线性瑞利-泰勒不稳定性最大增长率的一个新上界

摘要

我们研究了分层不可压缩粘性流体中（界面）表面张量对线性瑞利-泰勒（RT）不稳定性的影响。在不稳定条件下（即表面张力系数），证明了具有最大增长率∧的线性RT不稳定解的存在性ϑ小于阈值\（\vartheta_{\mathrm{c}}\）)采用改进的偏微分方程变分法。此外，我们发现∧的一个新上界。特别是，我们直接从上限观察到∧逐渐收敛到零ϑ从零到阈值\（\vartheta_{\mathrm{c}}\）.

1介绍

考虑到两个完全平面平行的分层（不混溶）流体层，较重的一层位于较轻的一层之上，两者都受到地球引力的影响，众所周知，这种平衡状态不稳定，无法承受小扰动，当较重的流体在重力作用下向下移动，而较轻的流体向上移动时，这种不稳定的扰动将增大，导致势能释放。瑞利首先研究了这一现象[28]然后是Taylor[29]因此称为瑞利-泰勒（RT）不稳定性。在过去的几十年里，人们从数学、物理和数值方面对这一现象进行了广泛的研究，参见[2,10,31]例如。人们还广泛研究了RT不稳定性在其他物理因素（如弹性）的影响下如何演变[三,13,23,25,32]，旋转[2,6]，（内部）表面张力[11,16,36]，磁场[18——22,24,33,34]在本文中，我们感兴趣的是表面张力对分层不可压缩粘性流体中线性RT不稳定性的影响。为了方便地介绍相关的数学进展和我们的主要结果，接下来我们详细地用数学公式描述我们的问题。

1.1欧拉坐标系中的运动方程

让我们首先回顾一个数学模型，它描述了分层不可压缩粘性流体在无限层域中的水平周期运动[23]:

$$\textstyle\begin{cases}\rho{\pm}（\partial_{t}v{\pm{+v{\pm}\cdot\nabla v{\p.}）+\operatorname{div}\mathcal{宋体}_｛\pm｝=-g\rho_｛\pm｝e_｛3｝&&mbox｛in｝\Omega _｛\pm｝（t），\\\\运算符名称{div}v_{\pm}=0&\mbox{on}\Omega_{\pm{（t），\\d_{t}+v{1}\部分_{1} d日+v{2}\部分_{2} d日=v_{3}&\mbox{on}\Sigma（t），\\[！\！[v_{\pm}]\！\！]=0，\qquad[\！\！[\mathcal{宋体}_{\pm}\nu]\！\！]=\vartheta\mathcal{C}\nu&\mbox{on}\Sigma（t），\\v_{\pm}=0&\mbax{on}\ Sigma_{\pm}，\\v_{\pm{|{t=0}=v^{0}_{\pm}&\mbox{in}\Omega_{\pm{（0），\\d|_{t=0}=d^{0}&\mbox{on}\Sigma（0）。\结束{cases}$$

(1.1)

中的动量方程(1.1)₁描述由重力场驱动的上部较重和下部较轻粘性流体沿负向的运动\（x{3}\）-方向，占据两个与时间相关的不相交的开放子集\（\欧米茄{+}（t）\）和\（\欧米茄{-}（t）\）时间t吨分别是。此外，由于以下原因，流体是不可压缩的(1.1)₂两种流体通过自由界面的运动方程相互作用(1.1)_三和界面跳跃条件(1.1)₄。中的第一个跳转条件(1.1)₄表示速度在界面上是连续的。第二次跳进(1.1)₄表示法向应力的跳跃与表面的平均曲率乘以表面的法线成比例。上下固定平面边界上速度的非滑移边界条件描述为(1.1)₅. (1.1)₆和(1.1)₇表示两种流体的初始状态。接下来，我们进一步解释(1.1)详细说明。

下标+resp.−在符号中\（f_{+}\）相应的。\（f{-}\）表示函数、参数或域\（f_{+}\）相应的。\（f{-}\）与上面的resp相关。较低的流体。对于每个给定的\（t>0）,\（d:=d（x_{\mathrm{h}}，t）：\mathbb{t}\mapsto（-h_{-}，h_{+}）\）是分层流体界面点的高度函数，其中\（h{-}，h{+}>0\）,\（\mathbb{T}:=\mathbb{T}（T）_{1} \次\mathbb{T}（T）_{2}\),\（\mathbb{T}（T）_{i} =2\pi L_{i}（\mathbb{R}/\mathbb{Z}）\）、和\（2\pi L_{i}\）(\（i=1，2）)是周期长度。域名\（\欧米茄{\pm}（t）\）和界面\（西格玛（t））定义如下：

$$\begin{aligned}和\Omega_{+}（t）：=\bigl\{（x_{mathrm{h}，x_{3}）\mid x_{\mathrm}h}}：=（x_}1}，x_{2}）\ in\mathbb{t}，d \bigl\{（x_{\mathrm{h}}，x_{3}）\mid x_{\thbb{t}，-h_{-}<x_{3}<d（x_}\mathrm{h}，t）\bigr\}，\\&\Sigma（t）：=\bigl\mid x_{\mathrm{h}}\ in \mathbb{T}，x_{3}:=d（x_{\ mathrm}}，T）\bigr\}。\结束{对齐}$$

此外，\（\Sigma_{+}=\mathbb{T}\times\{h_{+{}\}\）,\（\Sigma_{-}=\mathbb{T}\times\{-h{-}\}\），我们打电话给\（\Omega:=\mathbb{T}\次（-h_{-}，h_{+}）\）分层流体的区域。

对于给定的\（t>0）,\（v_｛\pm｝（x，t）：\欧米茄_｛\pm｝（t）\mapsto\mathbb｛R｝^｛3｝\）是两种流体的速度，以及\（\mathcal{宋体}_{\pm}\）应力张量是否满足以下表达式：

$$\马塔尔{宋体}_{\pm}：=p_{\pmneneneep I-\mu_{\pm}\mathbb{D} v（v）_{\pm}\quad\mbox{with}\mathbb{D} v（v）_{\pm}=\nabla v_{\pm{+\nabla-v_{\fm}^{\mathrm{T}}$$

(1.2)

在上述表达式中，上标T表示矩阵转置和我是\（3乘以3）单位矩阵。\（\rho_{\pm}\）是密度常数和常数\（\mu_{\pm}>0\）是剪切粘度系数。克和ϑ分别表示重力常数和表面张力系数。此外，\（e_{3}:=（0,0,1）^{\mathrm{T}}\）.

对于函数（f）定义于\（\欧米茄（t）\），我们定义\（[\！\！[f_{\pm}]\！\，其中\（f_｛\pm｝| _｛\ Sigma（t）｝\）是数量的痕迹\（f_{\pm}\）在\（西格玛（t））.ν是边界处的单位外法向量\（西格玛（t））属于\（\欧米茄{-}（t）\）、和\（\mathcal{C}\）是内表面平均曲率的两倍\（西格玛（t））即。，

$$\mathcal{C}:=\frac{\Delta_{\mathrm{h}}d+（\partial_{1}d）^{2}\partiale_{2}^{2{d+（\ partial_{2} d日)^{2} \部分_｛1｝^{2} d-2日\部分_{1} d日\部分_{2} d日\部分{1}\部分_{2} d日}{（1+（\部分_{1} d日)^{2} +（\部分_{2} d日)^{2})^{3/2}}. $$

现在我们进一步介绍指标功能\（\chi_{\Omega_{\pm}（t）}\）并表示

$$开始{对齐}&\rho=\rho_{+}\chi_{\Omega_{+{（t）}+\rho_{-}\chi_{\Omega_{-}（t（t）}+v{-}\chi{\Omega{-}}+v{-}^{0}\chi{\Omega{-}（0）}，\qquad\mathcal{S}:=pI-\mu\mathbb{D}v，\end{aligned}$$

然后是模型(1.1)可以重写如下：

$$\textstyle\begin{cases}\rho（v{t}+v\cdot\nabla v）+\operatorname{div}\mathcal{S}=-g\rhoe_{3}&\mbox{in}\Omega（t），\\operatorname{div{v=0&\mbax{in}\ Omega_{1} d日+v{2}\部分_{2} d日=v_{3}&\mbox{on}\Sigma（t），\\[！\！[v]\！]=0，\qquad[\！\！[\mathcal{S}\nu]\！\\vartheta\mathcal｛C｝\nu&&mbox｛on｝\Sigma（t），\\v=0&&mbox｛on｝\Sigma _｛-｝^｛+｝，\\v|_｛t=0｝=v^｛0｝&&mbox｛in｝\Omega（0），\\d|_｛t=0｝=d^｛0｝&&mbox｛on｝\Sigma（0），\end｛cases｝$$

(1.3)

我们已经定义了\（\Omega（t）：=\Omega_{+}（t）\cup\Omegan_{-}（t）\）,\（\西格玛{-}^{+}:=\西格马{-}\杯\Sigma{+}\）并省略了下标±in\（[！\！[f_{\pm}]\！\！]\）为了简单起见。

1.2拉格朗日坐标系下的重整

接下来我们采用拉格朗日坐标变换，使界面和区域在时间上保持固定。

我们定义它

$$开始{对齐}和\Omega_{+}:=\bigl\{（y_{\mathrm{h}}，y_{3}）\in\mathbb{R}^{3}\mid y_{\ mathrm}h}}\in\mathbb{T}）\in\mathbb{R}^{3}\mid-y_{\mathrm{h}}\in\mathbb{T}，-h_{-}<y_{3}<0\bigr\}，\end{aligned}$$

并假设存在可逆映射

$$\ζ_｛\pm｝^｛0｝：\欧米茄_｛\pm｝\右箭头\欧米茄_｛\pm｝（0）$$

这样的话

$$\Sigma（0）=\zeta_{\pm}^{0}（\Sigma-），\qquad\Sigma_{\pm}=\zeta _{\p}^{0}（\Sigma_{\p.}）\quad\mbox{和}\quad\\det\nabla\zeta_{\pm{0}=1$$

(1.4)

我们进一步定义\（泽塔^{0}:=\泽塔{+}^{0{chi_{\Omega{+}（0）}+\泽塔}-}^{0}\chi_{\\Omega_{-}（O）}\）和流程图ζ作为解决方案

$$\textstyle\begin{cases}\partial_{t}\zeta（y，t）=v（\zeta，t）&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\zeta（y，0）=\zeta^{0}（y$$

(1.5)

哪里\（\欧米茄{-}^{+}:=\欧米加{+}\杯子\欧米伽{-}\）。我们将欧拉坐标表示为\（（x，t）\）具有\（x=ζ（y，t）\），而固定\（（y，t）\在\Omega_{-}^{+}\times\mathbb{R}^{+/}\中代表拉格朗日坐标。

为了从拉格朗日坐标到欧拉坐标来回切换，我们假设\（\泽塔{\pm}（\cdot，t）\）是可逆的，并且\（\Omega_{\pm}（t）=\zeta_{\pm}（\Omega_{\ pm}，t）\），自\（v{\pm}\）和\（\泽塔{\pm}^{0}\）在∑上都是连续的，我们有\（\西格玛（t）=\泽塔_{\pm}（\西格玛，t）\）.考虑到防滑边界条件\（v|_{\Sigma_{-}^{+}}=0\），我们有

$$y=\zeta（y，t）\quad\mbox{on}\Sigma_{-}^{+}$$

现在我们设置拉格朗日未知数

$$（u，\sigma）（y，t）=（v，p+g\rho x{3}）\bigl$$

然后是问题(1.3)可以重写为具有以下接口的初边值问题\（（\泽塔，u）\）在拉格朗日坐标中：

$$\textstyle\begin{cases}\zeta_{t}=u&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\rhou{t}+\nabla_{\mathcal{A}}\sigma-\mu\Delta_{\mathcal{A}}u=0&\mbax{in}\Omega _{-{^{+{，\\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}u=0&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[！\！[\zeta]\！\！]=[！\！[u]\！\！]=0，\qquad[\！\！[（（\sigma-g\rho\zeta_{3}）I-\mu\mathbb{D}（D）_{\mathcal{A}}u）\vec{n}]\！\！]=\vartheta\mathcal{H}\vec{n}&\mbox{on}\Sigma，\\（zeta，u）=（y，0）&\mbax{on}\ Sigma_{-}^{+}，\\$$

(1.6)

我们已经定义了

$$\开始{aligned}&\Sigma:=\mathbb{T}\times\{0\}，\qquad\vec{n}:={\mathcal{A} e（电子）_{3} }/{\vert\mathcal{A} e（电子）_{3} \vert}，\qquad\mathbb{D}（D）_{\mathcal{A}}u=\nabla_{\mathcal{A{}u+\nabla _{\matchcal{A}u^{\mathrm{T}}，\\&\mathcal{H}:=\bigl（\vert\partial_{1}\zeta\vert^2}\partial_{2}^{2}\zeta-2（\partial _{1}\ zeta\cdot\ partial _{2}\ zeta）\partial/{1}}\zeta+\vert\partial_{2}\ zeta\vert^{2}\partial_1}^{2{\zeta\biger）\cdot\vec{n}/\bigl（\vert\partial_{1}\zeta\vert^{2}\vert\partial_2}\zeta \vert^{2}-\vert\partial_{1}\zeta\cdot\partial_2}\zeta \vert^{2}\biger）。\结束{对齐}$$

我们将介绍涉及\（\mathcal{A}\）.矩阵\（\mathcal{A}:=（\ mathcal｛A｝_{ij}）{3\乘以3}\）通过定义

$$\mathcal{A}^{\mathrm{T}}=（\nabla\zeta）^{-1}:=（\partial_{j}\zeta_{i}）^{-1}_{3\乘以3}$$

哪里\（部分{j}）表示关于j个变量的th分量年.\（\tilde{\mathcal{A}}:=\mathcal{A} -我\)、和我是\（3乘以3）单位矩阵。微分算子\（\nabla_{mathcal{A}}\）由定义

$$\nabla_{\mathcal{A}}w:=（\nabla _{\mathcal{A}}w_{1}，\nabla-{\mathcal{A{}w_{2}，\ nabla _{\matchcal{A}{}w _{3}）｛A｝_{1k}\部分_{k} w个_{i} ，\mathcal｛A｝_{2k}\部分_{k} w个_{i} ，\mathcal｛A｝_{3k}\部分_{k} w个_{i} ）^{\mathrm{T}}$$

对于向量函数\（w:=（w{1}，w{2}，w{3}）\）和微分算子\（\操作员姓名{分割}_{\mathcal{A}}\）由定义

$$\操作员姓名{分割}_{\mathcal{A}}\bigl（f^{1}，f^{2}，f ^{3}\bigr）：=\bigl-（\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}f^{1}，\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}f^{2}，\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}f^{3}\biger）^{\mathrm{T}}\quad\mbox{和}\quad\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}f^{i}:=\mathcal｛A｝_{lk}\部分{k}f{l}^{i}$$

对于向量函数\（f^｛i｝：=（f_｛1｝^｛i｝，f_｛2｝^｛i｝，f_｛3｝^｛i｝）^｛\mathrm｛T｝｝\）应该注意的是，我们使用了爱因斯坦关于重复指数求和的约定。此外，我们定义\（\Delta_{\mathcal{A}}X:=\operatorname{分割}_{\mathcal{A}}\nabla_{\matchcal{A}{X\）.

1.3线性化运动

我们选择一个常数\（在（-h{-}，h{+}）中为\bar{d}\）.在不失一般性的情况下，我们假设\（\bar{d}=0\）然后我们考虑RT平衡状态

$$\textstyle\begin｛cases｝\nabla\bar{p}_{\pm}=-\bar{\rho}_{\pmneneneep ge_{3}&\mbox{in}\Omega_{\pm}，\\[\！\！[\bar{p}_{\pm}]\！\！]e_{3}=0&\mbox{on}\Sigma，\end{cases}$$

(1.7)

哪里ρ满足RT（跳跃）条件

$$[！\！[{\rho}]\！\！]>0\quad\mbox{on}\Sigma$$

(1.8)

让\（\bar{p}:=\bar{p}_{+}\chi_{\Omega_{+}}+\bar{p}_{-}\chi_{\Omega_{-}}\）.然后\（（v，p）=（0，\bar{p}）具有\（d=0）是的RT平衡解(1.3).

用拉格朗日坐标表示扰动

$$\eta:=\zeta-y，\qquad u=u-0\quad\mbox{和}\quad q=\sigma-\bigl（\bar{p}（\zeta_{3}）+g\rho\zeta_{3}\bigr）$$

然后减去(1.7)来自(1.6)得出了拉格朗日坐标下的扰动RT问题：

$$\textstyle\begin{cases}\eta_{t}=u&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\{\rho}u_{t{+nabla q-\mu\Delta u=\mathcal{无}_{1} &\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\operatorname{div}u=\数学{无}_{2} &\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[！\！[\eta]\！\！]=[！\！[u]\！\！]=0，\qquad[\！\！[（（q-g\rho\eta_{3}）I-\mu\mathbb{D} u个)e_{3}]\！\！]=\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}\eta_{3} e（电子）_{3} +\数学{无}_{3} &\mbox{on}\Sigma，\\（\eta，u）=0&\mbax{on}\ Sigma_{-}^{+}，\\$$

(1.9)

哪里\（\Delta_{\mathrm{h}}:=\partial_{1}^{2}+\partial _{2}^{2\）和非线性项\（\mathcal{无}_{1}\)——\（\mathcal{无}_{3}\)定义如下：

$$\开始{aligned}&\mathcal{无}_{1} =\mu\operatorname{分割}_{\tilde{\mathcal{A}}}\nabla_{\matchcal{A}{u+\operatorname{div}\napla_{\ tilde{\ mathcal}}u-\nabla _{\tilde{\mathcal{A{}}q，\qquad\mathcal{无}_{2} =-\操作员姓名{分割}_{\波浪线{\mathcal{A}}}u，\\&\ mathcal{无}_{3} =\mu\mathbb{D}（D）_{\tilde{\mathcal{A}}}u+\vartheta\mathcal{H}\vec{n}-\vartheta \Delta_{\mathrm{H}}\eta_{3} e（电子）_{3} . \结束{对齐}$$

省略中的非线性项(1.9)，我们得到一个线性化的RT问题：

$$\textstyle\begin{cases}\eta_{t}=u&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\rhou{t}+nablaq-\mu\Delta u=0&\mbax{in}\ Omega_{-}^{+{，\\operatorname{div}u=0&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[！\！[\eta]\！\！]=[！\！[u]\！\！]=0&\mbox{on}\Sigma，\\[\！\！[（（q-g\rho\eta_{3}）I-\mu\mathbb{D} u个)e_{3}]\！\！]=\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}\eta_{3} e（电子）_{3} &\mbox｛on｝\Sigma，\\（\eta，u）=0&\mbox｛on｝\Sigma _｛-｝^｛+｝，\\（\eta，u）|_｛t=0｝=（\eta ^｛0｝，u^｛0｝）&\mbox｛in｝\Omega _｛-｝^｛+｝。\结束{cases}$$

(1.10)

当然，线性阶段分层粘性流体的运动方程可以近似地描述为(1.10).

Bellman和Phenington首先分析了表面张力对RT不稳定性的抑制作用[1]基于定义在区域上的分层不可压缩无粘流体的线性化二维（2D）运动方程\（2\pi L_{1}\mathbb{T}（T）_{1} \次（-h_{-}，h_{+}）\）（即。，\（\mu=0\）在相应的2D情况下(1.10))1953年。更准确地说，他们证明了线性二维分层不可压缩无粘流体是稳定的。对不稳定\（\vartheta>g[！\！[\rho]\！\！]L_{1}^{2}\），分别。\（\vartheta<g[！\！[\rho]\！\！]L_{1}^{2}\）.值\（g[！\！[\rho]\！\！]L_{1}^{2}\）是线性稳定性和线性不稳定性的表面张力系数阈值。在三维粘性情况下也发现了类似的结果；例如，郭和蒂斯证明了\（\vartheta_{\mathrm{c}}:={g[！\！[\rho]\！\！]\max\{L_{1}^{2}，L_{2}^{2]）是线性化三维分层可压缩粘性流体稳定性和不稳定性的表面张力系数阈值，定义为Ω[11]. 接下来我们进一步回顾非线性情况的数学进展。

普吕斯和西蒙内特首次证明了定义在区域上的分层不可压缩粘性流体的RT平衡解\（\mathbb{R}^{3}\）根据亨利不稳定性方法是不稳定的[27]. 后来Wang、Tice和Kim验证了定义在Ω上的分层不可压缩粘性流体的RT平衡解是稳定的。对不稳定\（\vartheta>\vartheta_{\mathbb{T}}\），分别。\（[0，\vartheta_{mathbb{T}}中的\vartheta）[35,36]. Jang、Wang和Tice进一步获得了相应可压缩情况下稳定性和不稳定性的相同结果[15,16]. 最近，威尔克也证明了存在一个阈值\（\vartheta_{\mathrm{c}}\）对于在有限高度的圆柱形域上定义的分层粘性流体（重流体比轻流体）的稳定性和不稳定性[37]. 最后，我们提到，基于经典的bootstrap不稳定性方法，获得了非均匀流体（无界面）中非线性RT不稳定性的结果，参见[14]，分别。[17]对于无粘，分别。粘性情况。

2主要结果

本文通过线性化运动研究了表面张力对线性RT不稳定性的影响(1.10). Wang和Tice使用离散傅里叶变换和ODE的修正变分方法证明了具有最大增长率的增长解的存在性\（\Lambda_{\vartheta}\）的(1.10)带有\（h{+}=1\）在这种情况下\（在（0，\vartheta_{c}）中为\vartheta）[35]. 此外，它们为\（\Lambda_{\vartheta}\）:

$$\λ｛\vartheta｝\leqslant｛h_{-}克[！\！[\rho]\！\！]}/{4\mu{-}}\quad\mbox{表示}h{+}=1$$

本文利用偏微分方程的修正变分方法和分层（稳态）Stokes问题的存在性理论，证明了具有最大增长率的增长解的存在性\（\Lambda_{\vartheta}\）的(1.10)在不稳定条件下\（[0，\vartheta_{mathbb{T}}中的\vartheta）此外，我们发现了一个新的上界：

$$\Lambda_{\vartheta}\leqsland m:=\min\biggl\{\frac{（\vartheta _{\mathrm{c}}-\vartheta）}{4\max\{L_{1}^{2}，L_{2}^2}}}{｛h｝_{-}}{\mu_{-}{\biggr\}，\biggl（\frac{（g[\！\！[\rho]\！\ ^{\frac{1}{3}\biggr\}$$

(2.1)

很容易看出

$$m\leqslate{h（美元）_{-}克[！\！[\rho]\！\！]}/{4\mu{-}}$$

因此，我们的上限比王和蒂斯的上限更精确。此外，我们直接从(2.1)那个

$$\Lambda_{\vartheta}\到0\quad\mbox{as}\vartheta到vartheta_{\mathrm{c}}$$

（2.2）

我们提到，在经典的瑞利-泰勒（RT）实验中[8,12]研究表明，在线性阶段，不稳定性增长受表面张力的限制，此时增长呈指数增长。显然，收敛行为(2.2)从数学上验证了这一现象。

在详细说明主要结果之前，我们介绍了本文中使用的一些简化符号。

• (1) 基本符号：\（I_{T}:=（0，T）\）.\（\mathbb{R}^{+}:=（0，\infty）\）,\（\mathbb{R}^{+}_{0}:=[0，\infty）\）. Thej个第th个大小差商小时是\（D_{j}^{h}w:=（w（y+h e_{j}）-w（y））/h\）对于\（j=1）和2，以及\（D）^｛h｝_{\mathrm{h}}w:=（D_{1}^{h} w个_{1} ，D_{2}^{h} w个_{2})\)，其中\（|h|\英寸（0,1）\）.ℜ（f），分别。ℑ（f）表示真实的，分别。复函数的虚部（f）.\（纳布拉{\mathrm{h}}^{k}f\）表示\（（k+1）次（k+1矩阵\（（部分{1}^{i}\部分{2}^{j}f）{ij}\）对于\（k\geqsleat 0）.\（a \ lesssim b \）意味着\（斜cb）对于一些常量\（c>0），其中正常数c（c）可能取决于域Ω和已知参数，例如\（\rho_{\pm}\）,\（\mu_{\pm}\）,克、和ϑ，并且可能因行而异。

• (2) Sobolev空间的简化符号：

  $$\开始{对齐}和L^{p}：=L^{p}\bigl（\Omega_{-}^{+}\bigr）=W^{0，p}\bigle（\欧米加_{-{^{+{}\biger），\qquad W^{i，2}：=W^{1，2}\biggl（\Omega_{-o}^{+}\bigra）{\infty}：=\bigcap_{j=1}^{\infcy}H^{j}，\qquad\underline{H}^{i}：=\biggl\{W\在{H}^i}\Bigm|\int_{\Omega_{-}^{+}}W\，\mathrm中{d} 年=0\biggr\}，\\&H^{1}_{\sigma}:=\bigl\{w\in{H}^{1}（\Omega）\mid-w\vert_{\sigma_{-}^{+}}=0\mbox{在trace}意义上，\operatorname{div}周=0\bigr\}，\\&H_{\sigma}^{i}:=H_{\sigma}^{1}\cap H_{i}，\qquad H_{\ sigma，\sigma}^{1}:=\bigl\{w\in{高}_{\sigma}^{1}\mid-w_{3}\vert_{\sigma}\in H^{1{（\mathbb{T}）\bigr\}，\\&H^{1}_{\sigma，3}:=\bigl\{w\in H^{1}_{\sigma，\vartheta}\mid-w_{3}\neq 0\mbox{on}\sigma\bigr\}，\qquad H_{\simma，\varheta}^{1}=\textstyle\begin{cases}H_{\sigma，\sigma}^{1}&\mbox{if}\vartheta \neq 0，\\H_{\ sigma}^{1\mbox{if}vartheta=0，\end{casesneneneep \displaystyle\数学{A}:=\bigl\{w\in{高}_{\sigma，\vartheta}^{1}\mid\Vert\sqrt{{\rho}}w\Vert^{2}_{L^{2}}=1\bigr\}，\qquad H^{-1}_{\sigma}=\mbox{}H的对偶空间^{1}_{\西格玛}，\结束{对齐}$$

  哪里\（1<p\leqslant\infty\）和\（i \geq斜面0）是一个整数。有时，我们表示\（\mathcal{A}\）通过\（\mathcal｛A｝_{\vartheta}\）强调ϑ此外，为了证明线性化RT问题不稳定经典解的存在性，我们引入了一个函数空间

  $$H_{\sigma，\vartheta}^{1，k}:=\textstyle\begin{cases}\{w\ in H_{\sigma，\vartheta}^}\mid\nabla_{\mathrm{H}}^j}w\ in H ^{1}\mbox{和}w_{3}|{\sigma}\ in H^{k+1}（\mathbb{T}）\mbox}for}j\leqslate k\}&\mbox{if}\vartheta\neq0，\\{w\在H_{\sigma}^{1}\mid\nabla_{mathrm{H}}中^{j} w个\在H^｛1｝\mbox｛for｝j\leqslant k\｝&\mbox｛if｝\vartheta=0，\结束｛cases｝$$

  哪里\（k\geqsleat 0）是一个整数。应该注意的是\（H_{\sigma，\vartheta}^{1,0}=H_{\sigma，\varθa}^{1}）.

• (3) 简化规范：\（\\cdot\|_{i}:=\|\cdot\| _{W^{i，2}}\）,\（|\cdot|_{s}:=\|\cdot |_{\Sigma}\|_{H^{s}（\mathbb{T}）}\），其中秒是一个实数，并且我是非负整数。

• (4) 功能：\（\mathcal{E}（w）：=\vartheta|\nabla_{\mathrm{h}}w_{3}|_{0}^{2} -克[\！\！[\rho]\！\！]|w{3}|{0}^{2}\）和\（F（w，s）：=-（\mathcal{E}（w）+s\|\sqrt{\mu}\mathbb{D} w个\|^{2}_{0}/2)\).

此外，我们给出了线性化RT问题中RT不稳定性的最大增长率的定义。

定义2.1

我们打电话给\（兰姆达>0）线性化RT问题中RT不稳定性的最大增长率(1.10)如果满足以下两个条件：

• (1) 对于任何强大的解决方案\（（\eta，u）\在C^｛0｝（[0，T）中，H^｛3｝\大写H^{2}_{\sigma}）\cap L^{2}（I_{T}，H^{3}\cap H^{3}_{\西格玛}）\）线性化RT问题的q个享受规律\（q\在C^{0}（[0，T），H^{1}）\cap L^{2}（I_{T}，H^}）\），我们有，任何\（位于[0，t）中）,

  $$\bigl\Vert（\eta，u）\bigr\Vert_{1}^{2}+\Vert-u_{t}\Vert^{2}_{0}+\int_{0}^{t}\bigl\Vert u（s）\bigr\Vert^{2}_{1} \，\mathrm{d} 秒\lesssim e ^{2\Lambda t}\bigl（\bigl\Vert\eta^{0}\bigr\Vert_{3}^{2}+\bigl\ Vert-u^{0{\bigr\ Vert_{2}\biger）$$

  (2.3)

• (2) 有一个强有力的解决方案\（（\eta，u）\）线性化RT问题的形式

  $$（\eta，u）：=e^{\Lambda t}（\波浪线{\eta}，\波浪线}）$$

  哪里\（在H^{2}中为（波浪号{\eta}，波浪号{u}）.

现在我们给出了线性化RT问题中存在最大增长率的第一个结果。

定理2.1

让 \（g>0）,\（\rho>0\）,和 \（\mu>0\） 被给予.然后,对于任何给定的

$$\vartheta\in\bigl[0，\vartheta _{\mathrm{c}}:=g[！\！[\rho]\！\！]{\max\bigl\{L_{1}^{2}，L_{2}^{2\bigr\}}\biger）$$

(2.4)

有一个不稳定的解决方案

$$（\eta，u，q）：=e^{\Lambda t}（w/\Lambda，w，\beta）$$

线性化RT问题(1.10),哪里 \（（w，\beta）\在H^{\infty}\中） 解决边值问题

$$\textstyle\begin{cases}\Lambda^{2}\rho w=\Lambda（\mu\Delta w-\nabla\beta）&\textit{in}\Omega_{-}^{+}，\\operatorname{div}周=0&&\textit｛in｝\Omega _｛-｝^｛+｝，\\[\！\！[w]\！\！]=0，\qquad[\！\！[\Lambda（\beta I-\mu\mathbb{D} w个)e_{3}-g\rho w{3}e_{3}]\！\！]=\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}w_{3}e_{3}&\textit{on}\Sigma，\\w={0}&\text{on}\ Sigma_{-}^{+}\end{cases}$$

(2.5)

增长速度最大 \（兰姆达>0） 令人满意的

$$\Lambda^{2}=\sup_{\varpi\in\mathcal{A}}F（\varpi，\Lambda）=F（w，\Lambeda）$$

(2.6)

此外,

$$w_{3}\neq 0，\qquad\partial_{3{0}\neq0，\q quad\operatorname{分割}_{\mathrm{h}}w_{\mathrm{h{}}\neq0\quad\textit{in}\Omega_{-}^{+}，\qquad\vert w_{3}\vert\neq0\quid\textit{on}\Sigma$$

（2.7）

接下来我们简要介绍如何证明定理2.1利用改进的偏微分方程变分法和分层（稳态）Stokes问题的正则性理论。详细证明见第节。 4.

我们假设线性化问题是一个增长模型

$$\eta（x，t）=\tilde{\eta}（x）e^{\Lambda t}，\qquad u$$

对一些人来说\（兰姆达>0）.将此ansatz代入线性化RT问题(1.10)，我们遇到了频谱问题

$$\textstyle\begin{cases}\Lambda\波浪线{\eta}=w&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\Lambda\rho w=\mu\Delta w-\nabla\beta&\mbax{in}\ Omega_{-}^{+{，\\operatorname{div}周=0&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[\！\！[w]\！]=0，\qquad[\！\！[（\beta I-\mu\mathbb{D} w个)e_{3}-g\rho\波浪线{\eta}{3}e_{3}]\！\！]=\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}\波浪线{\eta}_{3}e_{3}&\mbox{on}\Sigma，\\w={0}&\mpox{on{}\Sigram_{-}^{+}，\end{cases}$$

然后消除η̃通过使用第一个方程，我们得到了边值问题(2.5)的w个和β显然，如果存在解，线性化RT问题是不稳定的\（（w，β）\）关于边值问题(2.5)带有\（兰姆达>0）.

为了寻找解，我们使用了一种改进的偏微分方程变分方法，从而修改了(2.5)如下：

$$\textstyle\begin{cases}\alpha\rho w=s（\mu\Delta w-\nabla\beta）&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\operatorname{div}周=0&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[\！\！[w]\！]=0，\qquad[\！\！[s（\beta I-\mu\mathbb{D} w个)e_{3}-g\rho w{3}e_{3}]\！\！]=\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}w_{3}e_{3}&\mbox{on}\Sigma，\\w={0}&\mpox{on{}\Sigra_{-}^{+}，\end{cases}$$

(2.8)

哪里\（s>0\）是一个参数。强调秒在上面α和ϑ，我们写\（\alpha（s，\vartheta）=\alpha\）.

请注意，修改后的问题(2.8)具有以下变分恒等式：

$$\alpha（s，\vartheta）\Vert\sqrt{{\rho}}w\Vert_{0}^{2}={F}（w，s）$$

因此，通过标准变分方法，存在一个最大化器\（w\in\mathcal{A}\）功能的F类定义于\（\mathcal{A}\）; 此外，w个只是一个软弱的解决方案(2.8)带有α由关系定义

$$\alpha（s，\vartheta）=\sup_{w\in\mathcal{A}}{F}（w，s）\in\mathbb{R}$$

(2.9)

参见命题4.1然后我们进一步利用差商方法和分层（稳态）Stokes问题的存在性理论来改进弱解的正则性，从而证明\（（w，\beta）\在H^{\infty}\中）是边值问题的经典解(2.8)，参见命题4.2.

鉴于\（\alpha（s，\vartheta）\）和不稳定条件(2.4)，我们可以推断，对于给定的ϑ，函数\（\alpha（s，\cdot）\）关于变量秒享有一些良好的特性（见命题4.3)，这意味着存在满足不动点关系的∧

$$\Lambda=\sqrt{\alpha（\Lambda，\cdot）}\in（0，\mathfrak）{宋体}_{\vartheta}）$$

(2.10)

然后我们得到一个非平凡解\（（w，\beta）\在H^{\infty}\中）至(2.5)∧定义为(2.10)因此，线性不稳定性随之而来。此外，∧是线性化RT问题中RT不稳定性的最大增长率（参见命题4.4)，从而得到定理2.1.

接下来，我们将介绍关于由(2.10).

定理2.2

增长速度最大 \（\Lambda_{\vartheta}:=\Lambda） 在定理中2.1享受估计(2.1).此外,

$$\Lambda_{\vartheta}\textit{相对于[0，\varthetan_{\mathrm{c}}中的}\vartheta严格减少并且是连续的$$

(2.11)

定理的证明2.2见第节。 5这里我们简要地提到了证明的概念。我们发现，对于固定秒,\（\alpha（\cdot，\vartheta）\）由定义(2.9)严格减少，并且在以下方面是连续的ϑ（见提案5.1). 因此，通过不动点关系(2.10)以及基于连续性定义的一些分析，我们可以证明\（\Lambda_{\vartheta}:=\Lambda）也继承了\（\alpha（\cdot，\vartheta）\）最后，我们推导出(2.1)来自(2.6)通过一些估算技术。

三初步

本节将介绍一些初步引理，这些引理将在接下来的两节中使用。

引理3.1

差商和弱导数:让 D类 是Ω或 \（\mathbb｛T｝\）.

• (1) 假设 \（1倾斜p<infty） 和 \（w\在w^{1，p}（D）中\）.然后 \（\|D^｛h｝_{\mathrm{h}}w\|_{L^{p}（D）}.

• (2) 假设 \（1<p<infty）,\（在L^{p}（D）中为w\）,存在一个常数 c（c） 这样的话 \（\|D^｛h｝_{\mathrm{h}}w\|_{L^{p}（D）}\leqslate c\）.然后 \（L^{p}（D）中的nabla_{mathrm{h}}w） 满足 \（\|\nabla_{\mathrm{h}}w\|_{L^{p}（D）}\leqslate c\） 和 \（D^｛-h｛k｝｝_｛\mathrm｛h｝｝w \右箭头\ nabla _｛\mathrm｛h｝｝w \） 在里面 \（L^{p}（D）\） 对于某些子序列 \（-h{k}\到0\）.

证明

遵循的论点[7，定理3]和使用的周期性w个，我们可以很容易地得到期望的结论。 □

引理3.2

分层的存在性理论(稳定的)斯托克斯问题(看见[36,定理3.1]):让 \（k\geqsleat 0）,\（f^｛\mathrm｛S｝，1｝\在H^｛k｝\中）,和 \（H^{k+1/2}中的f^{\mathrm{S}，2}）,那么就有了一个独特的解决方案 \（（u，q）\在H^{k+2}\次\下划线{H}^{k+1}\） 令人满意的

$$\textstyle\begin{cases}\nabla q-\mu\Delta u=f^{\mathrm{S}，1}&\textit{in}\Omega，\\[！\！[u]\！]=0，\qquad[\！\！[（qI-\mathbb{D} u个）e_{3}]\！\！]=f ^｛\mathrm｛S｝，2｝&&\textit｛on｝\Sigma，\\u=0&&\textit｛on｝\Sigma _｛-｝^｛+｝。\结束{cases}$$

(3.1)

此外,

$$\Vert u\Vert_{mathrm{S}，k}\lesssim\bigl\Vert f^{mathrm{S}，1}\bigr\Vert_{k}+\bigl\ Vert f^}\mathrm}，2}\biger\Vert_k+1/2}$$

(3.2)

引理3.3

失稳条件的等效形式:不稳定条件(2.4)相当于以下不稳定条件的积分形式:

$$g[！\！[\rho]\！\！]\垂直w{3}\垂直{0}^{2}-\变θ\vert\nabla_{\mathrm{h}}w_{3}\vert_{0}^{2}>0\quad\textit{对于h中的某些}w\^{1}_{\西格玛，3}$$

(3.3)

证明

引理中的结论3.3如果我们有这样的断言，这是显而易见的

$$a:=\sup_{w\在H_{\sigma中，3}^{1}}\frac{\vertw_{3}\vert_{0}^{2}{\vert\nabla{\mathrm{H}}w_{3}\vert_{0}^{2{}={max\bigl\{L_{1}^{2}，L_2}^2}\bigr\}}\quad\mbox{for}\vartheta\neq 0$$

(3.4)

接下来我们验证(3.4)分两步进行。在不失一般性的情况下，我们假设\（L_{1}^{2}={最大值\{L_{1}^{2}，L_{2}^{2}}）.

（1） 我们首先证明\（斜L_{1}^{2}\）.我们选择一个非零函数\（在H_{0}^{2}（-H_{-}，H_{+}）中为\psi\）这样的话\（\psi（0）\neq 0\）.我们表示

$${w}=\bigl（\psi'（y_{3}）\cos\bigl^{-1}_{1} 年_{1} \较大），0，L^{-1}_{1} psi（y_{3}）\sin\bigl（L^{-1}_{1} y_{1}\biger）\bigr）$$

然后\（{w}\以H表示^{1}_{\sigma，\vartheta}\）和

$$\frac{\vert｛w｝_{3} \转换^{2}_{0}}{\vert\nabla{\mathrm{h}}{w}{3}\vert^{2}_{0}}=\frac{\int_{0}^{2\pi L_{1}}\sin^{2}（L^{-1}_{1} y_{1}）\，\mathrm{d} 年_{1} }{左^{-2}_{1} \int_{0}^{2\pi L_{1}}\cos^{2}（L^{-1}_{1} y_{1}）\，\mathrm{d} 年_{1} }=L_{1}^{2}$$

这就产生了\（斜L_{1}^{2}\）.

（2） 我们转向证据\（左斜L_{1}^{2}\）应注意的是

$$\vert\nabla_{\mathrm{h}}w_{3}\vert_{0}^{2}=0\quad\mbox{当且仅当}\quad w_{3}=0\ quad\mbox{对于h_{σ，\vartheta}^{1}中的任何给定}w\$$

(3.5)

事实上，让\（w\在H_{\sigma中，3}^{1}\）.自\（\操作员姓名{div}周=0\)，我们有

$$-\int _｛\ Sigma｝w_｛3｝\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}=\int_{\mathbb{T}\times（0，h_{+}）}\operatorname{div}周\，\数学{d} 年=0. $$

因此，利用庞加莱不等式，我们得到

$$\vert w_{3}\vert_{0}\lesssim\vert\nabla_{\mathrm{h}}w_{3}\vert_{0}$$

这直接意味着断言(3.5).

让\（w\在H_{\sigma中，3}^{1}\），然后\（|\nabla{\mathrm{h}}w{3}|{0}^{2}\neq0\）.让\（\帽子｛w｝_{3} （\xi，y{3}）是的水平傅里叶变换\（w{3}（y）\）即。，

$$\帽子｛w｝_{3} （\xi，y_{3}）=\int_{\Sigma}w_3}（y_{\mathrm{h}}，y_2}）e^{-\mathrm{i} 年_{\mathrm{h}}\cdot\xi}\，\mathrm{d} x个_{\mathrm{h}}$$

哪里\（\xi=（\xi{1}，\xi{2}），然后\（\widehat{\partial_{3}w_{3{}=\partial _{3neneneep \wideha｛w｝_{3}\).我们表示\（psi（\xi，y{3}）：=\psi{1}｛w｝_{3} （\xi，y{3}），其中\（磅/平方英寸{1}）和\（psi{2}）都是真实的函数。注意到\（psi（0）=0），根据Parseval定理（参见[9，提案3.1.16]），我们已经

$$\vert\nabla_{\mathrm{h}}｛w｝_{3} \转换^{2}_{0}=\压裂{1}{4\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-2}_{2} \mathbb{Z}）}\vert\xi\ vert^{2}\bigl\vert\psi（\xi，0）\bigr\vert^}\geqslide L^{-1}_{1} \vert w_{3}\vert^{2}_{0}, $$

这马上就产生了\（斜L^{2}_{1}\)。证据完整。 □

引理3.4

弗里德里希斯不等式(看见[26,柠檬1.42]):让 \（1倾斜p<infty） 和 D类 是有界Lipschitz域.让一套 \（\Gamma\子集\部分D\） 相对于 \（（N-1）\）-尺寸测量 \（{\mu}:=\mathrm{测量}_{N-1}\） 定义于 ¦ΒD,然后让 \（\mathrm{测量}_{N-1}（\Gamma）>0\）.然后

$$\Vert w\Vert_{w^{1，p}（D）}\lesssim\Vert\nabla w\Vert_{L^{p}$$

为所有人 \（u\在W^{1，p}（D）中\） 令人满意的是 单位 在Γ等于0一.e（电子）.关于 \（（N-1）\）-尺寸测量 μ.

备注3.1

通过弗里德里希的不平等和事实

$$\Vert\nabla w\Vert_{0}^{2}=\Vert\mathbb{D} w个\Vert_{0}^{2}/2\quad\mbox{对于H_{\sigma}^{1}中的任何}w\$$

(3.6)

我们得到了Korn不等式

$$\垂直w\Vert_{1}\lesssim\Vert\mathbb{D} w个\Vert_{0}\quad\mbox{表示H_{\sigma}^{1}中的任何}w\$$

(3.7)

引理3.5

跟踪估计:

$$\开始{aligned}&\vert w\vert_{0}\leqslated\vert w\vert_{1}\quad\textit{表示H中的任意}w\^{1}_{\西格玛}，\结束{对齐}$$

(3.8)

$$\开始{aligned}和\vert w\vert_{0}\leqslated\sqrt{h_{pm}/2}\vert\mathbb{D}w\vert_{L^{2}（\Omega_{pm{）}/2\quad\textit{对于h中的任何}w\^{1}_{\西格玛}。\结束{对齐}$$

(3.9)

证明

请参见[24，引理9.7](3.8). 自\（C_{\sigma}^{\infty}:=C^{\infty}_{0}（\mathbb{R}^{2}\次（-h_{-}，h_{+}））\cap h_{\sigma}^{1}\）在\（H）^{1}_{\西格玛}\），足以证明(3.9)持有任何\（在C_{\sigma}^{\infty}\中为w\）由(3.8).

让ŵ是的水平傅里叶变换函数\（在C_{\sigma}^{\infty}\中为w\）、和

$$\varphi（\xi，y_{3}）=\mathrm{i}\hat｛w｝_{1} （xi，y{3}），θ｛w｝_{2} （xi，y{3}），\qquad\psi（xi｛w｝_{3} （\xi，y_｛3｝）$$

然后

$$\xi{1}\varphi+\xi{2}\theta+\psi'=0$$

(3.10)

和\H中的（psi（\cdot，y_{3}）^{2}_{0}（-h{-}，h{+}）\），因为\（\operatorname{div}{w}=0\）和\（w | _｛\西格玛_｛-｝^｛+｝｝=0\）此外，

$$\widehat{\nabla{w}}=（\wideheat{\partial_{i}w_{j}}）=\begin{pmatrix}\xi_{1}\varphi&\xi_}2}\varfi&-\mathrm{i}\varph'\\xi_{1\theta&\xi_2}\theta&-\mathrm{i}\theta’\\mathrm}\i}\xi_1}\psi&\mathrm{i}\ xi{2}\psi&\psi'结束{pmatrix}$$

此外，我们可以从(3.10)那个

$$\psi（0，y_{3}）=0\quad\mbox{for}\xi=0$$

(3.11)

由(3.11)以及Fubini和Parseval的定理

$$\vert w_{3}\vert^{2}_{0}=\压裂{1}{4\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\反斜杠\{0\}}\bigl\vert\psi（\xi，0）\bigr\vert^{2}$$

(3.12)

和

$$\开始{aligned}\frac{1}{2}\Vert\mathbb{D}{w}\Vert^{2}_{L^{2}（\Omega_{-}）}&=\frac{1}{8\pi^{2{L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）}\sum_{1\leqslate i，j\leqslide 3}\int_{-h{-}}^{0}\vert\widehat{\partial_{i}｛w｝_{j} }+\widehat{\partial_{j}｛w｝_{i} }\垂直^{2}\，\mathrm{d} 年_{3} \\&=\压裂{1}{4\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\反斜杠\{0\}}M_{1}^{xi}（\varphi，\theta，\psi）\\&\quad{}+\frac{1}{4\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\int_{-h{-}}^{0}\bigl（\bigl\vert\varphi'（0，y_{3}{d} 年_{3} ，\结束{对齐}$$

(3.13)

哪里

$$\begin{aligned}M_{1}^{xi}（\varphi，\theta，\psi）：={}&\int_{-h_{-}}^{0}\bigl（\vert\xi\vert^{2}\bigle（\vert\varphi\vert|{2}+\vert\theta\vert${2}+\vert\psi\vert_{2}\biger）“”\Im{\psi}+\bigl\vert\varphi“\bigr\vert^{2}+\ bigl\ vert\theta”\bigr\ vert^}+3\bigl\vert\psi'\bigr\vert^{2}\bigr）\，\mathrm{d} 年_{3}. \结束{对齐}$$

使用(3.10)，我们发现

$$\begin{aligned}和\bigl\vert\psi'\bigr\vert^{2}=\xi_{1}^{2{\vert\varphi\vert|{2}+\xi_}2}\vert\theta\vert${2}+2\xi_{1}\xie\vert^2}（\Re{\varphi}\Re{theta}+\Im{\varfi}\Im{\theta}）\leqslian\vert\xi\ vert^2}\bigl（\ vert\varphi\vert^{2}+\vert\theta\vert${2}\biger），\\&\bigl\vert\psi''\bigr\vert|{2}\leqsland\vert\xi\vert^{2}\bigl$$

这意味着

$$\int_{-h{-}}^{0}\bigl（4\bigl\vert{\psi}'\bigl\ vert^{2}+\bigr\vert\vert\xi\vert}+{\psi.}''/\vert\xi\ vert\vert^2}\bigr）\，\mathrm{d} 年_{3} \leqsleat M_{1}^{xi}（\varphi，\theta，\psi）$$

(3.14)

对于给定的\（xi英寸（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\反斜杠\{0\}\）.聘用(3.12)–(3.14)和关系

$$\phi^{2}（0）\leqslide h_{-}\bigl\Vert\phi'\bigr\Vert_{L^{2{（-h_{-{，0）}^{2neneneep \quad\mbox{表示h中的任何}\phi\^{1}_{0}（-h{-}，h{+}）$$

我们获得

$$\开始｛对齐｝\垂直w_｛3｝\垂直^{2}_{0}&=\压裂{1}{4\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\反斜杠\{0\}}\bigl\vert\psi（\xi，0）\bigr\vert^{2}\\&\leqsleat\frac{h_{-}}{16\pi^{2{L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\backslash\{0\}}\int_{-h_{-}}^{0}\bigl（4\bigl\vert{\psi}'\bigr\vert^{2}+\ bigl{d} 年_{3} \\&\leqslated\frac{h{-}}{16\pi^{2}L_{1} L（左）_{2} }\sum_{xi\in（L^{-1}_{1} \mathbb{Z}\times L^{-1}_{2} \mathbb{Z}）\反斜杠\{0\}}M_{1}^{xi}（\varphi，\theta，\psi）\leqslate{h_{-}}\Vert\mathbb}D}w\Vert^{2}_{L^{2}（\Omega_{-}）}/8。\结束{对齐}$$

(3.15)

同样，我们也有

$$\vert w_{3}\vert^{2}_｛0｝\leqslant｛h｛+｝｝\Vert\mathbb｛D｝w\Vert^{2}_{L^{2}（\Omega_{+}）}/8$$

其中，连同(3.15)，得出所需的结论。这就完成了证明。 □

备注3.2

从推导(3.9)，我们很容易看到

$$\Vert\partial_{3}w_3}\Vert_{L^{2}（\Omega_{\pm}）}^{2{\leqslate\Vert\mathbb{D}w\Vert_L^{2]（\Omega_{\pm}）{^2}/8\quad\mbox{对于H中的任何}w\^{1}_{\西格玛}$$

(3.16)

引理3.6

负轨迹估计:

$$\vert u_{3}\vert _{-1/2}\lesssim\vert u\vert _{0}+\vert\operatorname{div}u在H_｛0｝^｛1｝中，\Vert _｛0｝\quad\textit｛对于任何｝u：=（u _｛1｝，u _｛2｝，u _｛3｝）$$

(3.17)

证明

估算(3.17)可以通过分部积分和逆迹定理导出[26，引理1.47]。 □

引理3.7

让 X 是具有对偶的给定Banach空间 \（X^{*}\）,然后让 单位 和 w个 是属于的两个函数 \（L^{1}（（a，b），X）\）.那么以下两个条件是等价的:

• (1) 对于每个测试功能 \（C_{0}^{infty}（a，b）中的\phi\）,

  $$\int_{a}^{b}u（t）\phi'（t）\，\mathrm{d} t吨=-\int_{a}^{b}w（t）\phi（t）\，\mathrm{d} t。 $$

• (2) 对于每个 \（X^{*}中的\ eta\）,

  $$\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\langle u，eta\rangle_{X\times X^{*}}=langle w$$

  在标量分布意义上,在 \（（a，b）\）,哪里 \（\langle\cdot，\cdot\rangle_｛X\times X^｛*｝｝\） 表示之间的对偶 X 和 \（X^{*}\）.

证明

参见第3章引理1.1[30]. □

4线性不稳定性

在本节中，我们使用修改的变分方法来构造线性化RT问题的不稳定解。Guo和Tice首先使用改进的变分法构造了一类由线性化RT不稳定性问题引起的常微分方程的不稳定解[11]. 这个想法也被用于[4,5]. 本文将Guo和Tice的修正变分法直接应用于偏微分方程(2.5)从而进一步利用分层Stokes问题的存在性理论得到RT问题的线性不稳定性结果。接下来我们证明定理2.1分为四个小节。

4.1修正问题弱解的存在性

在本小节中，我们考虑修正问题弱解的存在性

$$\textstyle\begin{cases}s（\mu\Delta w-\nabla q）=\alpha（s，\vartheta）{\rho}w，\qquad\operatorname{div}周=0&\mbox{in}\Omega_{-}^{+}，\\[！\！[w]\！\！]=0，\qquad[\！\！[（（sq-g\rho w_{3}）I-s\mu\mathbb{D}w）e_{3}]\！\\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}w_{3}e_{3}&\mbox{on}\Sigma，\\w={0}&\mpox{on{}\Sigra_{-}^{+}，\end{cases}$$

(4.1)

哪里\（s>0\）是任意给定的。为了证明上述问题弱解的存在性，我们考虑泛函的变分问题\（F（\varpi，s）\）:

$$\alpha（s，\vartheta）：=\sup_{\varpi\in\mathcal{A}}F（\varpi，s）$$

(4.2)

对于给定的\（s>0\），在这里我们定义了

$$F（\varpi，s）：=-\bigl（\mathcal{E}（\varpi）+s\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}\varpi\Vert_{0}^{2}/2\bigr）$$

有时，我们表示\（\alpha（s，\vartheta）\）和\（F（\varpi，s）\）通过α（或\（\alpha（s）\）)和\（F（\varpi）\）分别。，为了简单起见。然后我们得出以下结论。

提议4.1

让 \（s>0\） 任何给定的.

• 1 在变分问题中(4.2),\（F（\varpi）\） 在 \（\mathcal{A}\）.

• 2 让 w个 成为最大化者 \（\alpha:=\sup_{\varpi\in\mathcal{A}}F（\varpi）\）,这个 w个 是边界问题的弱解(4.1)给定 α.

证明

注意到

$$\vert v\vert_{0}^{2}\lesssim\vert v\vert_{0}\vert\partial_{3}v\Verd_{0}\ quad\mbox{用于H_{0{^{1}中的任何}v\$$

(4.3)

因此，通过Young不等式和Korn不等式(3.7)，我们看到了\（F（\varpi）\}_{\varpi\in\mathcal{A}}\）具有任意值的上限\（\varpi\in\mathcal{A}\）因此存在一个最大化序列\（{w^{n}\}_{n=1}^{infty}\subset\mathcal{A}\），满足\（alpha=lim_{n\to\infty}F（w_{n}））此外，利用(4.3)，事实\（\|\sqrt{{\rho}}w^{n}\|_{0}=1\），跟踪估计(3.9)以及Young和Korn的不平等\（w^{n}+vartheta|nabla{mathrm{h}}^{无}_{3} |_{0}\leqslide c_{1}\）对于一些常量\（c{1}\），独立于n个因此，根据著名的Rellich–Kondrachov紧性定理和(4.3)，存在一个子序列，仍由标记\（w^{n}\）、和函数\（w\in\mathcal{A}\）这样的话

$$\开始{aligned}&w^{n}\rightharpoonup w\quad\mbox{in}H^{1}_{西格玛}，从w^{n}到w\quad\mbox{in}L^{2}，到w|_{y_{3}=0}（mathbb{T}）^{无}_{3} |_{y_{3}=0}\rightharpoonup w_3}|_{y_{3{=0}\quad\mbox{in}H^{1}（\mathbb{T}）\mbox{if}\vartheta\neq 0。\结束{对齐}$$

利用上述收敛结果和弱收敛的下半连续性，我们得到

$$-\alpha=\liminf_{n\to\infty}\bigl（-F\bigl-（w^{n}\bigr）\biger）\geqslead-F（w）\geq slead-\alpha$$

因此w个是函数的最大点\（F（\varpi）\）关于\（\varpi\in\mathcal{A}\）.

显然，w个上面构造的也是函数的最大点\（F（\varpi）/\|\sqrt{\rho}\varpi\|^{2}_{0}\)关于\（H_{\sigma，\vartheta}^{1}中的\varpi\）此外，\（阿尔法=F（w）/\|\sqrt{\rho}w\|^{2}_{0}\)因此，对于任何给定的\（H中的\varphi\^{1}_{\sigma，\vartheta}\），重点\（t=0）是函数的最大点

$$I（t）：=F（w+t\varphi）-\int\alpha{\rho}\vert w+t\valphi\vert^{2}\，\mathrm{d} 年在C^{1}（\mathbb{R}）中$$

然后，通过计算\（I'（0）=0\），我们有弱形式

$$\frac{s}{2}\int\mu\mathbb{D}w:\mathbb{D}\varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int _｛\ Sigma｝\nabla _｛\mathrm｛h｝｝w_｛3｝\cdot\nabla _｛\mathrm｛h｝｝\varphi _｛3｝\，\mathrm{d} 年_｛\mathrm｛h｝｝=g[\！\！[\rho]\！\！]\int{\Sigma}w{3}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho w\cdot\varphi\，\mathrm{d} 年。 $$

(4.4)

请注意(4.4)等于

$$s\int\mu\mathbb{D}w:\nabla\varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}w_{3}\cdot\nabla{\mathr m{h{}}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_｛\mathrm｛h｝｝=g[\！\！[\rho]\！\！]\int{\Sigma}w{3}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho w\cdot\varphi\，\mathrm{d} 年。 $$

这意味着w个是修正问题的弱解(4.1). □

4.2改进弱解的正则性

按命题4.1，边值问题(4.1)承认解决方案不足\（w\英寸H^{1}_{\sigma，\vartheta}\）下一步，我们将进一步提高w个.

提议4.2

让 w个 是边值问题的弱解(4.1).然后 \（在H^{\infty}\中为w\）.

证明

首先，我们得出以下初步结论：

对于任何 \（i \geq斜面0） ，我们有

$$w\单位：H^{1，i}_｛\sigma，\ vartheta｝$$

(4.5)

和

$$\开始{aligned}&\frac{1}{2}\ints\mu\mathbb{D}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w:\mathbb{D}\varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h2}}^{i}w_{3}\cdot\nabla{\mathr{h}}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int _｛\ Sigma｝\ partial _｛\mathrm｛h｝｝^｛i｝w_｛3｝\ varphi _｛3｝\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho\partial_{\mathr{h}{^{i}w\cdot\varphi\，\mathrm{d} 年。\结束{对齐}$$

(4.6)

显然，通过归纳，上述断言简化为验证以下递归关系：

对于给定的 \（i \geq斜面0），如果 \（w\英寸H^{1，i}_{\sigma，\vartheta}\） 满足(4.6)对于任何 \（H中的\varphi\^{1}_{\sigma，\vartheta}\），然后

$$w\在H^{1，i+1}_{\sigma，\vartheta}中$$

(4.7)

和 w个 满足

$$\begin{aligned}&\frac{s}{2}\int\mu\mathbb{D}\partial_{\mathrm{h}}^{i+1}w:\mathbb{D}\ varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h}}^{i+1}w_{3}\cdot\nabla{\mathr{h}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int_{\Sigma}\partial_{\mathrm{h}}^{i+1}w_{3}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho\partial_{\mathr{h}{^{i+1}w\cdot\varphi\，\mathrm{d} 年。\结束{对齐}$$

(4.8)

接下来我们用差商的方法验证了上述递推关系。

现在我们假设\（w\英寸H^{1，i}_{\sigma，\vartheta}\）满足(4.6)对于任何\（H中的\varphi\^{1}_{\sigma，\vartheta}\）.注意到\（\partial _｛\mathrm｛h｝）^{i} w个\单位H^{1}_{\sigma，\vartheta}\），我们可以从(4.6)那个，为了\（j=1）和2，

$$\开始{对齐}&\frac{s}{2}\int\mu\mathbb{D}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w:\mathbb{D}D{j}^{h}\varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h2}}^{i}w_{3}\cdot\nabla{\mathr m{h{}D_{j}^{h}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int_{\Sigma}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w_{3}D_{j}^{h}\varphi{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho\partial_{\mathrm{h{}}^{i}w\cdot D_{j}^{h}\varphi\，\mathrm{d} 年\结束{对齐}$$

和

$$开始{对齐}和\frac{s}{2}\int\mu\mathbb{D}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w:\mathbb{D}D_{j}^{-h}D_{j}^{h}\partial _{mathrm}h}}^{i{w\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h2}}^{i}w_{3}\cdot\nabla{\mathr m{h{}D_{j}^{-h}D_{j}^{h}{d} 年_{\mathrm{h}}\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int_{\Sigma}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w_{3}D_{j}^{-h}D_}^{h}\parial_{\mathrm{h2}^{i}w_3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rho\partial_{\mathr m{h{}}^{i}w\cdot D_{j}^{-h}D_{j}^{h}\partial _{\mathrm{h}^{i}w\，\mathrm{d} 年，\结束{对齐}$$

这就产生了

$$\begin｛aligned｝&&frac｛s｝｛2｝\int\mu\mathbb｛D｝D_｛j｝^｛-h｝\partial _｛\mathrm｛h｝｝^｛i｝w:\mathbb｛D｝\varphi\，\mathrm{d} 年+\vartheta\int_{\Sigma}\nabla_{\mathrm{h}}D_{j}^{-h}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w_{3}\cdot\nabla{d} 年_{\mathrm{h}}\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int_{\Sigma}D_{j}^{-h}\部分_{\mathrm{h}}^{i}w_{3}\varphi_{3{\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\alpha\int\rhoD_{j}^{-h}\partial_{\mathrm{h{}}^{i}w\cdot\varphi\，\mathrm{d} 年，\结束{对齐}$$

(4.9)

和

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\sqrt{s\mu}\mathbb{D}D_{j}^{h}\partial_{mathrm{h}}^{i}w\bigr\Vert^{2}_{0}/2+\vartheta\bigl\vertD_{j}^{h}\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h2}^{i}w_{3}\bigr\vert^{2}_{0}\\&\quad\lesssim g[！\！[\rho]\！\！]\bigl\vert D_{j}^{h}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w_{3}\bigr\vert^{2}_{0}+\vert\alpha\vert\bigl\vert\sqrt{\rho}D_{j}^{h}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w\bigr\vert^{2}_{0}，\结束{对齐}$$

(4.10)

相应的。

根据科恩的不平等，

$$\bigl\Vert D_{j}^{h}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w\bigr\Vert^{2}_{1} \lesssim\bigl\Vert\sqrt{s\mu}\mathbb{D}D_{j}^{h}\partial_{\mathrm{h}}^{i}w\bigr\Vert^{2}_{0}, $$

因此，使用(4.3)、Young不等式和引理中的第一个结论3.1，我们进一步从(4.10)那个

$$\bigl\垂直D^｛h｝_｛\mathrm｛h｝｝\部分_｛\mathrm｛h｝｝｝^｛i｝w\bigr\Vert^{2}_{1} +\vartheta\bigl\vert D^｛h｝_{\mathrm{h}}\nabla{\mathrm{h{}}\partial{\mathr m{hneneneep}^{i}w{3}\bigr\vert^{2}_{0}\lesssim\bigl\Vert D^｛h｝_｛\mathrm｛h｝｝\部分_｛\mathrm｛h｝｝｝^｛i｝w\bigr\Vert^{2}_{0}\lesssim\bigl\Vert\nabla_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h2}}^{i}w\bigr\Vert^{2}_{0}\lesssim 1$$

因此，使用(4.3)，跟踪估计(3.9)和引理中的第二个结论3.1，存在以下子序列\（\{-h\}_{h\in\mathbb{R}}\）（仍用−表示小时)这样的话

$$\textstyle\begin{cases}D^{-h}_｛\mathrm｛h｝｝\ partial _｛\mathrm｛h｝｝^｛i｝w\rightharpoonup\nabla _｛\mathrm｛h｝｝\ partial _｛\mathrm｛h｝｝^｛i｝w\quad\mbox｛in｝h^{1}_{\sigma}，\qquad D^{-h}_{部分{部分^{-h}_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h{}}^{i}w|_{y_{3}=0}\ to \nabla_{\mathrm{h2}}\partial _{\methrm{h}}^}i}w | _{y_{3}=0}\quad\mbox{in}L^{2}（\mathbb{T}），\\D^{-h}_{\mathrm{h}}\partial_{\mathrm{h{}}^{i}w_{3}|_{\Sigma}\rightharpoonup\nabla_{\mathrm{h2}}\protial_}\mathrm{h}^{i}w_3}|_\Sigma}\quad\mbox{in}h^{1}（\mathbb{T}）\mbox{if}\vartheta\neq 0。\结束{cases}$$

(4.11)

使用w个英寸(4.11)和事实\（w在H_｛\sigma，\ vartheta｝^｛1，i｝中），我们有(4.7). 此外，利用极限会导致(4.11)，我们可以推断(4.8)来自(4.9). 这就完成了递归关系的证明，因此(4.5)持有。

使用(4.5)我们可以考虑分层Stokes问题：

$$\textstyle\begin{cases}s\nabla\beta^{k}-s\mu\Delta\omega^{k{=-\alpha\rho\partial_{\mathrm{h}}^{kneneneep w&\mbox{in}\omega，\\operatorname{div}\omega_{k}=0&\mbax{in}\Omeca，\\[！！\=0，\qquad[\！\！[（s\beta^{k}I-s\mu\mathbb{D}\omega^{k{）e_{3}]\！\\部分{\mathrm{h}}^{k}\mathcal{L}^{1}&\mbox{on}\Sigma，\\omega^{k{=0&\mbax{on}\ Sigma_{-}^{+}，\end{cases}$$

(4.12)

哪里\（k\geqsleat 0）是一个给定的整数，我们已经定义了

$$\mathcal{L}^{1}:=g[！\！[\rho]\！\！]w个_{3} e（电子）_{3} +\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}w_{3}e_{3}$$

回顾规律性(4.5)第页，共页w个，我们看到了\（\partial _｛\mathrm｛h｝）^{k} w个\位于L^{2}\）和\（h^{1}（\mathbb{T}）中的\partial_{\mathrm{h}}^{k}\mathcal{L}^{1{}\）应用分层Stokes问题的存在性理论（见引理3.2)，存在唯一的强解决方案\（（（ω^{k}，β^{k{）在H^{2}\次中\下划线{H}^{1}\）上述问题的(4.12).

乘法(4.12)₁通过\（H中的\varphi\^{1}_{\sigma，\vartheta}\）在里面\（L^{2}\）（即，将内部产品\（L^{2}\）)并使用按部件和(4.12)₂——(4.12)₄，我们有

$$\开始{aligned}&\frac{s}{2}\int\mu\mathbb{D}\omega^{k}:\mathbb{D}\ varphi\，\mathrm{d} 年\\&\quad=g[！\！[\rho]\！\！]\int_{\Sigma}\部分_{\mathrm{h}}^{k}w{3}\varphi_{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\int_{\Sigma}\vartheta\partial_{\mathrm{h{}^{k}\nabla_{\mathrm{h2}}w_{3}\cdot\nabla{\mathr m{hneneneep}\varphi_3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\int\alpha\rho\partial_{\mathrm{h{}}^{k}w\varphi\，\mathrm{d} 年。\结束{对齐}$$

(4.13)

减去两个恒等式(4.6)和(4.13)收益

$$s\int\mu\mathbb{D}\bigl（\partial_{\mathrm{h}}^{k}w-\omega^{k{bigr）：\mathbb{D}\varphi\，\mathrm{d} 年=0. $$

拿\h中的（\varphi:=\partial_{\mathrm{h}}^{k}w-\omega^{k{^{1}_{\sigma，\vartheta}\）在上述恒等式中，利用Korn不等式，我们发现\（\omega^{k}=\partial_{mathrm{h}}^{k{w\）因此，我们立即看到

$$\partial_{\mathrm{h}}^{k}w\in h^{2}\quad\mbox{对于任何}k\geqslide 0$$

(4.14)

这意味着\（\partial _｛\mathrm｛h｝）^{k} w个\H^{1}\）和\（h^{2}（\mathbb{T}）中的\partial_{\mathrm{h}}^{k}\mathcal{L}^{1}\）对于任何\（k\geqsleat 0）因此，应用分层Stokes估计(3.2)至(4.12)，我们有

对于任何}k\geqslide 0，h^{3}\quad\mbox{中的$$\partial_{\mathrm{h}}^{k}w\$$

(4.15)

显然，通过归纳，我们可以很容易地从(4.14)至(4.15)来推断\（在H^{\infty}\中为w\）。此外，我们还有\（beta:=beta^{0}\在H^{\infty}\中）; 此外，\（beta^{k}\）英寸(4.12)等于\（\部分^{k}_{\mathrm{h}}\beta\）.

最后，回顾嵌入\（H^{k+2}\hookrightarrow C^{0}（上划线{\Omega}）对于任何\（k\geqsleat 0），我们很容易看到\（（w，β）\）上面构造的确实是修正问题的经典解(4.1). □

4.3函数的一些性质\（\alpha（s）\）

在本小节中，我们导出了函数的一些属性\（\alpha（s）\），确保存在\（\sqrt{\alpha（s）}\）在里面\（\mathbb{R}^{+}\）.

提议4.3

对于给定的 \（\vartheta\in\mathbb{R}^{+}_{0}\）,我们有

$$\begin{aligned}和\alpha（s{2}）<\alpha（s{1}）\quad\textit{对于任何}s{2{>s{1}>0，\end{alinged}$$

(4.16)

$$\以C开头{aligned}&\alpha（s）\^{0,1}_｛\mathrm｛loc｝｝\bigl（\mathbb｛R｝^｛+｝\bigr），\end｛aligned｝$$

(4.17)

$$\begin{aligned}&\alpha（s）>0\quad\textit{在某个区间}（0，c{2}）\textit{表示[0，\vartheta_{mathrm{c}}中的}\vartheta），\end{alinged}$$

(4.18)

$$\begin{aligned}&\alpha（s）<0\quad\textit{在某个间隔}（c{3}，\infty）上。\结束{对齐}$$

(4.19)

证明

首先，我们验证(4.16). 对于给定的\（s{2}>s{1}\），存在\（v^{s_{2}}\在\mathcal{A}\中）这样的话\（阿尔法（s{2}）=F（v^{s{2{}}，s{2neneneep）因此，根据Korn的不平等和事实\（|\sqrt｛\rho｝v^｛s_｛2｝｝\|_｛0｝=1\）,

$$\alpha（s_｛1｝）\geqslant F\bigl（v^｛s_｛2｝｝，s_｛1｝\bigr）=\alpha（s_｛2｝）+（s_{2}-{s_{1}}）\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D} v（v）^{s{2}}\bigr\Vert_{0}^{2}/2>\alpha（s_{2}）$$

这就产生了(4.16).

现在我们来证明(4.17). 选择有界区间\（[c{4}，c{5}]\子集（0，\infty）\），对于任何\（位于[c{4}，c{5}]\中），存在一个函数\（v^{s}\）令人满意的\（阿尔法=F（v^{s}，s））因此，通过(4.16)，我们有

$$\alpha（c_{5}）+c_{4}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D} v（v）^{s} \bigr\Vert_{0}^{2}/4\leqsleat F\bigl（v^{s}，s/2\bigr）\leqsplant\alpha（s/2）\leq splant\alpha（c_{4}/2）$$

这就产生了

$$\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D} v（v）^{s} \bigr\Vert_{0}^{2}/2\leqslate 2\bigl（\alpha（c{4}/2）-\alpha-（c{5}）\bigr）/c_{4}=：\xi\quad\mbox{表示[c_4}，c_{5}]中的任何}$$

因此，对于任何\（s{1}\）,\（[c{4}，c{5}]\中的s{2}\）,

$$\alpha（s{1}）-\alpha-（s{2}）\leqslate F\bigl（v^{s{1{}，s_{1}\bigr）-F\bigle（v_{s_1}}，s_{2}\biger）\leq slate \xi\vert{s_2}}-s_{1{\vert$$

和

$$\阿尔法（s{2}）-\阿尔法$$

这直接意味着\（|\alpha（s_｛1｝）-\alpha（s_｛2｝）|\leqslant\xi|｛s_｛2｝｝-s_｛1｝|\）.因此(4.17)持有。

最后(4.19)可以从α通过使用Korn不等式和(4.3)，同时(4.18)根据以下定义是显而易见的α和引理3.3. □

4.4不动点区间的构造

让\（\mathfrak{I}:=\sup\{text{所有实常量}s\text{，它满足}\alpha（\tau）>0\text{对于（0，s）中的任何}\tau.凭借(4.18)和(4.19),\（\mathfrak｛I｝\in\mathbb｛R｝^｛+｝\）此外，\（阿尔法>0）对于任何\（位于（0，\mathfrak{I}）中）并且，由于\（\alpha（s）\）,

$$\alpha（\mathfrak{I}）=0$$

(4.20)

使用的单调性和上界\（\alpha（s）\），我们看到了

$$\lim_{s\rightarrow0}\alpha（s）=\varsigma\quad\mbox{对于某些正常数}\varsimma$$

(4.21)

现在，利用(4.20), (4.21)以及\（{\alpha}\）在\（（0，\mathfrak{I}）\），我们通过不动点参数发现\（（0，\mathfrak{I}）\）有独特的\（（0，\mathfrak{I}）中的\Lambda\）令人满意的

$$\Lambda=\sqrt{\alpha（\Lambda）}=\sqrt{\sup_{\varpi\in\mathcal{A}}F（\varpi，\Lambda）}\in（0，\mathfrak{I}）$$

(4.22)

因此我们得到了一个经典解\（（w，\beta）\在H^{\infty}\中）关于边界问题(2.5)∧由(4.22). 此外，

$$\Lambda=\sqrt{F（w，\Lambda）}>0$$

(4.23)

此外(2.7)直接跟随(4.23)和事实\（w\在H_{\sigma}^{1}\中）.

4.5增长率最高

接下来，我们证明了上一节构造的∧是线性化RT问题中RT不稳定性的最大增长率，从而完成了定理的证明2.1.

提案4.4

在定理的假设下2.1,\（兰姆达>0） 由建造(4.22)是线性化RT问题中RT不稳定性的最大增长率.

证明

回顾最大增长率的定义，足以证明∧满足定义中的第一个条件2.1.

让单位是线性化RT问题的强解。然后我们推导出，对于a.e。\（位于I_{t}中）以及所有\（w\在H_{\sigma}^{1}\中）,

$$\开始{对齐}\int\rho u_{t}\cdot w\，\mathrm{d} 年&=\int（\mu\Delta u-\nabla q）\cdot w\，\mathrm{d} 年\\&=\int_{\Sigma}\bigl（g[！\！[\rho]\！\！]\eta_{3} w个_{3} +\vartheta\Delta_｛\mathrm｛h｝｝\eta_｛3｝w_｛3｝\bigr）\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\int\mu\mathbb{D} u个：\nabla w\，\mathrm{d} 年。\结束{对齐}$$

(4.24)

因此，

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\int\rho u_{t}\cdot w\，\mathrm{d} 年=\int_{\Sigma}\bigl（g[！\！[\rho]\！\！]u_{3} w个_{3} +\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}u_{3} w个_{3} \bigr）\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\int\mu\mathbb{D} u个_{t} ：\nabla w\，\mathrm{d} 年。 $$

(4.25)

使用\（（\eta，u）\），我们可以显示(4.25)上边界为\（A（t）（\|w\|{1}+|w|_{1}）\）对于某些正函数\（A（t）\在L^{2}（I_{t}）中\）。然后存在\（f\在L^{2}（I_{T}，H^{-1}_{\西格玛}）\）这样，对于a.e。\（位于I_{t}中）,

$$\langle f，w\rangle_{H^{-1}_{\西格玛}\乘以H^{1}_{\sigma}}:=\int_{\sigma}\bigl（g[！\！[\rho]\！\！]u_{3} w个_{3} +\vartheta\Delta_{\mathrm{h}}u{3}w{3}\biger）\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}-\int\mu\mathbb{D} u个_{t} ：\nabla w\，\mathrm{d} 年。 $$

(4.26)

因此它遵循引理3.7那个

$$（\rhou{t}）{t}=f\在L^{2}\bigl（I{t}，H^{-1}_｛\sigma｝\bigr）$$

此外，通过经典正则化方法（参考第5.9章中的定理3[7]和引理6.5英寸[26])，我们有

$$\开始{aligned}&\frac{1}{2}\frac}\mathrm{d}}{\mathrm{d} t吨}\int\rho\vert u_{t}\vert^{2}\，\mathrm{d} 年=\bigl\langle\partial_{t}（\rho u_{t{），u_{t}\bigr\rangle_{H^{-1}_{\西格玛}\乘以H^{1}_{\sigma}}，\\&\int_{\sigma}\Delta_{\mathrm{h}}u{3}\partial_{t}u{3}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}=-\frac{1}{2}\frac}\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\int_{\Sigma}\vert\nabla_{\mathrm{h}}u_{3}\vert^{2}\，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}。\结束{对齐}$$

因此，我们可以从(4.26)以及上述两个身份

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\bigl（\Vert\sqrt{\rho}u_{t}\Vert^{2}_{0}+\mathcal{E}（u）\bigr）+\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u{t}\Vert_{0}^{2}=0$$

然后，在从0到t吨产生这样的结果

$$\Vert\sqrt{\rho}u_{t}\垂直^{2}_{0}+\mathcal{E}（u）+\int_{0}^{t}\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u_{s}\Vert_{0}^{2}\，\mathrm{d} 秒=I^{0}:=\mathcal{E}（u|_{t=0}）+\Vert\sqrt{\rho}u_{t}|_{t=0}\Vert^{2}_{0}. $$

(4.27)

利用牛顿-莱布尼茨公式和杨氏不等式，我们发现

$$\begin{aligned}和\Lambda\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u（t）\bigr\Vert_0}^{2}\\&\quad=\Lambda \bigl\ Vert\squat{\mu}\mathbb{D{u^{0}\bigr\ Vert_0{2}+2\Lambd\int_0}^t}\int\mu\mathbb{D}u（s）：\mathbb2{D}u{s}\，\mathrm{D}y\，\mathrm{d} 秒\\&\quad\leqslide\Lambda\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u^{0}\bigr\Vert_{0}^{2}+\int_{0}^{t}\Vert_sqrt}\mu}\mathbb{D}u_{s}\Vert_{0{2}\，\mathrm{d} 秒+\Lambda^{2}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u（s）\bigr\Vert_{0}^{2{\，\mathrm{d} 第条。\结束{对齐}$$

(4.28)

此外，通过(2.6)，我们有

$$-\mathcal{E}（u）\leqslate{\Lambda^{2}}\Vert\sqrt{\rho}{u}\Vert^{2}_{0}+\frac{\Lambda}{2}\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u\Vert^{2}_{0}. $$

(4.29)

因此，我们推断(4.27)–(4.29)那个

$$\开始{aligned}&\frac{1}{\Lambda}\Vert\sqrt{{\rho}}u_{t}\Vert^{2}_{0}+\frac{1}{2}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u（t）\bigr\Vert_{0}^{2}\\&\quad\leqslate{\Lambda}\bigle\Vert\sqlt{{\rho}}u（t）\biger\Vert^{2}_{0}+{\Lambda}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u（s）\bigr\Vert_{0}^{2}\，\mathrm{d} 秒+\frac{I^{0}+\Lambda\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u^{0{0}\Vert_{0}^{2}{\Lambda}。\结束{对齐}$$

(4.30)

回顾

$$\Lambda\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\Vert\sqrt{{\rho}}u\Vert^{2}_{0}=2\Lambda\int\rho u（t）\cdot u_{t}\，\mathrm{d}y\leqslate\Vert\sqrt{\rho}u_{t}\Vert^{2}_{0}+\Lambda^{2}\bigl\Vert\sqrt{{\rho}}u（t）\bigr\Vert^{2}_{0}, $$

我们进一步推断(4.30)微分不等式

$$\开始{aligned}&\frac{\mathrm{d}}{\mathr{d} t吨}\Vert\sqrt{{\rho}}u\Vert^{2}_｛0｝+\frac｛1｝｛2｝\bigl\Vert\sqrt｛\mu｝\mathbb｛D｝u（t）\bigr\Vert_｛0｝^｛2｝\&&quad\leqslant 2\Lambda\biggl（\bigl\Vert\sqrt｛\rho｝u（t）\bigr\Vert^{2}_{0}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\sqrt{mu}\mathbb{D}u（s）\bigr\Vert_{0}^{2}\，\mathrm{d} 秒\biggr）+\frac{I^{0}+\Lambda\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u^{0{0}\Vert_{0}^{2}{\Lambda}。\结束{对齐}$$

应用Gronwall不等式[26，引理1.2]对上述不等式，我们得出结论

$$\开始{aligned}&\bigl\Vert\sqrt{{\rho}}u（t）\bigr\Vert^{2}_{0}+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\bigl\Vert\sqrt{mu}\mathbb{D}u（s）\bigr\Vert^{2}_{0}\，\mathrm{d} 秒\\&\quad\leqslide\biggl（\bigl\Vert\sqrt{{\rho}}u^{0}\bigr\Vert_{0}^{2}+\frac{I^{0{+\Lambda\Vert\sql{\mu}\mathbb{D}u^}\Vert_}0}{2}{2\Lambda{2}\biggr）e^2\Lambda t}，\end{aligned}$$

(4.31)

其中，连同(4.30)，收益率

$$\开始{aligned}\frac{1}{\Lambda}\bigl\Vert\sqrt{{\rho}}u_{t}（t）\bigr\Vert^{2}_{0}+\frac{1}{2}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u（t）\bigr\Vert_{0}^{2}\leqslate{}&2\biggl（\Lambda\bigl\ Vert\squart{{\rho}}u^{0}\bigr\ Vert_{0}^2}+\frac{I^{0{+\Lambda \Vert_sqrt}\mu}\mathbb{D}u^{0}\Vert_{0}^{2}{2\Lambda}\biggr）e^{2\lambdat}\\&{}+\frac{I^{0{+\Lambda\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}u^{0}\Vert_{0}}{\Lambda}。\结束{对齐}$$

（4.32）

乘法(1.10)₂通过\（u{t}\）在里面\（L^{2}\）利用分部积分，我们得到

$$\int\rho\vert u_{t}\vert^{2}\，\mathrm{d} 年=\int_{\Sigma}[\！\！[q]\！\\部分_{t} u个_{3} \，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}+\int\mu\Delta u\cdot u{t}\，\mathrm{d} 年。 $$

(4.33)

利用(3.17)，我们可以估计

$$\int_{\Sigma}[！\！[q]\！\！]\部分_{t} u个_{3} \，\mathrm{d} 年_{\mathrm{h}}\lesssim\bigl\vert[\！\！[q]\！\\bigr\vert_{1/2}\vert\partial_{t}u_{3}\vert_}-1/2}\lesssim\bigl\vert[\！\\bigr\vert_{1/2}\Vertu_{t}\vert_{0}$$

此外，使用(1.10)₅和跟踪估计(3.9)，我们有

$$\bigl\vert[\！\！[q]\！\\bigr\vert_｛1/2｝\lesssim\vert\eta\vert _｛3｝+\vert u\vert _｛2｝$$

使用上述两个估计，我们可以从(4.33)那个

$$\垂直u_{t}\垂直^{2}_{0}\lesssim\Vert\eta\Vert_{3}+\Vert-u\Vert_}$$

这意味着

$$\Vert\sqrt{\rho}u_{t}|_{t=0}\Vert^{2}_{0}\lesssim\bigl\Vert\bigl（\eta^{0}，u^{0{bigr）\bigr\Vert_{3}$$

通过上述估计和Korn不等式，我们得出(4.31)和(4.32)那个

$$\垂直u\垂直{1}^{2}+\垂直u{t}\垂直^{2}_{0}+\int_{0}^{t}\bigl\Vert u（s）\bigr\Vert^{2}_{1} \，\mathrm{d} 秒\lesssim e ^{2\Lambda t}\bigl（\bigl\Vert\eta^{0}\bigr\Vert_{3}^{2}+\bigl\ Vert-u^{0{\bigr\ Vert_{2}\biger）$$

最后，来自(1.10)₁我们得到

$$\开始{aligned}\bigl\Vert\eta（t）\bigr\Vert_{1}&\lesssim\bigl\ Vert\eta^{0}\bigr\ Vert_{1'+\int_{0}^{t}\Vert_eta_{s}\Verd_{1}\，\mathrm{d} 秒\lesssim\bigl\Vert\eta^{0}\bigr\Vert_{1}+\int_{0}^{t}\bigl\垂直u（s）\bigr\垂直{1}\，\mathrm{d} 秒\\&\lesssim e ^{\Lambda t}\bigl（\bigl\Vert\eta^{0}\bigr\Vert_{3}+\bigl\ Vertu^{0{\bigr\ Vert_{2}\biger）。\结束{对齐}$$

通过上面的两个估计，我们看到∧满足定义中的第一个条件2.1。证明已完成。 □

5表面张力的影响

5.1的属性\（\alpha（s，\vartheta）\）关于ϑ

强调∧和\（\mathcal{G}\）在上面ϑ，我们将其表示为\（\Lambda_{\vartheta}\）和\（\mathcal{希腊}_{\vartheta}\）分别是。证明定理2.2，我们进一步推导了关系(2.1)和(2.11)表面张力系数和最大增长率。为此，我们需要以下辅助结论。

提议5.1

让 \（g>0）,\（\rho>0\）,和 \（\mu>0\） 被给予.

• (1) 严格单调性:如果 \（\vartheta{1}\） 和 \（\vartheta{2}\） 常数是否满足要求 \（0\leqslated\vartheta_{1}<\vartheta_2}\）,然后

  $$\alpha（s，\vartheta_{2}）$$

  (5.1)

  对于任何给定的 \（s>0\）.此外,如果 \（\vartheta{2}\） 进一步满足 \（瓦尔特{2}<瓦尔特{c}}）,

  $$\马塔尔{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{1}}>\mathcal{希腊}_｛\vartheta\｛\mathrm｛2｝｝｝｝$$

  （5.2）

  哪里

  $$\马塔尔{希腊}_{\vartheta_{i}}:=\sup\bigl\{s\in\mathbb{R}\mid\alpha（\tau，\vartheta _{i{）>0\textit{对于（0，s）\bigr\}\quad\textit{和}\quad \alpha中的任何}\tau{希腊}_{\vartheta{i}}，\vartheta{i}）=0$$

  (5.3)

• (2) 连续性:对于给定的 \（s>0\）,\C中的（\alpha（s，\vartheta）^{0,1}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{+}）\） 关于变量 ϑ.

证明

（1） 让\（s>0\）被固定并且\（0\leqslated\vartheta_{1}<\vartheta_2}\）。然后存在功能\H^{infty}\cap\mathcal中的（{w}^{vartheta_{i}}｛A｝_{\vartheta_{i}}\）,\（i=1,2），因此

$$\alpha（s，\vartheta_{i}）={E}\bigl｛w｝_{3} ^｛\vartheta\｛i｝｝\bigr\vert_｛0｝^｛2｝$$

哪里\（{E}（{w}^{\vartheta_{i}}）：=g[！\！[\rho]\！\！]|{w} ^｛\vartheta _｛i｝｝_｛3｝| _｛0｝^｛2｝-｛s｝\|\sqrt｛\mu｝\mathbb｛D｝｛w｝^｛\vartheta _｛i｝｝\|_｛0｝^｛2｝/2\）.自\（{w}^{vartheta{i}}在mathcal中｛A｝_{\vartheta_{i}}\），凭借(2.7)和(3.5)，我们有

$$0<\bigl\vert{w}^{\vartheta_{2}}\bigr\vert_{0}\lesssim\bigl\ vert\nabla_{\mathrm{h}}{w}^{\vertheta_}}\bigr\vert_{0}$$

因此

$$\alpha（s，\vartheta_{2}）\leqsleat\alpha_{1}-\vartheta{2}）}\bigl\vert\nabla{\mathrm{h}｛w｝_{3} ^｛\vartheta\｛2｝｝\bigr\vert_｛0｝^｛2｝<\alpha（s，\vartheta\｛1｝）$$

这将产生所需的结论(5.1).

接下来我们证明(5.2)通过矛盾。如果\（\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{1}}{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{2}}），然后我们从(5.1)以及\（\alpha（s，\cdot）\）关于秒那个

$$0=\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta{\mathrm{2}}，\vartheta{2}）<\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta{\mathrm{2}}，\vartheta{1}）<\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{1}}，\vartheta{1}）=0$$

这是一个悖论。如果\（\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{1}}=\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{2}}），利用(5.1)，我们有

$$0=\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta{\mathrm{2}}，\vartheta{2}）<\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{2}}}，\vartheta{1}）=\alpha（\mathcal{希腊}_{\vartheta_{\mathrm{1}}，\vartheta{1}）=0$$

这也是一个悖论。因此，我们立即得到了期望的结论。

（2） 让\（s>0\）固定。我们选择一个有界区间\（[b_{1}，b_{2}]\子集\mathbb{R}^{+}\）那么，对于任何给定的\（[b{1}，b{2}]\中的θ），有一个函数\（{w}^{theta}\在mathcal中｛A｝_{\vartheta}\）令人满意的\（α（s，θ）={E}（{w}^{theta}）-θ|\nabla_{mathrm{h}}｛w｝_{3} ^{\theta}|_{0}^{2}\）因此，鉴于\（\alpha（\cdot，\theta）\），我们知道

$$\begin｛aligned｝\alpha（s，b_｛2｝）+b_｛1｝\bigl\vert\nabla _｛\mathrm｛h｝｝｛w｝_{3} ^{\theta}\bigr\vert_{0}^{2}/2&\leqslide\alpha（s，\theta）+\theta\bigl\vert\nabla_{mathrm{h}｛w｝_{3} ^{\theta}\bigr\vert_{0}^{2}/2\\&\leqslated\alpha（s，\theta/2）\leqstread\alha（s，b_{1}/2），\end{aligned}$$

(5.4)

这就产生了

$$\bigl\vert\nabla_{\mathrm{h}}｛w｝_{3} ^{\vartheta}\bigr\vert_{0}^{2}\leqslate 2\bigl（\alpha（s，b_{1}/2）-\alpha-（s，b2}）\bigr）/b_{1{：=K（s）\quad\mbox{表示[b_{1'，b_}2]中的任意}\vartheta$$

因此，对于任何\（\vartheta{1}\）,\（[b_｛1｝，b_｛2｝]\中的\ vartheta _｛2｝\）,

$$开始{对齐}\alpha｛w｝_{3} ^{\vartheta_{1}}\bigr\vert_{0}^{2}-\bigl｛w｝_{3} ^{\vartheta_{1}}\bigr\vert_{0}^{2}\biger）\\&\leqslide K（s）\vert\vartheta_{2}-\vartheta{1}\垂直。\结束{对齐}$$

将指数1和指数2在推导上述不等式中的作用颠倒过来，我们得到了与切换指数相同的有界性。因此，我们推断

$$\bigl\vert\alpha（s，\vartheta_{1}）-\alpha_{1}-\｛2｝\vert$$

这就产生了\C中的（\alpha（s，\vartheta）^{0,1}_{\mathrm{loc}}（\mathbb{R}^{+}）\）这就完成了证明。 □

5.2定理的证明2.2

首先，我们验证了 \（\Lambda_{\vartheta}\） 关于变量 \（[0，\vartheta_{mathrm{c}}中的\vartheta）.

对于给定的两个常数\（\vartheta{1}\）和\（\vartheta{2}\）令人满意的\（0\leqslant\vartheta\｛1｝<\vartheta\｛2｝<\vartheta\｛\mathrm｛c｝｝\），存在两个关联的曲线函数\（\alpha（s，\vartheta{1}）\）和\（\alpha（s，\vartheta{2}）\）定义于\（（0，\vartheta_{\mathrm{c}}）\）.根据命题中的第一个断言5.1,

$$\alpha（s，\vartheta_{1}）>\alpha's，\vartheta_{2}）$$

一方面，固定点\（\Lambda_{\vartheta_{i}}）令人满意的\（\Lambda{\vartheta{i}}=\sqrt{\alpha（\Lambeda{\vertheta{i}}）}\）可以从两条曲线的交点处获得\（y=s \）和\（y=\sqrt{\alpha（s，\vartheta{i}）}\）在\（（0，\数学{希腊}_{\vartheta{i}}）对于\（i=1）和2。因此，我们可以立即观察到单调性

$$\Lambda_{\vartheta_{1}}>\Lambda _{\varheta_{2}}\quad\mbox{代表}0\leqslate\vartheta _{1}<\varthetan _{2}<\varheta _{\mathrm{c}}$$

(5.5)

其次，我们证明了 \（\Lambda_{\vartheta}\）.

我们选择一个常数\（\vartheta_{0}>0\）和相关函数\（\alpha（s，\vartheta_{0}）\）.注意到\（\alpha（\Lambda _｛\vartheta _｛0｝｝，\vartheta _｛0｝）=\Lambda^{2}_{\vartheta_{0}}>0\）和\C中的（\alpha（\cdot，\vartheta）^{0,1}_{\mathrm{loc}}[0，\vartheta_{\mathrm{c}}）\）在以下方面严格递减且连续ϑ，对于任何给定\（\varepsilon>0\），存在一个常量\（增量>0）这样的话

$$\开始{对齐}&（\vartheta_{0}-\delta，\ vartheta _｛0｝+\ delta）\子集（0，\ vartheta _｛\mathrm｛c｝｝），\ qquad\alpha（\ Lambda _｛\vartheta _｛0｝｝，\ vartheta _｛0｝+\ delta）>0，\\&0<\sqrt｛\alpha（\ Lambda _｛\vartheta _｛0｝，\ vartheta _｛0｝）}-\sqrt｛\alpha（\ Lambda _｛\vartheta _｛0｝｝｝，\ vartheta _｛0｝+\ delta）}<\varepsilon\end｛aligned｝$$

和

$$0<\sqrt{\alpha（\Lambda_{\vartheta_{0}}，\vartheta_{0}-\三角洲）}-\sqrt{\alpha（\Lambda{\vartheta{0}}，\vartheta{0}）}<\varepsilon$$

特别是，我们有

$$\Lambda_{\vartheta_{0}}-\varepsilon<\sqrt{\alpha_{0}-\δ）}<\Lambda{\vartheta{0}}+\varepsilon$$

由于\（\Lambda_{\vartheta}\）关于ϑ，我们得到

$$\Lambda _{\vartheta（兰姆达）_{0}-\增量}>\Lambda{\vartheta{0}>\Lambda{\\vartheta}0}+\delta}$$

因此，使用\（\alpha（s，\cdot）\）关于秒，我们获得

$$\sqrt{\alpha（\Lambda{\vartheta{0}}，\vartheta{0}+\delta）}$$

和

$$\sqrt{\alpha（\Lambda_{\vartheta_{0}}，\vartheta_{0}-\δ）｝>\sqrt｛\alpha（λ｛\vartheta_{0}-\三角形}，\vartheta_{0}-\三角形）}=\Lambda{\vartheta_{0}-\三角洲}$$

将上述五个不等式联系起来，我们立即得到

$$\Lambda_{\vartheta_{0}}-\varepsilon_{0}-\三角洲}<\Lambda{\vartheta{0}}+\varepsilon$$

那么，对于任何\（\vartheta\in（\vartheta_{0}-\增量，\vartheta{0}+\delta）\），我们到达\（\Lambda_{\vartheta_{0}}-\varepsilon.因此

$$\Lambda{\vartheta}\mbox{是（0，\vartheta{\mathrm{c}}）中}\varthetta的连续函数$$

(5.6)

现在我们研究\（\Lambda_{\vartheta}\）作为\（\vartheta\到0\）。对于任何\（\varepsilon>0\），存在\（｛w｝\in\mathcal）｛A｝_{0} \)这样的话

$$w_{3}\neq 0\quad\mbox{on}\Sigma\quad_mbox{and}\quad\\Lambda_{0}-\varepsilon<\sqrt{g[\！\！[\rho]\！\｛w｝_{3} \vert_{0}^{2}-\Lambda_{0}\vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}\vert_{0{2}/2}=\Lambda{0}$$

(5.7)

此外，

$$\Lambda_{\vartheta}<\Lambda _{0}$$

(5.8)

因此，利用(2.6), (5.7)、和(5.8)，存在一个足够小的常数\（在（0，\vartheta{\mathrm{c}}）中为\vartheta{1}）这样，对于任何\（在（0，\vartheta_{1}）中为\vartheta）,

$$\Lambda_{0}-\varepsilon<\sqrt{g[\！\！[\rho]\！\｛w｝_{3} \vert_{0}^{2}-\Lambda_{\vartheta}\vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}\vert_{0{2}/2-\vartheta \vert\nabla{\mathrm{h}}w_{3}\vert^{2}_{0}}\leqslide\Lambda_{\vartheta}<\Lambda _{0}$$

（5.9）

因此我们得到

$$\lim_{\vartheta\rightarrow 0}\Lambda_{\vertheta}=\Lambda _{0}$$

其中，连同(5.6)，得出以下结论

$$\Lambda _｛\vartheta｝\mbox｛是[0，\vartheta _｛\mathrm｛c｝｝中｝\vartheta的连续函数$$

(5.10)

最后，我们导出了上界(2.1)对于 \（\Lambda_{\vartheta}\）.

回顾\（\vartheta_{\mathrm{c}}\），我们从中看到(3.4)那个

$$g[！\！[\rho]\！\！]\垂直｛w｝_{3} \vert_{0}^{2}\leqslated\vartheta_{\mathrm{c}}\vert\nabla_{\mathrm{h}}｛w｝_{3} H中任意}{w}的\vert_{0}^{2}\quad\mbox{^{1}_{\西格玛，3}$$

因此，凭借(2.6)，对于任何给定\（[0，\vartheta_{mathrm{c}}中的\vartheta），存在\（{w}^{vartheta}\在mathcal中｛A｝_{\vartheta}\）这样的话

$$0\leqslead\Lambda_{\vartheta}^{2}=F\bigl（w^{\varheta}，\Lambda_{\vartheta}\bigr）\leqstread g[！\！[\rho]\！\！]（\vartheta_{\mathrm{c}}-\vartheta）\bigl\vert{w}^{\varthetab}_{3}\bigr\vert_{0}^{2}/\varthetta_{\mathrm{c}}-\ frac{\Lambda_{\vartheta}}{2}\bigl\ vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}$$

这就产生了

$$\Lambda_{\vartheta}^{2}+\frac{\Lambda _{\vertheta}}{2}\bigl\Vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}^{\varheta}\bigr\Vert_{0}^{2]\leqslate g[\！\！[\rho]\！\（\vartheta_{\mathrm{c}}-\vartheta）\bigl\vert{w}^{\varthetta}{3}\bigr\vert_{0}^{2}/\varthetan_{\mathrm{c}}$$

(5.11)

由(3.6)和跟踪估计(3.9)，我们可以估计

$$\bigl\vert{w}^{\vartheta}_{3}\bigr\vert_{0}^{2}\leqslate\frac{h_{+}}{8\mu_{+{}}\bigl\ vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}^{\vertheta}\biger\vert_{0{2}$$

同样，我们也有

$$\bigl\vert{w}^{\vartheta}_{3}\bigr\vert_{0}^{2}\leqslate\frac{h_{-}}{8\mu_{-{}}\bigl\ vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}^{\vertheta}\bigr\ vert_{0{2}$$

通过上述两个估计，我们得出(5.11)那个

$$\Lambda_｛\vartheta｝\bigl\Vert\sqrt｛\mu｝\mathbb｛D｝｛w｝^｛\vartheta｝\bigr\Vert_｛0｝^｛2｝\leqslant\frac｛g[\！[\rho]\！\！]（\vartheta\mathrm｛c｝-\vartheta）｝｛-｝\biggr\｝\bigl\Vert\sqrt｛\mu｝\mathbb｛D｝｛w｝^｛\vartheta｝\bigr\Vert_｛0｝^｛2｝$$

这就产生了

$$\Lambda_{\vartheta}\leqslate\frac{（\vartheta _{\mathrm{c}}-\vartheda）}{4\max\{L_{1}^{2}，L_{2}^2}}\min\biggl \{\frac}h_{+}}{\mu_{+{}}，\ frac{h_{-}}{\ mu_{-{}}\biggr \}$$

(5.12)

注意到\（\|\sqrt{\rho}{w}^{\vartheta}\|_{0}=1\），由(3.16)，我们有

$$\bigl\vert{w}^{\vartheta}_{3}\bigr\vert_{0}^{2}\leqslate\frac{2}{\sqrt{\rho_{-}}\bigl\ vert\sqrt}\rho_{-}{w}^{\vertheta}_{3}\ bigr\vert_{L^{2{（\Omega_{-{）}\bigl\vert\partial_{3{-}^{\vartheta}_{3}\bigr\vert_{L^{2}（\Omega_{-}）}\leqslide\frac{\vert\sqrt{\mu}\mathbb{D}{w}}}. $$

将上述估算纳入(5.11)然后利用杨氏不等式，我们得到

$$\Lambda_{\vartheta}^{2}\leqslate\frac{（g[\！\！[\rho]\！\$$

这就产生了

$$\Lambda _｛\vartheta｝^｛3｝\leqslant\frac｛（g[\！\！[\rho]\！\！]（\vartheta _｛\mathrm｛c｝}-\vartheta））^｛2｝｝｛4\vartheta _｛\mathrm｛c｝｝^｛2｝\rho _｛-｝\mu _｛-｝｝｝$$

(5.13)

同样，我们也有

$$\Lambda_{\vartheta}^{3}\leqslate\frac{（g[\！\！[\rho]\！\）（\vartheta_{\mathrm{c}}-\vartheda））^{2}{4\varthetan_{\mathrm{c}}^{2{\rho_{+}\mu_{+{}}$$

(5.14)

将上述两个估计值相加得出

$$\Lambda_{\vartheta}\leqslate\biggl（\frac{（g[\！\！[\rho]\！\ 1}{3}}$$

(5.15)

其中，连同(5.12)，意味着

$$\Lambda_{\vartheta}\leqsland米$$

(5.16)

因此，我们完成了定理的证明2.2来自(5.5), (5.10)、和(5.16).

6结论

我们研究了分层不可压缩粘性流体中（界面）表面张力对线性瑞利-泰勒（RT）不稳定性的影响。在不稳定条件下（即表面张力系数），证明了具有最大增长率∧的线性RT不稳定解的存在性ϑ小于阈值\（\vartheta_{\mathrm{c}}\）)采用改进的偏微分方程变分法。此外，我们发现∧的一个新上界。特别是，我们直接从上限观察到∧逐渐收敛到零ϑ从零到阈值\（\vartheta_{\mathrm{c}}\）然而，我们不知道提供一个数值例子，因为我们很难对三维分层流体的运动进行数值实验。我们将在未来进一步研究这个主题。