基于负相关创新的异方差半参数模型中小波估计量的渐近性质

摘要

考虑异方差半参数回归模型\（y{i}=x{i}\beta+g（t{i}）+\varepsilon{i}\）,\（i=1，2，\ldot，n），其中β是未知的斜率参数，\（\varepsilon_{i}=\西格玛_{i} e（电子）_{i} \）,\（\西格玛^{2}_{i} =f（u_{i}）\）,\（（x_｛i｝，t_｛i｝，u_｛i｝）\）是非随机设计点，\（y{i}\）是响应变量，（f）和克未知函数定义在闭合区间上吗$[0,1]$，随机错误\（\{e_{i}\}\）均数为零的负相关（NA）随机变量。而的核估计量β,克、和（f）在本文中，我们研究了它们的小波估计，并在NA误差假设下导出了这些估计的强相合性。同时，我们还得到了小波估计的Berry–Esséen型界β和克.

1介绍

考虑以下部分线性或半参数回归模型：

$$y_{i}=x{i}\beta+g（t_{i}）+\varepsilon_{i{，\quad1\leqi\leqn$$

(1.1)

哪里β是未知的斜率参数，\（\varepsilon_{i}=\西格玛_{i} e（电子）_{i} \）,\（\西格玛^{2}_{i} =f（u_{i}）\）,\（（x_｛i｝，t_｛i｝，u_｛i｝）\）是非随机设计点，\（y{i}\）是响应变量，（f）和克未知函数定义在闭合区间上吗\（[0,1]\）、和\（\{e_{i}\}\）都是随机错误。

众所周知，这个模型(1.1)当错误发生时，许多作者对其特殊情况进行了广泛研究\（e_{i}\）独立同分布（i.i.d.）。例如，当\（\西格玛^{2}_{i} =\西格玛^{2}\），型号(1.1)被简化为通常的部分线性模型，该模型由Engle等人首次引入[1]，然后使用各种估计方法来获得中未知量的估计量(1.1)及其渐近性质，（参见[2–5]). 在混合假设下β和克衍生于[6–9]。何时\（\西格玛^{2}_{i} =f（u_{i}）\），型号(1.1)成为异方差半参数模型，Back和Liang[10]、张和梁[11]、以及魏和李[12]分别建立了模型的最小二乘估计（LSE）和加权最小二乘估计（WLSE）的强相合性和渐近正态性β，基于的非参数估计（f）和克.如果\（g（t）等于0）和\（\西格玛^{2}_{i} =f（u_{i}）\），型号(1.1)简化为异方差线性模型；什么时候\（\beta\equiv0\）和\（\西格玛^｛2｝_{i} =f（u_{i}）\），型号(1.1)归结为异方差非参数回归模型，其未知量的渐近性质由Robinson研究[13]卡罗尔和哈德尔[14]、梁和齐[15].

近年来，小波技术由于能够适应曲线的局部特征，在统计、工程和技术领域得到了广泛的应用。许多作者考虑使用小波方法估计非参数和半参数模型。参见Antoniadis等人[16]、孙和柴[17]，Li等人[18–20]、薛[21]，Zhou等人[22]等等。

本文考虑模型误差的NA。让我们回顾一下NA随机变量的定义。随机变量的有限集合\（{X_{i}，1\leqi\leqn\}）如果对于所有不相交的子集，则称为负相关（NA）\（A，B\子集\{1,2，\ldot，n\}\）,

$$\operatorname{Cov}\bigl（f（X_{i}，i\in A），g（X__{j}，j\in B）\bigr）\leq0$$

哪里（f）和克是真正的坐标非递减函数，因此它们的协方差存在。随机变量的无限序列\（{X_{n}，n\geq1\}）如果每个\（第2页）,\（X_{1}，X_{2}，\ldots，X_}n}）NA随机变量的定义是由Alam和Saxena介绍的[23]由Joag-Dev和Proschan仔细研究[24]。尽管i.i.d.随机变量是NA，但根据定义，NA变量可以是非i.i.d。由于NA在系统可靠性和多元统计分析中的广泛应用，最近NA的概念受到了广泛关注。我们指的是马图拉[25]和邵[26]，等等。

在本文中，我们的目的是推导最小二乘估计，加权最小二乘估计β，及其小波估计的强相合性（f）和克同时，其小波估计的Berry–Esséen型界β和克研究了NA随机误差下的异方差半参数模型。

其余部分的结构如下。一些基本假设和估计在第节中列出。 2一些符号和主要结果在第节中给出。 三第节提供了主要结果的证明。 4。在附录，给出了一些初步引理。

在整篇论文中，\（C，C_{1}，C_}2}，\ldots\）表示一些不依赖于n个，在不同的地方可能会有所不同。由\（\lfloor x \rfloor）我们表示不超过的最大整数x个;\（（（j{1}，j{2}，\ldots，j{n}））代表的任何排列\（（1,2，\ldot，n））;\（a{n}=O（b_{n}）\）方法\（|a{n}|\leq C|b_{n}|\）、和\（a{n}=o（b{n}）\）意味着\（a{n}/b{n}\右箭头0）.签署人\（I（A）\）我们表示集合的指示函数A类,\（\varPhi（x）\）是标准正态分布函数，以及\（a^{+}=\最大值（0，a）\）,\（a ^｛-｝=\分钟（0，-a）\）.所有限值均作为样本量n个趋向∞，除非另有规定。

2估计值和假设

在模型中(1.1)，如果β已知为真参数，则因为\（Ee_{i}=0\），我们有\（g（t_{i}）=E（y_{i} -x个_{i} β）\）,\（1）因此，自然小波估计克是

$$｛g｝_{n} （t，β）=\sum_｛i=1｝^｛n｝（y_{i} -x个_{i} \β）\int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds$$

其中，小波核\（E_{m}（t，s）\）可以由定义\（E_{m}（t，s）=2^{m}\sum_{k\in Z}\phi（2^{m} t-k公司)\φ（2^{m} s-k（平方公里）)\),直径是缩放函数，\（m=m（n）>0）是一个整数，仅取决于n个、和\（A{i}=[s_{i-1}，s_{i}）\）是划分的间隔$[0,1]$具有\（A_{i}中的t_{i}\）,\（i=1,2，\ldot，n）、和\（0\leq t_{1}\leq t_{2}\leq\cdots\leq t_}n}=1\）.估算β，我们最小化

$$S（\beta）=\sum_{i=1}^{n}\bigl[y_{i} -x个_{i} \beta-g_{n}（t，\beta）\bigr]^{2}=\sum_{i=1}^{n}（\tilde{y}（y）_{我}-\波浪线{x}_{i} \beta）^{2}$$

(2.1)

最小值为(2.1)被发现为

$$\hat{\beta}_{L}=\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \波浪线{y}（y）_{i} /S_{n}^{2}$$

(2.2)

哪里\（\波浪号{x}_{i} =x_{我}-\总和{j=1}^{n} x_{j} \ int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\）,\（\波浪号｛y｝_{i} =y_{我}-\总和{j=1}^{n} 年_{j} \ int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\）、和\（S_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}^{2}_{i} \）.估计器\（{\beta}_{L}\）被称为伦敦政治经济学院β.

当误差为异方差时，我们根据（f）.如果\（\西格玛^{2}_{i} =f（u_{i}）\）是已知的，那么\（{\beta}_{L}\）修改为WLSE

$$\hat{\beta}_{W}=\sum_{i=1}^{n}a{i}\波浪线{x}_{i} \波浪线{y}（y）_{i} /T_{n}^{2}$$

(2.3)

哪里\（a{i}=\西格玛{i}^{-2}=1/f（u{i}）\）和\（T_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \波浪线{x}^{2}_{i} \）事实上，（f）未知，必须进行估计。何时\（Ee_{i}^{2}=1\），我们有\（E（y）_{i} -x个_{i} \β-g（t_{i}））^{2}=f（u{i}）\）因此（f）可以由定义

$$\帽子{f}_{n} （u{i}）=\sum{j=1}^{n}（波浪线{y}（y）_｛j｝-\波浪线{x}_{j} \hat{\beta}_{L}）^{2}\int_{B_{j}}E_{m}（u_{i}，s）\，ds$$

(2.4)

哪里\（B_｛i｝=〔s’_｛i-1｝，s’_｛i｝）\）是划分的间隔$[0,1]$具有\（B_{i}\中的u_{i{\）,\（i=1,2，\ldot，n）、和\（0\lequ{1}\lequ{2}\leq \cdots\lequ}=1\）.

为了方便起见，我们假设\（\min_{1\leqi\leqn}|\hat{f}_{n} （u{i}）|>0\）因此β是

$$\波浪线{\beta}_{W}=\sum_{i=1}^{n}a_{ni}\波浪线{x}_{i} \波浪线{y}（y）_{i} /W_{n}^{2}$$

(2.5)

哪里\（a{ni}=1/\hat{f}_{n} （u{i}）\）,\（1）、和\（W_{n}^{2}=\sum_{i=1}^{n} 一个_{ni}\波浪线{x}^{2}_{i} \）.

我们定义了非参数分量的插件估计量克对应于\（{\beta}_{L}\）,\（测试版）、和\（波浪号｛\beta｝_｛W｝\）分别由

$$\帽子｛g｝_{五十} （t）=sum{i=1}^{n}（y_{i} -x个_{i} {\beta}_{L}）\int_{A{i}}E_{m}（t，s）\，ds，\quad\quad\hat｛g｝_{W} （t）=sum{i=1}^{n}（y_{i} -x个_{i} \hat{\beta}_{W}）\int_{A{i}}E_{m}（t，s）\，ds$$

和

$$\波浪号｛g｝_{W} （t）=sum{i=1}^{n}（y_{i} -x个_{i} \ tilde{\beta}_{W}）\int_{A{i}}E_{m}（t，s）\，ds$$

现在，我们列出一些基本假设，这些假设将在Section中使用。 三.

（A0）：

让\（{e_{i}，i\geq1\}\）是负相关随机变量序列\（Ee_{i}=0\）和\（\sup_{i\geq1}E|E_{i}|^{2+\delta}<\infty\）对一些人来说\（增量>0）.

（A1）：

存在一个函数小时在$[0,1]$这样的话\（x{i}=h（t{i}）+v{i}\）、和

• （i） \（\lim_{n\rightarrow\infty}n^{-1}\sum_{i=1}^{n} v（v）_{i} ^{2}=\varSigma_{0}\）(\（0<\varSigma_{0}<\infty\）);

• （ii） \（最大{1\leqi\leqn}|v{i}|=O（1）\）;

• （iii） \（limsup_{n\rightarrow\infty}（\sqrt{n}\logn）^{-1}\max_{1\leqm\leqn}|\sum_{i=1}^{m} v（v）_{j_{i}|<\infty\）.

（A2）：

• （i） （f）,克、和小时满足1阶Lipschitz条件$[0,1]$,\（h^{v}中的h\）,\（v>3/2），其中\（H ^｛v｝\）是Sobolev有序空间v（v）;

• （ii） \（0<m_{0}\leq\min_{1\leqi\leqn}f（u_{i}）\leq\ max_{1\\leqi\ leqn{f.

（A3）：

缩放函数直径是第页-常规(第页是一个正整数），满足1阶Lipschitz条件，并且具有紧支撑。此外，\（|\hat{\phi}（\xi）-1|=O（\xi）\）作为\（\xi\rightarrow\infty\），其中ϕ̂是的傅里叶变换直径.

（A4）：

• （i） \（\最大_｛1\leq i \ leq n｝| s_{i} -秒_{i-1}|=O（n^{-1}）\）;\（最大值{1\leqi\leqn}|s'_{i} -秒'_{i-1}|=O（n^{-1}）\）;

• （ii） 存在\（d_{1}>0\）和\（d_{2}>0\）这样的话\（\min_{1\leqi\leqn}|t_{i} -吨_｛i-1｝|\geq d_｛1｝/n\）和\（\min_{1\leqi\leqn}|u_{i} -u个_{i-1}|\geqd_{2}/n\）.

（A5）：

光谱密度函数\（磅/平方英寸（Ω））属于\（\{e_{i}\}\）满足\（0<C_{1}\leq\psi（\omega）\leqC_{2}<\infty\）对于\（\omega\in（-\pi，\pi]\）.

（A6）：

存在正整数\（p:=p（n）\）,\（q:=q（n）\）、和\（k:=k{n}=\floor\frac{n}{p+q}\floor\）这样，对于\（p+q\leq n\）,\（qp^{-1}\leq C<\infty\）.

备注2.1

假设（A1）、（A2）和（A5）是近期文献（如Härdle）中常用的标准正则性条件[5]，Liang等人[6]、梁和范[7]、张和梁[11]。假设（A3）是小波估计的一般条件。根据伯恩斯坦的分块思想，假设（A6）是一个技术条件，如果第页,q个被合理地选择来证明定理3.3（参见Liang等人[15,27]和Li等人[18,20]).

备注2.2

从（A1）（i）、（iii）、（A2）、（A3）和（A4）可以推断出

$$\开始{聚集}n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} ^{2}\rightarrow\varSigma_{0}；\qquad S_｛n｝^｛-2｝\sum_｛i=1｝^｛n｝\vert\波浪{x}_{i} \vert\leq C；\\C_{3}\leq n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i}^{-2}\波浪线{x}_{i} ^{2}\leq C_{4}；\qquad T_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\bigl\vert\sigma_{i}^{-2-}\波浪线{x}_{i} \bigr\vert\leq C.\end｛已收集｝$$

(2.6)

备注2.3

让\（tilde{\kappa}（t_{i}）=\kappa（t_{i}）-\sum_{j=1}^{n}\kappa（t_{j}）\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\），套\（\kappa=f，g，\text｛或｝h\）在假设（A2）（i）、（A3）和（A4）下，通过定理3.2英寸[16]由此可见

$$\sup_{t}\bigl\vert\tilde{\kappa}（t）\bigr\vert=O\bigl（n^{-1}+2^{-m}\biger）$$

(2.7)

备注2.4

根据（A1）（ii）(2.7)、和引理答6在中附录很容易获得

$$\max_{1\leq-i\leq-n}\vert\tilde{x}_{i} \vert\leq\max_{1\leq-i\leq-n}\vert\tilde｛h｝_{i} \vert+max_{1\leqi\leqn}\vertv_{i}\vert+\max_{1\leqj\leqn}\vert-v_{j}\vert\max_{2\leqi \leqn-}\sum_{j=1}^{n}\biggl\vert\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\biggr\vert=O（1）$$

(2.8)

三符号和主要结果

为了说明我们的主要结果，我们引入了以下符号。设置

$$\开始{聚集}\sigma^{2}_{1n}=\operatorname{Var}\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{i} \Biggr），\qquad\sigma^{2}_{2n}=\operatorname{Var}\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \西格玛^{-1}_{i} e（电子）_{i} \Biggr）、\\varGamma^{2}_{n} （t）=\运算符名称｛Var｝\Biggl（\sum_｛i=1｝^｛n｝\sigma_{i} e（电子）_{i} \nint_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr）；\qquad u（q）=\sup_{j\geq1}\sum_{j:\vert j-i\vert\geq}\bigl\vert\operatorname{Cov}r）^{2}，\qquad\lambda_{4n}=\frac{2^{m}}{n}\log^{2} n个 ; \\ \lambda{5n}=bigl（2^{-m}+n^{-1}\biger）\log n+\sqrt{n}\bigl^{-1}2^{m} ，\qquad\gamma_{2n}=pn^｛-1｝2^{m} ，\qquad\gamma{3n}=2^{-m/2}+\sqrt{2^{m}/n}\log n；\\\mu{1n}=\sum{i=1}^{3}\lambda{in}^{1/3}+2\lambada{4n}^{1/3}+\lambda{5n}；\qquad\mu{2n}=\sum{i=1}^{2}\gamma{in}^{1/3}+\gamma_{3n}^{（2+\δ）/（3+\δ）}；\\\upsilon_{1n}=\lambda_{2n}^{\delta/2}+u^{1/3}（q）；\qquad\upsilon_{2n}=\gamma_{2n}^{\delta/2}+u^{1/3}（q）。\结束{聚集}$$

定理3.1

假设（A0）、（A1）（i）、，和（A2）–（A5）持有.如果 \（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\）,然后

$${（\mathrm{i}）}\quad\hat{\beta}_{L}\rightarrow\beta\quad\\textit{a.s.}；\qquad{（\mathrm{ii}）}\quad\hat{beta}_{W}\rightarrow\beta\quad\\textit{a.s.}$$

(3.1)

此外,如果 \（max_{1\leqj\leqn}|sum_{i=1}^{n} x个_{i} \nint_{A_{i}}E_{m}（t_{j}，s）\，ds|=O（1）\）,然后

$${（\mathrm{i}）}\quad\max_{1\leqi\leqn}\bigl\vert\hat｛g｝_{五十} （t{i}）-g（t{i}）\bigr\vert\rightarrow0\quad\textit{a.s.}；\qquad{（\mathrm{ii}）}\quad\max{1\leqi\leqn}\bigl\vert\hat｛g｝_{W} （t{i}）-g（t{i}）\bigr\vert\rightarrow 0\quad\textit{a.s.}$$

(3.2)

定理3.2

假设（A0）、（A1）（i）、，和（A2）–（A5）都很满意.如果 \（Ee^{2}_{i} =1\）,\（\sup_{i} E类|e_{i}|^{p}<\infty\）对一些人来说 \（p>4\）和 \（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\）,然后

$$\begin{collected}{（\mathrm{i}）}\quad\vert\hat{\beta}_｛L｝-\β\vert=o\bigl（n^｛-1/4｝\bigr）；\qquad{（\mathrm{ii}）}\quad\max{1\leqi\leqn}\bigl\vert\hat{f}_{n} （u{i}）-f（u{i}）\bigr\vert\rightarrow0\quad\textit{a.s.}；\\{（\mathrm{ii}）}\quad\tilde{\beta}_{W}\rightarrow\beta\quad\\textit{a.s.}\end{collected}$$

(3.3)

此外,如果 \（max_{1\leqj\leqn}|sum_{i=1}^{n} x个_{i} \nint_{A_{i}}E_{m}（t_{j}，s）\，ds|=O（1）\）,然后

$$\max_{1\leqi\leqn}\bigl\vert\tilde｛g｝_{W} （t_｛i｝）-g（t_｛i｝）\bigr\vert\rightarrow0\quad\textit｛a.s.｝$$

(3.4)

备注3.1

当随机错误\（\｛e_｛i｝\｝\）Chen等人[三]已证明(3.1)和(3.3)在类似条件下。由于独立随机样本是NA随机样本的特殊情况，定理3.1和3.2推广了Chen等人的结果[三]。Back和Liang[10]也获得了(3.1)–(3.4)NA样本下未知量的加权估计。

定理3.3

假设（A0）–（A6）都很满意.如果 \（\mu_{1n}\rightarrow 0\）和 \（\upsilon_{1n}\rightarrow0\）,那么我们有

$$开始{聚集}{（\mathrm{i}）}\quad\sup_{y}\biggl\vert P\biggl（\frac{S_{n}^{2}（\hat{\beta}_{左}-\β）}{\sigma_{1n}}\leqy\biggr）-\varPhi（y）\biggr\vert=O（\mu_{1nC}+\upsilon_{1n}）；\\{（\mathrm{ii}）}\quad\sup_{y}\biggl\vert P\biggl（\frac{T_{n}^{2}（\hat{beta}_｛W｝-\β）}{\sigma_{2n}}\leqy\biggr）-\varPhi（y）\biggr\vert=O（\mu_{1n}+\upsilon_{1n}）。\结束{聚集}$$

(3.5)

推论3.1

假设定理的假设3.3都满足了.如果 \（2^{m}/n=O（n^{-\theta}）\）,\（u（n）=O（n^{-（1-\theta）/（2\theta-1）}）,\（压裂{1}{2}<theta\leq\frac{7}{10}\）,然后

$$\beart｛collected｝｛（\mathrm｛i｝）｝\fquad\sup_｛y｝\biggl\vert P\biggl（\frac｛S_｛n｝^｛2｝）（hat｛\beta）_{左}-\β）}{\sigma_{1n}}\leqy\biggr）-\varPhi（y）\biggr\vert=O\bigl（n^{\frac{\theta-1}{3}}\bigr）；\\｛（\mathrm｛ii｝）｝\ quad\sup_｛y｝\ biggl \ vert P\ biggl（\ frac｛T_｛n｝^｛2｝）（\ hat｛\beta）_{西}-\β）}{\sigma_{2n}}\leqy\biggr）-\varPhi（y）\biggr\vert=O\bigl（n^{\frac{\theta-1}{3}}\bigr）。\结束{聚集}$$

（3.6）

定理3.4

在定理的假设下3.3,如果 \（\mu_{2n}\rightarrow 0\）和 \（\upsilon_{2n}\rightarrow0\）,那么对于每个 \（t\在[0,1]\中）,我们有

$$\sup_{y}\biggl\vert P\biggl$$

(3.7)

哪里 \（{g}（t）=｛g｝_{五十} （t）\）或 \（\帽子｛g｝_{W} （t）\）.

推论3.2

在定理假设下3.4,如果

$$2^{m}/n=O\bigl（n^{-\theta}\bigr），\qquad u（n）=O\bigl（n ^{-（\theta-\rho）/（2\rho-1）}\biger），\quad\frac{1}{2}<\theta<1$$

然后

$$\sup_{y}\biggl\vert P\biggl（\frac{\hat{g}（t）-E\hat}g}$$

(3.8)

4主要定理的证明

定理的证明3.1

我们只是证明(3.1)（ii）作为(3.1)（i） 是类似的。

步骤1。设置\（\波浪号｛g｝_{i} =g（t_{i}）-\sum_{j=1}^{n} 克（t_{j}）int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\）,\（tilde{varepsilon}_{i}=\varepsilen_{我}-\sum_{j=1}^{n}\varepsilon_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\）很容易理解

$$\开始{aligned}[b]\hat{beta}_{西}-\beta&=T_{n}^{-2}\Biggl[\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \波浪线{x}_{i} \varepsilon_{我}-\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \波浪线{x}_{i} \Biggl（\sum_｛j=1｝^｛n｝\varepsilon_｛j｝\int _｛A_｛j｝｝E_｛m｝（t_｛i｝，s）\，ds\Biggr）+\sum _｛i=1｝^{n} 一个_{i} \波浪线{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \Biggr]\\&：=A_{1n}-A_{2n}+A_{3n}。\结束{对齐}$$

(4.1)

首先，我们证明\（A_{1n}\右箭头0\）a.s.注意\（A_{1n}=\sum_{i=1}^{n}（T_{n}^{-2}一个_{i} \波浪线{x}_{i} \sigma{i}）e_{i}=：\sum{i=1}^{n}c_{ni}e（镍）_{i} \）它由（A1）（i）、（A2）（ii）、(2.6)、和\（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\）那个

$$开始{聚集}\max_{1\leqi\leqn}\vertc_{ni}\vert\leq\max_}\frac{verta{i}\tilde{x}_{i} \vert}{T_{n}}\cdot\max_{1\leqi\leqn}\frac{\sigma_{i}}{T_}n}=O\bigl（n^{-1/2}\biger），\\sum_{i=1}^{n} c（c）^{2}_{ni}=T_{n}^{-4}\sum_{i=1}^{n} 一个_{i} \波浪线{x}^{2}_{i} \cdot a_｛i｝\西格玛^{2}_{i} =O\bigl（n^{-1}\bigr）。\结束{聚集}$$

因此，根据引理A.1款，我们有\（A_{1n}\右箭头0\）a.s.显然，

$$A_{2n}=\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\sum_{i=1}^}n}T_{n}^｛-2｝a_{i} \波浪号{x}_{i} \sigma_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）E_{j}=：\sum_{j=1}^{n} d日_｛nj｝e_{j} ●●●●$$

通过（A2）（ii），引理答6, (2.6)、和\（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\）我们可以获得

$$\begin{聚集}\max_{1\leqj\leqn}\vert d_{nj}\vert\leq\Bigl（\max_}1\leq j\leq n}\sigma_{j}\Bigr）\biggl（\max_1\leq i，j\lequen}\int_{A{j}}\Bigl\vert E_{m}（t_{i}，s）\Bigr\vert，ds\biggr）\biggl（t_{n}^{-2}\求和{i=1}^{n}\转换A{i}\波浪线{x}_{i} \vert\Biggr）=O\bigl（n^{-1/2}\bigr），\\begin{aligned}\sum_{j=1}^{n} d日^{2}_{nj}&\leq CT_{n}^{-2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^}\n}\biggl（int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）^{n} 一个_{i} \波浪线{x}^{2}_{i} \Biggr）\\&\leq C T_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^}n}\biggl（int_{A{j}}E_{m}（T_{i}，s）\，ds\Biggr）^{2}=O\bigl（2^{m}/n\biger）=O\bigl（n^{-1/2}\bigr）。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

因此\（A_{2n}\右箭头0\）a.s.由引理A.1款显然，来自(2.6)和(2.7)我们获得

$$\vert A_{3n}\vert\leq\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert_tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\cdot\Biggl（T_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\verta{i}\波浪线{x}_{i} \vert\Biggr）=O\bigl（2^{-m}+n^{-1}\biger）\rightarrow0$$

第2步。我们证明了(3.2)（i） ，作为(3.2)（ii）类似。我们可以看到

$$\beart｛collected｝\max_｛1\leq i\leq n｝\bigl\vert\hat开始｛g｝_{五十} （t_{i}）-g（t_{i}）\bigr\vert\\\quad\leq\max_{1\leqi\leqn}\Biggl\{vert\beta-\hat{beta}_{L}\vert\cdot\Biggl \vert\sum_{j=1}^{n} x个_{j} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert+\vert\tilde｛g｝_{i} \vert+\Biggl\vert\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j} e（电子）_{j} \ int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr\}\\quad:=B_{1n}+B_{2n}+B_{3n}。\结束{聚集}$$

与一起(3.1)（i） 在附加假设下，可以得出以下结论\（B_｛1n｝\右箭头0\）a.s.我们从（A2）（ii）和引理得到答6那个\（B_{3n}\右箭头0\）a.s.通过应用引理A.2款.因此(3.2)（i） 由证明(2.7). □

定理的证明3.2

步骤1。首先，我们证明(3.3)（i） ●●●●。我们有

$$\开始{aligned}[b]\vert\hat{beta}_{左}-\beta\vert&=S_{n}^{-2}\Biggl[\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \varepsilon（瓦雷普西隆）_{我}-\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \Biggl（sum_{j=1}^{n}\varepsilon_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）+\sum_{i=1}^}{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \Biggr]\\&：=C_{1n}-C_{2n}+C_{3n}。\结束{对齐}$$

(4.2)

请注意

$$C_{1n}=\sum_{i=1}^{n}\bigl（S_{n}^{-2}\波浪线{x}_{i} \sima_｛i｝\bigr）e_｛i｝：=\sum_｛i=1｝^{n} c（c）'_{ni}e（镍）_{我}$$

和

$$C_{2n}=\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\sum_{i=1}^}n}S_{n}^{-2}\tilde{x}_{i} \sigma_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）E_{j}:=\sum_{j=1}^{n}d'_｛nj｝e_{j} ●●●●$$

类似于(3.1)（ii），我们有

$$开始{聚集}\max_{1\leqi\leqn}\bigl\vertc'_{ni}\bigr\vert\leq\biggl{x}_{i} \vert}{S_{n}}\biggr）\cdot\frac{1}{S_}}=O\bigl（n^{-1/2}\bigr），\qquad\sum_{i=1}^{n} c（c）^{\prime2}_{ni}\leq C\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} ^{2}/S_{n}^{4}=O\bigl（n^{-1}\biger）（t_{i}，S）\bigr\vert\，ds\biggr）\biggl（S_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\vert\tilde{x}_{i} \vert\Biggr）=O\bigl（2^｛m｝/n\bigr）=O\bigl（n^｛-1/2｝\bigr），\\begin｛aligned｝\sum_｛j=1｝^{n} d日^{\prime2}_{nj}&\leq CS_{n}^{-2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^}\n}\biggl（int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\biggr）^｛2｝_{i} \Biggr）\\&\leq C S_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^}n}\biggl（int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，S）\，ds\Biggr）^{2}=O\bigl（2^{m}/n\biger）=O\bigl（n^{-1/2}\bigr）。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

因此，应用引理A.1款和采取\（α=4\），我们得到\（C_{in}=o（n^{-1/4}）\）美国。，\（i=1,2）.至于\（C_{3n}\），由\（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\）, (2.6)、和(2.7)我们很容易看到

$$\vert C_{3n}\vert\leq\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert_tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\cdot\Biggl（S_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\vert\tilde{x}_{i} \vert\Biggr）=O\bigl（2^{-m}+n^{-1}\bigr）=O\bigle（n^{-1-4}\biger）$$

第2步。我们证明了(3.3)（ii）。注意到\（\帽子{f}_{n} （u）=\sum_{i=1}^{n}[\波浪线{x}_{i} （\beta-\hat{\beta}_{L}）+\波浪线｛g｝_{i} +\tilde{\varepsilon}_{i}]^{2}\int_{B_{i{}E_{m}（u，s）\，ds\），我们可以看到

$$\开始{aligned}&\max_{1\leq-j\leq-n}\bigl\vert\hat{f}_{n} （u{j}）-f（u{j}）\bigr\vert\\&\quad\leq\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\varepsilon^｛2｝_{i} \nint_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds-f{n}\varepsilon_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\Biggr\vert\\&\qquad{}+\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}，ds\Biggl（sum_{j=1}^{n}\varepsilon_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s），ds\Bigr）｛g｝_{i} int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s），ds\Biggr\vert\&\qquad{}+2\vert\beta-\hat{beta}_{L}\vert\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\ tilde{x}_{i} tilde{varepsilon}{i}\int_{B_{i}E_{m}（u_{j}，s），ds\Biggr\vert+（\beta-\hat{beta}_{L}）^{2}\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\ tilde{x}_{i} ^{2}\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\Biggr\vert+\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\tilde{g}^{2}_{i} \ int _｛B_｛i｝｝E_｛m｝（u_｛j｝，s）\，ds\Biggr\vert\\&&\ quad:=\sum_｛i=1｝^{8} 天_{in}。\结束{对齐}$$

至于\（D_｛1n｝\），我们有

$$\开始{对齐}D_{1n}\leq{}&\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} （f）（u{i}）\bigl（e_{i{^{2}-1\大）\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\Biggr\vert\\&+\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} （f）（u{i}）\int_{B_{i}}E_{m}（u{j}，s）\，ds-f（u}j}）\ Biggr\vert\=：{}&D{11n}+D{12n}。\结束{对齐}$$

请注意\（Ee_{i}^{2}=1\），所以\（e_{i}^{2}-1=[（e^{+}_{i}）^{2} -E类（e^{+}{i}）^{2}]+[（e）^{-}_{i} ）^{2} -E类（e）^｛-｝_{i} ）^{2}]：=\xi{i{1}}+\xi{2}}\）、和

$$D_{11n}\leq\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\Biggl}\Biggl（f（u{i}）\int_{B_{i}}E_{m}（u{j}，s）\，ds\biggr）\xi_{i{2}}\biggr\vert$$

自\（{\xi{i{1}}，i\geq1\}\）和\（{\xi{i{2}}，i\geq1\}\）是平均值为零的NA随机变量，\（\sup_{i} 电子|\xi_{i_{j}}|^{p/2}\leq C\sup_{i} E类|e_{i}|^{p}<\infty\）,\（j=1,2）.通过（A2）（ii）和引理答6我们有

$$\max_{1\leqi，j\leqn}\biggl\vertf（u_{i}）\int_{B_{i{}E_{m}（u{j}，s）\，ds\biggr\vert=O\bigl（2^{m}/n\biger）=O\bigl（n^{-1/2}\bigr）$$

和

$$\max_{1\leq_j\leq-n}\sum_{i=1}^{n}\biggl\vert f（u_{i}）\int_{B_{i{}E_{m}（u_j}，s）\，ds\biggr\vert=O（1）$$

因此\（D_{11n}\右箭头0\）莱玛的a.sA.2款.签署人(2.7)我们有\（|D_{12n}|=O（2^{-m}+n^{-1}）\），所以\（D_{1n}\rightarrow0\）美国。

请注意

$$\vert D_｛2n｝\vert\leq2\Biggl（\max_｛1\leq i\leq n｝\Biggl\vert\sum_｛j=1｝^｛n｝\sigma）_{j} e（电子）_{j} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）\Biggl（\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\sigma_{i} e（电子）_{i} \int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）$$

类似于\（D_{11n}\），我们获得\（D_{2n}\rightarrow0\）莱玛的a.sA.2款.

应用假设，从(2.6), (2.7), (3.3)（i） ，引理A.2款、和引理答6由此可见

$$开始{aligned}&\vertD_{3n}\vert\leq\max_{1\leqi\leqn}\Biggl（\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j} e（电子）_{j} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）^{2}\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\biggl\vert\int_{B_{i}}E_}leq{}&2\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\cdot\Biggl（\max_{1\leq-j\leq-n}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}{\varepsilon}_{i}\int_{B_{i{}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）+2\Bigl（\max_1\leq-i\leqn-}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\\&\cdot\Biggl（\max_{1\leqi\leqn}\Biggl\vert\sum_{k=1}^{n}\varepsilon_{k}\int_{A_{k}}E_{m}{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）\\rightarrow{}&0\quad\mbox{A.s.}，\end{aligned}\\&\vertD_{6n}\vert\leq（\beta-\hat{\beta}_{L}）^{2}\cdot\biggl（\max_{1\leqi，j\leqn}\int_{B_{i}}\bigl\vertE_{m}（u_{j}，s）\bigr\vert\，ds\biggr）\biggl（\sum_{i=1}^{n}\tilde{x}_{i} ^{2}\Biggr）=o（1）\quad\mbox{a.s.}，\\&\vert D_{7n}\vert\leq2\vert\beta-\hat{beta}_{L}\vert_cdot\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\cdot\biggl（\max_{1\leqi，j\leqn}\int_{B_{i}}\bigl\vertE_{m}（u_{j}，s）\Bigr\vert\，ds\biggr）\biggl（\sum_{i=1}^{n}\vert\tilde{x}_{i} \vert\Biggr）\rightarrow0\quad\mbox{a.s.}，\\&\vert D_{8n}\vert\leq\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert_tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）^{2}\cdot\Biggl（\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\Biggl\vert\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr\vert\biggr）\rightarrow0，\\&\vertD_{5n}\vert\leq2\vert\beta-\hat{beta}_{L}\vert\cdot\ Biggl{1\leqj\leqn}\sqrt{\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}^{2}_{i} \Biggr）\sum_{i=1}^{n}\tilde{\varepsilon}^{2}_{i} \biggl（\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr）^{2}}\biggr）。\结束{对齐}$$

为了证明这一点\（D_｛5n｝\右箭头0\）美国，这足以表明

$$\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\tilde{\varepsilon}^{2}_{i} \biggl（\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr）^{2}=O\bigl（n^{-1/2}\biger）\quad\mbox{a.s.}$$

(4.3)

至于(4.3)，我们可以分开

$$\begin{collected}\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\tilde{\varepsilon}^{2}_{i} \biggl（\int_｛B_｛i｝｝E_｛m｝（u_｛j｝，s）\，ds\biggr）^｛2｝\\quad\leq\max_｛1\leq j\leq n｝\sum_｛i=1｝^｛n｝｛\varepsilon｝^{2}_{i} \biggl（int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr biggl（sum_{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}\int_{A{k}}E_{m}（t_{i}，s），ds\biggr）\biggl（\int_｛B_｛i｝｝E_｛m｝（u_｛j｝，s）\，ds\biggr）^｛2｝\biggr）\cdot\biggl（\sum_｛k=1｝^｛n｝｛\varepsilon｝_｛k｝\int_｛A_｛k｝｝E_｛m｝（t_｛i｝，s）\，ds\biggr）^｛2｝\\quad:=D_｛51n｝+D_｛52n｝+D_｛53n｝。\结束{聚集}$$

通过引理A.2款和答6，自\（2^{m}/n=O（n^{-1/2}）\），我们有

$$\begin{aligned}&\begin}aligned{}\vertD_{52n}\vert\leq{}&2\Biggl（\max_{1\leqi\leqn}\Biggl\vert\sum_{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}\int_{A{k}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）\cdot\Biggl（\ max_{1\leqi，j\ leqn}\int_{B_{i}}\bigl\vertE_{m}（u_{j}，s）\bigr\vert\，ds\Biggr）\\&\cdot\Biggl（\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} {\varepsilon}_{i}\nint_{B_{i{}E_{m}（u_{j}，s），ds\Biggr\vert\Biggr）\\={}&o\bigl（n^{-1/2}\biger）\quad\mbox{a.s.}，\end{aligned}\\&\begin{alinged}\vertD_{53n}\vert\leq{}&\Biggl（max_{1\leqi\leqn}\Biggl\ vert\sum_{k=1}^{n}{\varepsilon}_{k}\int_{a{k}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert^{2}\Biggr）\cdot\Biggl（\max_{1\leqi，j\leqn}\int_{B_{i}}\bigl\vertE_{m}（u_{j}，s）\bigr\vert\，ds\biggr）\&\cdot\Biggl（\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\Biggl\vert\int_B_{i}}E_{m{（u{j}，s）\，ds\biggr\vert\biggr）\\={}&o\bigl（n^{-1/2}\biger）\quad\mbox{a.s.}\end{aligned}\end{aligned}$$

请注意

$$开始{aligned}\vertD_{51n}\vert\leq{}&\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\sigma^{2}_{i} \xi_{i_{1}}\biggl（\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr）^{2}\biggr\vert+\max_{1\leqj\leqn}\Bigl\vert\sum_{i=1}^{n}\sigma^{2}_{i} \xi_{i_{2}}\biggl（\int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr）^{2}\biggr\vert\\&+\max_{1\leqj\leqn}\Bigl\vert\sum_{i=1}^{n}\sigma^{2}_{i} Ee公司^{2}_{i} \biggl（int_{B_{i}}E_{m}（u_{j}，s）\，ds\biggr）$$

哪里\（\xi{i{1}}=[（e^{+}{i}）^{2} -E类（e^{+}_{i}）^{2}]\）和\（xi{i{2}}=[（e^{-}_{i} ）^{2} -E类（e）^{-}_{i} ）^{2}]\）是具有零均值的NA随机变量。类似于\（D_{11n}\），我们得到\（D'_{51n}=o（n^{-1/2}）\）a.s.和\（D''_{51n}=o（n^{-1/2}）\）a.s.由引理A.2款另一方面，

$$\bigl\vert D''{51n}\bigr\vert\leq\biggl（\max_{1\leqj\leqn}\sigma^{2}_{i} \int_{B_{i}}\bigl\vertE_{m}（u_{j}，s）\bigr\vert\，ds\biggr）\Biggl$$

因此我们证明了\（D_｛51n｝=O（n^｛-1/2｝）\）a.s.这就完成了(3.3)（ii）。

步骤3。接下来，我们证明(3.3)（iii）通过（A2）（ii）和(3.3)（ii）。何时n个足够大，很容易理解

$$0\leqm'_{0}\leq\min_{1\leqi\leqn}\hat{f}_{n} （u{i}）\leq\max{1\leqi\leqn}\hat{f}_{n} （u_{i}）\leq M'_{0}\leq\infty$$

(4.4)

\（C_{5}\leqW_{n}^{2}/n\leqC_{6}\）、和\（W^{-2}_{n} \sum_{i=1}^{n}|a_{ni}\波浪线{x}_{i} |\leq C\）。因此，我们有

$$\vert\tilde{\beta}_{无}-\β\vert\leq\frac{n}{W_{n}^{2}}\Biggl\vert\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{ni}\波浪线{x}_{i} \ tilde{\varepsilon}_{i}\Biggr\vert+\frac{1}{W_{n}^{2}}\Bigl\vert\sum_{i=1}^{n}a_{ni}\ tilde{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \Biggr\vert=：\frac{n}{W_{n}^{2}}E_{1n}+E_{2n}$$

(4.5)

与一起(2.7)和(4.5)，我们得到

$$\begin{collected}\vertE_{2n}\vert\leq\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert_tilde｛g｝_{i} \vert\Bigr）\cdot\Biggl（W_{n}^{-2}\sum_{i=1}^{n}\verta_{ni}\tilde{x}_{i} \vert\Biggr）\rightarrow0，\\开始{aligned}\vertE_{1n}\vert\leq{}&\Biggl\vert\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}（a_{ni}-a_{i} ）\波浪号{x}_{i} \tilde｛\varepsilon｝_｛i｝\Biggr\vert+\Biggl\vert\frac｛1｝｛n｝\sum_｛i=1｝^｛n｝a_｛i｝\tilde{x}_{i} \ tilde{\varepsilon}_{i}\Biggr\vert\\\leq{}&\Biggl\vert\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}（a_{ni}-a_{i} ）\波浪号{x}_{i} {\varepsilon}_{i}\Biggr\vert+\Biggl\vert\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}（a_{ni}-a_{i} ）\波浪号{x}_{i} Biggl（sum_{j=1}^{n}\varepsilon_{j}\int_{A{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）{x}_{i} \ tilde{\varepsilon}_{i}\Biggr\vert\\=：{}&E_{11n}+E_{12n}+E2{13n}。\结束｛对齐｝\结束｛聚集｝$$

我们从引理中知道A.2款那个

$$\开始{对齐}[b]n^{-1}\sum_{i=1}^{n} 电子_{i} ^{2}&=n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl[\bigl（e^{+}_{i}\biger）^{2} -E类\bigl（e^{+}_{i}\bigr）^{2}\biger]+n^{-1}\sum_{i=1}^{n}\bigl[\bigl^{-}_{i} \更大）^{2} -E类\比格尔^｛-｝_{i} \bigr）^{2}\bigr]+n^{-1}\sum_{i=1}^{n} Ee公司^{2}_{i} \\&=O（1）\quad\mbox{a.s.}\end{aligned}$$

(4.6)

应用引理A.2款并结合(4.4)–(4.6)带有(3.3)（ii），我们获得

$$\begin{collected}\vertE_{11n}\vert\leq\biggl（\max_{1\leqi\leqn}\frac{\vert\hat{f}_{n} （u{i}）-f（u{i}）\vert}{\hat{f}_{n} （u{i}）f（u{i}）}\biggr）\sqrt{\Biggl（\frac{1}{n}\sum{i=1}^{n}\波浪线{x}^{2}_{i} \Biggr）\Biggl（\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{e}^{2}_{i} \Biggr）}\rightarrow0\quad\mbox{a.s.}，\\开始{aligned}\vert E_{12n}\vert&\leq\biggl（\max_{1\leqi\leqn}\frac{\vert\hat{f}_{n} （u{i}）-f（u{i}）\vert}{\hat{f}_{n} （u{i}）f（u{i}）}\biggr）\cdot\Biggl（\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\vert\tilde{x}_{i} \vert\Biggr）\cdot\Biggl（\max_｛1\leq i\leq n｝\Biggl\vert\sum _｛j=1｝^｛n｝\varepsilon\｛j｝\int _｛A_｛j｝｝E_｛m｝（t_｛i｝，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）\\&&\rightarrow0\quad\mbox｛A.s.｝\end｛aligned｝\end｛collected｝$$

至于\（E_{13n}\），我们有\（E_{13n}=\压裂{T_{n}^{2}}{n}（|A{1n}+A{2n}|）\右箭头0\）因此\（E_{1n}\右箭头0\）美国。 □

证明(3.4)与的相似(3.2)（i） ，因此我们省略了它。

定理的证明3.3

我们只是证明(3.5)（i） ，作为(3.5)（ii）类似。从定义\（{\beta}_{L}\）我们有

$$\开始{aligned}[b]S_{n}^{2}（\hat{\beta}_{左}-\β）&=\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{我}-\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \Biggl（\sum_{j=1}^{n}\西格玛_{j} e（电子）_{j} \nint_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）+\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \\&：=L_{1n}-L_{2n}+L_{3n}。\结束{对齐}$$

（4.7）

设置\（Z_{ni}=frac{tilde{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{i} }{\西格玛{1n}}\），我们采用伯恩斯坦的大块和小块程序。让\（y{nm}=sum{i=k{m}}^{k{m{+p-1}Z{ni}）,\（y'{nm}=sum{i=l{m}}^{l{m{+q-1}Z{ni}）,\（y'{nk+1}=sum{i=k（p+q）+1}^{n} Z_{ni}\）,\（k{m}=（m-1）（p+q）+1）,\（l{m}=（m-1）（p+q）+p+1）,\（m=1,2，\ldot，k）.然后

$$\西格玛^{-1}_{1n}左_｛1n｝：=\波浪{左}_{1n}=\sum_{i=1}^{n}Z_{ni}=\sum _{m=1}^{k} 年_{nm}+\总和{m=1}^{k} 年'{nm}+y'{nk+1}=：L_{11n}+L_{12n}+L_{13n}$$

我们观察到

$$\开始{对齐}L_{2n}&=\sum_{i=1}^{n}\Biggl[\tilde｛h｝_{i} +伏_{我}-\Biggl（\sum_{k=1}^{n} v（v）_{k} \int_{A_{k}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\Biggr]\cdot\Biggl（\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j} e（电子）_{j} \ int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\\&=\sum_{i=1}^{n}\波浪线｛h｝_{i} \Biggl（\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j} e（电子）_{j} \nint_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）+\sum_{i=1}^{n} v（v）_{i} \Biggl（\sum_{j=1}^{n}\西格玛_{j} e（电子）_{j} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\\&\quad-\sum_{i=1}^{n}\Biggl（\sum_{k=1}^{n} v（v）_{k} \int_{A_{k}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\Biggl（\sum_{j=1}^{n}\sigma_{j} e（电子）_{j} \ int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）\\&：=L_{21n}+L_{22n}-L_｛23n｝。\结束{对齐}$$

所以我们可以写

$$\frac{S_{n}^{2}（\hat{\beta}_{左}-\β）}{\西格玛{1n}}=L_{11n}+L_{12n}+L_{13n}+\西格马{1n{^{-1}（L_{21n}+L_{22n}-L_{23n}+L_{3n}）$$

通过应用引理A.4款我们有

$$\开始｛对齐｝[b]&\sup_｛y｝\biggl\vert P\biggl（\frac｛S_｛n｝^｛2｝）_{左}-\β）}{\sigma_{1n}}\leqy\biggr}^{1/3}\biger）\\&\qquad{}+P\bigl（\sigma_{1n}^{-1}\vertL_{21n}\vert>\lambda_{3n}^{1/3}\bigr）+P\bigl（\sigma_{1n}^{-1}\vert L_｛22n｝\vert>\lambda_｛4n｝^｛1/3｝\bigr）+P\bigl（\sigma _｛1n｝^｛-1｝\vert L_｛23n｝\vert>\lambda_｛4n｝^｛1/3｝\bigr）\\&\qquad｛｝+\frac｛1｝｛\sqrt｛2\pi｝｝\Biggl（\sum_｛k=1｝^｛3｝\lambda_｛kn｝^｛1/3｝+2\lambda_｛4n｝^｛1/3｝\Biggl gr）+\frac｛1｝｛\sqrt｛2 \pi｝｝\sigma\｛1n｝^｛-1｝\vert L_｛3n｝\vert\\&&quad=\sum_｛k=1｝^{8} 我_{kn}。\结束{对齐}$$

(4.8)

因此，为了证明(3.5)（i） ，这足以表明\（\sum_{k=2}^{8} 我_{kn}=O（\mu_{1n}）和\（I{1n}=O（\upsilon_{1nneneneep+\lambda^{1/2}_{1n}+\lampda^{1/2}_{2n}）这里我们需要以下Abel不等式（参见Härdle et al[5]). 让\（A_{1}，\ldots，A_{n}）和\（B_{1}，\ldots，B_{n}）(\（B_{1}\geq B_{2}\geq\cdots\geq B_)是两个实数序列，让\（S_{k}=\sum_{i=1}^{k} A类_{i} \）,\（M_{1}=\min_{1\leqk\leqn}S_{k}\）、和\（M_{2}=max_{1\leqk\leqn}S_{k}）.然后

十亿美元_{1} M（M）_{1} ｛k=1｝^{n} A类_{k} B类_{k} \列克B_{1} M（M）_{2}. $$

（4.9）

请注意

$$\sigma_{1n}^{2}=E\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{i} \Biggr）^｛2｝=\ int _｛-\pi｝^｛\pi｝\psi（\omega）\Biggl\vert\sum _｛k=1｝^｛n｝\波浪{x}_{k} \西格玛_{k} e（电子）^｛-ik\omega｝\Biggr\vert^｛2｝\，d\omega$$

和

$$\varGamma_{n}^{2}（t）=E\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\sigma）_{i} e（电子）_{i} \ int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr）^{2}=\int_{-\pi}^{\pi}\psi（\omega）\Biggl\vert\sum_{k=1}^{n}\sigma_{k}\int_A_{k{}}E_ m}$$

根据（A2）（ii）、（A5）、(2.6)、和引理答6由此可见

$$\开始{对齐}和C_{7}n\leq C_{1}\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} ^{2}\leq\sigma_{1n}^{2{\leqC_{2}\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} ^{2}\leq C_{8}n，\end{对齐}$$

(4.10)

$$\开始{对齐}和C_{9}\sum_{i=1}^{n}\biggl（\int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\biggr）^{2}\leq\varGamma_{n}^{2{（t）\leqC_10}\sum _{i=1}^{n}\bigl（int_{A_{i}E_{m}（t，s）\，ds\biggr）^{2}=O\bigl（2^{m}/n\bigr）。\结束{对齐}$$

(4.11)

步骤1。我们首先证明\（\sum_{k=2}^{8} 我_｛kn｝=O（μ_｛1n｝）\）.使用引理答3, (2.7)、和(2.8)，来自（A0）（i），（A1）–（A6）(4.10)、和(4.11)由此可见

$$\开始{聚集}我_{2n}\leq\fracc{E\vertL_{12n}\vert^{2}}{\lambda_{1n}^{2/3}}\leq \frac{C}{n\lambda_{1n{2/3}}\sum_{m=1}^{k}\sum_{i=L_{m}}^{L_{m}+q-1}\ tilde{x}_{i} ^{2}\西格玛^{2}_{i} \leq\frac｛Ckq｝｛n\lambda｛1n｝^｛2/3｝｝\leq C\lambda｛1n｝^｛1/3｝，\\i_｛3n｝\leq\frac｛E\vert L_｛13n｝\vert ^｛2｝｝｝｛\lambda｛2n｝^｛2/3｝｝\leq\frac｛C｝｛n\lambda｛2n｝^｛2/3｝｝｝\sum _｛i=k（p+q）+1｝^｛n｝\tilde{x}_{i} ^{2}\西格玛^{2}_{i} \leq\frac{Cp}{n\lambda_{2n}^{2/3}}\leq-C\lambda_{2n{1/3}，\\begin{对齐}I_{4n}&\leq\frac{\sigma{1n}^{-2}东\vert L_{21n}\vert^{2}}{\lambda_{3n}^{2/3}}\leq\frac{C}{n\lambda_{3n{2/3}}\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\sum_{i=1}^}n}\tilde｛h｝_{i} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）^{2}\sigma^｛2｝_{j} \\&\leq\frac{C}{n\lambda_{3n}^{2/3}}\Bigl（\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛h｝_{i} \vert^{2}\Bigr）\cdot\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^}\n}\int_{A_{j}}\bigl\vertE_{m}（t_{i}，s）\Bigr\vert\，ds\Biggr）^{2{\\leq\frac{C（2^{-m}+n^{-1}）^{2\vertE_m}\lambda_{3n}^{2/3}}\leq C\lambda _{3n}^{1/3}，\end{aligned}\\begin｛对齐｝I_{5n}&\leq\frac{\sigma{1n}^｛-2｝E\vert L_{22n}\vert^{2}}{\lambda_{4n}^{2/3}}\leq\frac{C}{n\lambda{4n{2/3}}\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\sum_{i=1}^{n} v（v）_{i} \int_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr）^{2}\sigma^{2}_{j} \\&\leq\frac{C}{n\lambda_{4n}^{2/3}}\max_{1\leqi，j\leqn}\biggl（int_{A{j}}\bigl\vertE_m}（t_{i}，s）\bigr\vert\，ds\biggr）\cdot\max_1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}\biggl\vert\int_{A{j}}\bigl\vert E_{m}（t_{i}，s）\bigr\vert\，ds\biggr\vert\cdot\biggl（\max_{1\leq-m\leq-n}\biggl\vert\sum_{i=1}^{m} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert\Biggr）^{2}\\&\leq\frac{C（2^{m} n个^{-1}\log^{2} n个)}{\lambda_{4n}^{2/3}}\leq C\lambda_{4n}^{1/3}，\end{aligned}\\begin{alinged}I_{6n}&\leq\frac{\sigma_{1n}^{-2}东\vert L_{23n}\vert^{2}}{\lambda_{4n}^{2/3}}\leq\frac{C}{n\lambda_{4n{2/3}}\sum_{j=1}^{n}\Biggl（\sum_{L=1}^{n} v（v）_{l} \int_{A{l}}E_{m}（t_{i}，s）^{2}_{j} \\&\leq\frac{C}{n\lambda_{4n}^{2/3}}\max_{1\leqi，j\leqn}\biggl（int_{A_{j}}\bigl\vertE_m}（t_{i}，s）\bigr\vert\，ds\biggr）\cdot\max_1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}\biggl\vert\int_A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\biggr\vert\&\quad\cdot\biggl（\max_{1\leq-l\leq-n}\sum_{i=1}^{n}\biggl\vert\int_{A{l}}E_{m{，ds\biggr\vert\max_{1\leqm\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{m} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert\Biggr）^{2}\\&\leq\frac{C（2^{m} n个^{-1}\log^{2} n个)}｛\lambda_｛4n｝^｛2/3｝｝\leq C\lambda_｛4n｝^｛1/3｝。\结束{对齐}\结束{聚集}$$

至于\（I_{8n}\），我们有

$$\开始{对齐}I_{8n}&=\sigma_{1n}^{-1}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\波浪线{x}_{i} \波浪线｛g｝_{i} \Biggr\vert\leq\frac{C}{\sqrt{n}}\Biggl（\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} v（v）_{i} \波浪号｛g｝_{i} \Biggr\vert+\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n}\波浪线｛h｝_{i} \波浪线｛g｝_{i} \Biggr\vert+\Biggl\vert\sum _｛i=1｝^｛n｝\波浪号｛g｝_{i} \sum_{j=1}^{n} v（v）_{j} \nint_{A_{j}}E_{m}（t_{i}，s）\，ds\Biggr\vert\Biggr）\\&\leq\frac{C}{\sqrt{n}}\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\max_{1\leq-m\leq-n}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{m} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert+\frac{Cn}{\sqrt{n}}\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛h｝_{i} \vert\max_{1\leq-i\leq-n}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\\&\quad+\frac{C}{\sqrt{n}}\max_{1\leqi\leqn}\vert\tilde｛g｝_{i} \vert\cdot\max_{1\leqj\leqn}\sum_{i=1}^{n}\int_{A_{j}}\bigl\vertE_{m}（t_{i}，s）\bigr\vert\，ds\cdot\max_{1\\leqm\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{m} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert\\&\leq C\bigl（2^{-m}+n^{-1}\bigr）\bigle（\log n+\sqrt{n}\bigl.（2^}-m}+n ^{-1{\bigr.）\biger）=C\lambda_{5n}。\结束{对齐}$$

因此，根据之前的估计，我们得出\（\sum_{k=2}^{8} 我_{kn}=O（\mu_{1n}）.

第2步。我们核实\（I{1n}=O（λ.让\（{eta{nm}:m=1,2，\ldots，k\}）是具有相同分布的独立随机变量\（y{nm}\）,\（m=1,2，\ldot，k）.设置\（H_{n}=\sum_{m=1}^{k}\eta_{nm}\）和\（s_{n}^{2}=\sum_{m=1}^{k}\operatorname{Var}（y_{nm}）\）.遵循Liang和Li定理2.1的证明方法[27]和Li等人[20]，我们很容易看到

$$\boot｛aligned｝[b]I_｛1n｝&=\sup_｛y｝\bigl\vert P（L_｛11n｝\leq y）-\varPhi（y）\bigr\vert\\&&\leq\sup_｛y｝\bigl\vert P（L_｛11n｝\leq y）-P（H_｛n｝\leq y）\bigr\vert\\&&quad+\sup_｛y｝\bigl\vert P（H_｛n｝\leq y）-\varPhi（y/s_｛n｝）\bigr \vert+\sup_｛y｝\bigl\vert\varPhi（y/s_｛n｝）-\varPhi（y）\bigr\vert\\&：=I_｛11n｝+I_｛12n｝+I_｛13n｝。\结束{对齐}$$

(4.12)

（i） 我们评估\（s_{n}^{2}\）.注意到\（s_{n}^{2}=E{L}^{2}_｛11n｝-2\sum_{1\leqi<j\leqk}\操作符名{Cov}（y_{ni}，y_{nj}）和\（波浪号{左}_{1n}^{2}=1\），我们可以

$$\bigl\vert E（L_{11n}）^{2}-1\bigr\vert\leq C\bigl（\lambda_{1n}^{1/2}+\lambda _{2n}^}_1/2}\bigr）$$

(4.13)

另一方面，从（A1），（A2）(4.10)、和(2.8)由此可见

$$开始{对齐}[b]\biggl\vert\sum_{1\leqi<j\leqk}\operatorname{Cov}（y_{ni}，y_{nj}^{k_{j}+p-1}\垂直\波浪线{x}_{s} \波浪线{x}_{t} \sigma_{s}\sigma _{t}\vert\cdot\bigl\vert\operatorname{Cov}（e_{s}，e_{t}）\bigr\vert\&\leq Ckpn^{-1}u（q） \leq铜（q）。\结束{对齐}$$

(4.14)

因此，从(4.13)和(4.14)由此可见\（|s{n}^{2}-1|\leq C（\lambda_{1n}^{1/2}+\lambda_{2n}^}{1/2{+u（q））.

（ii）应用Berry–Esséen不等式（见Petrov[28]，定理5.7），用于\（增量>0），我们得到

$$\sup_{y}\bigl\vert P（H_{n}/s_{n{}\leqy）-\varPhi（y）\bigr\vert\leq C\sum_{m=1}^{k}\bigr（E\vert y_{nm}\vert^{2+\delta}/s_}n}^{2+/delta}\biger）$$

(4.15)

按引理A.3从（A0）、（A1）、（A2）、(4.10)、和(2.8)我们可以推断出

$$\开始{对齐}[b]\sum_{m=1}^{k} 电子\vert y_{nm}\vert ^{2+\delta}&=\sum_{m=1}^{k} E类\Biggl\vert\sum_{j=k_{m}^{k_{m}+p-1}Z_{ni}\Biggr\vert^{2+\delta}\&&\leqC\sigma_{1n}^{-（2+\delta）}\sum_{m=1}^{k}\Biggl\{sum_{i=k_{m}}^{k_{m}+p-1}E\vert\tilde{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{i} \vert^{2+\delta}+\Biggl[\sum_{i=k_{m}}^{k_{m}+p-1}E（\波浪线{x}_{i} \西格玛_{i} e（电子）_{i} ）^{2}\Biggr]^{1+\delta/2}\bigr\}\\&\leq C\bigl。\结束{对齐}$$

(4.16)

自\（s_{n}\右箭头1\）由(4.13)和(4.14)，来自(4.15)和(4.16)我们很容易看到\（I_{12n}\leq C\lambda^{delta/2}_{2n}\）。请注意\（I_{13n}=O（|s_{n}^{2}-1|)=O（\lambda_{1n}^{1/2}+\lambda_{2n}^}{1/2{+u（q））.

（iii）接下来，我们评估\（I_{11n}\）.让\（\varphi_{1}（t）\）和\（瓦尔斐{2}（t））是的特征函数\（L_{11n}\）和\（H_{n}\）分别是。因此应用Esséen不等式（见Petrov[28]，定理5.3），对于任何\（T>0\），我们有

$$开始{对齐}[b]&\sup_{t}\bigl\vert P（L_{11n}\leqt）-P t}\bigl\vert P（H_{n}\lequ+t）-P。\结束{对齐}$$

(4.17)

从引理答5和(4.14)由此可见

$$\开始{aligned}\bigl\vert\varphi_{1}（t）-\varphi_}（t）\bigr\vert&=\Biggl\vert E\exp\Biggl（\mathrm{i} t吨\sum_{m=1}^{k}y_{nm}\Biggr）-\prod_{m=1{^{k{E\exp{（\mathrm{i} t吨y_｛nm｝）｝\Biggr\vert\\&&\leq4t^｛2｝\sum_｛1\leq i＜j\leq k｝\sum_｛s_｛1｝=k_｛i｝^｛k_｛i｝+p-1｝\sum_｛t_｛1｝=k_｛j｝^｛k_｛j｝+p-1｝\bigl\vert\operatorname｛Cov｝（Z_｛ns_｛1｝｝，Z_｛nt_｛1｝｝）\bigr\vert\\&&\leq4Ct^{2} 单位（q） ，\结束{对齐}$$

这意味着

$$I’_｛11n｝=\int_｛-T｝^｛T｝\biggl\vert\frac｛\varphi_｛1｝（T）-\varphi_｛2｝（T）｝｛T｝\biggr\vert\，dt\leq-Cu（q）T^｛2｝$$

(4.18)

因此(4.15)和(4.16)我们有

$$开始{对齐}[b]&\sup_{t}\bigl\vert P（H_{n}\leq t+u）-P u}{s{n}}\biggr）\biggr\vert\\&\qquad+\sup_{t}\bigl\vert P\biggl（\frac{H_{n}{s_{n{}}\leq\frac}{t}{s_n}}\ biggr}\biggr）\biggr\vert+\sup_{t}\biggl\vert\varPhi\biggl（\frac{t+u}{s_{n}}\bigr）-\varPhi\ biggl gr）-\varPhi（t）\biggr\vert+\sup_{t}\biggl\vert\varPhi\biggl（\frac{t+u}{s_{n}}\bigr）-\varPhi\ biggl\biggr\vert\\&\quad\leq C\biggl（\lambda_{2n}^{delta/2}+\biggl\vert\frac{u}{s_{n}}\biggr\vert\biggr）\leq C\ bigl。\结束{对齐}$$

(4.19)

发件人(4.19)由此可见

$$I''{11n}=T\sup_{T}\int_{vert u\vert\leq C/T}\bigl\vert P（H_{n}\leq T+u）-P（H_}n}\leq T）\bigr\vert，du\leq C\bigl（\lambda_{2n}^{delta/2}+1/T\bigr）$$

(4.20)

组合(4.17), (4.18)带有(4.20)和选择\（T=u^{-1/3}（q）\），我们很容易看到\（I_{11n}\leqC（u^{1/3}（q）+\lambda_{2n}^{delta/2}）.所以\（I{1n}\leq C（λ.这就完成了定理的证明3.3从步骤1和步骤2开始。 □

推论的证明3.1

在定理中3.3，选择\（p=\floor n^{\theta}\floor）,\（q=地板n^{2\theta-1}\rfloor）,\（增量=1），何时\（1/2<theta\leq7/10），我们有\（\mu_{1n}=O（n^{-（θ-1）/3}）和\（upsilon_｛1n｝=O（n ^｛-（θ-1）/3｝）.因此(3.6)直接遵循定理3.3. □

定理的证明3.4

我们只证明了\（{g}（t）=｛g｝_{L} （t）\），作为\（{g}（t）=｛g｝_{W} （t）\）是类似的。

根据的定义\（\帽子｛g｝_{五十} （t）\）我们很容易看到

$$\开始{aligned}\varGamma_{n}^{-1}（t）\bigl（\hat｛g｝_{五十} （t）-E\hat｛g｝_{五十} （t）\bigr）={}&\varGamma_{n}^{-1}^{n} x个_{i} （E\hat{\beta}_{左}-\beta）\nint_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr）\\&+\varGamma_{n}^{-1}（t）\Biggl（\sum_{i=1}^{n} x个_{i} （\beta-\hat{\beta}_{L}）\int_{A{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr）\\：={}&J{1n}+J{2n}+J{3n}。\结束{对齐}$$

设置\（Z'_{ni}=frac{sigma_{i} e（电子）_{i} \int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds}{\varGamma_{n}（t）}\）。类似于\（\波浪号{左}_{1n}\），我们可以分开\（J_{1n}\）作为\（J{1n}=sum{i=1}^{n}Z'{ni}:=J{11n}+J{12n}+J{13n}），其中\（J{11n}=sum{m=1}^{k}chi{nm}）,\（J{12n}=sum{m=1}^{k}\chi'{nm}）,\（J{13n}=chi'{nk+1}）,\（chi{nm}=sum{i=k{m}}^{k{m{+p-1}Z'{ni}）,\（chi'{nm}=sum{i=l{m}}^{l{m{+q-1}Z'{ni}）,\（chi'{nk+1}=sum{i=k（p+q）+1}^{n} Z'_{ni}\）,\（k{m}=（m-1）（p+q）+1）,\（l{m}=（m-1）（p+q）+p+1）,\（m=1,2，\ldot，k）.

应用引理A.4款，我们有

$$\开始{对齐}[b]&\sup_{y}\biggl\vert P\biggl（\frac{\hat｛g｝_{五十} （t）-E\hat｛g｝_{五十} （t）}{\varGamma_{n}（t）{\leqy\biggr）-\varPhi（y）\biggr\vert\\&\quad\leq\sup_{y}\bigl\vert P（J_{11n}\leqy）-\valPhi（y）\bigr\vert+P\bigl（\vert J_{12n}\vert>\gamma_{1n}^{1/3}\biger）+P\bigl{2n}^{1/3}\biger）\\&\qquad+\frac{vertJ{2n{vert}{sqrt{2\pi}}+P\bigl（vertJ}3n}\vert>\gamma{3n}^}（2+\delta）/（3+\delta）｝\bigr）+\frac｛1｝｛\sqrt｛2\pi｝｝\Biggl（\sum_｛k=1｝^｛2｝\gamma_｛kn｝^｛1/3｝+\gamma_｛3n｝^｛\frac｛2+\delta｝｛3+\delta｝｝\Biggr）\\\quad=\sum_｛k=1｝^{6} 克_{kn}。\结束{对齐}$$

(4.21)

因此，这足以表明\（\sum_{k=2}^{6} G公司_{kn}=O（\mu_{2n}）和\（G_{1n}=O（伽玛^{1/2}_{1n}+\gamma^{1/2}_{2n}+\upsilon_{2n}）.

步骤1。我们首先证明\（\sum_{k=2}^{6} 克_{kn}=O（\mu_{2n}）.类似于\（一）_{2n}-I_{8n}\）在定理中3.3，我们有

$$\开始{聚集}G_{2n}\leq\frac{E\vert J_{12n}\vert^{2}}{\gamma_{1n}^{2/3}}\leq \frac}{C}{\varGamma_{n}^}2}（t）\gamma_{1n{2/3}}\sum_{m=1}^{k}\sum_{i=l_{m}}^{l_{m}+q-1}\biggl（int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\biggr）^{2}\sigma^{2}_{i} \leq\frac{Ckq2^{m}}{n\gamma{1n}^{2/3}}\leq C\gamma_{1n{1/3}，\\G{3n}\leq\ frac{E\vert J{13n}\vert^{2}}{gamma{2n}^2,3}}\leq\frac{C}{varGamma_{n}^2}（t）\gamma_2n}^{2/3}}\sum_{i=k（p+q）+1}^{n}\biggl（int_{A{i}}E_{m}（t，s）\，ds\biggr）^{2}\sigma^{2}_{i} \leq\frac{C2^{m}p}{n\gamma_{2n}^{2/3}}\leq-C\gamma_2n}^}{1/3}。\结束{聚集}$$

注意，如果\（\xi_｛n｝\rightarrow\xi\sim n（0,1）\），然后\（E|\xi_{n}|\rightarrow E|\xi|=\sqrt{2/\pi}\）和\（E|\xi_{n}|^{2+\delta}\rightarrow E|\xi|^{2+\ delta}\）.根据定理3.3（i） 和(2.6)由此可见

$$\begin{aligned}&\vert\beta-E\hat{beta}_{L}\vert\leq E\vert\beta-\hat{beta{{L}\ vert=O\bigl（\sigma{1n}/S_{n}^{2}\bigr）=O\bigl（n^{-1/2}\biger），\end{alinged}$$

(4.22)

$$\begin{aligned}&E\vert\beta-\hat{\beta}_{L}\vert^{2+\delta}\leq O\bigl（\bigle（\sigma_{1n}/S_{n}^2}\bigr）^{2+/delta}\ bigr。\结束{对齐}$$

（4.23）

因此，应用Abel不等式(4.9)并将（A1）（iii）和（A2）（i）与引理结合答6，来自(4.22)和(4.23)我们得到

$$\beart｛aligned｝[b]\vert G_｛4n｝\vert&=\frac｛1｝｛\sqrt｛2\pi｝\varGamma_｛n｝（t）｝\cdot\vert\beta-E\hat｛\beta｝_｛L｝\vert\cdot\Biggl\vert\sum_｛i=1｝^{n} x个_{i} \int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr\vert\\&\leq C\varGamma_{n}^{-1}（t）n^{-1/2}\Biggl vert\，ds\cdot\max_{1\leql\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{l} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert\Biggr）\\&\leq C\bigl（2^{-m/2}+\sqrt{2^{m}/n}\log n\bigr）=C\gamma_{3n}\end{aligned}$$

(4.24)

和

$$开始{对齐}[b]\vert J_{3n}\vert^{2+\delta}&=\varGamma^{-（2+\delta）}_{n}（t）E\vert\beta-\hat{beta}_{L}\vert ^{2+/delta}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} x个_{i} \int_{A_{i}}E_{m}（t，s）\，ds\Biggr\vert^{2+delta}\\&\leq C\varGamma_{n}^{-（2+delta）}l\vert E_{m}（t，s）\bigr\vert\，ds\cdot\max_{1\leq l\leq n}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{l} v（v）_{j_{i}}\Biggr\vert\Biggr）^{2+\delta}\hsspace{-24pt}\\&\leq C\gamma^{2+/delta}_{3n}，\end{aligned}$$

(4.25)

这意味着\（G{5n}\leqc\gamma{3n}^{（2+δ）/（3+δ）}）.所以我们得到\（\sum_{k=2}^{6} G公司_{kn}=O（\mu_{2n}）.

第2步。我们核实\（G{1n}=O（\gamma{1n{^{1/2}+\gamma_{2n}^{1/2}+\upsilon_{2n}）.让\（{\zeta{nm}:m=1,2，\ldots，k\}）是独立的随机变量\（泽塔{nm}）具有与相同的分布\（\chi_{nm}\）,\（m=1,2，\ldot，k）.设置\（T_｛n｝=\sum_｛m=1｝^｛k｝\ζ_｛nm｝\）和\（t_{n}^{2}=\sum_{m=1}^{k}\操作符名{Var}（\chi_{nm}）\）.类似于(4.17)，我们很容易看到

$$开始{对齐}[b]G_{1n}&=\sup_{y}\bigl\vert P（J_{11n}\leqy）-\varPhi（y）\bigr\vert\\&\leq\sup_y}\bigl\vertP（J_{11n}\leq y）-P/T_{n}）\bigr\vert+\sup_{y}\bigl\vert\varPhi。\结束{对齐}$$

(4.26)

类似于(4.13)–(4.20)，我们可以获得\（|t{n}^{2}-1|\列q C（\gamma_{1n}^{1/2}+\gamma_2n}^}1/2}+u（q））,\（|G_｛12n｝|\leq C\gamma_｛2n｝^｛\delta/2｝\）,\（|G_{13n}|\leq C（\gamma_{1n}^{1/2}+\gamma_2n}^_1/2}+u（q））、和\（|G_｛11n｝|\leq C\upsilon _｛2n｝\）。由此可见\（G{1n}=O（\gamma{1n{^{1/2}+\gamma_{2n}^{1/2}+\upsilon_{2n}）.定理证明3.4已完成。 □

推论的证明3.2

出租\（p=\lfloor n^{\rho}\rfloor）,\（q=地板n^{2\rho-1}\rfloor）,\（增量=1），何时\（1/2<ρ<θ<1），我们有\（\gamma^{1/3}_{1n}=O（n^{-（θ-\rho）/3}）,\（\gamma^{1/3}_{2n}=O（n^{-（θ-\rho）/3}）,\（伽玛^{3/4}_{3n}=O（n^{-3（1-\θ）/8}）、和\（u^{1/3}（q）=O（n^{-（θ-\rho）/3}）.因此(3.8)直接遵循定理3.4. □

附录

引理A.1

（背和梁[10])

让 \（{X_{n}，n\geq1\}）是具有零均值的NA随机变量序列 \（阿尔法>2）.假设 \（{a{ni}，1\leqi\leqn，n\geq1\}）是实数的三角形数组 \（\最大_｛1\leq i \ leq n｝| a_｛ni｝|=O（n ^｛-1/2｝）\）和 \（\sum_{i=1}^{n} 一个_{ni}^{2}=o（n^{-2/\alpha}（\logn）^{-1}）.如果 \（\sup_{i}\mathrm{E}|X_{i{|^{p}<\infty\）对一些人来说 \（p>2α/（α-2））,然后 \（\sum_{i=1}^{n} 一个_{ni}X_{i} =o（n^{-1/\alpha}）\）一.秒.

引理A.2

（背和梁[10])

让 \（{X_{n}，n\geq1\}）是平均值为零的NA随机变量序列.假设 \（{a{ni}，1\leqi\leqn，n\geq1\}）是在闭合区间上定义的函数数组我属于R（右）令人满意的 \（最大{1\leqi，j\leqn}|a{ni}（u{j}）|=O（n^{-1/2}）\）和 \（最大{1\leqj\leqn}\sum{i=1}^{n}|a{ni}（u{j}）|=O（1）\）.如果 \（\sup_{i}\mathrm{E}|X_{i{|^{p}<\infty\）对一些人来说 \（p>2）,然后

$$\begin{collected}{（\mathrm{i}）}\quad\max_{1\leqj\leqn}\Biggl\vert\sum_{i=1}^{n} 一个_{ni}（u_{j}）X_{i}\Biggr\vert=o\bigl，\结束{聚集}$$

哪里 \（L（x）>0）是一个缓慢变化的函数 \（x\rightarrow\infty\）,和 \（\sqrt{x} L（左）（x） \）不会减少 \（x\geqx{0}>0\）.

引理A.3

（梁和李[27])

让 \（{X_{n}；n\geq1\}）是具有零均值的NA随机变量序列 \（\mathrm{E}|X_{n}|^{p}<\infty\）对一些人来说 \（p>1）,然后让 \（{b{i}，i\geq1\}）是实数序列.然后存在一个正常数 \（C_{p}\）这样的话

$$\mathrm｛E｝\max_｛1\leq m\leq n｝\Biggl\vert\sum_｛i=1｝^{m} b条_{i} X（X）_{i} \Biggr\vert^｛p｝\leq C_｛p｝\Biggl\｛\sum_｛i=1｝^｛n｝\mathrm｛E｝\vert b_{i} X（X）_{i} \vert^{p}+i（p>2）\Biggl（\sum_{i=1}^{n}\mathrm{E}（b_{i} X（X）_{i} ）^{2}\Biggr）^{p/2}\Biggr\}$$

引理A.4

（杨[29])

假设 \（{\varsigma_{n}，n\geq1\}）,\（{\eta_{n}，n\geq1\}）,和 \（{\xi_{n}，n\geq1\}）是三个随机变量序列,\（{\gamma_{n}，n\geq1\}）是一个正的非随机序列,和 \（\gamma_{n}\rightarrow0\）.如果 \（\sup_{x}|F_{\varsigma_{n}}（x）-\varPhi（x）|\leq C\gamma_{n{）,那么对于任何 \（\varepsilon_{1}>0\）和 \（\varepsilon_{2}>0\）,

$$\sup_{x}\bigl\vert F_{\varsigma_{n}+\eta_{n}+\xi_{n{}}（x）-\varPhi（x）\bigr\vert\leq C\bigl \{gamma_{n{+\varepsilon_{1}+\varesilon_{2}+P\bigl.\geq\varepsilon_{2}\bigr）\bigr\}$$

引理A.5

（梁和凡[7])

假设 \（X_｛n｝\）,\（第1页）是具有有限二阶矩的NA随机变量序列.让 \（{a{j}，j\geq1\}）成为一个真实的序列,然后让 \（1=m{0}<m{1}<cdots<m{k}=n\）.定义 \（Y{l}=\sum{j=m{l-1}+1}^{m{l}}_{j} X（X）_{j} \）对于 \（1\leq l\leq k\）.然后

$$\Biggl\vert E\exp\Biggl \{\mathrm{i} t吨\sum_｛l＝1｝^{k} Y（Y）_{l} \Biggr\}-\prod_{i=1}^{k}\exp\{\mathrm{i} tY型_{l} \}\Biggr\vert\leq4t^{2}\sum_{1\leqs<j\leqk}\sum_{l_{1}=m_{s-1}+1}^{m_{s}}\sum_a{2}=m_a{j-1}+1}}，X_{l_{2}}）\bigr\vert$$

引理A.6

（魏和李[12])

假设（A3）和（A4）持有.然后

• （i） \（\sup_{m}\int_{0}^{1}|\mathrm{电子}_{m} （t，s）|\，ds\leq C\）;

• （ii） \（\sum_{i=1}^{n}|\int_{A{i}}\mathrm{电子}_{m} （t，s）\，ds | \leq C\）;

• （iii） \（\sup_{0\leqs，t\leq1}|\mathrm{电子}_{m} （t，s）|=O（2^{m}）\）;

• （iv） \（|\int_{A_{i}}\mathrm{电子}_{m} （t，s）\，ds |=O（\压裂{2^{m}}{n}）\）,\（i=1,2，\ldot，n）;

• （v） \（sum_{i=1}^{n}（int_{A{i}}）{电子}_{m} （t，s）\，ds）^{2}=O（\分形{2^{m}}{n}）\）;

• （vi） \（max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}\int_{A{j}}|\mathrm{电子}_{m} （t_{i}，s）|\，ds\leq C\）;

• （vii） \（max_{1\leqi\leqn}\sum_{j=1}^{n}\int_{A{i}}|\mathrm{电子}_{m} （t_{j}，s）|\，ds\leq C\）.