本文的目的是\（（p，q）\）-一些经典积分不等式的类比。特别是，我们发现\（（p，q）\）-的不等式的推广[2]以及一些涉及泰勒余数的新不等式[1].
定理2.1
假设
\（0<q<p \leq 1）,\（测试版>0）,\（n\in\mathbb{n}\）和F类,G公司定义为两个函数
\（F，G:[\alpha，\beta]\to\mathbb{R}\）具有
\（α=βφ{n}）.让我们继续
\（[\alpha，\beta]\）F类是
\（（p，q）\）-减少和
\（0\leq G\leq 1\）.此外,假设我们有任何数字
\（k，\ell\in \{0,1,2，\ldots\}\）和功能F类和G公司是这样的
$$\开始{对齐}&p\psi_{k}-\α\leq\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\beta-p\psi_{\ell}\quad\textit{if}F\geq0\textit{on}[\alpha，\beta]，\\&\beta-p\psi{\ell{leq\int_{\alpha}^{\beta}G（x），\mathrm{d}_{p，q}x\leqp\psi_{k}-\alpha\quad\textit{if}F\leq0\textit{on}[\alpha，\beta]。\结束{对齐}$$
然后
$$\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\int_{alpha}^{psi_{k}}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x$$
（2.1）
证明
我们证明了F类一\（（p，q）\）-减少函数，当\（F\geq 0）以及\（F\leq 0\）。对于\（F\geq 0），我们只证明了左不等式(2.1). 我们有\（\ell\in\mathbb｛N｝\cup｛0\｝\）.接受\（j=0,1，\ldots，\ell-1）.在以下情况下\（F\geq 0），我们有\（F（\psi_{ell}）\leq F（\psi _{j}）\）对于\（psi{j}\leq\psi{ell}\）(\（j=0,1，\ldots，n-\ell\）)和\（F（\psi_{\ell}）\geq F（\psi _{\ell+j}）\）对于\（psi{\ell}\leq\psi{\ell+j}\）同样，在这种情况下\（F\leq 0\），我们有\（F（\psi_{ell}）\geq F（\psi _{j}）\）对于\（psi{j}\geq\psi{ell}\）和\（F（\psi_{\ell}）\leq F（\psi _{\ell+j}）\）对于\（\psi_{\ell}\geq\psi_{\ell+j}\）。证明很简单，所以我们省略了它。现在
$$\开始{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+\nint_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-\nint_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\bigl（1-G（x）\ bigr）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-（p-q）\beta\sum_{j=0}^{\ell-1}\frac{q^{j}}{p^{j+1}}F（\psi_{j}）\bigl（1-G（\psi.{j}）\bigr）\&\quad\geq\int_{alpha}^{psi_}{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-（p-q）\beta\sum_{j=0}^{\ell-1}\frac{q^{j}}{p^{j+1}}F（\psi{\ell}）\bigl（1-G（\psi.{j}）\ biger）{d}_{p，q}x-（p-q）βF（\psi_{\ell}）}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-F（psi{ell}）{d}_{p，q}x\\&\quad\geq\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-F（\psi_{\ell}）\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+F（\psi_{\ell}）\int_{\psi_{\ellneneneep}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-F（\psi_{\ell}）\biggl[\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-\nint_{\psi_{\ell}}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\biggr]\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-F（\psi_｛\ell｝）\ int _｛\alpha｝^｛\psi_｛\ell｝｝G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\psi_{\ell}}\bigl（F（x）-F（\psi_{\ell{）\bigr）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=（p-q）\psi_{ell}\sum_{j=0}^{n-\ell-1}\frac{q^{j}}{p^{j+1}}\biggl[F\biggl（\psi_{ell}\frac{q^}}{p ^{j+1}}\biggr）-F{p^{j+1}}\biggr）\\&\quad=（p-q）\psi_{ell}\sum_{j=0}^{n-\ell-1}\frac{q^{j}}{p^}j+1}{bigl[F）\geq 0。\结束{对齐}$$
□
定理2.2
对于
\（0<q<p \leq 1）,\（n\in\mathbb{n}\）,我们有以下积分恒等式:
$$开始{aligned}&\int_{alpha}^{beta}\bigl（D_{p，q}^{mu+1}f\bigr）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{alpha}^{\gamma_{k}}R{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+\int_{\gamma_{k}}^{\beta}R{（p，q），\mu，f}（\beta，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x，\结束{对齐}$$
(2.2)
哪里μ是以下任意整数
\（\mu\geq-1）,和
\（R_{（p，q），-1，f}（α，x）=f（x））.
此外,
$$\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{\tu+1}f\bigr）（x）\frac{（v-qx）{p，q}^{\t u+1}}{[\mu+1]{p，q}！}=\int_{\alpha}^{\beta}R_{（p，q），\mu，f}（\alpha，x），\end{aligned}$$
(2.3)
$$\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{\tu+1}f\bigr）（x）\frac{（u-qx）_{p、q}^}{\tu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}=\int_{\alpha}^{\beta}R{（p，q），\mu，f}（\beta，x）。\结束{对齐}$$
（2.4）
证明
我们用归纳法证明它。我们证明了这一点\（\mu=-1\）也就是说，\（\int_{\alpha}^{\beta}f（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}f（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+\int_{\gamma_{k}}^{\beta}f（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\)。假设这是真的μ.然后我们证明\（\mu+1\）.
通过各部分的集成，我们
$$\开始{aligned}&\int_{alpha}^{beta}\bigl（D_{p，q}^{mu}f\bigr）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu}}{[\mu]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\&\quad=-\frac{1}{[\mu+1]{p，q}！}\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{f\bigr）（px）D_{p，q}（\gamma_{k} -qx)_｛p，q｝^｛r+1｝\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=-\frac{1}{[\mu+1]{p，q}！}\biggl[\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{f\bigr）（v）（\gamma_{k} -v型)_{p，q}^{\mu+1}-\bigl（D_{p，q}^{\ mu}f\bigr）（u）（\gamma_{k} -u个)_{p，q}^{\mu+1}\\&\qquad{}-\int_{\alpha}^{\ beta}\bigl（D_{p，q}^{\tu+1}f\bigr）（x）（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu+1}\，\mathrm{d}_{p，q}x\biggr]。\结束{对齐}$$
因此我们有
$$\begin{collected}[b]\int_{alpha}^{beta}（D_{p，q}^{mu+1}f）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\\quad=\bigl（D_{p，q}^{\mu}f\bigr）（\beta）\ frac{（\gamma_{k} -v型)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}-\bigl（D_{p，q}^{\mu}f\bigr）（\alpha）\压裂{（\gamma_{k} -u个)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\\\qquad{}+\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{f\bigr）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu}}{[\mu]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x。\结束{已收集}$$
(2.5)
发件人(2.2)，我们有
$$\boot｛collected｝[b]\int _｛\alpha｝^｛\beta｝（D_｛p，q｝^｛\mu｝f）（x）\frac｛（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu}}{[\mu]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\\quad=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}R_{（p，q），\mu-1，f}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+\nint_{\gamma_{k}}^{\beta}R_{（p，q），\mu-1，f}（\beta，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x。\结束{已收集}$$
(2.6)
发件人(2.5)和(2.6)，我们有
$$\begin{collected}[b]\int_{alpha}^{beta}（D_{p，q}^{mu+1}f）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\\quad=（D_{p，q}^{\mu}f）（v）\压裂{（\gamma_{k}-\β）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}-（D_{p，q}^{mu}f）（α）压裂{（γ_{k}-\α）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\\\qquad{}+\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}R{（p，q），\mu-1，f}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x+\nint_{\gamma_{k}}^{\mathrm{beta}}R{（p，q），\mu-1，f}（\beta，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x。\结束{已收集}$$
（2.7）
我们知道\（（p，q）\）-积分
$$\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}\frac{（x-\alpha）{p，q}^{mu}}{[\mu]{p，q}！}=\压裂{（\gamma_{k}-\alpha）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}，\qquad\int{\gamma{k}}^{\beta}\frac{（x-\beta）{p，q}^{mu}}{[\mu]{p，q}！}=-\压裂{（\gamma_{k}-\β）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}$$
(2.8)
因此(2.7)意味着
$$开始{aligned}&\int_{alpha}^{beta}\bigl（D_{p，q}^{mu+1}f\bigr）（x）\frac{（\gamma_{k} -qx)_{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}\biggl[R_{（p，q），\mu-1，f}（\alpha，x）-\bigl（D_{p，q}^{\mu}f\bigr）（\ alpha）\frac{（x-\alpha）_{p\大gr]\，\mathrm{d}_｛p，q｝x\\&&qquad｛｝+\int _｛\gamma _｛k｝｝^｛\beta｝\biggl[R_｛（p，q），\mu-1，f｝（β，x）-\bigl（D _｛p，q｝^｛\mu｝f\bigr）（β）\frac｛（x-\β）_｛p，q｝^｛\mu｝｝｛[\mu]_｛p，q｝！｝\大gr]\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\quad=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}R{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）{d}_{p，q}x，\结束{对齐}$$
哪里
$$\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{\su+1}f\bigr）（x）\frac{（\beta-qx）{p，q}^{\tu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}=\int_{\alpha}^{\beta}R_{（p，q），\mu，f}（\alpha，x），\end{aligned}$$
(2.9)
$$\begin{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{\tu+1}f\bigr）（x）\frac{（\alpha-qx）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]_{p、q}！}=\int_{\alpha}^{\beta}R{（p，q），\mu，f}（\beta，x）。\结束{对齐}$$
(2.10)
这就完成了证明。 □
定理2.3
假设
\（0<q<p \leq 1）,\（测试版>0）,\（n\in\mathbb{n}\）和（f）是由定义的函数
\（f:[\alpha，\beta]\rightarrow\mathbb｛R｝\）具有
\（α=βφ{n}）.让,在
\（[\alpha，\beta]\）,\（D_{p，q}^{\mu}f\）要么是
\（（p，q）\）-减少或
\（（p，q）\）-在上增加
\（[\alpha，\beta]\）.此外,假设这些数字
\（k，\ell\in\｛0,1,2，\ldots\｝\）是这样的
$$\开始{对齐}&p\psi_{k}-\alpha\leq\frac｛\beta-\alpha｝｛[\mu+2]_｛p，q｝｝\leq\beta-p\psi _｛\ell｝\fquad\textit｛if｝D_｛p，q｝^｛\mau｝f\textit｛is｝（p，q）\textit｛-递减｝，\\&&\beta-p\psi _｛\ell｝\leq\frac｛\beta-p\psi｝｛[\mu+2]_｛p，q｝｝\leq_{k}-\alpha\quad\textit{if}D_{p，q}^{f\textit{is}（p，q）\textit{-递增}。\结束{对齐}$$
然后
$$\begin{aligned}[b]\bigl（D_{p，q}^{mu}f\bigr）（p\psi_{k}）-\ bigl{（p\beta-q\alpha）{p，q}^{\mu+1}}\int_{alpha}^{\ beta}R{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）\\&\leq\bigl（D_{p，q}^{f\bigr）。\结束{对齐}$$
(2.11)
证明
我们证明了结果\（D_｛p，q｝^｛\mu｝f\）一\（（p，q）\）-递减函数，我们可以用类似的方法证明它\（D_｛p，q｝^｛\mu｝f\）是\（（p，q）\）-增加功能。让\（F（x）=-（D_{p，q}^{mu+1}F）（x）\）。那么\（F（x）\）是一个\（（p，q）\）-递减函数。自\（D_｛p，q｝^｛\mu｝f\）是\（（p，q）\）-减少，\（D_{p，q}^{\mu+1}f\leq0\）.因此\（F（x）\geq 0）并将成为\（（p，q）\）-减少。假设
$$G（x）=\压裂{（\beta-qx）{p，q}^{\mu+1}}{（p\beta-q\alpha）{p、q}^}{\mu+1}}$$
然后
$$G（x）=压裂{（β-qx）（p\β-q^{2} x个)\cdots（p^{\mu}\beta-q^{\mu+1}x）}{（p\beta-q\alpha）$$
$$\开始{aligned}\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=&\frac{1}{（\beta-q\alpha）{p，q}^{mu+1}}\int{alpha}^{beta}（\beta-qx）{p{d}_{p，q}x\\=&-\frac{1}{[\mu+2]{p，q}}\frac}1}{（p\beta-q\alpha）{p，q}^{mu+1}}\int{\alpha}^{v} D类_{p，q}（\beta-x）{p，q}^{\mu+2}，\mathrm{d}{p，q}x\\=&\frac{1}{[\mu+2]{p，que}}\frac}{1}}{（p\beta-q\alpha）{p，q}}\frac{（\β-\α）（p\β-q\α）\cdots（p^{\mu+1}\beta-q^{\mu+1}\alpha）}{（p\贝塔-q\阿尔法）\β-q^{\mu+1}\alpha）}\\=&\frac{\beta-\alpha}{[\mu+2]{p，q}}。\结束{对齐}$$
如果
$$磅/平方英寸_{k}-\alpha\leq\frac｛\beta-\alpha｝｛[\mu+2]_｛p，q｝｝\leq\beta-p\psi_｛\ell｝$$
然后
$$\开始{aligned}-\int_{p\psi_{ell}}^{beta}\bigl（D_{p，q}^{mu+1}f\bigr）（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq&-\int_{\alpha}^{\beta}\bigl（D_{p，q}^{\mu+1}f\bigr）{d}_{p，q}x\\leq&-\int_{\alpha}^{p\psi_{k}}\bigl（D_{p，q}^{mu+1}f\bigr）（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x.\结束{对齐}$$
发件人(2.9)，我们可以写
$$\bigl（D_｛p，q｝^｛\mu｝f\bigr）（x）|_｛x=\alpha｝^｛x=p\psi _｛k｝｝\leq\frac｛[\mu+1]_｛p，q｝！｝{（p\beta-q\alpha）{p，q}^{\mu+1}}\int_{\alpha}^{\ beta}R_{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）\leq\bigl（D_{p，q}^{f\bigr）（x）|{x=p\psi_{\ell}}^{x=\beta}$$
□
定理2.4
假设
\（0<q<p \leq 1）,\（测试版>0）,\（n\in\mathbb{n}\）和（f）是由定义的函数
\（f:[\alpha，\beta]\rightarrow\mathbb｛R｝\）具有
\（α=βφ{n}）.让,在
\（[\alpha，\beta]\）,\（D_{p，q}^{2} 如果\geq 0\）(f是
\（（p，q）\）-凸面的).假设我们有任何数字
\（k，\ell\in\｛0,1,2，\ldots\｝\）这样的话
$$\开始{aligned}&p\psi_{\ell}\leq\frac{（p-1）\beta+q\beta+/alpha}{p+q}\quad\textit{和}\quad\\&p\psi{k}\leq \frac}{（p1）\alpha+q\alpha+/beta}{p+q}，\quad\\textit{for}f\textit{is}1）β+q\β+\alpha}{p+q}\quad\textit{和}\quad\\&p\psi{k}\geq\frac{（p-1）\alpha+q\alpha+\beta}{p+q}，\quad\textit{表示}f\textit{is}（p，q）\textit}-递增}。\结束{对齐}$$
然后
$$开始{对齐}f（p\psi_{k}）+\frac{f（\alpha）}{p\beta-q\alpha}\bigl（（1-p）\beta-（1-q）\alpha\bigr）\leq&\frac}{p\ beta-q \alphaneneneep \int_{alpha}^{beta}f（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\{（β-\alpha）f（α）}{p\beta-q\alpha}+f（β）-f（p\psi_{ell}）。\结束{对齐}$$
证明
我们证明了这一点（f）成为\（（p，q）\）-递减函数，和（f）一\（（p，q）\）-增加函数的证明是相似的。对于\（D_{p，q}^{2} 如果\geq 0\）在\（[\alpha，\beta]\）,\（f（x）\）是一个\（（p，q）\）-凸函数和清晰的\（x，p）^{2} x个，q个^{2} x个\)和\（p，q，x\在{}[\alpha，\beta]\中），我们有\（qf（p^{2} x个)-（p+q）f（pqx）+pf（q^{2} x个)\geq 0\）.如果\（f（x）\）在上是凸的\（[\alpha，\beta]\），那么它也是q个-凸的\（[\alpha，\beta]\）因此它也是一个\（（p，q）\）-凸的\（[\alpha，\beta]\）.接受\（\mu=0\），然后\（[\mu+2]{p，q}=p+q\）.假设（f）是\（（p，q）\）-减少，那么我们有\（磅/平方英寸_{k}-\α\leq\压裂{\beta-\alpha}{[\mu+2]{p，q}}\leq\beta-p\psi{\ell}\）这意味着，对于\（\mu=0\）,\（p\psi{k}\leq\alpha+\frac{\beta-\alpha}{p+q}\leq \beta-p\psi}）因此\（p\psi{\ell}\leq\frac{（p-1）\beta+q\beta+/alpha}{p+q}\），以及\（p\psi{k}\leq\frac{（p-1）\alpha+\alpha+/beta}{p+q}\）.自\（D_｛p，q｝^{0}页)（x） =f（x）\）,\（R_{（p，q），-1，f}（α，x）=f（x））来自定理2.2和
$$\int_{\alpha}^{\gamma_{k}R_{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}\biggl[R_{（p，q），\mu-1，f}（\alpha，x）-\bigl\biggr]\，\mathrm{d}_{p，q}x。 $$
因此，
$$\int _｛\alpha｝^｛\gamma _｛k｝｝R_｛（p，q），0，f｝（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{\alpha}^{\gamma_{k}}\bigl[R_{（p，q），-1，f}（\alpha，x）-f（\alpha）\bigr]\，\mathrm{d}_{p，q}x。 $$
这意味着\（R_{（p，q），0，f}（α，x）=f（x）-f（α））。因此自(2.11)定理的2.3，我们有
$$f（p\psi_{k}）-f（\alpha）\leq\frac{1}{p\beta-q\alpha}\int_{alpha}^{beta}\bigl[f（x）-f{d}_{p，q}x\leqf（β）-f（p\psi{ell}）$$
这就完成了证明。 □
定理2.5
假设
\（0<q<p \leq 1）,\（测试版>0）,\（n\in\mathbb{n}\）和（f）是由定义的函数
\（f:[\alpha，\beta]\rightarrow\mathbb｛R｝\）具有
\（α=βφ{n}）.假设,在
\（[\alpha，\beta]\）,\（D_{p，q}^{2} 如果\geq 0\）(f是
\（（p，q）\）-凸面的).此外,假设我们有任何数字
\（k，\ell\in\｛0,1,2，\ldots\｝\）这样的话
$$开始{aligned}&p\psi_{ell}\geq\frac{（alpha+\beta）p}{p+q}\quad\textit{和}\quad p\psi.{k}\geq\frac}，\quad\textit{和}\quad p\psi{k}\leq\frac{（alpha+\beta）q}{p+q}，\quad\textit{代表}f\textit{is}（p，q）\textit}-递减}。\结束{对齐}$$
然后
$$f（\psi_{k}）\leq\frac{1}{\beta-\alpha}\int_{alpha}^{beta}f（qx）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq f（\alpha）+f（\beta）-f（\psi_{\ell}）$$
证明
我们证明了这一点（f）存在\（（p，q）\）减少，以及（f）
\（（p，q）\）-增加，证明是相似的。假设（f）是\（（p，q）\）-凸的\（[\alpha，\beta]\）,\（D_{p，q}^{2} 如果\geq 0\）在\（[\alpha，\beta]\）和\（D）_{p，q}f\)是\（（p，q）\）-在上增加\（[\alpha，\beta]\）.假设\（F（x）=-D_{p，q}f\),\（G（x）=压裂{β-x}{β-α}），然后\（F（x）\）是\（（p，q）\）-在上减少\（[\alpha，\beta]\）同样，（f）是\（（p，q）\）-在上减少\（[\alpha，\beta]\）,\（D）_{p，q}f\leq 0\）.因此\（F（x）\geq 0）和\（（p，q）\）-在上减少\（[\alpha，\beta]\）因此，F类和G公司满足定理假设2.1.来自定理2.3，我们有
$$磅/平方英寸_{k}-\α\leq\压裂{\beta-\alpha}{[\mu+2]{p，q}}\leq\beta-p\psi{ell}$$
这意味着
$$\开始{对齐}&p\psi_{k}-\α\leq\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\beta-p\psi_{\ell}，\&p\psi_{k}-\α\leq\frac{q\beta-p\alpha}{p+q}\leq\β-p\psi{ell}，\end{aligned}$$
以这种形式\（pc{\ell}\leq\frac{（alpha+\beta）p}{p+q}\）,\（p\psi{k}\leq\frac{（alpha+\beta）q}{p+q}\）.
我们发现\（int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\)，通过使用按部件和\（（1+qx）{p，q}^{n-1}=\压裂{1}{[n]{p，q}}D{p，q}（1+x）{p，q{^n}\）来自[7]，我们有
$$\开始{aligned}&\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^{\beta}（\beta-x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\frac{（alpha-\beta）{p，q}^{2}}{（\beta-\alpha）（p+q）}=\frac{q\beta-p\alpha}{p+q}，\\&\int_{alpha}^{beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\压裂{1}{\β-\α}\int_{\α}^{\β}（x-\β）（D_{p，q}f)\，\mathrm{d}_{p，q}x=\frac｛-1｝｛\beta-\alpha｝\int _｛\alpha｝^｛\beta｝f（qx）\，\mathrm{d}_{p，q}x+f（\alpha）。\结束{对齐}$$
发件人(2.1)我们有
$$\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\int_{\alpha}^{\psi_{k}}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x。 $$
因此，
$$-\int_{\psi_{\ell}}^{v}（D_{p，q}f)\，\mathrm{d}_{p，q}x\leq\frac{-1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha{^{\beta}f（qx）\，\mathrm{d}_{p，q}x+f（\alpha）\leq-\int_{\alpha}^{\psi_{k}}（D_{p，q}f)\，\mathrm{d}_{p，q}x。 $$
这意味着
$$-f（x）|_｛\psi_｛\ell｝｝^｛\beta｝\leq\frac｛-1｝｛\beta-\alpha｝\int _｛\alpha｝^｛\beta｝f（qx）\，\mathrm{d}_{p，q}x+f（α）\leq-f（x）{u}^{psi{k}}$$
因此
$$f（x）|_{\alpha}^{\psi_{k}}\leq\frac{1}{\beta-\alpha}\int_{\alpha}^}\beta}f（qx）\，\mathrm{d}_{p，q}x-f（\alpha）\leqf（x）|{\psi{\ell}}^{\beta}$$
这就完成了证明。 □
定理2.6
让
\（f:[\alpha，\beta]\rightarrow\mathbb｛R｝\）和
\（m\leq D_{p，q}^{mu+1}\leq m\）,哪里
\（m<m\）.假设我们有任何数字
\（k，\ell\in\｛0,1,2，\ldots\｝\）这样的话
$$磅/平方英寸_{k}-\alpha\leq\frac{1}{M-M}\bigl[\bigl（D_{p，q}^{\mu}f\bigr）-\bigl（D_}p，q{^{\mu}f\bigr）（\alpha）-M（\beta-\alpha）\bigr]\leq\ beta-p\psi_{\ell}$$
然后
$$开始{对齐}m+（m-m）\压裂{（\beta-\psi{\ell}）{p，q}^{\mu+2}}{（\ beta-\ alpha）{p，q{^{\mo+2}}\leq&\frac{}[\mu+2]{p，q}！}{（β-\alpha）{p，q}^{mu+2}}\int_{alpha}^{beta}R{（p，q），\mu，f}（α，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\\leq&M-（M-M）\frac{（\beta-\psi{k}）{p，q}^{mu+2}}{（\ beta-\ alpha）{p,q}^}{mu+2{}}。\结束{对齐}$$
证明
假设\（F（x）\）是\（（p，q）\）-递减函数和\（F（x）\geq 0）.我们接受\（F（x）=\压裂{（β-qx）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\）和\（G（x）=D_{p，q}^{\mu+1}G\），其中\（g（x）=\压裂{1}{M-M}[f（x）-M\压裂{（x-\alpha）{p，q}^{mu+1}}{[mu+1]{p，q}！}]\）因此\（G（x）=frac{1}{M-M}（D_{p，q}^{mu+1}f-M）因此，
$$\开始{aligned}\int_{\alpha}^{\beta}G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=&\frac{1}{M-M}\int_{alpha}^{beta}D_{p，q}^{mu+1}f\，\mathrm{d}_{p，q}x-\压裂{m（\beta-\alpha）}{m-m}\\=&\frac{1}{m-m}\bigl[\bigl。\结束{对齐}$$
这意味着
$$磅/平方英寸_{k}-\α\leq\frac{1}{M-M}\bigl[\bigl（D_{p，q}^{\mu}f\bigr）（\beta）-\bigl-（D_}p，q{{\mu{f\biger）（\alpha）-M（\beta-\alpha）\bigr]\leq\ beta-p\psi{\ell}$$
而且
$$\开始{aligned}\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{\psi_{\ell}}^{\beta}\frac{（\beta-qx）{p，q}^{\mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\数学{d}_{p，q}x=&-\frac{1}{[\mu+2]{p，q}！}\int _｛\psi _｛\ell｝｝^｛\beta｝D _｛p，q｝（β-x）_｛p，q｝^｛\mu+2｝\，\mathrm{d}_{p，q}x\\=&\压裂{（\beta-\psi{\ell}）{p，q}^{\mu+2}}{[\mu+2]{p，q}！}。\结束{对齐}$$
类似地
$$\begin｛aligned｝&&int _｛\alpha｝^｛\psi _｛k｝｝F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{\alpha}^{\psi_{k}}\frac{（\beta-qx）{p，q}^{mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}\，\马特姆{d}_{p，q}x=\frac{1}{[\mu+2]{p，q}！}\bigl[（beta-\alpha）{p，q}^{\mu+2}-（beta-\psi{k}）{p，q}^{\mu+2}\bigr]，\\&\int_{\alpha}^{\ beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x=\int_{alpha}^{beta}\frac{（\beta-qx）{p，q}^{mu+1}}{[\mu+1]{p，q}！}D_{p，q}^{\mu+2}g\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\hphantom{\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x}=\int_{\alpha}^{\beta}R_{（p，q），\mu，g}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\hphantom{\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x}=\int_{\alpha}^{\beta}\biggl[\frac{1}{M-M}右_｛（p，q），\mu，f｝（\alpha，x）-\frac｛m｝｛m-m｝\frac｛（x-\alpha）_｛p，q｝^｛\mu+1｝｝｝｛[\mu+1]_｛p，q｝！｝\大gr]\，\mathrm{d}_{p，q}x\\&\hphantom{\int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x}=\frac{1}{M-M}\int_{alpha}^{beta}R{（p，q），\mu，f}（\alpha，x）\，\mathrm{d}_{p，q}x-\frac｛m｝｛m-m｝\frac｛（β-α）_｛p，q｝^｛\mu+2｝｝｝｛[\mu+2]_｛p，q｝！｝。\结束{对齐}$$
通过替换积分\（int_{\psi_{\ell}}^{\beta}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\),\（int_{\alpha}^{\psi_{k}}F（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\)和\（int_{\alpha}^{\beta}F（x）G（x）\，\mathrm{d}_{p，q}x\)英寸(2.1)定理的2.1，我们得到了预期的结果。 □
