分数阶微分方程解的存在性和多重性第页-带扰动的拉普拉斯方程

摘要

在本文中，我们考虑了分数阶微分方程非平凡解的存在性第页-有界区域中的拉普拉斯方程。在不同的非线性假设下，我们分别给出了存在性和多重性的结果。我们的方法基于变分方法和一些分析技术。

1介绍

在本文中，我们对以下分数阶拟线性问题的非平凡解的存在性感兴趣：

$$\begin｛aligned｝\textstyle\begin｛cases｝（-\Delta）_｛p｝^{s} u个+\vert u\vert^{p-2}铀=f（x，u）+\lambda g（x，u）+h（x），&x\in\Omega，\\u=0，&x\ in\mathbb{R}^{N}\backslash\Omeca，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.1)

哪里\（0<s<1）和\（sp<N\），Ω是中的有界域\（｛\mathbb｛R｝｝^｛N｝\）,λ是一个正常数，\（f、g、h）是连续函数，\（p^{*}_{s}=pN/（N-sp）\）是分数临界指数，以及\（（-\增量）^｛s｝_{p} \）是分数第页-拉普拉斯算子定义为

$$\开始{aligned}（-\Delta）^｛s｝_{p} u个（x） =\mathrm{P.V.}\int_{R^{N}}\frac{\vertu（x）-u（y）\vert^{P-2}（u（x）-u（y））}{\vert x-y\vert|N+sp}}\，dy，\end{aligned}$$

(1.2)

其中P.V.是指主值，参见[1]了解详细信息。

近年来，分数阶椭圆方程的研究受到了越来越多的关注。关于这类方程的存在性结果，经典Laplace算子的一些著名结果已经推广到非局部分数集上，并且在拟线性问题上有很多工作

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}（-\Delta）_{p}^{s} u个=f（x，u），&x\in\Omega，\\u=0，&x\ in\mathbb{R}^{N}\反斜杠\Omeca，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.3)

其中非线性（f）满足一些一般生长条件，请参阅[2–12]. 例如，在[2,4]作者研究了分数第页-特征值问题。在[5]作者研究了分数阶的局部行为第页-最小化。在[6]作者研究了这个问题(1.3)在反应项的不同增长假设下，利用莫尔斯理论得到了各种存在性结果，而在[7]作者研究了这个问题(1.3)在具有权重的无界域中，作者在[8]. 此外，通过变喷泉定理，作者[9]研究的问题(1.3)英寸\（\mathbb{R}^{N}\）得到了无穷多个解，而作者在[三]，给定\（f（x，u）=h{1}（x）|u|^{q-2}u+h{2}（x）u|^{r-2}铀\).

通常，当\（f（x，u）=|u|^{p^{*}_{s} -2个}u+\lambda|u|^{p-2}铀\)，问题(1.3)变成Brezis–Nirenberg问题

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}（-\Delta）_{p}^{s} u个=\vert u\vert^{p^{*}_{s} -2个}u+\lambda\vert u\vert^{p-2}铀，&x\in\Omega，\\u=0，&x\ in\mathbb{R}^{N}\反斜杠\Omeca，\end{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.4)

作者在[10–12]. 在[10]，作者证明了问题的多重性结果(1.4)通过上同调指数和抽象临界定理，而在[11]，作者得到了问题的非平凡解(1.4)通过一个抽象的连接定理。在[12]，更换\（|u|^{p-2}铀\)具有亚临界非线性\（g（x，u）\），作者证明了问题的一个弱解的存在性(1.4)提供λ足够小，如果扰动项克在原点处消失。此外，涉及分数阶的Kirchhoff型方程第页-作者在[13–15]通过使用变分方法。

受上述论文的启发，我们倾向于研究问题的存在性和多重性结果(1.1). 从我们的分析中可以清楚地看到，在不同的增长条件假设下，关于无穷大和原点附近的非线性，存在性和多重性的结果是完全不同的。我们考虑巴拿赫空间\（X=W^{s，p}_{0}（\Omega）\），其中分数Sobolev空间\（W^｛s，p｝_{0}（\Omega）=\{u\在W^{s，p}（\ Omeca）|u=0\在\mathbb{R}^{N}\反斜杠\Omega\}\）定义如下：

$$开始{对齐}W^{s，p}（\Omega）=\biggl\{u\在L^{p}中（\Omega）$$

(1.5)

配备标准

$$\开始{对齐}\Vert u\Vert^{p}:=[u]^{p}_{s，p}=\int\int_{Q}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert ^{p}}{\vert-x-y\vert^{N+sp}}\，dx\，dy，\end{aligned}$$

（1.6）

哪里\（Q={\mathbb{R}}^{2N}\反斜杠（C\Omega\乘以C\Omega）\）具有\（C\Omega={\mathbb{R}}^{N}\setminus\Omega\）.根据的结果[1]，有连续嵌入\（W_{0}^{s，p}（\Omega）\hookrightarrow L^{r}（\欧米茄）\）对于\（在[1，p^{*}_{s}]\中）并在以下情况下压缩\（在[1，p^{*}_{s}中）.我们用S表示嵌入的最佳Sobolev常数\（W_{0}^{s，p}（\Omega）\hookrightarrow L^{p}.

我们研究问题的方法(1.1)是变分的，包括G.Bonanno和R.Kajikiya的山路定理和临界点定理。通常，我们检查泛函的几何结构，并证明泛函的紧性结果满足临界点定理的条件。由于临界非线性的存在，能量泛函不再满足整体紧性条件，而是在一定范围内满足，因此我们对存在性结果应用了不同的变分定理。我们假设非线性\（f，g，h\在C中（\mathbb{R}，\mathbb{R}）\）并满足以下假设：

\（（f{1}）\）:

\（\lim_{t\rightarrow0}\frac{f（x，t）}{t^{p-1}}=0\）均匀a.e。\（x\英寸\欧米茄\）;

\（\宽波浪号{f}_{1})\):

\（\lim_{t\rightarrow0}\frac{f（x，t）}{t^{p-1}}=\infty\）均匀a.e。\（x\英寸\欧米茄\）;

\（（f{2}）\）:

\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{f（x，t）}{t^{p^{*}-1}}=0\）一致a.e。\（x\英寸\欧米茄\）;

\（（\widetilde{f}_{2})\):

\（\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{f（x，t）}{t^{p-1}}=0\）均匀a.e。\（x\英寸\欧米茄\）;

\（（f_{3}）\）:

存在一个正常数B类这样的话

$$\开始{对齐}F（x，s）\geq 2r\frac{\verts\vert^{p}}{p} -B类，\quad\对于所有s\in\mathbb{R}，\text{a.e.}x\in\Omega，\end{aligned}$$

哪里第页定义为\（r:=\sup_{W^{s，p}（\Omega）}\frac{\|u\|^{p}}{u|_{p}^{p{}}\）.

\（（f_{4}）\）:

存在\（位于（p，p^{*}_{s}）中）这样的话

$$\开始{aligned}0<\nu F（t）\leq F（t）t\quad\text{forall}\vert t\vert>0，\text{where}F（t）：=\int_{0}^{t} （f）（s） \，ds；\结束{对齐}$$

\（（g{1}）\）:

\（|g（x，s）|\leq c（1+|s|^{r-1}）\）,\（对于\mathbb{R}中的所有s）、和\（1 \leq r<p）;

\（（g{2}）\）:

\（f（x，\cdot）\）很奇怪并且\（g（x，\cdot）\）是公平的\（又名\）.\（x\英寸\欧米茄\）;

\（（g{3}）\）:

\（f（x，\cdot）\）很奇怪并且\（g=|u|^{p^{*}-2}u\）;

我们的主要结果如下。

定理1.1

假设 \（（f{1}）、（f{2}）和（f{4}） 持有.然后就有了 \（\lambda^{*}>0\）,对于任何 \（（0，\lambda^{*}）中的\lambda）,存在 \（\varrho>0\） 这样的话,对于任何 \（（0，\varrho）中的|f|^{（p-1）/p}{\sigma}\）,问题(1.1)有山路解决方案.

定理1.2

假设 \（f{1}），（widetilde{f}_{2} ），（f_{3}），（g_{1}），（g_{2}）\） 持有 \（h=0）.然后,对于每个 \（b>0\）,存在开放区间 \（\Lambda\子集[-b，b]\） 和一个正实数 σ 这样的话,对于每个 \（\lambda\in\lambda\）,问题(1.1)接受至少三种规范低于的解决方案 σ.

定理1.3

假设 \（（\widetilde{f}_{1}),({f}_{2} ），（g{3}）\） 持有 \（h=0）.然后就有了 \（\lambda_{*}\） 这样，对于任何 \（（0，\lambda_{*}）中的\lambda）,问题(1.1)有一系列非平凡解 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\subset X\） 这样的话 \（u{n}\右箭头0\） 作为 \（n\rightarrow\infty\）.

本论文的结构如下：。 2我们证明了山口解的存在性。 三我们证明了三个解的存在性。 4对于临界情况，我们给出了无穷多个解。

2山路解的存在性

众所周知，问题的解决(1.1)是功能的关键点\（I:X\右箭头\mathbb{R}\）由定义

$$\开始{aligned}I（u）=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}-\λ\ int _｛\Omega｝G\，dx-\int _｛\Omega｝F\，dx-\int _｛\Omega｝hu\，dx\end｛aligned｝$$

(2.1)

并满足\（\langle I'（u），\varphi\rangle=0\）即。，

$$\begin{aligned}和\int_{Q}\frac{\vert u（x）-u（y）\vert^{p-2}（u（x）-u h\varphi\，dx=0\end{aligned}$$

对于任何\（X中的\varphi\）.

我们首先检查山口的几何形状我.

引理2.1

假设 \（（f{1}）\）,\（（f{2}）\）,\（（f_{4}）\）,\（（g{1}）\） 持有,功能 我 满足山口几何:

• （i） 存在 \（\alpha，\rho>0\） 这样的话 \（I（u）\geq\alpha\） 具有 \（\|u\|=\rho\）,

• （ii） 存在 \（X中的e） 具有 \（\|e\|>\rho\） 这样的话 \（I（e）<0\）.

证明

（i） 由\（（f{1}）\）和\（（f{2}）\），用于固定\（\varepsilon>0\），存在\（C_{\varepsilon}>0\）这样的话

$$开始{aligned}\bigl\vert F（t）\bigr\vert\leq\frac{\varepsilon}{p}\vert t\vert^{p}+\frac{C_{\varesilon}}{p^{*}}\vert-vert^}{p#{*}。\结束{对齐}$$

(2.2)

考虑到(2.1),

$$\开始{aligned}I（u）&=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}-\lambda\int_{\Omega}G\，dx-\int_}\Omega}F\，dx-\int__{\欧米茄}hu\，dx\\&\geq\frac{1}{p}\Vert-u\Vert^{p}-\lambda\int_{\Omega}\biggl（c\vert u\vert+\frac{c}{r}\vert u \vert^{r}\biggr）\，dx-\int_}\Omega}\bigl（\frac}\varepsilon}{p}\vert-u\vert ^{p}+c_{\varepsilon}\vertu\vert\vert^p^{*}\bigr）\，dx-\int_{\Omega}hu\，dx\\&\geq\frac{1}{2p}\垂直u\垂直^{p}-\frac{c\lambda}{r\lambda_{1}}\vert\Omega\vert^{frac{p-r}{p}}\vert-u\vert^{右}-\frac{\lambda c}{\lampda_{1}}\vert\Omega\vert^{\frac}p-1}{p}}\vert u\vert-c_{\varepsilon}S\vert u \vert^{p^{*}}-c'{\varebsilon}\vert h\vert_{\sigma}^{\frac{p}{p-1}\\&=\vert u\vert ^{p}\biggl[\frac[1}{2p}-\λC_{1}\垂直u\垂直^{r-p}-\λC_{2}\垂直u\垂直^{1-p}-C_{3} \垂直u\Vert^{p^{*}-p}\biggr]-C'_{\varepsilon}\Vert h\Vert_{\sigma}^{\frac{p}{p-1}}。\结束{对齐}$$

考虑

$$\开始{aligned}\zeta（t）=\lambda C_{1} t吨^{r-p}+\lambda C_{2} t吨^{1-p}+C_{3} t吨^{p^{*}-p}。\结束{对齐}$$

很容易看到\（\lim_{t\rightarrow0}\zeta（t）=\lim_{t\right arrow+\infty}\zeta（t）=+\inffy\）.让\（\ζ'（t）=0\），我们有

$$\开始{对齐}\lambda C_{1}（r-p）t^{r-p-1}+\lambdaC_{2}（1-p）t_{-p}+C_{3}\bigl（p^{*}-p\bigr）t_^{{*}-p-1}=0。\结束{对齐}$$

请注意\（\zeta'（t）=t^{-p}\eta（t）\），其中

$$\begin{aligned}\eta（t）=\lambda C_{1}（r-p）t^{r-1}+\lambdaC_{2}（1-p）+C_{3}\bigl（p^{*}-p\bigr）t^}p^{**}-1}。\结束{对齐}$$

（2.3）

自\（r<p<p^{*}\），存在\（t_{0}>0\）这样的话\（\eta（t）<0\）在\（（0，t_{0}）\）和\（eta（t）>0）在\（（t_{0}，\infty）\）即。，\（\泽塔（t）\）具有唯一的最小值\（\泽塔（t_{0}）\），考虑到，我们已经

$$\开始{aligned}\zeta（t_{0}）=\lambda C_{3} t吨^{r-p}+\lambda C_{4} t吨^{1-p}。\结束{对齐}$$

因此存在\（\lambda^{*}>0\）这样，对于\（（0，\lambda^{*}）中的\lambda）,\（\泽塔（t{0}）<\压裂{1}{4p}\）此外，让

$$开始{对齐}\widetilde{\eta}（t_{1}）=\lambda C_{2}（1-p）+C_{3}\bigl（p^{*}-p\bigr）t_{1{^{p^{*1}-1}=0，结束{对齐{$$

(2.4)

很容易看出这一点\（t{0}>t{1}=[\frac{\lambdaC{2}（p-1）}{C{3}（p^{*}-p）}]^{\frac}{p^{**}-1}}\），因此存在一个常量\（\varrho>0\）这样的话

$$\开始{对齐}t_{0}^{p}\biggl[\frac{1}{2p}-\zeta（t）\biggr]-C'{varepsilon}\vert h\vert_{sigma}^{frac{p-1}{p}}>0\end{aligned}$$

对于\（|h|{\sigma}^{\frac{p-1}{p}}<\varrho\），其中\（\varrho=\frac{[\frac{\lambda C_{2}（p-1）}{C_{3}（p^{*}-p）}]^{\frac{p}{p^{*1}}{4pC'{\varepsilon}}}）因此，对于\（0<\lambda<\lampda^{*}\）和\（|h|{\sigma}^{\frac{p-1}{p}}<\varrho\），存在\（\alpha，\rho>0\）这样的话\（I（u）\geq\alpha\）具有\（\|u\|=\rho\）.

（ii）来源\（（f_{4}）\）我们已经知道了\（c{1}，c{2}>0\）这样的话

$$\开始{对齐}F（s）\geq c_{1} 秒^{\nu}-c{2}\quad\text{forall}s>0。\结束{对齐}$$

（2.5）

因此，对于任何\（u_｛0｝>0\）修复了，我们有

$$\开始{对齐}I（tu_{0}）&=\frac{t^{p}}{p}\Vertu_{0}\Vert^{p}-\λ\int_{\Omega}G（tu_{0}）\，dx-\int_}\Omega}F（tu_}）^{p} -c_{1} t吨^{\nu}\vert u_{0}\vert_{nu}^{\nu}+c_{2}\vert\Omega\vert-\lambda\int_{\Omega}G（tu_{0{）\，dx-t\int_{Omeganeneneep hu_{0neneneep \，dx。\结束{对齐}$$

自\（位于（p，p^{*}）中），我们得到\（I（tu_｛0｝）\右箭头-\infty\）作为\（t\rightarrow\infty\）。因此存在\（X中的e）具有\（\|e\|>\rho\）这样的话\（I（e）<0）. □

引理2.2

假设 \（（f{1}）、（f{2}）和（f{4}） 持有,然后 我 满足Palais–Smale条件.

证明

假设\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）是Palais–Smale序列我，即存在\（C>0\）这样的话

$$\开始{aligned}I（u_{n}）\rightarrow C，\qquad I'（u_}）\右箭头0\quad\text{作为}n\rightarror\infty，\end{aligned}$$

(2.6)

那么我们有

$$开始{对齐}和C\bigl（1+\Vert u_{n}\Vert\bigr）\\&\quad\geq I（u_{n}）-\frac{1}{nu}\bigl\langle I'（u_n}）^{p}-\lambda\int_{\Omega}G\，dx-\int_}\Omega}F\，dx-\int__{\欧米茄}hu_{n}\，dx-\frac{1}{\nu}\Vert u\Vert^{p}+\frac}1}{\ nu}\int_{\Omega}（F+\lambda G+h）u_{n{，dx\\quad=\biggl（\frac{1}{p}-\frac{1}{\nu}\biggr）\Vertu_{n}\Vert^{p}+\int_{\Omega}\bigl（\frac{fu_{n{}{\nu}-F\bigger）\，dx+\biggl（\frac{1}{\nu}-1\biggar}}{\nu}-G\biggr）\，dx\\&\quad\geq\biggl（\frac{1}{p}-\frac{1}{\nu}\biggr）\Vertu_{n}\Vert^{p}+\biggl（\frac{1-\nu}{\nu\lambda_{1}}\bighr）\Vert h\Vert_{\sigma}\Vert u_{n}\Vert-\ frac{c'\lambda}{r\lambda{1}垂直^{右}-\frac{\lambda c'}{\lampda_{1}}\vert\Omega\vert^{\frac}p-1}{p}}\Vertu_{n}\vert。\结束{对齐}$$

因此\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）以为界X。直到子序列，仍表示为\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\），存在\（X中的u_{0}\）令人满意的

$$\begin{aligned}u_{n}\rightharpoonup u_{0}\quad\text{in}W^{s，p}（\Omega），\qquad u_{n}\right arrow u_{0}\quad \text{in{L^{p}。\结束{对齐}$$

（2.7）

发件人\（（f{1}），（f{2}），根据勒贝格收敛定理

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega}f（x，u_{n}）（u_{n} -u个_{0}）\，dx\rightarrow 0，\quad\text{as}n\rightarror\infty，\\&\int_{\Omega}g（x，u_{n}）（u_{n} -u个_｛0｝）\，dx\rightarrow 0，\quad\text｛as｝n\rightarrow\infty。\结束{对齐}$$

请注意

$$\开始{aligned}\bigl\langle I'（u_{n}），u_{n} -u个_{0}\bigr\rangle={}&\int_{\Omega}\frac{\vert u_{n}+\vert u{n}\vert^{p-2}铀_{n} （u）_{n} -u个_{0}）-\int_{\Omega}f（x，u_{n}）（u_{n} -u个_{0}）\，dx\\&{}-\lambda\int_{\Omega}g（x，u_{n}）（u_{n} -u个_{0}）-\int_{\Omega}h（x）（u_{n} -u个_{0}）\，dx，\结束{对齐}$$

和

$$\开始{aligned}\bigl\langle I'（u_{n}），u_{n} -u个_{0}\bigr\rangle\rightarrow0\quad\text{as}n \right箭头\infty，\end{aligned}$$

所以我们有

$$开始{对齐}&\int_{\Omega}\frac{\vert u_{n}（x）-u_{n}（y）\vert^{p-2}u{n}\垂直^{p-2}铀_{n} （u）_{n} -u个_{0}）\右箭头0。\结束{对齐}$$

(2.8)

结合弱收敛性\（u{n}\rightharpoonup u{0}\）在里面\（W^{s，p}（\Omega）\），我们有

$$\开始{对齐}u_{n}\rightarrow u_{0}\quad\text{in}W^{1，p}（\Omega）\text{as}n\rightarror\infty，\end{aligned}$$

因此我满足Palais–Smale条件。 □

定理的证明1.1

鉴于引理2.1和引理2.2，定理1.1源自山口定理[16]. □

三存在三种解决方案

在本节中，我们考虑问题的多重性结果(1.1)何时\（h=0）,

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}（-\Delta）_{p}^{s} u个+\vert u\vert^{p-2}铀=f（x，u）+\lambda g（x，u）&x\in\Omega，\\u=0，&x\in\mathbb｛R｝^｛N｝\反斜杠\Omega。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(3.1)

我们首先回顾G.Bonnano的以下定理。

引理3.1

([17])

让 X 是一个可分离且自反的实Banach空间,然后让 \（\phi，\psi:X\rightarrow\mathbb{R}\） 是两个连续Géteaux可微泛函.假设 ϕ 顺序弱下半连续且偶数,那个 ψ 序列弱连续且奇,还有那个,对一些人来说 \（b>0\） 以及每个 \（[-b，b]\中的\lambda\）,功能 \（\psi+\lambda\phi\） 满足Palais–Smale条件和

$$\开始{aligned}\lim_{\|x\|\rightarrow\infty}\bigl（\psi（x）+\lambda\phi（x）\bigr）=+\infty。\结束{对齐}$$

(3.2)

最后,假设存在 \（k>0） 这样的话

$$\begin{aligned}\inf_{x\in x}\bigl（\psi（x）\bigr）<\inf_{|\phi（x）|<k}\psi（x）。\结束{对齐}$$

(3.3)

然后,对于每个 \（b>0\）,存在开放区间 \（\Lambda\subseteq[-b，b]\） 和一个正实数 σ 这样的话,对于每个 \（\lambda\ in \lambda\）,方程式

$$\begin{aligned}\psi'（x）+\lambda\phi'（x）=0\end{alinged}$$

允许至少三种解决方案 X 其标准低于 σ.

考虑功能

$$\开始{aligned}I（u）=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}-\lambda\int_{\Omega}G\，dx-\int_}\Omega}F\，dx\end{aligned}$$

并表示\（磅/平方英寸（u）=\frac｛1｝｛p｝\|u\|^{p}-\int_{\Omega}F\，dx\）,\（\phi（u）=\int _｛\Omega｝-G\，dx\）.

定理的证明1.2

检查一下就足够了我满足引理中的所有假设3.1.签署人\（（\widetilde{f}_{2} ）\），给定\（epsilon>0\），我们有

$$\begin{aligned}&\bigl\vert f（x，s）\bigr\vert\leq C_{\epsilon}+\epsilen\verts s\vert^{p-1}\quad\text{forevery}s\in\mathbb{R}，\end{alinged}$$

（3.4）

$$\begin{aligned}和\bigl\vert F（x，s）\bigr\vert\leq C_{\epsilon}+\frac{\epsilon}{p}\verts s\vert^{p}\ quad\text{forevery}s\in\mathbb{R}，\end{alinged}$$

(3.5)

因此，功能\（psi（u））是连续Géteaux可微且弱序列连续的。发件人\（（g{1}）\）我们知道\（φ（u））弱顺序连续。

由(3.5)和\（（g{1}）\），我们推导

$$\开始{aligned}\psi（u）+\lambda\phi（u）&\geq\frac{1}{p}\Vert-u\Vert^{p}-\int_{\Omega}C_{\epsilon}+\frac{\epsilon}{p}\verts \vert^{p}\，dx-\lambda\int_}\Omega}\biggl（C\vert u\vert+\frac{1}{r}\vert u \vert ^{r}\biggr）\biggr）\vert u\vert^{p} -C_{1} \垂直u\垂直^{r} -C_{2} \垂直u\垂直-C_{3}\垂直\欧米茄\垂直。\结束{对齐}$$

自\（p>r），采取ϵ足够小，我们有

$$\开始{aligned}\lim_{\|u\|\rightarrow+\infty}\psi（u）+\lambda\phi（u）=+\inft。\结束{对齐}$$

(3.6)

遵循引理中的类似论点2.2,我满足Palais–Smale条件。

由\（（f{1}）\），我们有

$$开始{aligned}\int_{\Omega}F（x，u）\，dx\leq\frac{\epsilon}{p}\int_{\Omega}\vertu\vert^{p}\，dx \leq\frac{\epsilon}{p \lambda_{1}}\Vertu\vert^{p}。\结束{对齐}$$

(3.7)

因此

$$\开始{aligned}\psi（u）\geq\frac{1}{p}\Vert-u\Vert^{p}-\frac{\epsilon}{p}\int_{\Omega}\vertu\vert^{p}\，dx>0。\结束{对齐}$$

(3.8)

因此存在\（k>0）这样的话

$$\开始{aligned}\inf_{|\phi（u）|<k}\psi（u）=0。\结束{对齐}$$

由于\（（f{3}）\），对于任何\（u\在W^{s，p}（\Omega）中\），让\（t\rightarrow\infty\），有个保持

$$\开始{aligned}\psi（tu）&=\frac{1}{p}\Vert-tu\Vert^{p}-\int _｛\Omega｝F（x，tv）\，dx\\&<\frac｛t^｛p｝｝｛p｝\Vert u\Vert^{p}-\frac{2rt^{p}}{p}\int_{\Omega}\vert u\vert^{p{，dx+B\vert\Omega\vert\&<-\frac{t^{p2}{p{+B\fort\Omega \vert\rightarrow-\infty。\结束{对齐}$$

那么我们有

在W^{s，p}（\Omega）}\psi（u）<\inf_{|\phi（u）|<k}\psi。\结束{对齐}$$

（3.9）

这样就完成了证明。 □

4无穷多解的存在性

在本节中，我们考虑问题的关键案例(3.1)即。，

$$\开始{aligned}\textstyle\begin{cases}（-\Delta）_{p}^{s} 单位+\vert u\vert^{p-2}铀=f（x，u）+\lambda\vert u\vert^{p^{*}_{s} -2个}u、 &x\in\Omega，\\u=0，&x\in \mathbb{R}^{N}\反斜杠\Omega。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(4.1)

假设不足\（（g{3}）\）定理的1.3，很容易看出(4.1)是偶数，因此我们倾向于使用Kajikiya的对称山路定理来证明无穷多解的存在性。由于临界项的存在，我们首先证明了局部紧性结果。

引理4.1

让 \（（f{2}）\） 持有.然后,对于任何 \（M>0）,存在 \（\lambda_{*}\） 这样的话 我 满足Palais–Smale条件 \（（-\infty，M]\）,\（对于（0，\lambda_{*}）中的所有\lambda）.

证明

让\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）成为一座宫殿–Smale序列我在水平面d日，即存在\（d>0）这样的话

$$\开始{对齐}I（u_{n}）\rightarrow d，\qquad I'（u_}）\右箭头0\quad\text{as}n\rightarror\infty。\结束{对齐}$$

(4.2)

由\（（f{2}）\）我们有

$$开始{aligned}\bigl\vert f（x，u）u\bigr\vert\leq c（\epsilon）+\epsilon\vert u\vert^{p^{*}_{s}}\end{aligned}$$

(4.3)

和

$$开始{aligned}\bigl\vert F（x，u）\bigr\vert\leq c'（\epsilon）+\epsilon\vert u\vert^{p^{*}_{s}}。\结束{对齐}$$

(4.4)

然后，通过(4.2)，我们有

$$开始{对齐}d+o（1）\Vert u_{n}\Vert&=I（u_{n}）-\frac{1}{p}\bigl\langleI'（u_}n}），u_{n}\bigr\rangle\\&=\lambda\biggl（\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{*}}\biggr）\vertu{n}\vert_{p^}}^p^{**}}+\int_{\Omega}\frac{1}{p} fu-F型\，dx\\&\geq\biggl（\frac｛\lambda｝{p}-\压裂{\lambda}{p^{*}}-\epsilon\biggr）\vert u_{n}\vert _{p^}}^{p^[*}}-c（\epsilen）\vert\Omega\vert。\结束{对齐}$$

拿ϵ足够小，我们可以得到

$$开始{aligned}\vertu{n}\vert_{p^{*}}^{p^}}\leq C+o（1）\Vertu{n{}\vert。\结束{对齐}$$

(4.5)

另一方面，

$$\开始{aligned}d+o（1）&=\frac{1}{p}\Vertu{n}\Vert^{p}-\frac{\lambda}{p^{*}}\vert u_{n}\vert_{p^}}^{p^*}}-\int_{\Omega}F\，dx\\&\geq\frac}1}{p}\vert u_}n}\ vert^{p} -c'（\epsilon）\vert\Omega\vert-\biggl（\frac｛\lambda｝｛p^｛*｝｝+\epsilon\biggr）\vert u_｛n｝\vert _｛p^｛*｝｝^｛p^｛*｝｝，\end｛aligned｝$$

因此\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\）以为界X。直到子序列，仍表示为\（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{n}}\），存在\（X中的u）令人满意的

$$\begin{aligned}u_{n}\rightharpoonup u\quad\text{in}W^{s，p}（\Omega），\qquad u_{n}\right arrow u\quad \text{in{L^{p}（\ Omega。\结束{对齐}$$

(4.6)

应用\（（f{2}）\），我们有

$$\begin｛aligned｝&\int｛\Omega｝f（x，u｛n｝）u｛n｝\，dx=\int｛\Omega｝f（x，u）u \，dx+o（1），\ end｛aligned｝$$

(4.7)

$$\开始{aligned}&\int_{\Omega}F（x，u_{n}）u_{n}\，dx=\int_}\Omega}F（x，u）u\，dx+o（1）。\结束{对齐}$$

(4.8)

注意到序列\（{\frac{|u_{n}（x）-u_{n}（y）|^{p-2}（u_{n}以为界\（L^{p'}（\Omega）\），通过逐点收敛\（u{n}\右箭头u\），我们有

$$开始{对齐}\frac{\vert u_{n}（x）-u_{n}（y）\vert^{p-2}垂直^{\frac{n+ps}{p}}}。\结束{对齐}$$

(4.9)

发件人(4.7)–(4.9)我们推导\（I'（u）=0），即u是的弱解(4.1)、和

$$\begin{aligned}I（u）=\int_{\Omega}\biggl（\frac{1}{p} 超滤-F\biggr）\，dx+\lambda\biggl（\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{*}}\biggr）\int_{\Omega}\vert u\vert^{p^}}\，dx。\结束{对齐}$$

(4.10)

因此，检查就足够了\（u{n}\右箭头u\）在里面X.我们认为\（v{n}=u_{n} -u个\).通过Brezis–Lieb引理的分数形式(4.2)，我们有

$$\begin{aligned}\bigl\langle I'（u_{n}，u_{n}\bigr\rangle&=\Vert v_{n{}\Vert^{p}+\Vert u\Vert^{p}-\int_{\Omega}uf（x，u）\，dx-\lambda\int_}\Omega}\vert v_{n}\vert^{p^{*}}\，dx-\lambda \int_\\Omega{\vert u\vert_{p^}}\$$

(4.11)

和

$$\开始{对齐}I（u_{n}）=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}+\frac}1}{p}\Vertv_{n}\Vert^{p}-\int_{\Omega}F（x，u）\，dx-\frac{\lambda}{p^{*}}\int\vertv_{n}\vert^{p^}}-\frac}\lambda}{p_{*}{int\vert u\vert|p^{**}}}+o（1）。\结束{对齐}$$

（4.12）

自\（I'（u）=0），我们有

$$\开始{aligned}\Vertv_{n}\Vert ^{p}=\lambda\int_{\Omega}\vertv_}\n}\ Vert^{p^{*}}\，dx+o（1）。\结束{对齐}$$

(4.13)

在不失一般性的情况下，我们假设\（\ |v{n}\ |^{p}=a+o（1）\）根据分数Sobolev不等式，我们得到

$$\begin｛aligned｝a\geq S（a/\lambda）^｛p/p^｛*｝｝。\结束{对齐}$$

(4.14)

如果\（a=0），证明是完整的。否则，\（a\geq S^{N/ps}\lambda^{（ps-N）/ps}\）.结合(4.2), (4.3)、和(4.4)，作为\（n\rightarrow\infty\）我们推导

$$\开始｛对齐｝d&=\frac｛a｝{p}-\压裂{a}{p^{*}}+\int_{\Omega}\biggl（\frac{1}{p} 超滤-F\biggr）\，dx+\lambda\biggl（\frac{1}{p}-\压裂{1}{p^{*}}\biggr）\int_{\Omega}\vert u\vert^{p^}}\，dx\\&\geq\frac{s}{n} S公司^{N/ps}\lambda^{（ps-N）/ps}-c'（\epsilon）\vert\Omega\vert+\lambda \biggl（\frac{1}{p}-\frac{1}{p^{*}}-\epsilon\biggr）\int_{\Omega}\vert u\vert^{p^}}\，dx\\&\geq\frac}{n} S公司^{N/ps}\lambda^{（ps-N）/ps}-c'（s/2N\lambda）\vert\Omega\vert\end{aligned}$$

假如ϵ足够小。那么，给定任何\（M>0），存在\（\lambda_{*}\）这样的话

$$\开始{aligned}d\geq\frac{s}{n} S公司^{N/ps}\lambda^{（ps-N）/ps}-c'（\epsilon）>M\end{对齐}$$

(4.15)

为所有人\（（0，\lambda_{*}）中的\lambda），从而完成证明。

现在我们介绍克拉斯诺塞尔斯基属。让E类成为一个真正的巴纳赫空间。封闭子集A类属于E类称为对称，如果\（A\中的x\）暗示\（-x\在A\中）.用∑表示所有对称闭集的族E类.的属A类如果存在奇数映射，则定义为最小整数n\（C（A，\mathbb{R}^{n}\反斜杠\{0\}）中的\varphi\）.如果n不存在，则\（伽马（A）=infty）通常，\（\gamma（\phi）=0\）. □

提议4.2

让 \（西格玛中的A、B）.然后:

• （1） 如果存在来自的奇数连续映射 A类 到 B类,然后 \（伽玛（A）\leq\gamma（B）\）.

• (2) 如果有一个奇数同胚 A类 到 B类,然后 \（伽马（A）=伽马（B））.

• (3) 如果 \（\gamma（B）<\infty\）,然后 \（\gamma（\overline{A\backslash B}）\geq\gamma-（A）-\gamma-（B）\）.

• （4） n-量纲球体 \（\mathbb{S}^{n}\） 有一个n属+1根据Borsuk–Ulam定理.

• (5) 如果 A类 是紧凑的,然后 \（伽玛射线（A）<infty）,并且存在 \（增量>0） 和一个封闭的对称邻域 \（N_{\delta}（A）=\{x\在E:\|x-A\|\leq\delta\}\中） 这样 \（\gamma（N_｛\delta｝（A））=\gamma（A）\）.

然后我们给出由于Kajikiya的对称山路引理[18].

引理4.3

让 E类 是无限维Banach空间 \（C^{1}（E，\mathbb{R}）中的I） 是满足以下条件的函数:

\（（C_{1}）\）:

\（I（u）\） 是偶数,从下面限定,\（I（0）=0\）,和 \（I（u）\） 满足当地Palais–Smale条件,我.e（电子）.,对一些人来说 \（d^{*}>0\）,在每个序列 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 在E中令人满意 \（I（u_｛n｝）\右箭头d＜d^｛*｝\） 和 \（I'（u_{n}）\右箭头0\） 在里面 \（电子^{*}\） 具有收敛子序列;

\（（C_{2}）\）:

对于每个 \（n\in\mathbb{n}\）,存在 \（A_{n}\in\Gamma_{n{） 这样的话 \（在A_｛n｝｝I（u）＜0\中的\sup_｛u）.

然后要么(我)或(ii（ii）)低于保留.

• （i） 存在一个序列 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 这样的话 \（I'（u_{n}）=0\）,\（I（u_{n}）=0\）,和 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 收敛到0

• （ii） 存在两个序列 \（{u_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 和 \（{v_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 这样的话 \（I'（u_{n}）=0\）,\（I（v_{n}）<0\）,\（\lim_{n\rightarrow\infty}I（v_{n}）=0\）,和 \（{v_{n}\}_{n\in\mathbb{R}^{n}}\） 收敛到非零极限.

自\（I（u）\）从下面看是没有界限的，我们在下面的讨论中使用截断参数。设置\（\epsilon=\frac{\lambda}{p^{*}}\）英寸(4.4)，因此

$$\开始{aligned}I（u）&=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}-\int_{\Omega}F\，dx-\frac{\lambda}{p^{*}}\int_}\Omega}\vert u\vert^{p^}\，dx\\&\geq\frac{1}{p}\vert u\vert^{p} -c\biggl（\frac｛\lambda｝｛p*｝\biggr）\vert\Omega\vert-\frac｛2\lambda｝｛p^｛*｝｝\int _｛\Omega｝\vert-u\vert-^｛p^｛*｝｝\，dx\\&&\geq\frac｛1｝｛p｝\vert u\vert^{p} -c\biggl（\frac{\lambda}{p*}\biggr）\vert\Omega\vert-\frac}2\lambda{p^{*}}S^{-p^{*/p}}\vert-u\vert^{p^}}\\&=A\vert-u \vert^{p} -B类\Vert u\Vert^{p^{*}}-c\biggl（\frac{\lambda}{p*}\biggr）\Vert\Omega\Vert，\end{aligned}$$

哪里\（A=压裂{1}{p}，B=压裂{2\lambda}{p^{*}}S^{-p^{*/p}}，C=C（压裂{lambda{p*}）|\Omega|\）.

考虑

$$\开始{对齐}g（t）：=在^{p} -生物技术^{p^{*}}-C，\结束{对齐}$$

很容易看出这一点克在达到最大值\（t_{1}=（\压裂{S^{p^{*}/p}}{2\lambda}）^{1/（p^{**}-p）}\）、和

$$\begin{aligned}M_{1}=g（t_{1}）=\frac{s}{N}\biggl（\frac{s}{2}\bigr）^{N/ps}\lambda^{-N/ps}-c\biggl（\frac{lambda}{p*}\bigcr）\vert\Omega\vert>0，\end{alinged}$$

(4.16)

假如\（\lambda\in（0，\lambda_｛*｝'）\），其中\（\lambda_{*}'=[\frac{\frac}{N}（\frac[s}{2}）^{N/ps}{C}]^{ps/N}\）.

因此，我们可以发现，对于任何\（（0，M_{1}）中的M_{0}\）,\（t{0}<t{1}\）这样的话\（g（t_{0}）=M_{0}\）.然后我们介绍辅助功能

$$\begin{aligned}\chi（t）=\textstyle\begin{cases}1，&0\leq t\leq t_{0}，\\frac{At^{p} -C-M公司_{1} }{Bt^{p^{*}}，&t\geqt_{1}，\\C^{infty}，[0,1]中的chi（t），&t_{0}\leqt\leqt_{1}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

很容易看出这一点\（[0,1]\中的chi（t））和\（C^{infty}中的“chi（t）”）.让\（\varphi（u）：=\chi（\|u\|）\），我们考虑截断函数\（J:X\右箭头\mathbb{R}\）定义为

$$\开始{对齐}J（u）=\frac{1}{p}\Vertu\Vert^{p}-\varphi（u）\int_{\Omega}F\，dx-\frac{\lambda\varphi}{p^{*}}\int_}\Omega}\vert u\vert^{p^}}\，dx。\结束{对齐}$$

(4.17)

因此我们有

$$\开始{对齐}J（u）\geq A\Vert u\Vert^{p} -B类\varphi（u）\Vert u\Vert^{p^{*}}-c\biggl（\frac{\lambda}{p*}\biggr）\Vert\Omega\Vert:=\overline{g}\bigl（\Vert u \Vert\biger），\end{aligned}$$

（4.18）

哪里\（上横线{g}（t）=At^{p} -B\chi（t）t^{p^{*}}-C\）和

$$\开始{aligned}\上划线{g}（t）：=\textstyle\begin{cases}g（t），&0\leqt\leqt_{0}，\\M_{1}&t\geqt_{1}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

通过上述参数，我们得到了以下结果。

引理4.4

让 \（J（u）\） 定义如下(4.17),然后

• （i） \（C^{1}（X，\mathbb{R}）中的J）,J型 是偶数且有界的.

• （ii） 如果 \（J（u）<M_{0}\）,然后 \（上划线{g}（\|u\|）<M_{0}）,因此 \（\ | u \ |<t_{0}\） 具有 \（I（u）=J（u）\）.

• （iii） 存在 \（\lambda_{*}\） 这样的话,对于任何 \（（0，\lambda_{*}）中的\lambda）,J型 满足当地Palais–Smale条件

  $$\开始{aligned}d<M_{0}\在\biggl（0，\min\biggl\{M_{1}，\frac{s}中{n} S公司^{N/ps}\lambda^{（ps-N）/ps}-c'（s/2\lambda N）\biggr\}\biggr）。\结束{对齐}$$

  (4.19)

证明

很容易看到（i）和（ii）。（iii）因此由（ii）和引理持有4.1. □

引理4.5

假设 \（（\widetilde{f}_{1})\) 持有.然后,对于任何 \（k\in\mathbb{N}\）,存在 \（δ（k）>0） 这样的话 \（\gamma（X:J（u）\leq\delta（k）\}\反斜杠\{0\}）\geq-k\）.

证明

由\（（\widetilde{f}_{1})\)，我们推导

$$\开始{对齐}F（x，\varepsilon u）\geq G（\varepsilon）（\varesilon u）^{p}\quad\text{与}G（\varesilon）\rightarrow\infty\text{as}\varesilion\right箭头0。\结束{对齐}$$

(4.20)

鉴于\（k\in\mathbb{N}\）然后让\（E_{k}\）是的k维子空间X.由于所有规范\（E_{k}\）是等价的，我们定义

$$\begin{aligned}\alpha_{k}=\inf_{\Vert u\Vert=1}\int_{\Omega}\Vert u\Vert^{p^{*}}\，dx，\qquad\beta_{k{=\inf{\Vertu\Vert=1}\int _{\欧米茄}\vertu\Vert ^{p}\，d\end{alinged}$$

(4.21)

那么对于任何\（u \在E_｛k｝\中）和\（在（0，t_{0}）中为\varepsilon\）,

$$\开始{对齐}I（\varepsilon u）&=J（\varesilon u）\\&\leq\frac{\varepsilon^{p}}{p}-\frac{\lambda\varepsilon^{p^{*}}}{p^}}\alpha_{k} -G（瓦雷普西隆）瓦雷普西隆^{p}\beta_{k}\\&\leq\varepsi隆^{p2}\biggl[\frac{1}{p}-\frac{\lambda\varepsilon^{p^{*}-p}}{p^}}\alpha_{k} -克（\varepsilon）\beta_{k}\biggr]\\&=-\delta（k）<0\end{aligned}$$

假如ε足够小，因为\（G（\varepsilon）\rightarrow\infty（\varebsilon\right箭头0）\）.因此

在E_{k}:\Vert u\Vert=\varepsilon\bigr\}\subset\bigl\{u\在X:J（u）\leq-\delta（k）\bigr\}\backslash\{0\}中，$$开始{aligned}\bigl\{u\。\结束{对齐}$$

(4.22)

这就完成了证明。 □

定理的证明1.3

考虑

$$\begin{aligned}\Sigma_{k}:=\bigl\{A\ in X\反斜杠\{0\}:A\text{关闭，}A=-A，\gamma（A）\geq k\bigr\}，\end{alinged}$$

(4.23)

并定义

$$\begin{aligned}c_{k}=\inf_{A\in\Sigma_{k{}}\sup_{u\inA}G（u）。\结束{对齐}$$

(4.24)

按引理4.4-（i） 和引理4.5，这意味着\（-\infty<c{k}<0）.因此条件\（（C_{1}）\）和\（（C_{2}）\）引理的4.3都很满意。因此，存在一系列解决方案\（{u{n}）收敛到0。因此，定理1.3后跟引理4.4（ii）。 □