

（H）₉)\（f_1}（x，D_{k}，D_}k}）^｛-1｝_{1} \压裂{D_{k}}{2}\），\（f_2}（x，D_{k}，D_}k}）^{-1}_{2} \压裂{D_{k}}{2}\） 为所有人 \（x\in[0,1]，k=1,2，\ldots，l\）.

然后是系统(1)至少有 我 积极的解决方案 \（（u{k}，v{k}）\） 令人满意的

$$d_{k}\leq\bigl\Vert（u_{k}，v_{k{）\bigr\Vert\leqD_{kneneneep，\quad k=1,2，\ldots，l$$

5一些示例

在下面，我们给出一些示例来说明我们的主要结果。在示例中5.1-5.4，的含义\（\alpha，\beta，\mu，\nu\）与系统中的相同(1).

例5.1

让\（h{1}（x）=1/（1-x）^{\alpha-\mu-1}，h{2}，\（f{1}（x，u，v）=e^{x}（1+e^{-（u+v）}），f{2}，\（a（v）=v^{压裂{1}{2}}，b（u）=u^{裂缝{1}}{2{}，套=1/2）显然，

$$\int_{0}^{1}（1-y）^{\alpha-\mu-1}h_1}（y）$$

但是\（\int_{0}^{1} 小时_{k} （y）\，dy=+\输入\）(\（k=1,2）)的\（\alpha-\mu-1\geq1，\beta-\nu-1 \geq1\）。的结果[18–25，28，31]不适合这个问题。很容易验证条件（H₁)-（H）_三)持有，因此定理3.1意味着系统(1)至少有一个正解。在这里\（f{1}（x，u，v）\）和\（f{2}（x，u，v）\）是次线性的u个和v（v）0和+∞。

例5.2

让\（h{k}（x）\）如示例所示5.1，\（f{1}（x，u，v）=e^{x}（1+e^{-（u+v）}），\（f{2}（x，u，v）=u^{3}{2}}，a（v）=v^{1}{3}}.很容易验证条件（H₁)-（H）_三)hold，定理3.1意味着系统(1)至少有一个正解。在这里\（f{1}（x，u，v）\）在上是次线性的u个和v（v）0和+∞，而\（f{2}（x，u，v）\）是超线性的u个在0和+∞处。

示例5.3

让\（h{k}（x）\）如示例所示5.1，\（f{1}（x，u，v）=（1+e^{-u}）v^{3}，f{2}（x，u，v）=u^{3{），\（p（v）=v^{\frac{1}{2}}，q（u）=u^{3}，\varsigma=3\）.很容易验证条件（H₁)，（H₄)、和（H₅)保持。定理3.2显示系统(1)至少有一个正解。在这里\（f{1}（x，u，v）\）是超线性的v（v）在0和+∞时，\（f{2}（x，u，v）\）是超线性的u个0和+∞。

示例5.4

让\（h{k}（x）\）如示例所示5.1，\（f{1}（x，u，v）=（1+e^{-u}）v^{\frac{2}{3}}，f{2}（x，u，v）=（1+e^{-v}）u^{5}\），\（p（v）=v^{\frac{1}{3}}，q（u）=u^{4}，\varsigma=1/3）很容易看出条件（H₁)，（H₄)、和（H₅)保持。定理3.2显示系统(1)至少有一个正解。在这里\（f{1}（x，u，v）\）在上是次线性的v（v）0和+∞，而\（f_{2}（x，u，v）\）是超线性的u个0和+∞。

示例5.5

考虑具有分数三点边界条件的非线性奇异分数微分方程组：

$$\left\{\textstyle\开始{数组}{@{}l}D_{0+}^{\frac{5}{2}}u（x）+h_{1}（x）f_{1{（x，u（x 0，\quad x\in（0,1），\\u（0）=u'（0）=0，\qquad u'（1）=\frac{\sqrt{2}}{2} u个'（\frac{1}{2}），\\v（0）=v'（0）=0，\qquad v'（1）=\frac}\sqrt{2}}{2} v（v）'（\frac{1}{2}），\end{array}\displaystyle\right$$

(39)

哪里\（\alpha=\beta=\frac{5}{2}，\mu=\nu=1\），\（a{1}=b{1}=frac{\sqrt{2}}{2}，\xi{1}=eta{1{=frac{1}{2{），\（h{1}（x）=（1-x）^{-\压裂{1}{2}}\），

$$f_{1}（x，u，v）=3\sqrt{2\pi}v^{\frac{1}{2}}，[0,1]中的四个x，v\geq0，\qquad f_{2}（x，u，v）=3\sqrt{2\pi}\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{\quad}l}u^{3}，&x，u[0,1]，\\u^{5}{3}{2{}}[0,1]，u\geq1中的&x\。\结束{array}\displaystyle\right$$

通过简单计算，我们得到\（d_{1}=\frac{1}{2}，\gamma=\frac{1}}{8}，\ delta{1}=\int_{\frac}{4}}^{\frac}{3}{4{}G{1}（1，s）h{1}\，ds=\ frac{3\sqrt{2}-1}{3\sqrt{2\pi}}\）.接受\（r=1，tau=varsigma=frac{1}{2}）英寸（H_三)和（H₅)，很容易验证条件（H₁)，（H_三)，（H₅)、和（H₆)保持。来自定理4.1其中一个结论是，该系统(39)有两个积极的解决方案。

示例5.6

考虑奇异系统(39)，其中

$$f_{1}（x，u，v）=3\sqrt{2\pi}v^{3}，[0,1]中的\quad x，v\geq0，\quad f_{2}（x，u，v）=3\sqrt{2\pi}\left\{textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}u^{frac{2}{3}}，&x，u\in[0,1]，\\u^{frac{1}{4}[0,1]，u\geq1中的&x\。\结束{array}\displaystyle\right$$

采取\（r=1，tau=varsigma=3）英寸（H_三)和（H₅)，很容易验证条件（H₁)，（H_三)，（H₅)、和（H₆)保持。来自定理4.1可以得出这样的结论：该系统(39)有两个积极的解决方案。

例5.7

考虑奇异系统(39)，其中

$$\begin{aligned}&f{1}（x，u，v）=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\left\{textstyle\begin}array}{@{}l@{quad}l}\frac}1}{4} v（v）^{\frac{2}{3}}，&x，v\在[0,1]中，\\frac{v^{2}}{4}，-x\在[0.1]中，v\geq1，\end{array}\displaystyle\right.\\&f{2}（x，u，v）=\frac{\sqrt{\pi}}{4}\left\{\textstyle\begin{array}{@{}l@{quad}l}\frac}u^{2}+2u^{\frac[1}{2}}{12}，&x，u在[0,1]中，\\frac{u^2}{4{，&x\在[0,1中，u\geq1。\结束{array}\displaystyle\right。\结束{对齐}$$

通过简单计算，我们得到\（\mu{1}=\mu{2}=\int{0}^{1} G公司_{1} （1，s）h{1}（s）\，ds=frac{2（3\sqrt{2}-2)}{3\sqrt{2\pi}}\）.接受\（R=4，a（v）=p（v）=v^{压裂{2}{3}}），\（b（u）=u^{\压裂{1}{2}}，q（u）=u^{2}\），很容易看出条件（H₁)，（小时₂)，（H₄)、和（H₇)保持。来自定理4.2其中一个结论是，该系统(39)有两个积极的解决方案。

示例5.8

考虑奇异系统(39)，其中

$$f_{1}（x，u，v）=\frac{\sqrt{\pi}}{4} v（v）^{\frac{1}{2}}，\quad x\geq0，v\geq0,qquad f{2}（x，u，v）=\frac{\sqrt{\pi}}{4} u个^｛\frac｛1｝｛2｝｝，\fquad x\geq0，u\geq0$$

采取\（R=4，a（v）=p（v）=v^{压裂{1}{2}}），\（b（u）=q（u）=u^{压裂{1}{2}}），很容易看出条件（H₁)，（H₂)，（H₄)、和（H₇)保持。从定理4.2其中一个结论是，该系统(39)有两个积极的解决方案。

备注5.9

来自示例5.1-5.8我们知道条件（H₂)-（H）₅)适用于更一般的函数，我们的结果与[18–21，23–25].

备注5.10

如果\（n，m\geq2\），\（n-1<alpha\leqn，m-1<beta\leqm，mu=nu=0）在系统中(1)，我们所有的结论都是正确的，因为相应的格林函数\（g{k}（t，s）\）(\（k=1,2）)满足Harnack-like不等式（参见[19]). 因此，我们的结果改进并推广了[19，28，31]和[32].